信號(hào)與系統(tǒng)課件(鄭君里版)第3章

第三章傅里葉變換

§3.1引言

§3.2周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析

§3.3典型周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)

§3.4傅里葉變換

§3.5典型非周期信號(hào)的傅里葉變換

§3.6沖激函數(shù)和階躍函數(shù)的傅里葉變換§3.7傅里葉變換的基本性質(zhì)

§3.8卷積特性（卷積定理）

§3.9周期信號(hào)的傅里葉變換

§3.10抽樣信號(hào)的傅里葉變換

§3.11抽樣定理頻域分析從本章開始由時(shí)域轉(zhuǎn)入變換域分析，首先討論傅里葉變換。傅里葉變換是在傅里葉級(jí)數(shù)正交函數(shù)展開的基礎(chǔ)上發(fā)展而產(chǎn)生的，這方面的問題也稱為傅里葉分析（頻域分析）。將信號(hào)進(jìn)行正交分解，即分解為三角函數(shù)或復(fù)指數(shù)函數(shù)的組合。頻域分析將時(shí)間變量變換成頻率變量，揭示了信號(hào)內(nèi)在的頻率特性以及信號(hào)時(shí)間特性與其頻率特性之間的密切關(guān)系，從而導(dǎo)出了信號(hào)的頻譜、帶寬以及濾波、調(diào)制和頻分復(fù)用等重要概念?！?.1引言時(shí)域分析：信號(hào)或者系統(tǒng)模型的自變量為時(shí)間（t） 變換域分析：自變量為其他物理量頻域分析：自變量為頻率。相互關(guān)系密切發(fā)展歷史1822年，法國(guó)數(shù)學(xué)家傅里葉(J.Fourier,1768-1830)在研究熱傳導(dǎo)理論時(shí)發(fā)表了“熱的分析理論”，提出并證明了將周期函數(shù)展開為正弦級(jí)數(shù)的原理，奠定了傅里葉級(jí)數(shù)的理論基礎(chǔ)。泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把這一成果應(yīng)用到電學(xué)中去，得到廣泛應(yīng)用。19世紀(jì)末，人們制造出用于工程實(shí)際的電容器。進(jìn)入20世紀(jì)以后，諧振電路、濾波器、正弦振蕩器等一系列具體問題的解決為正弦函數(shù)與傅里葉分析的進(jìn)一步應(yīng)用開辟了廣闊的前景。在通信與控制系統(tǒng)的理論研究和工程實(shí)際應(yīng)用中，傅里葉變換法具有很多的優(yōu)點(diǎn)?！癋FT”快速傅里葉變換為傅里葉分析法賦予了新的生命力。主要內(nèi)容本章從傅里葉級(jí)數(shù)正交函數(shù)展開問題開始討論，引出傅里葉變換，建立信號(hào)頻譜的概念。通過典型信號(hào)頻譜以及傅里葉變換性質(zhì)的研究，初步掌握傅里葉分析方法的應(yīng)用。對(duì)于周期信號(hào)而言，在進(jìn)行頻譜分析時(shí)，可以利用傅里葉級(jí)數(shù)，也可以利用傅里葉變換，傅里葉級(jí)數(shù)相當(dāng)于傅里葉變換的一種特殊表達(dá)形式。本章最后研究抽樣信號(hào)的傅里葉變換，引入抽樣定理。線性時(shí)不變（LTI)系統(tǒng)分析方法基本思路：已知一些基本信號(hào)，將任意一個(gè)信號(hào)e(t)（或者我們需要研究的信號(hào)）用一個(gè)基本信號(hào)的線性組合來表示（信號(hào)分解），如果已知基本信號(hào)通過LTI系統(tǒng)的響應(yīng)r(t)，那么任意信號(hào)通過系統(tǒng)的響應(yīng)就可以用r(t)的線性組合來表示。這些基本信號(hào)應(yīng)該具備下列性質(zhì)：

1、由這類基本信號(hào)能構(gòu)成相當(dāng)廣泛的一類信號(hào)

2、LTI系統(tǒng)對(duì)每一個(gè)基本信號(hào)的響應(yīng)，在結(jié)構(gòu)上因該十分簡(jiǎn)單，以便使系統(tǒng)對(duì)任意輸入的響應(yīng)有一個(gè)方便的表達(dá)式?！?.2周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)分析主要內(nèi)容三角函數(shù)形式的傅氏級(jí)數(shù)指數(shù)函數(shù)形式的傅氏級(jí)數(shù)兩種傅氏級(jí)數(shù)的關(guān)系頻譜圖函數(shù)的對(duì)稱性與傅里葉級(jí)數(shù)的關(guān)系周期信號(hào)的功率傅里葉有限級(jí)數(shù)與最小方均誤差一．三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)

是一個(gè)完備的正交函數(shù)集t在一個(gè)周期內(nèi)，n=0,1,...

由積分可知1.三角函數(shù)集2．級(jí)數(shù)形式在滿足狄氏條件時(shí)，可展成直流分量余弦分量的幅度正弦分量的幅度稱為三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)，其系數(shù)其他形式余弦形式正弦形式幅度頻率特性和相位頻率特性關(guān)系曲線稱為幅度頻譜圖；關(guān)系曲線稱為相位頻譜圖?？僧嫵鲱l譜圖。周期信號(hào)頻譜具有離散性、諧波性、收斂性。

頻譜圖幅度頻譜相位頻譜離散譜，譜線二．指數(shù)函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)1．復(fù)指數(shù)正交函數(shù)集2．級(jí)數(shù)形式3．系數(shù)利用復(fù)變函數(shù)的正交特性說明三．兩種系數(shù)之間的關(guān)系及頻譜圖利用歐拉公式幅頻特性和相頻特性相頻特性幅頻特性四．總結(jié)（1）周期信號(hào)f(t)的傅里葉級(jí)數(shù)有兩種形式（3）周期信號(hào)的頻譜是離散譜，三個(gè)性質(zhì)（2）兩種頻譜圖的關(guān)系（4）引入負(fù)頻率五．周期信號(hào)的功率這是帕塞瓦爾定理在傅里葉級(jí)數(shù)情況下的具體體現(xiàn);表明：周期信號(hào)平均功率=直流、基波及各次諧波分量有效值的平方和；也就是說，時(shí)域和頻域的能量是守恒的。

繪成的線狀圖形，表示各次諧波的平均功率隨頻率分布的情況，稱為功率譜系數(shù)。證明對(duì)于三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)平均功率

對(duì)于指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)總平均功率=各次諧波的平均功率之和§3.3典型周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)主要內(nèi)容本節(jié)以周期矩形脈沖信號(hào)為例進(jìn)行分析主要討論：頻譜的特點(diǎn)，頻譜結(jié)構(gòu)，

頻帶寬度，能量分布。其他信號(hào)，如周期鋸齒脈沖信號(hào)周期三角脈沖信號(hào)周期半波余弦信號(hào)周期全波余弦信號(hào)一．頻譜結(jié)構(gòu)三角函數(shù)形式的譜系數(shù)指數(shù)函數(shù)形式的譜系數(shù)頻譜特點(diǎn)1．三角形式的譜系數(shù)

是個(gè)偶函數(shù)2．指數(shù)形式的譜系數(shù)3．頻譜及其特點(diǎn)(1)包絡(luò)線形狀：抽樣函數(shù)(3)離散譜（諧波性）4．總結(jié)

矩形脈沖的頻譜說明了周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)：離散性、諧波性、收斂性。二．頻帶寬度1.問題提出第一個(gè)零點(diǎn)集中了信號(hào)絕大部分能量（平均功率）由頻譜的收斂性可知，信號(hào)的功率集中在低頻段。2．頻帶寬度在滿足一定失真條件下，信號(hào)可以用某段頻率范圍的信號(hào)來表示，此頻率范圍稱為頻帶寬度。一般把第一個(gè)零點(diǎn)作為信號(hào)的頻帶寬度。記為：

語(yǔ)音信號(hào) 頻率大約為 300~3400Hz，音樂信號(hào) 50~15,000Hz，擴(kuò)音器與揚(yáng)聲器有效帶寬約為15~20,000Hz。3．系統(tǒng)的通頻帶>信號(hào)的帶寬，才能不失真§3.4傅里葉變換傅里葉變換傅里葉變換的表示傅里葉變換的物理意義傅里葉變換存在的條件一．傅里葉變換：周期信號(hào)非周期信號(hào)連續(xù)譜，幅度無限?。浑x散譜1.引出0再用表示頻譜就不合適了，雖然各頻譜幅度無限小，但相對(duì)大小仍有區(qū)別，引入頻譜密度函數(shù)。0（1）頻譜密度函數(shù)簡(jiǎn)稱頻譜函數(shù)單位頻帶上的頻譜值頻譜密度函數(shù)的表示2．反變換由復(fù)指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)3．傅里葉變換對(duì)二．傅里葉變換的表示歐拉公式實(shí)部虛部實(shí)部虛部模相位實(shí)信號(hào)偶分量奇分量三．傅里葉變換的物理意義實(shí)函數(shù)歐拉公式積分為0解釋

求和振幅正弦信號(hào)四．傅里葉變換存在的條件所有能量信號(hào)均滿足此條件?！?.5典型非周期信號(hào)的

傅里葉變換矩形脈沖單邊指數(shù)信號(hào)直流信號(hào)符號(hào)函數(shù)升余弦脈沖信號(hào)一．矩形脈沖信號(hào)幅度頻譜：相位頻譜：t0頻寬：二．單邊指數(shù)信號(hào)頻譜圖幅度頻譜：相位頻譜：三．直流信號(hào)不滿足絕對(duì)可積條件，不能直接用定義求四．符號(hào)函數(shù)處理方法：tea-tea-做一個(gè)雙邊函數(shù)不滿足絕對(duì)可積條件五．升余弦脈沖信號(hào)§3.6沖激函數(shù)和階躍函數(shù)的傅里葉變換沖激函數(shù)沖激偶單位階躍函數(shù)一．沖激函數(shù)沖激函數(shù)積分是有限值，可以用公式求。而u(t)不滿足絕對(duì)可積條件，不能用定義求。比較二．沖激偶的傅里葉變換三．單位階躍函數(shù)§3.7傅里葉變換的

基本性質(zhì)主要內(nèi)容對(duì)稱性質(zhì)

線性性質(zhì)奇偶虛實(shí)性

尺度變換性質(zhì)時(shí)移特性

頻移特性

微分性質(zhì)

時(shí)域積分性質(zhì)意義

傅里葉變換具有唯一性。傅氏變換的性質(zhì)揭示了信號(hào)的時(shí)域特性和頻域特性之間的確定的內(nèi)在聯(lián)系。討論傅里葉變換的性質(zhì)，目的在于：了解特性的內(nèi)在聯(lián)系；用性質(zhì)求F(ω)；了解在通信系統(tǒng)領(lǐng)域中的應(yīng)用。一．對(duì)稱性質(zhì)1．性質(zhì)2．意義57例：直接定義求解？？？直接定義求解二．線性性質(zhì)1．性質(zhì)2．例三．奇偶虛實(shí)性設(shè)f(t)是實(shí)函數(shù)（為虛函數(shù)或復(fù)函數(shù)情況相似，略）顯然四．尺度變換性質(zhì)意義(1)

0<a<1時(shí)域擴(kuò)展，頻帶壓縮。(2)a>1時(shí)域壓縮，頻域擴(kuò)展a倍。a是非零常數(shù)尺度變換性質(zhì)證明綜合上述兩種情況因?yàn)?1)

0<a<1時(shí)域擴(kuò)展，頻帶壓縮。脈沖持續(xù)時(shí)間增加a倍，變化慢了，信號(hào)在頻域的頻帶壓縮a倍。高頻分量減少，幅度上升a倍。持續(xù)時(shí)間短，變化快。信號(hào)在頻域高頻分量增加，頻帶展寬，各分量的幅度下降a倍。此例說明：信號(hào)的持續(xù)時(shí)間與信號(hào)占有頻帶成反比，有時(shí)為加速信號(hào)的傳遞，要將信號(hào)持續(xù)時(shí)間壓縮，則要以展開頻帶為代價(jià)。（2）a>1時(shí)域壓縮，頻域擴(kuò)展a倍。五．時(shí)移特性幅度頻譜無變化，只影響相位頻譜，時(shí)移加尺度變換例：求圖(a)所示三脈沖信號(hào)的頻譜。解：因?yàn)槊}沖個(gè)數(shù)增多，頻譜包絡(luò)不變，帶寬不變。()():為的頻譜函數(shù)數(shù)由時(shí)移性質(zhì)知三脈沖函wFtf六．頻移特性2．證明

1．性質(zhì)

3．說明4．應(yīng)用通信中調(diào)制與解調(diào)，頻分復(fù)用。已知矩形調(diào)幅信號(hào)

解：因?yàn)轭l譜圖一個(gè)未經(jīng)調(diào)制的高頻正弦信號(hào)為：振幅載頻相位均為常數(shù)載波調(diào)幅載波振幅隨調(diào)制信號(hào)的變化規(guī)律而變。調(diào)相載波相位隨調(diào)制信號(hào)的變化規(guī)律而變。調(diào)頻載波頻率隨調(diào)制信號(hào)的變化規(guī)律而變。脈沖調(diào)制經(jīng)調(diào)制后的高頻振蕩信號(hào)叫已調(diào)波（調(diào)幅波、調(diào)頻波、調(diào)相波和脈沖調(diào)制波），調(diào)頻和調(diào)相均表現(xiàn)為總相角受到調(diào)變，因此統(tǒng)稱為調(diào)角。二、調(diào)幅波其中是調(diào)制信號(hào)，K是信號(hào)強(qiáng)度與振幅增量間成比例關(guān)系的系數(shù)振幅按照調(diào)制信號(hào)的規(guī)律變化的高頻振蕩信號(hào)叫調(diào)幅波。調(diào)幅信號(hào)的頻譜（載波技術(shù)）求：的頻譜？

載波頻率頻移特性調(diào)幅信號(hào)都可看成乘積信號(hào)矩形調(diào)幅指數(shù)衰減振蕩三角調(diào)幅求它們的頻譜=？（略）七．微分性質(zhì)時(shí)域微分性質(zhì)頻域微分性質(zhì)或1．時(shí)域微分時(shí)域微分性質(zhì)證明即2．頻域微分性質(zhì)或推廣解：八．時(shí)域積分性質(zhì)也可以記作：§3.8卷積特性（卷積定理）卷積定理卷積定理的應(yīng)用一．卷積定理時(shí)域卷積定理時(shí)域卷積對(duì)應(yīng)頻域頻譜密度函數(shù)乘積。頻域卷積定理卷積定理揭示了時(shí)間域與頻率域的運(yùn)算關(guān)系，在通信系統(tǒng)和信號(hào)處理研究領(lǐng)域中得到大量應(yīng)用。時(shí)域卷積定理的證明因此所以卷積定義時(shí)移性質(zhì)交換積分次序二．應(yīng)用求系統(tǒng)的響應(yīng)。將時(shí)域求響應(yīng)，轉(zhuǎn)化為頻域求響應(yīng)。已知信號(hào)f(t)波形如下，其頻譜密度為F(jω)，不必求出F(jω)的表達(dá)式，試計(jì)算下列值：

令t=0，則則分析：該信號(hào)是一個(gè)截?cái)嗪瘮?shù)，我們既可以把該信號(hào)看成是周期信號(hào)已知信號(hào)求該信號(hào)的傅里葉變換。經(jīng)過門函數(shù)的截取，被信號(hào)調(diào)制所得的信號(hào)。也可以看成是有以下兩種解法:

方法一：利用頻移性質(zhì)方法二：利用頻域卷積定理方法一：利用頻移性質(zhì)利用頻移性質(zhì)：由于利用歐拉公式，將化為虛指數(shù)信號(hào)，就可以看成是門函數(shù)被虛指數(shù)信號(hào)調(diào)制的結(jié)果。在頻域上，就相當(dāng)于對(duì)的頻譜進(jìn)行平移。

又因所以根據(jù)頻移性質(zhì)，可得方法二：用頻域卷積定理將看成是信號(hào)經(jīng)過窗函數(shù)的截取，即時(shí)域中兩信號(hào)相乘根據(jù)頻域卷積定理有Parseval’s定理與能量頻譜從能量的角度來考察信號(hào)時(shí)域和頻域特性間的關(guān)系Parseval’s定理：周期信號(hào)的功率等于該信號(hào)在完備正交函數(shù)集中各分量功率之和。一般非周期信號(hào)屬于能量有限信號(hào)Parseval定理：非周期信號(hào)在時(shí)域中求得的信號(hào)能量等于在頻域中求得的信號(hào)能量?！?.9周期信號(hào)的傅里葉變換主要內(nèi)容正弦信號(hào)的傅里葉變換一般周期信號(hào)的傅里葉變換如何由F0(ω)求F(nω1)單位沖激序列的傅氏變換周期矩形脈沖序列的傅氏變換引言周期信號(hào)：非周期信號(hào)：周期信號(hào)的傅里葉變換如何求？與傅里葉級(jí)數(shù)的關(guān)系？一．正弦信號(hào)的傅里葉變換由歐拉公式由頻移性質(zhì)同理已知頻譜圖二．一般周期信號(hào)的傅里葉變換由傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式出發(fā)：其傅氏變換(用定義)幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)三．如何由求比較式(1),(2)四．周期單位沖激序列的傅里葉變換頻譜五．周期矩形脈沖序列的傅氏變換§3.10