高考數(shù)學(xué)概念、方法、易錯點(diǎn)、題型總結(jié)大全

概念、方法、題型、易誤點(diǎn)及應(yīng)試技巧總結(jié)

基本概念、公式及方法是數(shù)學(xué)解題的基礎(chǔ)工具和基本技能，為此作為臨考前的高三學(xué)生，務(wù)必首先要

掌握高中數(shù)學(xué)中的概念、公式及基本解題方法，其次要熟悉一些基本題型，明確解題中的易誤點(diǎn)，還應(yīng)了

解一些常用結(jié)論，最后還要掌握一些的應(yīng)試技巧。本資料對高中數(shù)學(xué)所涉及到的概念、公式、常見題型、

常用方法和結(jié)論及解題中的易誤點(diǎn)，按章節(jié)進(jìn)行了系統(tǒng)的整理，最后闡述了考試中的一些常用技巧，相信

通過對本資料的認(rèn)真研讀，?定能大幅度地提升高考數(shù)學(xué)成績。

集合與簡易邏輯

集合元素具有確定性、無序性和互異性.在求有關(guān)集合問題時，尤其要注意元素的互異

性，如

(1)設(shè)P、Q為兩個非空實(shí)數(shù)集合,定義集合P+Q={a+blaeP力eQ},若尸={0,2,5},

Q={1,2,6},則P+Q中元素的有個。

(答：8)

(2)設(shè)U={(x,y)IxeeA},A={(x,y)12x—y+機(jī)>0},B={(x,y)Ix+y-n<0},

那么點(diǎn)P(2,3)eAn(C,8)的充要條件是

(答：m>-l,n<5);

⑶非空集合S三{l,2,3,4,5},且滿足“若aeS,則6-aeS"，這樣的S共有個

(答：7)

遇到AnB=0時，你是否注意到“極端”情況：4=0或5=0；同樣當(dāng)AqB時，你

是否忘記A=0的情形？要注意到0是任何集合的子集，是任何非空集合的董子集。如

集合A={xlax-l=0},B={xlx2-3x+2=0},且AUB=B,則實(shí)數(shù)a=—.

(答：a=0,l,-)

2

三.對于含有“個元素的有限集合“，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個數(shù)依次

為2",2"-1,2"-1,2"-2.如

滿足{1,2}括Mq{1,2,3,4,5}集合M有個。

(答:7)

四.集合的運(yùn)算性質(zhì)：

(DAUB=A0B±A；

(2)AnB=BoB=A;

⑶A=8=廨江“B；

(4)API“8=00

(5)QAU8=U=A=B；

(6)Cv(AnB)=CvAUClJB；

(7)CU(A(JB)^CUAQCL,B.

如：設(shè)全集U={123,4,5},若AH8={2},(C")n8={4},(C；A)n(G*)={l,5},則

A=,B=—.

(答：A={2,3},B={2,4})

五.研究集合問題，一定要理解集合的意義一一抓住集合的代表元素。如：{xly=lgx}—函

數(shù)的定義域；{yly=lgx}—函數(shù)的值域；{(x,y)Iy=Igx}—函數(shù)圖象上的點(diǎn)集，如

(1)設(shè)集合M={xly=Jx—2},集合N={yly=x2,xeA/},則MP)N=___

(答：［4,+oo))；

(2)設(shè)集合M={ZlZ=(l,2)+〃3,4),/leR},N={￡I￡=(2,3)+4(4,5),ZeR},則

MnN=

(^：{(-2,-2)))

六.數(shù)軸和韋恩圖是進(jìn)行交、并、補(bǔ)運(yùn)算的有力工具，在具體計(jì)算時不要忘了集合本身和空

集這兩種特殊情況，補(bǔ)集思想常運(yùn)用于解決否定型或正面較復(fù)雜的有關(guān)問題。如：

已知函數(shù)/(x)=4x2—2(p-2)x-2p2-p+l在區(qū)間［—1」上至少存在一個實(shí)數(shù)c,使

/(c)〉0,求實(shí)數(shù)p的取值范圍。

(答：(-3，))

2

七.復(fù)合命題真假的判斷?！盎蛎}”的真假特點(diǎn)是“一真即真，要假全假”；“且命題”的真

假特點(diǎn)是“一假即假，要真全真”；“非命題”的真假特點(diǎn)是“真假相反二如：

在下列說法中：⑴“p且q”為真是“p或4”為真的充分不必要條件；

⑵“p月為假是“p或q”為真的充分不必要條件；

⑶“p或q”為真是“非p”為假的必要不充分條件；

(4)“非p”為真是“p月為假的必要不充分條件。

其中正確的是

(答：(1)(3))

八.四種命題及其相互關(guān)系。若原命題是“若p則q”，則逆命題為“若q則p"；否命題為“若

-p則「q”;逆否命題為“若「q則「p”。

提醒：

(1)互為逆否關(guān)系的命題是等價(jià)命題，即原命題與逆否命題同真、同假；逆命題與否命題同

真同假。但原命題與逆命題、否命題都不等價(jià)；

(2)在寫出一個含有“或”、“且”命題的否命題時，要注意“非或即且，非且即或”；

(3)要注意區(qū)別“否命題”與“命題的否定”：否命題要對命題的條件和結(jié)論都否定，而命

題的否定僅對命題的結(jié)論否定；

(4)對于條件或結(jié)論是不等關(guān)系或否定式的命題，一般利用等價(jià)關(guān)系“AnBoRnN”判斷

其真假，這也是反證法的理論依據(jù)。

(5)哪些命題宜用反證法？

如：

(1)”在aABC中，若NC=90°,則NA、NB都是銳角”的否命題為

(答：在A48C中，若NCH90°,則NA,不都是銳角)；

(2)已知函數(shù)/@)=/+匕,。＞1,證明方程〃x)=o沒有負(fù)數(shù)根。

X+1

九.充要條件。關(guān)鍵是分清條件和結(jié)論(劃主謂賓)，由條件可推出結(jié)論，條件是結(jié)論成立的

充分條件；由結(jié)論可推出條件，則條件是結(jié)論成立的必要條件。從集合角度解釋，若A=

則A是B的充分條件；若BqA,則A是B的必要條件；若人=8,則A是B的充要條

件。如：

(1)給出下列命題：

①實(shí)數(shù)”0是直線ax-2y=1與22y=3平行的充要條件；

②若a,bGR,ab=0是同+網(wǎng)=1成立的充要條件;

(3)已知若xy=0,則x=0或y=0”的逆否命題是“若x。0或y/0則

孫。0”；

④“若。和b都是偶數(shù)，貝Ua+b是偶數(shù)”的否命題是假命題。

其中正確命題的序號是

（答：①④）;

（2）設(shè)命題p：14x-3K1；命題q:廠-（2。+l）x+若np是~iq的必要而不

充分的條件，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是___________

（答：［0,J）

十.一元一次不等式的解法：通過去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)等步驟化為公>8的

Ah

形式，若。>0,貝ijx〉一；若。<0,則xv—；若a=0,貝U當(dāng)<0時，x￡R；當(dāng)。20時，xe0o

aa

如

已知關(guān)于x的不等式（a+/0x+（2a-3b）<0的解集為（-oo,-l）,則關(guān)于x的不等式

（a-3b）x+（。-2a）>0的解集為

（答：｛xlx<-3｝）

十一.一元二次不等式的解集（聯(lián)系圖象）。尤其當(dāng)△=（）和△<（）時的解集你會正確表示嗎？

設(shè)〃>0,玉,工2是方程爾+以+。=0的兩實(shí)根，且玉<々，則其解集如下表:

ax2+bx+c<0

ax1+bx+c>0ax2+Z?x+c>0ax2+hx+c<0

A>0{x\x<x或{x\x<x或{xlXj<x<x]

{x[x\x]<x<x2}2

x>x2}x>x2}

A=0,b、{xlx=—勺

{tx1Xw---}R。

2a

A<()R

R。。

2

如解關(guān)于x的不等式：ax-（a+l）x+1<0o

（答：當(dāng)a=0時，x>1；當(dāng)。<0時，x>］j^x<—；當(dāng)0<a<l時，l<x<,；當(dāng)a=l時，xe0；

aa

當(dāng)a>l時，—<x<l）

a

十二.對于方程。/+以+。=0有實(shí)數(shù)解的問題。首先要討論最高次項(xiàng)系數(shù)a是否為0,其次

若則一定有△=從-4四20。對于多項(xiàng)式方程、不等式、函數(shù)的最高次項(xiàng)中含

有參數(shù)時，你是否注意到同樣的情形？

如：（1）（a-2）x2+2（a-2）x-1<0對一切xeR恒成立，貝?的取值范圍是一

（答：（1,2］）；

（2）關(guān)于x的方程/（x）=k有解的條件是什么？（答：keD,其中。為/（x）的值域），特別

地，若在。芻內(nèi)有兩個不等的實(shí)根滿足等式cos2x+6sin2x=A+l,則實(shí)數(shù)女的范圍是

2

（答：。1））

十三.一元二次方程根的分布理論。方程/（x）=ax2+6x+c=0（a>0）在化+oo）上有兩根、在

（孫〃）上有兩根、在（-8,左）和（女,+8）上各有一根的充要條件分別是什么？

A>0

A>0/(m)>0

(<f(k)>0、f(n)>0/伏)<0)。根的分布理論成立的前提是開

hh

—->ktn<-—<n

.2a、2a

區(qū)間，若在閉區(qū)間［見〃］討論方程/(x)=0有實(shí)數(shù)解的情況，可先利用在開區(qū)間(孫〃)上實(shí)根

分布的情況，得出結(jié)果，再令x=〃和》=加檢查端點(diǎn)的情況.

如實(shí)系數(shù)方程/+儀+2。=0的一根大于0且小于1,另一根大于1且小于2,則B的取值

a-\

范圍是________

(答：(L1))

4

十四.二次方程、二次不等式、二次函數(shù)間的聯(lián)系你了解了嗎？二次方程如2+以+。=0的兩

個根即為二次不等式分2+8x+c>0(<0)的解集的端點(diǎn)值，也是二次函數(shù)y="2+bx+c

的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

如(1)不等式?>ax+g的解集是(4))，則。=__________

(答：」)；

8

(2)若關(guān)于X的不等式a/+Z?x+cV0的解集為(-8,〃2)U(〃,+00),其中機(jī)<〃<0,則關(guān)于X

的不等式C—一匕X+Q<0的解集為

(答：(-00,---)U(--,4-oo))；

mn

(3)不等式3/一2加:+1<0對尤1,2］恒成立，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是

(答：0)。

概念、方法、題型、易誤點(diǎn)及應(yīng)試技巧總結(jié)

函數(shù)

映射了：ArB的概念。在理解映射概念時要注意：㈠中元素必須都有象且唯一；㈡B中

元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。如：

(1)設(shè)fN是集合M到N的映射，下列說法正確的是A、M中每一個元素在N

中必有象B、N中每一個元素在M中必有原象C、N中每一個元素在M中的原象是

唯一的D、N是M中所在元素的象的集合

(答：A)；

(2)點(diǎn)(凡加在映射了的作用下的象是。+6),則在/作用下點(diǎn)(3,1)的原象為點(diǎn)

(答(2,-1))；

(3)若4={1,2,3,4},B={a,b,c},a,b,cGR,則A到8的映射有個，5到A的映

射有一個，A到8的函數(shù)有個

(答：81,64,81)；

(4)設(shè)集合M={-l,0,l},N={l,2,3,4,5},映射fN滿足條件“對任意的xeM,

x+f(x)是奇數(shù)”，這樣的映射f有一個

(答：⑵;

(5)設(shè)是集合A到集合B的映射，若8={1,2},則AC5一定是

(答：0或{1}).

二.函數(shù)/：A-B是特殊的映射。特殊在定義域A和值域B都是非空數(shù)集！據(jù)此可知函數(shù)圖

像與x軸的垂線至多有一個公共點(diǎn)，但與y軸垂線的公共點(diǎn)可能沒有，也可能有任意個。

如：

(1)已知函數(shù)/(x),xeF,那么集合{(x,y)及=f(x),xwF}n{(x,y)lx=l}中所含元素

的個數(shù)有個

(答:0或1)；

(2)若函數(shù)y=gx2-2x+4的定義域、值域都是閉區(qū)間［2,2切，則匕=

(答：2)

三.同一函數(shù)的概念。構(gòu)成函數(shù)的三要素是定義域，值域和對應(yīng)法則。而值域可由定義域和

對應(yīng)法則唯確定，因此當(dāng)兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則相同時,它們一定為同一函數(shù)。

如

若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數(shù)為“天一函數(shù)”，

那么解析式為y=/,值域?yàn)閧4,1}的''天一函數(shù)"共有個

(答：9)

四.求函數(shù)定義域的常用方法(在研究函數(shù)問題時要樹立定義域優(yōu)先的原則)：

1.根據(jù)解析式要求如偶次根式的被開方大于零，分母不能為零，對數(shù)log“x中x>0,a>0

且三角形中0<A("，最大角N三,最小角《乙等。如

33

(1)函數(shù)y=屈三2的定義域是一

lg(x-3)-

(答：(0,2)U(2,3)U(3,4))；

(2)若函數(shù)y=—,—的定義域?yàn)镽,則ke________

h2+4丘+3

(答：0,￡|);

(3)函數(shù)/(x)的定義域是國,句，b>-a>Q,則函數(shù)F(x)=/(x)+/(-x)的定義域是

(答：

(4)設(shè)函數(shù)/(x)=lg(Qx2+2x+D，①若f(x)的定義域是R,求實(shí)數(shù)。的取值范圍；②

若/(X)的值域是R,求實(shí)數(shù)。的取值范圍

(答：①。>1;?0<?<l)

2.根據(jù)實(shí)際問題的要求確定自變量的范圍。

3.復(fù)合函數(shù)的定義域：若已知/")的定義域?yàn)椋踑,切,其復(fù)合函數(shù)〃g(x)］的定義域由不

等式a4g(x)4沙解出即可；若已知〃g(x)］的定義域?yàn)?勿，求/(x)的定義域，相當(dāng)于當(dāng)

時,求g(x)的值域(即/(x)的定義域)。如

(1)若函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)?則/(10g2X)的定義域?yàn)?/p>

(答：IV2<x<41)；

(2)若函數(shù)/(f+l)的定義域?yàn)椋邸?,1),則函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?/p>

(答：口,5］).

五.求函數(shù)值域(最值)的方法：

1.配方法一一二次函數(shù)(二次函數(shù)在給出區(qū)間上的最值有兩類：一是求閉區(qū)間［孫〃］上的最

值；二是求區(qū)間定(動)，對稱軸動(定)的最值問題。求二次函數(shù)的最值問題，勿忘數(shù)

形結(jié)合，注意“兩看”：一看開口方向；二看對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關(guān)系)，如

(1)求函數(shù)y=求-2x+5,無G［T,2］的值域

(答：［4,8］)；

(2)當(dāng)XG(0,2］時，函數(shù)/(外=。/+45+1)X一3在兀=2時取得最大值，則a的取值范

圍是一

(答：a>-■-);

2

(3)已知f(x)=3""(24x44)的圖象過點(diǎn)(2,1),則歹(x)="T(x)F-f3/)的值域?yàn)?/p>

(答：［2,5］)

2.換元法一一通過換元把一個較復(fù)雜的函數(shù)變?yōu)楹唵我浊笾涤虻暮瘮?shù)，其函數(shù)特征是函數(shù)解

析式含有根式或三角函數(shù)公式模型，如

(1)y=2sii?x-3cosx-l的值域?yàn)開___

(答：［-4,?);

(2)y=2x+l+VT1的值域?yàn)?/p>

(答:(3,+oo))

(3)y=sinx+cosx+sinxcosx的值域?yàn)?/p>

(答:［―1,—+"^2］)；

2

(4)y=x+4+，9-x2的值域?yàn)?/p>

(答：［1,372+4］)；

3.函數(shù)有界性法一一直接求函數(shù)的值域困難時，可以利用已學(xué)過函數(shù)的有界性，來確定所求

函數(shù)的值域，最常用的就是三角函數(shù)的有界性，如

2sin8-l3,2sin8-lA4/七上p

求函數(shù)y-------，y—-----，y-------的值域

1+sinB------1+3V1+cos6

iQ

(答：(-0,1］.(0,1)、(-oo,-］)；

22

4.單調(diào)性法一一利用一次函數(shù)，反比例函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)等函數(shù)的單調(diào)性，如

求y=x-,(l<x<9),y=sii?x+—y=2*-5+log377^1的值域

x1+sinx

(答：(0,苧、［y,9］>［2,10］)；

5.數(shù)形結(jié)合法一一函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點(diǎn)的距離、直線斜率、等等,

如

(1)已知點(diǎn)P(x,y)在圓f+y2=1上，求上及y-2x的取值范圍

x+2

(答：［一理］、［一石,向);

(2)求函數(shù)的值域

(答：[10,+00))；

(3)求函數(shù)y=7x2-6x+13+y/x2+4x+5及y=Vx2-6x+13-G+4x+5的值域

(答：[匹,+oo)、(-726,726))

注意：求兩點(diǎn)距離之和時，要將函數(shù)式變形，使兩定點(diǎn)在x軸的兩側(cè)，而求兩點(diǎn)距離之

差時，則要使兩定點(diǎn)在x軸的同側(cè)。

6.判別式法一一對分式函數(shù)(分子或分母中有一個是二次)都可通用，但這類題型有時也可

以用其它方法進(jìn)行求解，不必拘泥在判別式法上，也可先通過部分分式后，再利用均值不

等式：

①y=一:型，可直接用不等式性質(zhì)，如

求y=_:的值域

2+x

(答：(0，])

2

②y一型,先化簡，再用均值不等式，如

x4-mx+n

(1)求y的值域

-1+x2

(答：(-00,-1])；

2

(2)求函數(shù)>=叵1的值域

%+3

(答：嗚])

③yJ""""'型,通常用判別式法；如

x+mx+n

已知函數(shù)y=log3如丁"+"的定義域?yàn)橛蛑涤驗(yàn)閇0,2],求常數(shù)嘰〃的值

X+1

(答：加=〃=5)

④y=)+〃'"〃’型,可用判別式法或均值不等式法，如

mx+n

求的值域

X+1

(答：(-co,-3]Ufl,+℃))

7.不等式法一一利用基本不等式疝(“1eR+)求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是

和式時要求積為定值，解析式是積時要求和為定值，不過有時須要用到拆項(xiàng)、添項(xiàng)和兩邊

平方等技巧。如

設(shè)x,q,a,,y成等差數(shù)列，匕4,區(qū),p成等比數(shù)列，則回士"的取值范圍是

姑2

(答：(fo,0]U[4,+oo)

8.導(dǎo)數(shù)法---般適用于高次多項(xiàng)式函數(shù)，如

求函數(shù)/(x)=2X3+4X2-40x,xe[-3,3]的最小值。

(答：-48)

提醒：(1)求函數(shù)的定義域、值域時，你按要求寫成集合形式了嗎？

(2)函數(shù)的最值與值域之間有何關(guān)系？

六.分段函數(shù)的概念。分段函數(shù)是在其定義域的不同子集上，分別用幾個不同的式子來表示

對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)，它是一類較特殊的函數(shù)。在求分段函數(shù)的值/(%)時，一定首先要判斷

即屬于定義域的哪個子集，然后再代相應(yīng)的關(guān)系式；分段函數(shù)的值域應(yīng)是其定義域內(nèi)不

同子集上各關(guān)系式的取值范圍的并集.如

(1)設(shè)函數(shù)〃x)=，則使得/(x)21的自變量x的取值范圍是—

4-Vx^l.(x>l)

(答：(-co,-2]U[0,10])；

(2)已知/(x)=F(A-0)，則不等式x+(x+2)/(x+2)45的解集_____

-1(x<0)

3

(答：(-00,-])

2

七.求函數(shù)解析式的常用方法：

1.待定系數(shù)法一一已知所求函數(shù)的類型(二次函數(shù)的表達(dá)形式有三種：一般式：

22

/(x)=ax+bx+c；頂點(diǎn)式：/(x)=a(x-m)+n；零點(diǎn)式：f(x)=a(x-xj(x-x2),要會

根據(jù)已知條件的特點(diǎn)，靈活地選用二次函數(shù)的表達(dá)形式)。如

已知/(x)為二次函數(shù)，且/(%-2)=/(-%-2),且f(0)=1,圖象在x軸上截得的線段長

為2VL求/(幻的解析式。

(答：/(x)--^x2+2.X+1)

2.代換(配湊)法——已知形如/(g(x))的表達(dá)式，求/(x)的表達(dá)式。如

(1)已知/(1-cosx)=sin?x,求一位)的解析式

(答：/(x2)=-x4+2x2,xe[-V2,V2J)；

(2)若/(x—工)=/+3,則函數(shù)/。一1)=_____

XX

(答：X?-2x+3)；

(3)若函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)xe(0,+oo)H寸，/(x)=x(l+V%)?那么當(dāng)

xe(-oo,0)時，f(x)=

(答：X(l—yfx)).

這里需值得注意的是所求解析式的定義域的等價(jià)性，即/(X)的定義域應(yīng)是g(x)的值域。

3.方程的思想一一已知條件是含有/(x)及另外一個函數(shù)的等式，可抓住等式的特征對等式

的進(jìn)行賦值，從而得到關(guān)于/(x)及另外一個函數(shù)的方程組。如

(1)已知/(x)+2/(—x)=3x—2,求/(x)的解析式

(答：f(x)=-3x--)；

(2)已知/(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且/(x)+gO)=—,則/(x)=

A.反函數(shù)：

1.存在反函數(shù)的條件是對于原來函數(shù)值域中的任一個y值，都有唯一的x值與之對應(yīng)，故單

調(diào)函數(shù)一定存在反函數(shù)，但反之不成立；偶函數(shù)只有/(X)=0(XG{0})有反函數(shù)；周期函

數(shù)一定不存在反函數(shù)。如

函數(shù)y=》2—2ax-3在區(qū)間[1,2]上存在反函數(shù)的充要條件是

A、a6B、ae[2,+oo)C>ae[1,2JD、aeU[2,+oo)

(答：D)

2.求反函數(shù)的步驟：①反求x；②互換X、y；③注明反函數(shù)的定義域(原來函數(shù)的值域)。

注意函數(shù)y=f(x+l)的反函數(shù)不是y=_T'(x+l)，而是y=/T(x)-l。如

設(shè)/*)=(匕1)2(x>0).求/(X)的反函數(shù)尸(X)

X

3.反函數(shù)的性質(zhì)：

①反函數(shù)的定義域是原來函數(shù)的值域，反函數(shù)的值域是原來函數(shù)的定義域。如

單調(diào)遞增函數(shù)/(x)滿足條件/(辦+3)=x,其中0,若/(x)的反函數(shù)/T(X)的定

義域?yàn)椤?2]，則“X)的定義域是

aa

(答：[4,7]).

②函數(shù)y=/(x)的圖象與其反函數(shù)y=/T(x)的圖象關(guān)于直線y=X對稱，注意函數(shù)

y=/(x)的圖象與x=/T(y)的圖象相同。如

(1)已知函數(shù)y=/(x)的圖象過點(diǎn)(1,1),那么“4-X)的反函數(shù)的圖象一定經(jīng)過點(diǎn)_

(答：(1,3))；

(2)已知函數(shù)/(幻=生藝，若函數(shù)卜=8(幻與)，=廣1(》+1)的圖象關(guān)于直線y=x對稱，

x-1

求g(3)的值

(答：工);

2

@f(a)=b^f-'(b)=a0如

(1)已知函數(shù)/(x)=log3(3+2),則方程廣1*)=4的解x=___

X

(答：1);

(2)設(shè)函數(shù)段)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,2)對稱，且存在反函數(shù)尸(x),/(4)=0,則尸(4)=

(答：一2)

④互為反函數(shù)的兩個函數(shù)具有相同的單調(diào)性和奇函數(shù)性。如

已知/,(X)是R上的增函數(shù)，點(diǎn)8(1,3)在它的圖象上，.尸(x)是它的反函數(shù)，那么

不等式|/-(log2x)|<1的解集為

(答：(2,8))；

⑤設(shè)/(x)的定義域?yàn)锳,值域?yàn)锽,則有了"T(x)]=x(xe8),=x

(xeA),但/"T(x)]w/T"(x)]。

九.函數(shù)的奇偶性。

1.具有奇偶性的函數(shù)的定義域的特征:定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對稱!為此確定函數(shù)的奇偶性時，

務(wù)必先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱。如

若函數(shù)/(x)=2sin(3x+6),xw[2a-5肛3a]為奇函數(shù),其中(0,2萬)，則a的值是

(答：0)；

2.確定函數(shù)奇偶性的常用方法(若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜，應(yīng)先化簡，再判斷其奇偶性)：

①定義法：如判斷函數(shù)y=/的奇偶性—(答：奇函數(shù))。

A/9-X2

②利用函數(shù)奇偶性定義的等價(jià)形式：y(x)±/(-x)=o或**=±I(/(xWO)。如

期

判斷/3=彳(5匕+；)的奇偶性_.(答：偶函數(shù))

③圖像法：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；偶函數(shù)的圖象關(guān)于〉軸對稱。

3.函數(shù)奇偶性的性質(zhì)：

①奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同；偶函數(shù)在關(guān)于原

點(diǎn)對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反.

②如果奇函數(shù)有反函數(shù)，那么其反函數(shù)一定還是奇函數(shù).

③若/(x)為偶函數(shù)，則/(r)=/(x)=/(lxl).如

若定義在R上的偶函數(shù)在(-8,0)上是減函數(shù)，且/(；)=2,則不等式/(log|x)>2的

解集為.

(答:(0,0.5)U(2,+00))

④若奇函數(shù)/(久)定義域中含有0,則必有/(0)=0.故/(0)=0是/(X)為奇函數(shù)的既不充

分也不必要條件。如

若〃x)="2+"-2為奇函數(shù),則實(shí)數(shù)。=(答：1).

2+1

⑤定義在關(guān)于原點(diǎn)對稱區(qū)間上的任意一個函數(shù)，都可表示成''一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)

的和(或差”'。如

設(shè)/(%)是定義域?yàn)镽的任一函數(shù)，/G(X)="X)7J。。①判斷F(x)

與G(x)的奇偶性；②若將函數(shù)/(x)=lg(10'+l),表示成一個奇函數(shù)g(x)和一個偶函數(shù)力(x)

之和，則g(x)=____

(答：①F(x)為偶函數(shù)，G(x)為奇函數(shù)；②g(x)=gx)

⑥復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點(diǎn)是：“內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外”.

⑦既奇又偶函數(shù)有無窮多個(/(0=0,定義域是關(guān)于原點(diǎn)對稱的任意一個數(shù)集).

十.函數(shù)的單調(diào)性。

1.確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間的常用方法：

①在解答題中常用：定義法(取值一一作差一一變形一一定號)、導(dǎo)數(shù)法(在區(qū)間(出。)

內(nèi)，若總有f'(x)>0,則/(x)為增函數(shù)；反之,若/(尤)在區(qū)間①力)內(nèi)為增函數(shù)，則/(x)N0,

請注意兩者的區(qū)別所在。如

已知函數(shù)/(x)=x3—ax在區(qū)間口,+8)上是增函數(shù)，則。的取值范圍是一

(答：(0,3]))；

②在選擇填空題中還可用數(shù)形結(jié)合法、特殊值法等等，特別要注意y=ax+2(a>0

X

匕〉0)型函數(shù)的圖象和單調(diào)性在解題中的運(yùn)用：增區(qū)間為(-00，書，店,+00),減區(qū)間為

[-*,0](0勺.如

VaVa

(1)若函數(shù)/(x)=/+2(a-l)x+2在區(qū)間(一8,4]上是減函數(shù)，那么實(shí)數(shù)a的取值

范圍是______

(答：a<-3))；

(2)已知函數(shù)/*)=罷?在區(qū)間(一2,+00)上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

(答：(g，+8))；

(3)若函數(shù)〃x)=log“[x+￡-4](a>0,且aAl)的值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

(答：0<?！?且QH1));

③復(fù)合函數(shù)法：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的特點(diǎn)是同增異減，如

函數(shù)y=log,(-X2+2X)的單調(diào)遞增區(qū)間是一

2

(答：(1,2))。

2.特別提醒：求單調(diào)區(qū)間時，一是勿忘定義域，如若函數(shù)〃x)=log“(x2-"+3)在區(qū)間(-8,5

上為減函數(shù)，求。的取值范圍(答：(1,2月))；二是在多個單調(diào)區(qū)間之間不一定能添加

符號“U”和“或”；三是單調(diào)區(qū)間應(yīng)該用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示.

3.你注意到函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的逆用了嗎？(①比較大小；②解不等式；③求參數(shù)范圍).

如已知奇函數(shù)/(x)是定義在(-2,2)上的減函數(shù),若/(m-l)+/(2m-l)>0,求實(shí)數(shù)m的取

值范圍。(答：

23

十一.常見的圖象變換

1.函數(shù)y=〃x+a)(a>0)的圖象是把函數(shù)y=/(x)的圖象沿x軸向左平移。個單位得到

的。如

設(shè)/(x)=2:g(x)的圖像與/(x)的圖像關(guān)于直線y=x對稱，力(外的圖像由g(x)的圖像

向右平移1個單位得到，則〃(x)為

(答：/z(x)=-log2(x-l))

2.函數(shù)y=/(x+a)((a<0)的圖象是把函數(shù)y=/(x)的圖象沿x軸向右平移時個單位得

到的。如

(1)若/(x+199)=4/+4x+3,則函數(shù)/(x)的最小值為

(答：2)；

(2)要得到y(tǒng)=lg(3-幻的圖像，只需作y=lgx關(guān)于軸對稱的圖像，再向一平移

3個單位而得到

(答：y；右)；

(3)函數(shù)/(幻=》?電0+2)-1的圖象與工軸的交點(diǎn)個數(shù)有個

(答：2)

3.函數(shù)y=/(x)+a(?>0)的圖象是把函數(shù)y=/(x)助圖象沿y軸向上平移a個單位得到

的；

4.函數(shù)y=f(x)+a(a<0)的圖象是把函數(shù)y=/(x)助圖象沿>軸向下平移同個單位得到

的；如

將函數(shù)y=—竺+a的圖象向右平移2個單位后又向下平移2個單位，所得圖象如果與原

x+a

圖象關(guān)于直線y=x對稱，那么

(A)a=-l,"O(B)a=—l,beR

(C)a=l/wO(D)a=O,b€R

(答：C)

5.函數(shù)y=/(nx)(a>0)的圖象是把函數(shù)y=/(x)的圖象沿x軸伸縮為原來的,得到的。

a

如

(1)將函數(shù)y=/(x)的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?(縱坐標(biāo)不變)，再將此圖

像沿x軸方向向左平移2個單位，所得圖像對應(yīng)的函數(shù)為

(答：/(3x+6))；

(2)如若函數(shù)y=/(2x-l)是偶函數(shù)，則函數(shù)y=/(2x)的對稱軸方程是

(答：x=-g).

6.函數(shù)y=af(x)(a〉0)的圖象是把函數(shù)y=/(x)的圖象沿y軸伸縮為原來的。倍得到的.

十二.函數(shù)的對稱性。

1.滿足條件/(x-a)=/p-x)的函數(shù)的圖象關(guān)于直線％=等對稱。如

已知二次函數(shù)/(x)=ax2+bx(a豐0)滿足條件/(5-x)=f(x-3)且方程f(x)=x有等根，

則/*)=

(答：-■-X2+x)；

2

2.點(diǎn)(x,y)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為(-x,y)；函數(shù)y=/(x)關(guān)于y軸的對稱曲線方程為

y=/(-x);

3.點(diǎn)(x,y)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為(x,-y)；函數(shù)y=/(x)關(guān)于x軸的對稱曲線方程為

y=-/々)；

4.點(diǎn)(x,y)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為(-x,-y)；函數(shù)y=/(x)關(guān)于原點(diǎn)的對稱曲線方程為

y=-x)；

5.點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線y=±x+a的對稱點(diǎn)為(±(y-a),±x+a);曲線/(x,y)=0關(guān)于直線

y=±x+a的對稱曲線的方程為/(土(y-a),±x+a)=0。特別地，點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線y=x的對稱

點(diǎn)為(y,x)；曲線/(x,y)=0關(guān)于直線y=x的對稱曲線的方程為/(y,x)

=0；點(diǎn)(元,丁)關(guān)于直線y=-x的對稱點(diǎn)為(-y,-x)；曲線=0關(guān)于直線y=-x的對稱曲

線的方程為了(-乂-幻=0。如

r-3Q

己知函數(shù)/(X)="_,(XN士)，若y=〃x+l)的圖像是G，它關(guān)于直線y=x對稱圖像是

2x-32

a，關(guān)于原點(diǎn)對稱的圖像為。3,則。3對應(yīng)的函數(shù)解析式是.

(答：y=_j￡±￡)；

2x+l

6.曲線/(x,y)=0關(guān)于點(diǎn)(a/)的對稱曲線的方程為/(2a-x,2b-y)=0。如

若函數(shù)y=x?+x與y=g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-2,3)對稱，則g(x)=_

(答：-X2-7X-6)

7.形如y=g4(cw0,adw兒)的圖像是雙曲線，其兩漸近線分別直線x=-立(由分母

cx+dc

為零確定)和直線y=￡(由分子、分母中x的系數(shù)確定)，對稱中心是點(diǎn)(-!()。如

已知函數(shù)圖象C與C:y(x+a+l)=a在/+1關(guān)于直線＞=兀對稱，且圖象C關(guān)于點(diǎn)(2,

-3)對稱，則。的值為

(答：2)

8.|/(x)|的圖象先保留/(x)原來在x軸上方的圖象，作出x軸下方的圖象關(guān)于x軸的對

稱圖形，然后擦去x軸下方的圖象得到；/(Ixl)的圖象先保留/(x)在丁軸右方的圖象，擦去y

軸左方的圖象，然后作出y軸右方的圖象關(guān)于y軸的對稱圖形得到。如

(1)作出函數(shù)y=llog2(x+l)l及y=log2lx+ll的圖象;

(2)若函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則函數(shù)F(x)=|/(x)|+/(k|)的圖象關(guān)于

對稱