ch7剛體的平面運(yùn)動(dòng)

第七章剛體的平面運(yùn)動(dòng)理論力學(xué)

剛體的平面運(yùn)動(dòng)是工程上常見(jiàn)的一種運(yùn)動(dòng)，這是一種較為復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)。對(duì)它的研究可以在研究剛體的平動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的基礎(chǔ)上，通過(guò)運(yùn)動(dòng)合成和分解的方法，將平面運(yùn)動(dòng)分解為上述兩種基本運(yùn)動(dòng)。然后應(yīng)用合成運(yùn)動(dòng)的理論，推導(dǎo)出平面運(yùn)動(dòng)剛體上一點(diǎn)的速度和加速度的計(jì)算公式。

§7–1剛體平面運(yùn)動(dòng)概述

§7–2平面圖形內(nèi)各點(diǎn)的速度

§7–3平面圖形內(nèi)各點(diǎn)的加速度

§7–4機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)分析習(xí)題課第七章剛體的平面運(yùn)動(dòng)例如:

曲柄連桿機(jī)構(gòu)中連桿AB的運(yùn)動(dòng)，其上A點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)，B點(diǎn)作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，因此，AB桿的運(yùn)動(dòng)既不是平動(dòng)也不是定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，而是平面運(yùn)動(dòng)．§7-1剛體平面運(yùn)動(dòng)的概述一、剛體平面運(yùn)動(dòng)的定義

在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，剛體上任一點(diǎn)到某一固定平面的距離始終保持不變．也就是說(shuō)，剛體上任一點(diǎn)都在與該固定平面平行的某一平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)．具有這種特點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為剛體的平面運(yùn)動(dòng)．

剛體的平面運(yùn)動(dòng)可以簡(jiǎn)化為平面圖形S在其自身平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)．（即在研究平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，不需考慮剛體的形狀和尺寸，只需研究平面圖形的運(yùn)動(dòng)，確定平面圖形上各點(diǎn)的速度和加速度．）二、平面運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)化

為了確定代表平面運(yùn)動(dòng)剛體的平面圖形的位置，我們只需確定平面圖形內(nèi)任意一條線(xiàn)段的位置．

任意線(xiàn)段AB的位置可用A點(diǎn)（基點(diǎn)）的坐標(biāo)和AB與x軸夾角表示．因此圖形S的位置決定于三個(gè)獨(dú)立的參變量．所以：三、平面運(yùn)動(dòng)方程平面運(yùn)動(dòng)方程對(duì)于每一瞬時(shí)

t

，都可以求出對(duì)應(yīng)的，圖形S在該瞬時(shí)的位置也就確定了。

當(dāng)圖形Ｓ上Ａ點(diǎn)不動(dòng)時(shí)，則剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)；當(dāng)圖形Ｓ上

角不變時(shí)，則剛體作平動(dòng)。四、平面運(yùn)動(dòng)的分解故剛體平面運(yùn)動(dòng)可以看成是隨基點(diǎn)的平動(dòng)和繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)的合成．例如車(chē)輪的運(yùn)動(dòng)

車(chē)輪的平面運(yùn)動(dòng)可以看成是車(chē)輪隨同車(chē)廂的平動(dòng)和相對(duì)車(chē)廂的轉(zhuǎn)動(dòng)的合成．車(chē)輪對(duì)于靜系的平面運(yùn)動(dòng)（絕對(duì)運(yùn)動(dòng)）車(chē)廂（動(dòng)系A(chǔ)x

y

)相對(duì)靜系的平動(dòng)

（牽連運(yùn)動(dòng)）車(chē)輪相對(duì)車(chē)廂（動(dòng)系A(chǔ)x

y

）的轉(zhuǎn)動(dòng)（相對(duì)運(yùn)動(dòng)）

我們稱(chēng)動(dòng)系上的原點(diǎn)Ａ為基點(diǎn)車(chē)輪的平面運(yùn)動(dòng)隨基點(diǎn)A的平動(dòng)繞基點(diǎn)A'的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的平面運(yùn)動(dòng)可以分解為隨基點(diǎn)的平動(dòng)和繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)．

平面圖形Ｓ在

ｔ時(shí)間內(nèi)從位置I運(yùn)動(dòng)到位置IIa.以A為基點(diǎn):

隨基點(diǎn)A平動(dòng)到A'B''后,繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)角到A'B'b.以B為基點(diǎn):

隨基點(diǎn)B平動(dòng)到A''B'后,繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)角到A'B'圖中看出：AB

A'B''

A''B'，于是有五、剛體平面運(yùn)動(dòng)的角速度和角加速度

平面運(yùn)動(dòng)隨基點(diǎn)平動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律與基點(diǎn)的選擇有關(guān)，而繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的規(guī)律與基點(diǎn)選取無(wú)關(guān)(即在同一瞬間，圖形繞任一基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的都是相同的）

?；c(diǎn)的選取是任意的。(通常選取運(yùn)動(dòng)情況已知的點(diǎn)作為基點(diǎn))曲柄連桿機(jī)構(gòu)AB桿作平面運(yùn)動(dòng)平面運(yùn)動(dòng)的分解§7-2平面圖形內(nèi)任一點(diǎn)的速度

根據(jù)速度合成定理，Ｂ點(diǎn)速度為：一、基點(diǎn)法（合成法）取B為動(dòng)點(diǎn),則B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可視為牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)和相對(duì)運(yùn)動(dòng)為圓周運(yùn)動(dòng)的合成，速度分析如圖。已知：圖形S內(nèi)一點(diǎn)A的速度，圖形角速度為

求：。取A為基點(diǎn),將動(dòng)系固結(jié)于A(yíng)點(diǎn),動(dòng)系作平動(dòng)。方向垂直于A(yíng)B由于恒有，因此將上式在A(yíng)B連線(xiàn)上投影，有：速度投影定理平面圖形上任意兩點(diǎn)的速度在該兩點(diǎn)連線(xiàn)上的投影相等．即平面圖形上任一點(diǎn)的速度等于基點(diǎn)的速度與該點(diǎn)隨圖形繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的速度的矢量和．二、投影法

三．瞬心法（瞬時(shí)速度中心法）

1．速度瞬心的概念平面圖形S，某瞬時(shí)其上一點(diǎn)A速度,圖形角速度

，沿方向取半直線(xiàn)AL,然后順

的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)90o至AL'的位置,在A(yíng)L'上取長(zhǎng)度則P點(diǎn)速度為： 在某瞬時(shí)平面圖形S內(nèi)或其自身平面內(nèi)必唯一存在一點(diǎn)速度等于零，該點(diǎn)稱(chēng)為平面圖形在該瞬時(shí)的瞬時(shí)速度中心，簡(jiǎn)稱(chēng)速度瞬心．2．幾種確定速度瞬心位置的方法①已知圖形上一點(diǎn)的速度和圖形角速度

，可以確定速度瞬心的位置。

即Ｐ在順

轉(zhuǎn)向繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)90o的方向的半垂線(xiàn)上，距A點(diǎn)距離處②已知一平面圖形在固定面上作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng),則圖形與固定面的接觸點(diǎn)P為速度瞬心．

④

已知某瞬時(shí)圖形上A、B兩點(diǎn)速度大小,且，則兩速度矢端連線(xiàn)與AB連線(xiàn)之交點(diǎn)即為速度瞬心。(b)(a)

③已知某瞬間平面圖形上A,B兩點(diǎn)速度的方向，且，過(guò)A,B兩點(diǎn)分別作速度的垂線(xiàn),兩垂線(xiàn)交點(diǎn)P即為該瞬間的速度瞬心.

⑤已知某瞬時(shí)圖形上A,B兩點(diǎn)的速度方向相同，且不與AB連線(xiàn)垂直，此時(shí),圖形的瞬心在無(wú)窮遠(yuǎn)處,圖形的角速度

=0,圖形上各點(diǎn)速度相等,這種情況稱(chēng)為瞬時(shí)平動(dòng)。

(此時(shí)各點(diǎn)的加速度不相等)

曲柄連桿機(jī)構(gòu)在圖示位置時(shí)，連桿BC作瞬時(shí)平動(dòng)。此時(shí)連桿BC的圖形角速度，BC桿上各點(diǎn)的速度都相等.但各點(diǎn)的加速度并不相等．設(shè)

＝常量，則而的方向沿AC的，瞬時(shí)平動(dòng)與平動(dòng)的區(qū)別平面圖形在任一瞬時(shí)的運(yùn)動(dòng)可以視為繞速度瞬心的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，速度瞬心又稱(chēng)為平面圖形的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心。若P點(diǎn)為速度瞬心，則任意一點(diǎn)A的速度，方向

AP，指向與

一致。

注意：

1.速度瞬心在平面圖形上的位置是隨時(shí)間變化的，即不同瞬時(shí)瞬心不同，在某一瞬時(shí)是唯一存在的。

2.速度瞬心處的速度為零,加速度不一定為零。不同于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。

3.剛體作瞬時(shí)平動(dòng)時(shí)，雖然各點(diǎn)的速度相同，但各點(diǎn)的加速度是不一定相同的。不同于剛體作平動(dòng)。3.速度瞬心法例：滾子A沿水平面作純滾動(dòng)，通過(guò)連桿AB帶動(dòng)滑塊B沿鉛垂軸向上滑動(dòng)。設(shè)連桿長(zhǎng)l=0.8m，輪心速度v0=3m/s。求當(dāng)AB與鉛垂線(xiàn)成時(shí)，滑塊B的速度及連桿的角速度。解：1.基點(diǎn)法取A為基點(diǎn)，B點(diǎn)的速度(m/s)(m/s)（rad/s）2.投影法（m/s）曲柄肘桿壓床機(jī)構(gòu)例：曲柄肘桿壓床機(jī)構(gòu)，已知：OA=0.15m,n=300r/min,AB=0.76m,BC=BD=0.53m。圖示位置時(shí),AB水平。求該位置時(shí)的、及解：OA、BC作定軸轉(zhuǎn)動(dòng),

AB、BD均作平面運(yùn)動(dòng)P１為AB速度瞬心（）

P2為其BD速度瞬心,

BDP2為等邊三角形DP2=BP2=BD（）行星齒輪機(jī)構(gòu)解：OA定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，輪A作平面運(yùn)動(dòng),瞬心P點(diǎn)。）(例：行星齒輪機(jī)構(gòu)，O輪固定，已知:R,r,

o

輪A作純滾動(dòng)，求已知：曲柄連桿機(jī)構(gòu)OA=AB=l，曲柄OA以勻

轉(zhuǎn)動(dòng)。求：當(dāng)

=45o時(shí),滑塊B的速度及AB桿的角速度。

a.基點(diǎn)法

b.速度投影法

c.瞬心法課堂練習(xí)解：機(jī)構(gòu)中,OA作定軸轉(zhuǎn)動(dòng),AB作平面運(yùn)動(dòng),滑塊B作平動(dòng)。

1.基點(diǎn)法研究AB，以A為基點(diǎn)，且方向如圖示。B速度分析如圖。（）（）不能直接求出研究AB,

,方向

OA,

方向沿BO直線(xiàn)。

3.瞬心法

P點(diǎn)為AB的速度瞬心2.投影法平面機(jī)構(gòu)解：軸O,桿OC,楔塊M均作平動(dòng),

圓盤(pán)作平面運(yùn)動(dòng)，P為輪O速度瞬心）(平面機(jī)構(gòu)中,楔塊M:

=30o,v=12cm/s;盤(pán):r=4cm,與楔塊間無(wú)滑動(dòng)。求圓盤(pán)的

及軸O的速度和B點(diǎn)速度．A點(diǎn)不是輪O的速度瞬心，為什么？（可由點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)求出）§7-3平面圖形內(nèi)任一點(diǎn)的加速度取A為基點(diǎn)，將平動(dòng)坐標(biāo)系固結(jié)于A(yíng)點(diǎn)取B動(dòng)點(diǎn)，則B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)分解為相對(duì)運(yùn)動(dòng)為圓周運(yùn)動(dòng)和牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)。由一.基點(diǎn)法已知：圖形S內(nèi)一點(diǎn)A的加速度和某一瞬時(shí)圖形的

,。求：該瞬時(shí)圖形上任一點(diǎn)B的加速度。其中：，方向沿AB，指向A點(diǎn)；，方向

AB，指向與一致。平面圖形內(nèi)任一點(diǎn)的加速度等于基點(diǎn)的加速度與該點(diǎn)隨圖形繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的切向加速度和法向加速度的矢量和。上述公式是一平面矢量方程。需知其中六個(gè)要素，方能求出其余兩個(gè)。由于方位總是已知，所以在使用該公式中，只要再知道四個(gè)要素，即可解出問(wèn)題的待求量。二.投影法將上式在A(yíng)B連線(xiàn)上投影，有：若，即（瞬時(shí)平動(dòng)）時(shí)，有：加速度投影法只在瞬時(shí)平動(dòng)時(shí)才能應(yīng)用

由于的大小和方向隨B點(diǎn)的不同而不同,所以總可以在圖形內(nèi)找到一點(diǎn)Q，在此瞬時(shí)，相對(duì)加速度大小恰與基點(diǎn)A的加速度等值反向，其絕對(duì)加速度Q點(diǎn)就稱(chēng)為圖形在該瞬時(shí)的加速度瞬心．1.一般情況下,加速度瞬心與速度瞬心不是同一個(gè)點(diǎn)．三．加速度瞬心法2.由于加速度瞬心的位置不象速度瞬心那樣容易確定，且一般情況下又不存在類(lèi)似于速度投影定理的關(guān)系式，故常采用基點(diǎn)法求圖形上各點(diǎn)的加速度或圖形角加速度．注意：大小？√Ｒw

2

方向？√√√

（）

例：半徑為R的車(chē)輪沿直線(xiàn)作純滾動(dòng),已知輪心O點(diǎn)的速度及加速度,求車(chē)輪與軌道接觸點(diǎn)P的加速度．解：輪O作平面運(yùn)動(dòng)，P為其速度瞬心，由于此式在任何瞬時(shí)都成立，且O點(diǎn)作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，故而（）以O(shè)為基點(diǎn)，P點(diǎn)加速度分析如圖。

由此看出，速度瞬心P的加速度并不等于零，即它不是加速度瞬心。當(dāng)車(chē)輪沿固定的直線(xiàn)軌道作純滾動(dòng)時(shí)，其速度瞬心P的加速度指向輪心．解：(a)AB作平動(dòng)，例:已知O1A=O2B,圖示瞬時(shí)O1A/O2B

試問(wèn)(a),(b)兩種情況下

1和

2，和是否相等？(a)(b)(b)AB作平面運(yùn)動(dòng),圖示瞬時(shí)作瞬時(shí)平動(dòng),此時(shí)曲柄滾輪機(jī)構(gòu)例:曲柄滾輪機(jī)構(gòu)，滾子半徑R=15cm,n=60r/min

求：當(dāng)

=60o時(shí)(OA

AB),滾輪的

Ｂ、。

解：OA定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，AB桿和輪B作平面運(yùn)動(dòng)（）P１為AB速度瞬心，P2為輪B速度瞬心分析:要想求出滾輪的

Ｂ、，先要求出vB、aBP2P1vB）(以A為基點(diǎn)，B點(diǎn)加速度分析如圖。指向O點(diǎn)大小？√

√？方向√√√√將上式向BA線(xiàn)上投影）(§7-4機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)分析一個(gè)運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)或運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)是由多種運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)和剛體組成，各構(gòu)件之間通過(guò)鉸鏈、套筒、銷(xiāo)釘、滑塊等聯(lián)接點(diǎn)傳遞運(yùn)動(dòng)。由已知運(yùn)動(dòng)的構(gòu)件，通過(guò)對(duì)某些聯(lián)結(jié)點(diǎn)和剛體的運(yùn)動(dòng)分析，確定機(jī)構(gòu)中所有構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)，稱(chēng)為機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)分析。分析機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)時(shí)，先應(yīng)分析各構(gòu)件作什么運(yùn)動(dòng)，計(jì)算各聯(lián)結(jié)點(diǎn)速度和加速度，再計(jì)算待求未知量。例：行星齒輪減速機(jī)構(gòu)。已知各齒輪的節(jié)圓半徑r1、r2、r3，求傳動(dòng)比i1H（即/）。解：P點(diǎn)為輪2的速度瞬心，輪1與輪2的嚙合點(diǎn)A的速度輪2與系桿H的聯(lián)結(jié)點(diǎn)O2的速度由于故解:OA定軸轉(zhuǎn)動(dòng);AB,BC均作平面運(yùn)動(dòng),

滑塊B和C均作平動(dòng)對(duì)AB桿應(yīng)用速度投影定理：對(duì)BC桿應(yīng)用速度投影定理：例：已知：配氣機(jī)構(gòu)中，OA=r,以等

o轉(zhuǎn)動(dòng),在某瞬時(shí)

=60o

AB

BC,AB=6r,BC=

.求該瞬時(shí)滑塊C的速度和加速度．1.速度分析以A為基點(diǎn)求B點(diǎn)加速度：(a)P1為AB桿速度瞬心，而(a)式沿BA方向投影2.加速度分析P2為BC速度瞬心,而P2C=9r再以B為基點(diǎn),求C點(diǎn)加速度。將(b)式在BC方向線(xiàn)上投影[注]

指向可假設(shè)，結(jié)果為正說(shuō)明假設(shè)指向與實(shí)際指向相同；結(jié)果為負(fù)，說(shuō)明假設(shè)指向與實(shí)際指向相反．30o(b

)

平面機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)綜合舉例

例：平面機(jī)構(gòu)，圖示瞬時(shí),O點(diǎn)在A(yíng)B中點(diǎn),

=60o,BC

AB,已知O,C在同一水平線(xiàn)上,AB=20cm,vA=16cm/s,試求該瞬時(shí)AB桿,BC桿的角速度及滑塊C的速度．解:輪A,桿AB,桿BC均作平面運(yùn)動(dòng),套筒O作定軸轉(zhuǎn)動(dòng),滑塊C平動(dòng).

,由于沿AB,所以方向沿AB并且與反向。從而確定了AB桿上與O點(diǎn)接觸點(diǎn)的速度方向。所以P1為AB速度瞬心取套筒上O點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn),動(dòng)系固結(jié)于A(yíng)B桿;靜系固結(jié)于機(jī)架,1.速度分析P2為BC的速度瞬心。）(（）導(dǎo)桿滑槽機(jī)構(gòu)解：動(dòng)點(diǎn)：CD桿上C為，動(dòng)系：固結(jié)于A(yíng)E（平面運(yùn)動(dòng)）靜系：固結(jié)于機(jī)架

例：導(dǎo)桿滑槽機(jī)構(gòu)，已知圖示瞬時(shí),桿AB速度u

，桿CD速度v及

角，AC=l,求導(dǎo)槽AE的角速度．(a)

C‘

點(diǎn)為AE上與C點(diǎn)重合的那點(diǎn)（牽連點(diǎn)），其速度以A點(diǎn)為基點(diǎn)來(lái)求。(b)將(b)代入(a)得：（）（c）式投影至

軸速度分析如圖vC＝v，vA＝u(c)例：圖示機(jī)構(gòu)中，AB桿一端連接滾子A，滾子的中心A以速度cm/s沿水平方向勻速運(yùn)動(dòng)，AB桿活套在可繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)的套管C內(nèi)。求AB桿的角速度和角加速度。解：（1）求AB桿的角速度(rad/s)

（cm/s）

其中cmC’

是AB桿上與套筒C重合的那點(diǎn)。（2）求AB桿的角加速度取AB桿為研究對(duì)象。選A為基點(diǎn)，其上C’點(diǎn)的加速度為大??？0？√方向？0√√其中有三個(gè)未知要素，需另找補(bǔ)充方程。(1)由點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)，取AB桿上C’點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)系固定在套筒上。由于牽連運(yùn)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)，故加速度合成定