2017-2021年陜西中考數(shù)學(xué)真題分類匯編之三角形和四邊形

2017-2021年陜西中考數(shù)學(xué)真題分類匯編之三角形和四邊形

一.選擇題（共16小題）

1.（2020?陜西）如圖，ACLBC,直線EF經(jīng)過點(diǎn)C,若Nl=35°,則/2的大小為（）

C.45°D.35°

2.（2020?陜西）若NA=23°,則N4余角的大小是（）

A.57°B.67°C.77°D.157°

3.（2021?陜西）如圖，直線人〃/2,直線/1、/2被直線/3所截，若Nl=54°,則N2的大

小為（）

4.（2021?陜西）如圖，△ABC的中線BE、C尸交于點(diǎn)O,連接E凡則處的值為（）

A.AB.AC.2D.A

2334

5.（2021?陜西）如圖，在菱形ABC。中，NA8C=60°,連接AC、B。，則蛆的值為（）

BD

D

A?5B.亨C.喙D.返

3

6.（2019?陜西）如圖，在△A8C中，NB=30°,ZC=45°,AD平分/84C交BC于點(diǎn)

D,DEIAB,垂足為E.若。E=l,則BC的長(zhǎng)為（）

C

BD

A.2+V2B.V2+V3C.2+A/3D.3

7.（2018?陜西）如圖，在△48C中，AC=8,ZABC=60°,/C=45°,ADLBC,垂足

為D,NABC的平分線交AO于點(diǎn)E,則AE的長(zhǎng)為（）

A

BDC

2

A，y>/2B.V2C.-|^2D.3近

8.（2017?陜西）如圖，在△ABC中，ZA=60°,ZB=45°.若邊AC的垂直平分線OE

交邊A8于點(diǎn)。，交邊AC于點(diǎn)E,連接CD,貝Ij/OCB=（）

A.15°B.20°C.25°D.30°

9.（2020?陜西）如圖，在3X3的網(wǎng)格中,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)A,B,。都在

格點(diǎn)上，若8。是aABC的高，則B。的長(zhǎng)為（）

B,會(huì)后C-^13D.

10.（2019?陜西）如圖，在矩形ABC。中，AB=3,BC=6,若點(diǎn)E,尸分別在A8,C。上,

且BE=2AE,DF=2FC,G,H分別是AC的三等分點(diǎn)，則四邊形EHFG的面積為（）

C.2D.4

11.（2021?陜西）如圖，點(diǎn)。、E分別在線段BC、AC上，連接A。、BE.若NA=35°,

NB=25°,ZC=50°,則/I的大小為（）

12.（2020?陜西）如圖，在菱形A8CQ中，AC=8,BD=6,DEVAB,垂足為E,DE與

D.4

13.（2020?陜西）如圖，在QA8C￡>中，AB=5,BC=8.E是邊8C的中點(diǎn)，F(xiàn)^ABCD|*J

一點(diǎn)，且NBFC=90°.連接AF并延長(zhǎng)，交CD于點(diǎn)G.若EF//AB,則DG的長(zhǎng)為（）

A.5B.3C.3D.2

22

14.（2019?陜西）如圖，在△4BC中，NABC=90°,ZC=52°,BE為AC邊上的中線，

AD平分NBAC,交BC邊于點(diǎn)D,過點(diǎn)B作BFLAD,垂足為F,則ZEBF的度數(shù)為（）

15.（2018?陜西）如圖，在RtZVLBC中，/ACB=90°,ZA=65°,CDLAB,垂足為

E是BC的中點(diǎn)，連接ED,則NOEC的度數(shù)是（）

A.25°B.30°C.40°D.50°

16.（2021?陜西）如圖，AB、BC、CD、DE是四根長(zhǎng)度均為5cm的火柴棒，點(diǎn)4、C、E

共線.若AC=6cm,CD1BC,則線段CE的長(zhǎng)度是（）

A.6cmB.1cmC.D.8cm

二.填空題（共4小題）

17.（2017?陜西）如圖.在中，AC=3,乙48c=90°,8。是△ABC的角平分線,

過點(diǎn)。作交8。邊于點(diǎn)￡若AZ）=1,則圖中陰影部分的面積為

18.（2021?陜西）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽巧妙地用“弦圖”證明了勾股定理，標(biāo)志著中國(guó)古代

的數(shù)學(xué)成就.如圖所示的“弦圖”，是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的一個(gè)小正方形拼

成的一個(gè)大正方形.直角三角形的斜邊長(zhǎng)為13,一條直角邊長(zhǎng)為12,則小正方形ABCO

的面積的大小為.

19.（2017?陜西）如圖，在四邊形ABCQ中，A8=AO,ZBAD=ZBCD=90°,連接AC.若

AC=6,則四邊形ABC。的面積為.

D

B

20.（2018?陜西）如圖，在矩形中，AB=3,AO=4,連接AC,。是AC的中點(diǎn)，M

是AQ上一點(diǎn)，且MO=1,P是BC上一動(dòng)點(diǎn)，則尸M-P。的最大值為.

三.解答題（共3小題）

21.（2021?陜西）如圖，ZA=ZBCD,C4=C。，點(diǎn)E在BC上，KDE//AB,求證：AB

=EC.

D

22.（2020?陜西）如圖所示，小明家與小華家住在同一棟樓的同一單元，他倆想測(cè)算所住樓

對(duì)面商業(yè)大廈的高M(jìn)N.他倆在小明家的窗臺(tái)B處，測(cè)得商業(yè)大廈頂部N的仰角/I的

度數(shù)，由于樓下植物的遮擋，不能在B處測(cè)得商業(yè)大廈底部〃的俯角的度數(shù).于是，他

倆上樓來到小華家，在窗臺(tái)C處測(cè)得大廈底部M的俯角N2的度數(shù)，竟然發(fā)現(xiàn)/I與/2

恰好相等.已知A,B,C三點(diǎn)共線，CALAM,NMLAM,AB=31w,BC=l8m,試求

商業(yè)大廈的高M(jìn)N.

23.（2018?陜西）如圖，AB//CD,E、尸分別為AB、C。上的點(diǎn)，且EC〃BF,連接A。,

分別與￡C、BF相交于點(diǎn)G,H,若AB=CD,求證：AG=DH.

CD

2017-2021年陜西中考數(shù)學(xué)真題分類匯編之三角形和四邊形

參考答案與試題解析

一.選擇題（共16小題）

1.（2020?陜西）如圖，ACLBC,直線EF經(jīng)過點(diǎn)C,若Nl=35°,則/2的大小為（）

A.65°B.55°C.45°D.35°

【考點(diǎn)】垂線.

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【分析】由垂線的性質(zhì)可得NACB=90°,由平角的性質(zhì)可求解.

【解答】解：...ACaBC,

AZACB=90°,

VZ1+ZACB+Z2=18O°,

，N2=180°-90°-35°=55°,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂線的性質(zhì)，平角的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.

2.（2020?陜西）若NA=23°,則NA余角的大小是（）

A.57°B.67°C.77°D.157°

【考點(diǎn)】余角和補(bǔ)角.

【專題】線段、角、相交線與平行線；運(yùn)算能力.

【分析】根據(jù)/A的余角是90°-ZA,代入求出即可.

【解答】解：：乙4=23°,

...NA的余角是90°-23°=67°.

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了互余的應(yīng)用，注意：如果NA和互為余角，那么/A=90°-Z

B.

3.（2021?陜西）如圖，直線/1〃/2,直線力、/2被直線/3所截，若/1=54°,則N2的大

小為（）

【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【分析】如圖，根據(jù)平行線的性質(zhì)，由得N1=N3=54°,那么N2=180°-Z

3=126°.

【解答】解：如圖.

'：h//l2,

.*.Z1=Z3=54°.

.?.N2=180°-/3=180°-54°=126°.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到N1=N3=54°是解決本

題的關(guān)鍵.

4.（2021?陜西）如圖，△ABC的中線BE、CF交于點(diǎn)O,連接EF,則好的值為（）

FC

,A

0

B

A.AB.Ac.2D.A

2334

【考點(diǎn)】三角形的重心；三角形中位線定理；相似三角形的判定與性質(zhì).

【專題】三角形；圖形的相似；推理能力.

【分析】先根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到EF〃BC,EF=LBC,則可判斷

2

利用相似比得到里=1,然后根據(jù)比例的性質(zhì)得到”的值.

0C2FC

【解答】解：：中線BE、CF交于點(diǎn)O,

...EF為△ABC的中位線，

J.EF//BC,EF=LBC,

2

：./\OEF^/\OBC,

.OF=EF=1

,,0CBCT

?PL=1

??而3"

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)；重心到頂

點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1.也考查了相似三角形的判定與性質(zhì).

5.（2021?陜西）如圖，在菱形ABCQ中，NABC=60°,連接AC、B￡>,則隹■的值為（）

BD

【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義；特殊角的三角函數(shù)值：等邊三角形的判定

與性質(zhì).

【專題】矩形菱形正方形；解直角三角形及其應(yīng)用；推理能力.

【分析】由菱形的性質(zhì)可得AO=CO,BO=DO,AC1BD,NAB￡>=」NA8C=30°,

2

由銳角三角函數(shù)可求解.

【解答】解：設(shè)AC與3。交于點(diǎn)0,

A

D

//

-----------------X?

???西邊形ABC。是菱形，

：.AO=CO,BO=DO,ACLBD,/ABO=LABC=30°,

_2

?：lanZABD=^-^-,

_BO3

.ACM

??--z:---,

BD3

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.（2019?陜西）如圖，在△A8C中，ZB=30°,NC=45°,A￡>平分NBAC交BC于點(diǎn)

D,DELAB,垂足為E.若DE=1,則BC的長(zhǎng)為（）

【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線.

【分析】過點(diǎn)D作DFLAC于F如圖所示，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE=DF=\,解

直角三角形即可得到結(jié)論.

【解答】解：過點(diǎn)。作。尸，4c于凡如圖所示，

為/BAC的平分線，且?？谟贓,DFLAC^F,

：.DE=DF=\,

在RtZYBE。中，ZB=30°,

：.BD=2DE=2,

在Rtz^CD尸中，ZC=45°,

...△CDF為等腰直角三角形,

:.CD=?DF=

:.BC=BD+CD=2^[^,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

7.（2018?陜西）如圖，在△A8C中，AC=8,/ABC=60°，NC=45°，ADA.BC,垂足

為。，NA8C的平分線交于點(diǎn)E,則4E的長(zhǎng)為（）

A

BDC

A.三代B.272C..|^/2D.372

【考點(diǎn)】勾股定理；角平分線的定義；含30度角的直角三角形.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用.

【分析】在RtZsAOC中，利用等腰直角三角形的性質(zhì)可求出A。的長(zhǎng)度，在RtZXAOB中，

由AD的長(zhǎng)度及乙48。的度數(shù)可求出BD的長(zhǎng)度，在RtZ\EBO中，由BD的長(zhǎng)度及NEBO

的度數(shù)可求出DE的長(zhǎng)度，再利用AE=AD-DE即可求出AE的長(zhǎng)度.

【解答】'：ADA.BC,

：.ZADC=ZADB=90Q.

在RtAADC中，AC=8,/C=45°,

：.AD=CD,

.\AD=^4C=4A/2.

2

在RtZXADB中,AO=4&,ZABD=60Q,

：.BD=^-AD=W6

33

「BE平分NA8C,

；.NEBD=30°.

在RtZXEBD中，8D=&昆，NEBD=30°,

3

:.DE=?BD=^k,

33

：.AE=AD-DE=色巨.

3

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形、含30度角的直角三角形、等腰直角三角形以及特殊

角的三角函數(shù)，通過解直角三角形求出AO、力E的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵.

8.（2017?陜西）如圖，在△4BC中，乙4=60°,NB=45°.若邊4c的垂直平分線。E

交邊AB于點(diǎn)D,交邊AC于點(diǎn)E,連接CD,則NQCB=（）

【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì).

【專題】三角形；推理能力.

【分析】依據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得到/AC8的度數(shù)，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，即

可得出/AC。的度數(shù)，進(jìn)而得到/OC8的度數(shù).

【解答】解：；/4=60°,NB=45°,

AZACB=75°,

；DE垂直平分AC,

：.AD=CD,

：.ZACD=ZA=60°,

ZBCD^ZACB-ZACD^15Q-60°=15°,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段

兩端點(diǎn)的距離相等.

9.（2020?陜西）如圖，在3X3的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)A,B,C都在

格點(diǎn)上，若8。是△A8C的高，則8。的長(zhǎng)為（)

^^13口.2-^

B.言布

【考點(diǎn)】勾股定理.

【專題】網(wǎng)格型；等腰三角形與直角三角形；應(yīng)用意識(shí).

【分析】根據(jù)勾股定理計(jì)算AC的長(zhǎng)，利用面積差可得三角形ABC的面積，由三角形的

面積公式即可得到結(jié)論.

【解答】解：由勾股定理得：AC=^22+32=y/~i3,

：SAABC=3X3-yXIX2-yXIX3-yX2X3=3.5,

???y1AC'BD=7^

?,?713*30=7,

；.BD=

13

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，三角形的面積的計(jì)算，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

10.（2019?陜西）如圖，在矩形48C。中，48=3,BC=6,若點(diǎn)E,尸分別在AB,CD上,

且BE=2AE,DF=2FC,G,H分別是AC的三等分點(diǎn)，則四邊形EHFG的面積為（）

【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì).

【專題】多邊形與平行四邊形；矩形菱形正方形.

【分析】由題意可證EG〃BC,EG=2,HF//AD,HF=2,可得四邊形EHFG為平行四

邊形，即可求解.

【解答】解：'：BE=2AE,DF=2FC,，坐」，空=」

BE2DF2

???G、H分別是AC的三等分點(diǎn)

,AG1CH=1

…而而'AH2

.AEAG

'*BE=GC

：.EG//BC

.?.毀且BC=6

BCAB3

:.EG=2,

同理可得H/〃AO,HF=2

四邊形EHFG為平行四邊形，且EG和HF間距離為1

??S叫邊形EHFG=2X1=2,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，證明四邊形E”FG為平行

四邊形是本題的關(guān)鍵.

11.(2021?陜西)如圖，點(diǎn)。、E分別在線段BC、AC上，連接A。、BE.若NA=35°,

/8=25°,/C=50°,則N1的大小為()

【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；三角形的外角性質(zhì).

【專題】三角形；運(yùn)算能力.

【分析】由三角形的內(nèi)角和定理，可得Nl=180-(NB+NADB),ZADB=ZA+ZC,

所以Nl=180°-(ZB+ZA+ZC),由此解答即可.

【解答】解：VZl=180-(NB+NADB),ZADB^ZA+ZC,

.?./1=180°-(ZB+ZA+ZC)

=180°-(25°+35°+50°)

=180°-110°

=70。，

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理和三角形外角性質(zhì)，掌握這些知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)

鍵.

12.（2020?陜西）如圖，在菱形ABCD中，AC=8,BD=6,DEVAB,垂足為E,DE與

D.4

【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；解直角三角形.

【專題】等腰三角形與直角三角形;矩形菱形正方形：圖形的相似；運(yùn)算能力；推理

能力.

【分析】RtZ\AB。中，sinZABO=M=A,而NABO=NAFE=NOFC,即可求解.

AB5

【解答】解：設(shè)AC與8。相交于O,

;四邊形ABC。是菱形，4c=8,BD=6,AD=AB,

：.ACLOD,AO=L1C=4,DO=BO=、BD=3,

22

由勾股定理得到：AO=A8={A02+B02=5,

在RtZ\A8。中，sinZABO=-^-=A,

AB5

VZEAF+ZAFE=90Q,ZFAE+ZABO^90Q,

NABO=NAFE=ZDFC,

:.sinNDFC=生

5

故選：D.

D

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)，確定NABO=NAFE=NQFC是本題解題的關(guān)鍵.

13.（2020?陜西）如圖，在nABCD中，AB=5,BC=8.E是邊BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是。ABC。內(nèi)

一點(diǎn)，且/8FC=90°.連接AE并延長(zhǎng)，交C￡＞于點(diǎn)G.若EF〃A8,則。G的長(zhǎng)為（）

A.3B.3C.3D.2

22

【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；梯形中位線定理；直角三角形斜邊上的中線.

【專題】多邊形與平行四邊形；推理能力.

【分析】延長(zhǎng)交CO的延長(zhǎng)線于H,可證Ek是△BCH的中位線，由中垂線的性質(zhì)可

得BC=CH=8,可求力"=3,由“4SA”可證△ABFg/XGFH,可得AB=GH=5,可求

解.

【解答】解：如圖，延長(zhǎng)BF交CD的延長(zhǎng)線于4,

?；四邊形ABCD是平行四邊形,

：.AB=CD=5,AB//CD,

：.NH=ZABF,

,JEF//AB,

J.EF//CD,

是邊BC的中點(diǎn)，

是△BCH的中位線，

：.BF=FH,

■:NBFC=90°,

；.CF上BF,

；.CF是BH的中垂線，

：.BC=CH=S,

：.DH=CH-CD=3,

在△ABF和△G”尸中，

，ZABF=ZH

<BF=HF>

,NAFB=NGFH

A/\ABF^/\GFH（ASA）,

：.AB=GH=5,

：.DG=GH-DH=2,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線

定理等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵.

14.（2019?陜西）如圖，在△ABC中，NABC=90°,ZC=52°,BE為AC邊上的中線，

AD平分N8AC,交BC邊于點(diǎn)D,過點(diǎn)H作BF1AD,垂足為F,則NEBF的度數(shù)為（）

A.19°B.33°C.34°D.43°

【考點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線.

【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【分析】由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出BE=1AC^AE,由等腰三角形的性質(zhì)得

2

出/54E=/ABE=38°,由角平分線定義得出NBAO=19°,由三角形的外角性質(zhì)得出

NBOF=51°,由直角三角形的性質(zhì)得出答案.

【解答】解：：NABC=90°,為AC邊上的中線，

AZBAC=90°-ZC=90°-52°=38°，BE=^AC=AE,

2

：.ZBAC=ZABE=3S°,

平分NBAC,

...NBAF=JL/B4C=19°,

2

AZBOF^ZBAD+ZABE=190+38°=57°,

'：BF1.AD,

；.NBFO=90°,

；.NEBF=90°-ZBOF=90Q-57°=33°；

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的

性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

15.（2018?陜西）如圖，在RtZVLBC中，/ACB=90°,ZA=65°,CDLAB,垂足為。,

E是的中點(diǎn)，連接E￡>,則NOEC的度數(shù)是（）

A.25°B.30°C.40°D.50°

【考點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線.

【專題】等腰三角形與直角三角形；應(yīng)用意識(shí).

【分析】利用三角形內(nèi)角和定理和直角三角形斜邊中線的性質(zhì)解決問題即可.

【解答】解：VZACB=900,ZA=65°,

.*.ZB=90°-65°=25°,

'：CD±AB,

：.ZCDB=90°,

：.ZDCB=65°,

,:CE=EB,

：.DE=CE=EB,

:.NEDC=NECD=65°,

AZDEC=180°-65°-65°=50°,

故選：O.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵

是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型.

16.（2021?陜西）如圖，AB、BC、CD、DE是四根長(zhǎng)度均為5cm的火柴棒，點(diǎn)A、C、E

共線.#AC=6cm,CD1BC,則線段CE的長(zhǎng)度是（）

A.6cmB.1cmC.D.8cm

【考點(diǎn)】全等三角形的應(yīng)用；勾股定理的應(yīng)用.

【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；幾何直觀；運(yùn)算能力；推理能力.

【分析】過B作于M,過。作。NLCE于N,由等腰三角形的性質(zhì)得到AM=

CM=3,CN=EN,根據(jù)全等三角形判定證得△BCM也△8M得到BM=CN,在RtA

BCM中，根據(jù)勾股定理求出8M=4,進(jìn)而求出.

【解答】解：由題意知，AB=BC=CD=DE=5cm,AC=6cm,

過8作BM_LAC于M,過。作QALLCE于N,

則NBMC=/CN￡）=90°,AM=CM=Lc=>lx6=3,CN=EN,

22

,:CDLBC,

：.ZBCD=90°,

/BCM+/CBM=NBCM+NDCN=90°,

：.ZCBM=ZDCN,

在△BCA/和△C￡W中,

，ZCBM=ZDCN

<ZBMC=ZCND)

BC=DC

:.叢BCM4叢CDN(A4S),

:.BM=CN,

在RtABCM中，

"：BC=5,CM=3,

BA/=VBC2-CM2=V52-32=4,

:.CN=4,

；.CE=2CN=2X4=8,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，正

確作出輔助線，證得△BCMg△CDN是解決問題的關(guān)鍵.

二.填空題（共4小題）

17.（2017?陜西）如圖.在RtZvWC中，AC=3,ZABC=90°,2。是△ABC的角平分線,

過點(diǎn)力作。交BC邊于點(diǎn)E.若AD=1,則圖中陰影部分的面積為1

【考點(diǎn)】三角形的面積；勾股定理.

【專題】三角形.

【分析】作DHA.BC于H,由題意可得，4BDE是等腰直角三角形，設(shè)DH=BH=EH

="，證明可得冤，CE=a,在中，由勾股定理可得

△CD，sz^CAB,AB=RtAABC

2

AB2+BC2=AC2,即旦2根據(jù)陰影部分的面積=三角形的面積

a?+9a2=9,-a=l＞ABC

44

-三角形的面積，即可得出圖中陰影部分的面積.

【解答】解：如圖，作于”，

9：ZABC=90°,8。是△ABC的角平分線，

ZDBC=ZABD=45°,

:DE1.BD,

：.ZDEB=45°,

???ABDE是等腰直角三角形，

設(shè)DH=BH=EH=a,

*：DH//AB

?DHJHg

e，AB'CB"CA?

VAD=1,AC=3,

?a_CE+a2,

??瓦■二CE+2a而‘

.?.AB=&,CE=a,

2

t：AB2+BC2=AC2,

?92s2c52-

a+9a=9,=T

44

2

圖中陰影部分的面積4x|aX3a-{x2aXa=|a=l.

解法二：將△￡>反：繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△￡>87.

5：/EC

,f?

；NDEC=NDBT=135°,ZABD=45°,

；.NABD+NDBT=180°,

：.A,B,T共線，

圖中陰影部分的面積=S”DT=工XA￡)XD7=1.

2

故答案為：1.

A

D

上I\

BHEC

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形面積的計(jì)算，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)

鍵是用“來表示出直角邊AB,BC的長(zhǎng).

18.（2021?陜西）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽巧妙地用“弦圖”證明了勾股定理，標(biāo)志著中國(guó)古代

的數(shù)學(xué)成就.如圖所示的“弦圖”，是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的一個(gè)小正方形拼

成的一個(gè)大正方形.直角三角形的斜邊長(zhǎng)為13,一條直角邊長(zhǎng)為12,則小正方形ABCQ

的面積的大小為49.

【考點(diǎn)】勾股定理的證明：數(shù)學(xué)常識(shí)；全等圖形.

【專題】等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力；應(yīng)用意識(shí).

【分析】首先利用勾股定理求得另一直角邊的長(zhǎng)度，然后結(jié)合圖形求得小正方形的邊長(zhǎng),

易得小正方形的面積.

【解答】解：根據(jù)勾股定理，得4尸=屈%^=五￡?^=5?

所以AB=12-5=7.

所以正方形ABC。的面積為：7X7=49.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用勾股定理求得直角三角形

的另一直角邊的長(zhǎng)度.

19.（2017?陜西）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD,NBAD=NBCD=9G：連接AC.若

AC=6,則四邊形ABCQ的面積為18.

【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì).

【分析】作輔助線：證明△ABM名△AON,得至ljAAf=AM與△AON的面積相等;

求出正方形AMCN的面積即可解決問題.

【解答】解：如圖，作AMLBC、ANLCD,交CO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N；

■:NBAD=NBCD=90°

四邊形AMC7V為矩形，NMAN=90°；

；NBAD=90°,

:.NBAM=NDAN；

在△A8M與△ADV中，

，ZBAM=ZDAN

<ZAMB=ZAND-

AB=AD

:.AABM@AADN(A4S),

，AM=AN(設(shè)為人)；/XABM與△AON的面積相等；

四邊形ABCD的面積=正方形AMCN的面積；

由勾股定理得：AC2=AM2+MC1,而4c=6；

A2A2=36,入2=18,

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定及其性質(zhì)、正方形的判定及其性質(zhì)等幾何知

識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形和正方形.

20.（2018?陜西）如圖，在矩形ABCD中，AB=3,AO=4,連接AC,。是AC的中點(diǎn)，M

是AQ上一點(diǎn)，且MO=1,P是BC上一動(dòng)點(diǎn)，則尸M-P。的最大值為文亙.

—2—

【考點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系；矩形的性質(zhì).

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；推理能力.

【分析】連接MO并延長(zhǎng)交8c于P,則此時(shí)，PM-PO的值最大，且PM-P。的最大

值=OM,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AM=CP=3,OM=OP,求得PB=\,過M作

MNLBC于N,得到四邊形MNC。是矩形，得到MN=CD,CN=DM,根據(jù)勾股定理即

可得到結(jié)論.

【解答】解：：在矩形ABC。中，4。=4,MD=\,

：.AM=3,

連接MO并延長(zhǎng)交BC于P,

則此時(shí)，PM-P。的值最大，且PM-PO的最大值=OM,

'：AM//CP,

：.ZMAO^ZPCO,

VZAOM=ZCOP,AO=CO,

.,.△AOM絲△COP（ASA）,

；.AM=CP=3,OM=OP,

：.PB=\,

過M作MN1.BC于N,

四邊形MNCZ）是矩形，

:.MN=CD,CN=DM,

:.PN=4-1-1=2,

??MP={§2+2

。仞=?1,

2

故答案為：巫.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問題，矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判

定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

三.解答題（共3小題）

21.（2021?陜西）如圖，ZA=ZBCD,CA=C￡>,點(diǎn)E在BC上，J!LDE//AB,求證：AB

=EC.

【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì).

【專題】證明題；圖形的全等；推理能力.

【分析】由平行線的性質(zhì)得出/ABC,證明△48C絲△CEO（AAS）,由全等三

角形的性質(zhì)得出結(jié)論AB=EC.

【解答】證明：'：DE//AB,

：.NDEC=ZABC,

在△ABC和△CEO中，

，ZA=ZECD

-ZABC=ZDEC-

CA=CD

:.△ABC^XCED（AAS）,

；.AB=EC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，證明△ABCWaCE。是

解題的關(guān)鍵.

22.（2020?陜西）如圖所示，小明家與小華家住在同一棟樓的同一單元，他倆想測(cè)算所住樓

對(duì)面商業(yè)大廈的高他倆在小明家的窗臺(tái)B處，測(cè)得商業(yè)大廈頂部N的仰角N1的

度數(shù)，由于樓下植物的遮擋，不能在8處測(cè)得商業(yè)大廈底部M的俯角的度數(shù).于是，他

倆上樓來到小華家，在窗臺(tái)C處測(cè)得大廈底部M的俯角N2的度數(shù)，竟然發(fā)現(xiàn)/I與N2

恰好相等.已知A,B,C三點(diǎn)共線，CALAM,NMLAM,AB=31M,8c=18機(jī)，試求

商業(yè)大廈的高M(jìn)N.

【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì).

【專題】應(yīng)用題；解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力；推理能力.

【分析】過點(diǎn)C作CELMN于點(diǎn)E,過點(diǎn)8作于點(diǎn)尸，可得四邊形AMEC和四

邊形AMF8均為矩形，可以證明△BEVgZXCEM,得NF=EM=49,進(jìn)而可得商業(yè)大廈

的高M(jìn)N.

【解答】解：如圖，過點(diǎn)C作CELMN于點(diǎn)E,過點(diǎn)8作于點(diǎn)F,

:.NCEF=NBFE=9()°,

VCA1AM,NMLAM,

：.四邊形AMEC和四邊形AMFB均為矩形,

：.CE=BF,ME=AC,

VZ1=Z2,

也△CEM(ASA),

；.NF=EM=31+18=49，*,

由矩形性質(zhì)可知：EF=CB=lSm,

:.MN=NF+EM-EF=49+49-18=80Cm）.

答：商業(yè)大廈的高M(jìn)N為80%

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握仰角俯角定義,

構(gòu)造全等三角形解決問題.

23.（2018?陜西）如圖，AB//CD,E、尸分別為AB、C。上的點(diǎn)，HEC//BF,連接A。,

分別與EC、8F相交于點(diǎn)G,H,若AB=C￡）,求證：AG^DH.

【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì).

【專題】證明題；圖形的全等.

【分析】由AB〃C￡＞、EC〃BF知四邊形BFCE是平行四邊形、ZA=ZD,從而得出N

AEG=NDFH、BE=CF,結(jié)合AB=C。知AE=Z）F,根據(jù)ASA可得aAEG0△。/H,據(jù)

此即可得證.

【解答】證明：EC//BF,

...四邊形BFCE是平行四邊形，ZA=ZD,

:./BEC=NBFC,BE=CF,

：.NAEG=ZDFH,

'：AB=CD,

：.AE=DF,

在aAEG和△。尸H中，

'NA=ND

AE=DF，

ZAEG=ZDFH

.'.△AEG之（ASA）,

：.AG=DH.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)與平

行四邊形的判定與性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì).

考點(diǎn)卡片

1.數(shù)學(xué)常識(shí)

數(shù)學(xué)常識(shí)

此類問題要結(jié)合實(shí)際問題來解決，生活中的一些數(shù)學(xué)常識(shí)要了解.比如給出一個(gè)物體的高度

要會(huì)選擇它合適的單位長(zhǎng)度等等.

平時(shí)要注意多觀察，留意身邊的小知識(shí).

2.角平分線的定義

（1）角平分線的定義

從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線叫做這個(gè)角的平分線.

（2）性質(zhì)：若0c是NAOB的平分線

則/A0C=或/AOB=2NAOC=2/BOC.

（3）平分角的方法有很多，如度量法、折疊法、尺規(guī)作圖法等，要注意積累，多動(dòng)手實(shí)踐.

3.余角和補(bǔ)角

（1）余角：如果兩個(gè)角的和等于90°（直角），就說這兩個(gè)角互為余角.即其中一個(gè)角是

另一個(gè)角的余角.

（2）補(bǔ)角：如果兩個(gè)角的和等于180°（平角），就說這兩個(gè)角互為補(bǔ)角.即其中一個(gè)角是

另一個(gè)角的補(bǔ)角.

（3）性質(zhì)：等角的補(bǔ)角相等.等角的余角相等.

（4）余角和補(bǔ)角計(jì)算的應(yīng)用，常常與等式的性質(zhì)、等量代換相關(guān)聯(lián).

注意：余角（補(bǔ)角）與這兩個(gè)角的位置沒有關(guān)系.不論這兩個(gè)角在哪兒，只要度數(shù)之和滿足

了定義，則它們就具備相應(yīng)的關(guān)系.

4.垂線

（1）垂線的定義

當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說這兩條直線互相垂直，其中一條

直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足.

（2）垂線的性質(zhì)

在平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.

注意：“有且只有”中，“有”指“存在”,“只有”指“唯一”

“過一點(diǎn)”的點(diǎn)在直線上或直線外都可以.

5.平行線的性質(zhì)

1、平行線性質(zhì)定理

定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等.簡(jiǎn)單說成：兩直線平行，同位角

相等.

定理2：兩條平行線被地三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)..簡(jiǎn)單說成：兩直線平行，同旁

內(nèi)角互補(bǔ).

定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等.簡(jiǎn)單說成：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角

相等.

2、兩條平行線之間的距離處處相等.

6.三角形的面積

（1）三角形的面積等于底邊長(zhǎng)與高線乘積的一半，即必=上X底X高.

2

（2）三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分.

7.三角形的重心

（1）三角形的重心是三角形三邊中線的交點(diǎn).

（2）重心的性質(zhì)：

①重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1.

②重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等.

③重心到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離的和最小.（等邊三角形）

8.三角形三邊關(guān)系

（1）三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊.

（2）在運(yùn)用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時(shí)并不一定要列出三個(gè)不等式，

只要兩條較短的線段長(zhǎng)度之和大于第三條線段的長(zhǎng)度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角

形.

（3）三角形的兩邊差小于第三邊.

（4）在涉及三角形的邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)的計(jì)算時(shí)，注意最后要用三邊關(guān)系去檢驗(yàn)，這是一個(gè)隱微

的定時(shí)炸彈，容易忽略.

9.三角形內(nèi)角和定理

（1）三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角.每個(gè)三角形都有三個(gè)內(nèi)角，且

每個(gè)內(nèi)角均大于0°且小于180°.

（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°.

（3）三角形內(nèi)角和定理的證明

證明方法，不唯一，但其思路都是設(shè)法將三角形的三個(gè)內(nèi)角移到一起，組合成一個(gè)平角.在

轉(zhuǎn)化中借助平行線.

（4）三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用

主要用在求三角形中角的度數(shù).①直接根據(jù)兩已知角求第三個(gè)角；②依據(jù)三角形中角的關(guān)系，

用代數(shù)方法求三個(gè)角；③在直角三角形中，己知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角.

10.三角形的外角性質(zhì)

（1）三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做三角形的外角.

三角形共有六個(gè)外角，其中有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)相等，因此共有三對(duì).

（2）三角形的外角性質(zhì)：

①三角形的外角和為360°.

②三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

③三角形的一個(gè)外角大于和它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角.

（3）若研究的角比較多，要設(shè)法利用三角形的外角性質(zhì)②將它們轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中去.

（4）探究角度之間的不等關(guān)系，多用外角的性質(zhì)③，先從最大角開始，觀察它是哪個(gè)三角

形的外角.

11.全等圖形

（1）全等形的概念

能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形.

（2）全等三角形

能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形.

（3）三角形全等的符號(hào)

“全等”用符號(hào)“且”表示.注意：在記兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)寫在對(duì)應(yīng)位置

上.

（4）對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角

把兩個(gè)全等三角形重合到一起，重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)；重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊；重合的角

叫做對(duì)應(yīng)角.

12.全等三角形的判定與性質(zhì)

（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.在判定三

角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件.

（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔

助線構(gòu)造三角形.

13.全等三角形的應(yīng)用

（1）全等三角形的性質(zhì)與判定綜合應(yīng)用

用全等尋找下一個(gè)全等三角形的條件，全等的性質(zhì)和判定往往是綜合在一起應(yīng)用的，這需要

認(rèn)真分析題目的已知和求證，分清問題中已知的線段和角與所證明的線段或角之間的聯(lián)系.

（2）作輔助線構(gòu)造全等三角形

常見的輔助線做法：①把三角形一邊的中線延長(zhǎng)，把分散條件集中到同一個(gè)三角形中是解決

中線問題的基本規(guī)律.②證明一條線段等于兩條線段的和，可采用“截長(zhǎng)法”或“補(bǔ)短法”,

這些問題經(jīng)常用到全等三角形來證明.

（3）全等三角形在實(shí)際問題中的應(yīng)用

一般方法是把實(shí)際問題先轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再轉(zhuǎn)化為三角形問題，其中，畫出示意圖，把已

知條件轉(zhuǎn)化為三角形中的邊角關(guān)系是關(guān)鍵.

14.角平分線的性質(zhì)

角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.

注意：①這里的距離是指點(diǎn)到角的兩邊垂線段的長(zhǎng)：②該性質(zhì)可以獨(dú)立作為證明兩條線段相

等的依據(jù)，有時(shí)不必證明全等；③使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分

線的性質(zhì)語言：如圖，在/40B的平分線上，CDLOA,CELOB：.CD=CE

15.線段垂直平分線的性質(zhì)

（1）定義：經(jīng)過某一條線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平

分線（中垂線）垂直平分線，簡(jiǎn)稱“中垂線”.

(2)性質(zhì)：①垂直平分線垂直且平分其所在線段.—②垂直平分線上任意一點(diǎn)，到

線段兩端點(diǎn)的距離相等.一③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫外心，

并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.

16.等邊三角形的判定與性質(zhì)

(1)等邊三角形是一個(gè)非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關(guān)角的計(jì)算奠定了基礎(chǔ),

它的邊角性質(zhì)為證明線段、角相等提供了便利條件.同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形,

同樣具備三線合一的性質(zhì)，解題時(shí)要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應(yīng)用.

(2)等邊三角形的特性如：三邊相等、有三條對(duì)稱軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成

含有30°角的直角三角形、連接三邊中點(diǎn)可以把等邊三