2023-2024學(xué)年重慶市高一數(shù)學(xué)下學(xué)期第二次質(zhì)量監(jiān)測試卷附答案解析

-2024學(xué)年重慶市高一數(shù)學(xué)下學(xué)期第二次質(zhì)量監(jiān)測試卷（數(shù)學(xué)試卷共4頁，考試時(shí)間120分鐘，滿分150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．寫在本試卷上無效．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．在中，已知，則（

）A． B．2 C． D．3．已知平面向量，滿足，，，則（

）A．2 B．4 C． D．4．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B，C三點(diǎn)滿足，則（

）A． B． C． D．5．要得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（

）A．向右平移個(gè)單位長度 B．向左平移個(gè)單位長度C．向右平移個(gè)單位長度 D．向左平移個(gè)單位長度6．若用平行于某圓錐底的平面去截該圓錐，得到的小圓錐與圓臺(tái)的母線長相等，則該小圓錐與該圓臺(tái)的側(cè)面積的比值為（

）A． B． C． D．7．鎮(zhèn)國寺塔亦稱西塔，是一座方形七層樓閣式磚塔，頂端塔剎為一青銅鑄葫蘆，葫蘆表面刻有“風(fēng)調(diào)雨順?國泰民安”八個(gè)字，是全國重點(diǎn)文物保護(hù)單位?國家3A級(jí)旅游景區(qū)，小胡同學(xué)想知道鎮(zhèn)國寺塔的高度MN，他在塔的正北方向找到一座建筑物AB，高為7.5，在地面上點(diǎn)C處（B，C，N在同一水平面上且三點(diǎn)共線）測得建筑物頂部A，鎮(zhèn)國寺塔頂部M的仰角分別為15°和60°，在A處測得鎮(zhèn)國寺塔頂部M的仰角為30°，則鎮(zhèn)國寺塔的高度約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）

A． B． C． D．8．已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題：本題共3題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．下面關(guān)于空間幾何體敘述正確的是（）A．底面是正多邊形的棱錐是正棱錐B．有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)C．正四棱柱都是長方體D．直角三角形以其直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓錐10．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．函數(shù)的最小正周期為B．函數(shù)是偶函數(shù)C．點(diǎn)是圖象的一個(gè)對稱中心D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增11．中，下列說法正確的是（

）A．若，則為銳角三角形．B．若，則點(diǎn)的軌跡一定通過的內(nèi)心．C．若為重心，則D．若點(diǎn)滿足，則三．填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知，，，，則.13．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》，將底面為矩形且有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為“陽馬”．如圖所示，在長方體中，已知，．該“陽馬”的外接球的表面積．14．已知是邊長為的正三角形，點(diǎn)P是的外接圓上一點(diǎn)，則的最大值是．四．解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15．已知是夾角為的兩個(gè)單位向量，.(1)求的值；(2)求與的夾角的余弦值．16．用斜二測畫法畫一個(gè)水平放置的平面圖形ABCD，其直觀圖如圖所示，已知，，，且．(1)求原平面圖形ABCD的面積；(2)將原平面圖形ABCD繞BC旋轉(zhuǎn)一周，求所形成的幾何體的體積．17．已知向量，函數(shù)(1)若，且，求的值(2)如，，求的值18．在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解答問題．已知a，b，c是的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊，且______．(1)求；(2)若，求的周長的取值范圍．19．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，對于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的伴隨向量，同時(shí)稱函數(shù)為向量的伴隨函數(shù).(1)設(shè)函數(shù)，試求的伴隨向量；(2)記向量的伴隨函數(shù)為，求當(dāng)且時(shí)，的值；(3)已知將（2）中的函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，再把整個(gè)圖象向右平移個(gè)單位長度得到的圖象，若存在，使成立，求a的取值范圍.1．B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可得答案.【詳解】由題意，故復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，故選：B2．C【分析】由題意求出A，結(jié)合正弦定理計(jì)算即可求解.【詳解】由，得，又，由正弦定理，得，所以.故選：C3．A【分析】由求解.【詳解】解：因?yàn)?，滿足，，，所以，，所以，故選：A4．B【分析】由已知可得，，可求.【詳解】由，有，即，則，所以.故選：B5．A【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡得到，然后根據(jù)圖象的平移變換判斷即可.【詳解】，，，所以的圖象向右平移得到的圖象.故選：A.6．B【分析】設(shè)該圓錐的底面半徑為，母線長為，利用圓錐側(cè)面的面積公式：即可求解.【詳解】設(shè)該圓錐的底面半徑為，母線長為，則該圓錐的側(cè)面積，截得的小圓錐的底面半徑為，母線長為，其側(cè)面積，而圓臺(tái)的側(cè)面積．故兩者側(cè)面積的比值．故選：B7．C【分析】由已知，在中應(yīng)用正弦定理得，再由倍角余弦公式求，進(jìn)而求鎮(zhèn)國寺塔的高度.【詳解】在中，則，所以，而，，所以，又，則.故選：C8．A【分析】由題意首先得函數(shù)在區(qū)間上的兩個(gè)零點(diǎn)只能是，由此即可進(jìn)一步列出不等式組求解.【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)在區(qū)間有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，則這兩個(gè)零點(diǎn)只能是，則當(dāng)時(shí)，，解得.故選：A.9．CD【分析】由正棱錐的定義判斷A，由棱臺(tái)的定義判斷B，由正四棱柱的定義判斷C，由圓錐的定義判斷D.【詳解】對于A，底面是正多邊形且頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影為底面中心的棱錐是正棱錐，故A錯(cuò)誤；對于B，將兩個(gè)相同的棱臺(tái)的底面重合得到的多面體滿足有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是梯形，但是這樣的多面體不是棱臺(tái)，故B錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)檎睦庵堑酌鏋檎叫蔚闹崩庵?，所以正四棱柱都是長方體，故C正確；對于D，根據(jù)圓錐的定義可知D正確.故選：CD10．AC【分析】根據(jù)給定的函數(shù)圖象，求出的解析式，再逐項(xiàng)判斷得解.【詳解】觀察函數(shù)圖象，，函數(shù)的周期，，又，則，而，于是，，對于A，函數(shù)的最小正周期為，A正確；對于B，，函數(shù)不是偶函數(shù)，B錯(cuò)誤；對于C，，因此點(diǎn)是圖象的一個(gè)對稱中心，C正確；對于D，當(dāng)時(shí)，，而當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，因此函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，D錯(cuò)誤.故選：AC11．BCD【分析】根據(jù)可確定角為銳角，但不一定為銳角三角形，可判定A；根據(jù)單位向量、共線向量的概念可判斷B；根據(jù)向量的加法運(yùn)算可確定C；根據(jù)向量的數(shù)量積以及向量模的運(yùn)算可確定D．【詳解】選項(xiàng)A：若，則，因此角為銳角，但不一定為銳角三角形，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：因?yàn)榉謩e表示方向上的單位向量，所以的方向與的角平分線一致．若，則的方向與的角平分線一致，所以點(diǎn)的軌跡一定通過的內(nèi)心，故B正確；選項(xiàng)C：若為的重心，設(shè)邊的中點(diǎn)為，則，故C正確；

選項(xiàng)D：設(shè)的中點(diǎn)為，若點(diǎn)滿足，則點(diǎn)為外心，于是有．又，則，故D正確．

故選：BCD．12．【分析】根據(jù)給定條件，利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，垂直關(guān)系的坐標(biāo)表示求解即得.【詳解】由，，得，而，且，因此，解得，即，所以.故答案為：13．【分析】根據(jù)長方體的外接球即為四棱錐的外接球，長方體的對角線就是外接球的直徑，結(jié)合球體的表面積公式求解.【詳解】長方體的外接球即為四棱錐的外接球，因?yàn)椋?長方體的對角線長為，則長方體的外接球的半徑，該“陽馬”外接球的表面積為.故答案為：14．2【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn),,,的坐標(biāo)，求出的坐標(biāo)，利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示和輔助角公式求得為關(guān)于的三角函數(shù)，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】以外接圓圓心為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，因?yàn)榈冗叺倪呴L為，則，設(shè)，則，，所以，，因?yàn)?，所以所以的最大值?．故答案為：215．(1)(2)【分析】（1）由題意，根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義可得，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律和向量的幾何意義計(jì)算求出，結(jié)合數(shù)量積的定義計(jì)算即可求解.【詳解】（1）由題意知，，所以；（2）由題意得，，，由（1）知，所以，所以，即與的夾角的余弦值為.16．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)直觀圖還原平面圖形ABCD為一個(gè)直角梯形，再利用直角梯形的面積公式求解；（2）將原平面圖形ABCD繞BC旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體是一個(gè)圓柱挖去一個(gè)圓錐，再結(jié)合圓柱和圓錐的體積公式求解．【詳解】（1）還原平面圖形ABCD，如圖，因?yàn)?，，，且，所以，，，且，，原平面圖形ABCD為直角梯形，故；（2）將原平面圖形ABCD繞BC旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體是一個(gè)圓柱挖去一個(gè)圓錐，如圖，其中圓柱的底面半徑為3，高為6，圓錐的底面半徑為3，高為4，母線長為5，所以幾何體的體積為17．(1)(2)【分析】（1）由及數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得到，從而得到，即可求解；（2）由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及三角恒等變換化簡得到，由題意求得，，利用基本關(guān)系式，求得的值，結(jié)合兩角和的余弦公式，即可求解.【詳解】（1）由題意，向量，，函數(shù)，因?yàn)?，即，可得，所以，又因?yàn)?，則，可得，所以.（2）由，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，可得，，所?18．(1)(2)【分析】（1）選①，根據(jù)題意，利用正弦定理得到，利用余弦定理求得，即可求解；選②，根據(jù)題意，化簡得到，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；選③，根據(jù)題意和正弦定理得得到，求得，即可求解；（2）由題意，得到，求得周長，化簡得到，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）解：選①，由，可得，因?yàn)榧罢叶ɡ?，可得，所以，整理得，則，因?yàn)?，所以．選②，由，可得，即，因?yàn)?，可得，所以，即．選③，由，由正弦定理得，即，即，整理得，因?yàn)椋?，可得，即，因?yàn)?，所以．?）解：由，，可得，所以周長，又由，可得，又因?yàn)?，可得，所以，所以，所以的周長的取值范圍為.19．(1)(2)(3)【分析】（1）利用三角函數(shù)恒等變換公式對函數(shù)化簡變形，然后由函數(shù)的伴隨向量的定義可求得結(jié)果，（2）由定義求出，由得，再由同角三角函數(shù)的關(guān)系可求得，然后由化簡可得答案，（3）先利用三角函數(shù)圖象變換規(guī)律求出，由可求得，令，則可化為，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)討論可求得結(jié)果.【詳解】（1），所以.（2）依題意，由得，，所以，所以.（3）將圖象上各點(diǎn)的橫