新教材高中數(shù)學第八章立體幾何初步8.3第2課時球的表面積與體積課件

簡單幾何體的表面積與體積第2課時

球的表面積與體積課標定位素養(yǎng)闡釋1.了解球體的表面積與體積公式的推導過程.2.掌握球體的表面積與體積公式,能用公式解決簡單的實際問題.3.用類比、聯(lián)系的運動變化思想推導公式,感受數(shù)學運算與幾何直觀的過程,感受球體的表面積與體積公式在生產(chǎn)活動中的數(shù)學建模.自主預習·新知導學合作探究·釋疑解惑思想方法隨

堂

練

習

自主預習·新知導學一、球體的表面積與體積公式【問題思考】1.古人在計算圓周率時,一般是用割圓術,即用圓的內(nèi)接或外切正多邊形的周長來逼近圓的周長.理論上,只要取得圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)越多,圓周率就越精確,直到無窮.這種思想就是樸素的極限思想.運用上述思想能否計算球的表面積與體積?提示:可以,運用分割、求近似值、再由近似值轉化的數(shù)學思想方法.3.做一做:(1)如果兩個球的半徑之比為1∶3,那么兩個球的表面積之比為(

)∶∶27

∶∶1答案:A(2)已知火星的半徑約是地球半徑的一半,則地球的體積是火星體積的

倍.

答案:8(3)已知球的直徑為2,求它的表面積和體積.二、與球有關的計算問題【問題思考】1.求球的表面積和體積需要什么條件?提示:已知球的半徑即可.2.填空:半徑與球心是確定球的條件.3.做一做:(1)已知OA為球O的半徑,過OA的中點M且垂直于OA的平面截球面得到圓M.若圓M的面積為3π,則球O的表面積等于

.

答案:16π(2)如圖所示,表面積為324π的球,其內(nèi)接正四棱柱的高是14,求這個正四棱柱的表面積.(3)有一種空心鋼球,質(zhì)量為142g,測得外徑(直徑)等于5cm,求它的內(nèi)徑(鋼的密度為7.9g/cm3,精確到0.1cm).(4)在半球內(nèi)有一個內(nèi)接正方體,試求這個半球的體積與正方體的體積之比.解:將半球補成整個的球,同時把原半球的內(nèi)接正方體再補接一個同樣的正方體,構成的長方體剛好是這個球的內(nèi)接長方體,那么這個長方體的體對角線便是它的外接球的直徑.設原正方體的棱長為a,球的半徑為R,則根據(jù)長方體的對角線性質(zhì),得(2R)2=a2+a2+(2a)2,【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)對于一個幾何體,若體積一定,則這個幾何體是球時表面積最小;反過來,若表面積一定,則這個幾何體是球時體積最大.(

√

)(2)棱長為a的正方體的外接球的半徑為

.(

√

)(3)正方體的體對角線是它內(nèi)切球的直徑.(

×

)(4)把球的表面積擴大為原來的2倍,則它的體積擴大為原來的8倍.(

×

)

合作探究·釋疑解惑探究一探究二探究一

球體的表面積與體積【例1】

若圓錐與球的體積相等,且圓錐底面半徑與球的直徑相等,求圓錐側面積與球面面積之比.有關球體的體積與表面積的問題(1)求球的體積或表面積時,必須知道半徑R或者通過條件能求出半徑R,然后代入體積或表面積公式求解.(2)半徑和球心是球的最關鍵要素,把握住了這兩點,計算球的表面積或體積的相關題目也就容易了.(3)球體的體積比等于半徑比的立方,表面積比等于半徑比的平方.【變式訓練1】

64個直徑都為

的球,記它們的體積之和為

V甲,表面積之和為S甲;一個直徑為a的球,記其體積為V乙,表面積為S乙,則(

)A.V甲>V乙,且S甲>S乙 B.V甲<V乙,且S甲<S乙C.V甲=V乙,且S甲>S乙 D.V甲=V乙,且S甲=S乙答案:C探究二

與球有關的切接問題【例2】

若一個球的外切圓錐的高是這個球的半徑的3倍,則圓錐的側面面積和球的表面積之比為(

)A.4∶3 B.3∶1 C.3∶2 D.9∶4答案:C球的內(nèi)切問題處理的注意事項:解決與球有關的內(nèi)切問題主要是指球內(nèi)切于多面體與旋轉體,解答時首先要找準切點,通過作截面來解決.若球內(nèi)切于多面體,則作截面時主要抓住多面體過球心的對角面來作.球的外接問題處理的注意事項:把一個多面體的幾個頂點放在球面上即為球的外接問題.解決這類問題的關鍵是抓住外接的特點,即球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑.【變式訓練2】

已知三棱錐A-BCD的外接球為球O,球O的直徑是AD,且△ABC,△BCD都是邊長為1的等邊三角形,則三棱錐A-BCD的體積是(

)答案:A思想方法分類與整合思想在球的兩平行截面問題中的運用【典例】

已知球的兩平行截面的面積為5π和8π,且相距為1,求這個球的表面積.解:設以r1為半徑的截面面積為5π,以r2為半徑的截面面積為8π,O1O2=1,球的半徑為R,OO2=x,若球的兩平行截面位于球心的同一側,則可得下列關系式:即π(R2-x2)-π[R2-(x+1)2]=8π-5π,即R2-x2-R2+x2+2x+1=3,∴2x=2,即x=1.∵π(R2-x2)=8π,∴R2-1=8,R2=9,∴R=3.球的表面積為S=4πR2=4π×32=36π.若球的兩平行截面位于球心的兩側,則π(R2-x2)-π[R2-(1-x)2]=8π-5π,即R2-x2-R2+x2-2x+1=3,∴2x=-2,即x=-1.不符合題意,舍去.綜上,球的表面積為S=4πR2=4π×32=36π.球的截面問題的解題方法:(1)有關球的截面問題,常畫出過球心的截面圓,將問題轉化為平面中圓的問題.(2)借助球半徑R,截面圓半徑r,球心到截面的距離d構成的直角三角形,即R2=d2+r2.(3)兩個平行的截面應分清在球心的同側或異側.【變式訓練】

已知在球心同側的兩平行截面的面積分別為49πcm2和400πcm2,且相距為9cm,則這個球的表面積為

cm2.

解析:球的軸截面如圖所示,由球的截面性質(zhì)知,AO1∥BO2,且O1,O2分別為兩截面圓的圓心,則OO1⊥AO1,OO2⊥BO2.設球的半徑為R.∵π·O2B2=49π

cm2,∴O2B=7

cm,同理π·O1A2=400π

cm2,∴O1A=20

cm.設OO1=x

cm,則OO2=(x+9)cm.在Rt△OO1A中,R2=x2+202,在Rt△OO2B中,R2=(x+9)2+72,由x2+202=(x+9)2+72,解得x=15,∴R2=x2+202=252,∴R=25

cm.∴S球=4πR2=2

500π

cm2.∴球的表面積為2

500π

cm2.答案:2500π隨

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練

習答案:B答案:C3.已知三個球的半徑之比為1∶2∶3,那么最大