考點(diǎn)41用樣本估計(jì)總體-高考全攻略之2019年高考數(shù)學(xué)（文）考點(diǎn)一遍過含解析

考點(diǎn)41用樣本估計(jì)總體

考擁雇次

用樣本估計(jì)總體

（1）了解分布的意義和作用，會(huì)列頻率分布表，會(huì)畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，理解它們各

自的特點(diǎn).

（2）理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差.

（3）能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征（如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差），并給出合理的解釋.

（4）會(huì)用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，會(huì)用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征，理解用樣本

估計(jì)總體的思想.

（5）會(huì)用隨機(jī)抽樣的基本方法和樣本估計(jì)總體的思想解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.

蛤知識(shí)整鄉(xiāng)

一、數(shù)字特征

1.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)

數(shù)字特征樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖

眾數(shù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)取最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)

將數(shù)據(jù)按大小依次排列，處在最中間位置的把頻率分布直方圖劃分左右兩個(gè)面積相

中位數(shù)

一個(gè)數(shù)據(jù)（或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)）等的分界線與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)

平均數(shù)樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)

的橫坐標(biāo)之和

2.極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差

極差：即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差.

方差：.1=L(王一如2+(/一制2++(七一元)2].

n

222

標(biāo)準(zhǔn)差：S-J—[(^-%)+(%2-X)++(%n-X)].

Vn

注：平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平，方差和標(biāo)準(zhǔn)差反映了數(shù)據(jù)波動(dòng)程度的大小.標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大,

數(shù)據(jù)的離散程度越大，越波動(dòng)；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定.

3.性質(zhì)

(1)若X],%2，,x"的平均數(shù)為無，那么/wq+4,儂2+。，，初的平均數(shù)為〃沅

(2)數(shù)據(jù)看,尤2，，尤“與數(shù)據(jù)引'=王+。,％2'=%2+。，，七'=七+。的方差相等，即數(shù)據(jù)經(jīng)過平移后

方差不變.

(3)若大,工2，,x”的方差為￡那么叼+仇仁+仇，依“+〃的方差為a2s2.

二、莖葉圖

1.定義

莖葉圖是統(tǒng)計(jì)中用來表示數(shù)據(jù)的一種圖，莖是指中間的一列數(shù)，葉就是從莖的旁邊生長(zhǎng)出來的數(shù).

2.表示方法

(1)對(duì)于樣本數(shù)據(jù)較少，且分布較為集中的一組數(shù)據(jù)：若數(shù)據(jù)是兩位整數(shù)，則將十位數(shù)字作莖，個(gè)位數(shù)

字作葉；若數(shù)據(jù)是三位整數(shù)，則將百位、十位數(shù)字作莖，個(gè)位數(shù)字作葉.樣本數(shù)據(jù)為小數(shù)時(shí)做類似處理.

(2)對(duì)于樣本數(shù)據(jù)較少，且分布較為集中的兩組數(shù)據(jù)，關(guān)鍵是找到兩組數(shù)據(jù)共有的莖.

三、統(tǒng)計(jì)表

1.頻率分布直方圖

(1)畫頻率分布直方圖的步驟

①求極差(即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差)；

②決定組距與組數(shù)；

③將數(shù)據(jù)分組；

④列頻率分布表；

⑤畫頻率分布直方圖(以橫軸表示樣本分組，縱軸表示頻率與組距的比值).

(2)頻率分布直方圖的性質(zhì)

①落在各小組內(nèi)的頻率用各小長(zhǎng)方形的面積表示，且各小長(zhǎng)方形的面積的和等于1.

②頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)的關(guān)系

a.最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)；

b.中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和是相等的；

c.平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小長(zhǎng)方形底

邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.

2.頻率分布折線圖和總體密度曲線

(1)頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形上端的中點(diǎn)，就得到頻率分布折線圖.

(2)總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時(shí)所分組數(shù)增加，組距減小，相應(yīng)的頻率折線圖會(huì)越來越

接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計(jì)中稱這條光滑曲線為總體密度曲線.

3.各種統(tǒng)計(jì)表的優(yōu)點(diǎn)與不足

優(yōu)點(diǎn)不足

頻率分布

表示數(shù)據(jù)較確切分析數(shù)據(jù)分布的總體態(tài)勢(shì)不方便

表

頻率分布

表示數(shù)據(jù)分布情況非常直觀原有的具體數(shù)據(jù)信息被抹掉了

直方圖

頻率分布

能反映數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)不能顯示原有數(shù)據(jù)

折線圖

一是所有的信息都可以從這個(gè)莖葉圖中得到；

樣本數(shù)據(jù)較多或數(shù)據(jù)位數(shù)較多時(shí)，

莖葉圖二是莖葉圖便于記錄和表示，能夠展示數(shù)據(jù)的

不方便表示數(shù)據(jù)

分布情況

點(diǎn)考向.

考向一數(shù)字特征的應(yīng)用

明確數(shù)字特征的意義：

平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對(duì)總體的一種簡(jiǎn)明的描述，它們所反映的情況有著重要的實(shí)際意義,

平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢(shì)，方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述其波動(dòng)大小.

典例引領(lǐng)

典例1某學(xué)習(xí)小組在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85

分的有4人，得80分和75分的各1人，則該小組數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)分別為

A.85,85,85B.87,85,86

C.87,85,85D.87,85,90

【答案】C

100+95+90x2+85x4+80+75

【解析】平均數(shù)==87分，眾數(shù)為85,中位數(shù)為85.故選C.

10

變式拓展

1.若一組數(shù)據(jù)與片2,…，4的方差為］,則2H+4,2々+4,-,2xn+4的方差為

A.1B.2

C.4D.8

2.已知一組數(shù)據(jù)3,5,7,x,10的平均數(shù)為6,則這組數(shù)據(jù)的方差為

A.—33B.6

5

C.—D.5

5

考向二莖葉圖的應(yīng)用

莖葉圖的優(yōu)、缺點(diǎn)：

由莖葉圖可以清晰地看到數(shù)據(jù)的分布情況，這一點(diǎn)同頻率分布直方圖類似.它優(yōu)于頻率分布直方圖的第一

點(diǎn)是從莖葉圖中能看到原始數(shù)據(jù)，沒有任何信息損失；第二點(diǎn)是莖葉圖便于記錄和表示，其缺點(diǎn)是當(dāng)樣本

容量較大時(shí)，作圖較繁瑣.

典例引領(lǐng)

典例2為了J'解某校教師使用多媒體進(jìn)行教學(xué)的情況，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法，從該校400名授課教師

中抽取20名，調(diào)查了他們上學(xué)期使用多媒體進(jìn)行教學(xué)的次數(shù)，結(jié)果用莖葉圖表示，如圖所示.

079

133567

2124588

30147

4112

據(jù)此可估計(jì)上學(xué)期該校400名教師中，使用多媒體進(jìn)行教學(xué)次數(shù)在［16,30)內(nèi)的人數(shù)為

A.100B.160

C.200D.280

【答案】B

【解析】由莖葉圖，可知在20名教師中，上學(xué)期使用多媒體進(jìn)行教學(xué)的次數(shù)在口6,3Q)內(nèi)的人數(shù)為8,據(jù)此

可以估計(jì)400名教師中，使用多媒體進(jìn)行教學(xué)的次數(shù)在［16,30)內(nèi)的人數(shù)為400x^=160.

變式拓展

3.一次數(shù)學(xué)考試后，某老師從自己所帶的兩個(gè)班級(jí)中各抽取6人，記錄他們的考試成績(jī)，得到如圖所示的

莖葉圖.已知甲班6名同學(xué)成績(jī)的平均數(shù)為82,乙班6名同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)為77,則x-y=

C.4I).-4

考向三頻率分布直方圖的應(yīng)用

頻率分布直方圖是用樣本估計(jì)總體的一種重要方法，是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)，多以選擇題或填空題的形式

呈現(xiàn)，試題難度不大，多為容易題或中檔題，且主要有以下幾個(gè)命題角度：

(1)已知頻率分布直方圖中的部分?jǐn)?shù)據(jù)，求其他數(shù)據(jù).可根據(jù)頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)求出樣本與整體的關(guān)

系，利用頻率和等于1就可求出其他數(shù)據(jù).

(2)已知頻率分布直方圖，求某種范圍內(nèi)的數(shù)據(jù).可利用圖形及某范圍結(jié)合求解.

(3)與概率有關(guān)的綜合問題，可先求出頻率，再利用古典概型等知識(shí)求解.

典例引領(lǐng)

典例3某商店為調(diào)查進(jìn)店顧客的消費(fèi)水平，調(diào)整營(yíng)銷思路，統(tǒng)計(jì)了一個(gè)月來進(jìn)店的2000名顧客的消費(fèi)金

額(單位:元)，并從中隨機(jī)抽取了100名顧客的消費(fèi)金額按[0,50],(50,100],(100,150],(150,200],

(200,250]進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖.已知a,6,。成等差數(shù)列，則該商店這一個(gè)月來消費(fèi)

金額超過150元的顧客數(shù)量約為

A.600

C.60D.300

【答案】A

【解析】因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以

由頻率分布直方圖可得o-A-—(G002Y_006)=0912所以W).OO4.

故消費(fèi)金額超過150元的頻率為(八立0026卻=03

故該商店這一個(gè)月來消費(fèi)金額超過150元的顧客數(shù)蚩約為2000x0.3=600.故選A.

變式拓展

4.200輛載著某炮兵團(tuán)士兵的汽車急赴某地抗洪搶險(xiǎn),如圖是汽車途經(jīng)某大橋時(shí)的速度的頻率分布直方圖,

則這200輛汽車的速度的中位數(shù)的估計(jì)值為

C.63.5D.65

典例引領(lǐng)

典例4為了增強(qiáng)學(xué)生的環(huán)保意識(shí)，某中學(xué)隨機(jī)抽取了50名學(xué)生舉行了一次環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽，并將本次競(jìng)賽

的成績(jī)（得分均為整數(shù)，滿分100分）進(jìn)行整理，制成下表：

成績(jī)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

頻數(shù)231415124

（1）作出被抽查學(xué)生成績(jī)的頻率分布直方圖；

（2）若從成績(jī)?cè)冢?0,50）中選1名學(xué)生，從成績(jī)?cè)冢?0,100］中選2名學(xué)生，共3名學(xué)生召開座談會(huì)，求

［40,50）組中學(xué)生4和［90,100］組中學(xué)生4同時(shí)被選中的概率.

【解析】（1）由題意可知，各組頻率分別為0.04，0.06,0.28,0.30,0.24,0.08,所以圖中各組的縱坐標(biāo)分

別為：0.004,0.006,0.028,0.030,0.024,0.008,則被抽查學(xué)生成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示：

頻率

m.

0.030

0.028

0.026

0.024

().022

0.020

0.018

0.016

0.014

().012

().01()

0.008

O.(X)6

0.004

().(X)2

4060708090100成績(jī)/分

（2）記［40,50）組中的學(xué)生為4,4,［90,100］組中的學(xué)生為兒&,B\,4和5同時(shí)被選中記為事

件M.

由題意可得，全部的基本事件為：

4氏氏，A\BzBx,A、BB,42為與，AzBiBs,AiB\B\,A2B2員,A,zBzB、,AiBsB\,共12個(gè),

事件財(cái)包含的基本事件為：45區(qū)，小BB,A】BB,共3個(gè)，

31

所以學(xué)生4和8同時(shí)被選中的概率為PG1）=—=-

變式拓展

5.己知經(jīng)銷某種商品的電商在任何一個(gè)銷售季度內(nèi)，每售出1噸該商品可獲利潤(rùn)0.5萬元，未售出的商品，

每1噸虧損0.3萬元.根據(jù)往年的銷售經(jīng)驗(yàn)，得到一個(gè)銷售季度內(nèi)市場(chǎng)需求量的頻率分布直方圖如圖所

示.已知電商為下一個(gè)銷售季度籌備了130噸該商品.現(xiàn)以x（單位：噸，1004x4150）表示下一個(gè)

銷售季度的市場(chǎng)需求量，T（單位：萬元）表示該電商下一個(gè)銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該商品獲得的利潤(rùn).

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)一個(gè)銷售季度內(nèi)市場(chǎng)需求量x的平均數(shù)與中位數(shù)的大?。?/p>

（2）根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)利潤(rùn)T不少于57萬元的概率.

、聲點(diǎn)沖關(guān)

1.有下列說法：①一組數(shù)據(jù)不可能有兩個(gè)眾數(shù)；②一組數(shù)據(jù)的方差必須是正數(shù)；③將一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)

數(shù)據(jù)都加上或減去同一常數(shù)后，方差不變；④在頻率分布直方圖中，每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積等于相應(yīng)小組

的頻率.其中錯(cuò)誤的有

A.0個(gè)B.1個(gè)

C.2個(gè)D.3個(gè)

2.某商場(chǎng)對(duì)一個(gè)月內(nèi)每天的顧客人數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的樣本莖葉圖，則該樣本的中位數(shù)和眾數(shù)分

別是

7123368

3124489

455577889

50011234579

A.46,45B.45,46

C.45,451）,47,45

3.某儀器廠從新生產(chǎn)的一批零件中隨機(jī)抽取40個(gè)檢測(cè).如圖是根據(jù)抽樣檢測(cè)后零件的質(zhì)量（單位：克）繪

制的頻率分布直方圖，樣本數(shù)據(jù)分8組,分別為［80,82）、［82,84）,［84,86）、［86,88）、［88,90）、

［90,92）、［92,94）、［94,

A.第3組

C.第5組D.第6組

4.在如圖所示的莖葉圖中，有一個(gè)數(shù)字模糊不清，但某同學(xué)曾經(jīng)計(jì)算得到該組數(shù)據(jù)的極差與中位數(shù)之和為61,

則模糊不清的數(shù)字為

2015

311?4

423578

A.1B.2

C.3D.4

5.在某次高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，隨機(jī)抽取90名考生，其分?jǐn)?shù)如圖所示，若所得分?jǐn)?shù)的平均數(shù)，眾數(shù)，中位數(shù)

分別為a,b,cf則a,b9c的大小關(guān)系為

A.b<a<c

C.c<a<bD.b<c<a

6.從某小學(xué)隨機(jī)抽取100名學(xué)生，將他們的身高（單位:厘米）數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖）.若要從身

高在［120,130）,［130,140）,［140,150］三組內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣的方法選取18人參加一項(xiàng)活動(dòng)，則從

身高在［140,150］內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為

A.2B.3

C.4D.5

m

7.已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示，若它們的中位數(shù)相同,平均數(shù)也相同，則圖中的勿，〃的比值至

甲乙

72n

97713248

j_

A.1B.

3

32

C.一D.

89

8.為普及校園安全知識(shí)，某校舉行了由全部學(xué)生參加的校園安全知識(shí)考試，從中抽出60名學(xué)生，將其成績(jī)分

成六段[40,50),[50,60),…，[90,100]后畫出如圖所示的頻率分布直方圖.觀察圖形的信息，估計(jì)這次考

試的及格率(60分及以上為及格)、平均分分別為

A.75%,71B.80%,85

C.85%,90D.70%,65

9.一個(gè)樣本。，3,5,7的平均數(shù)是匕，且a,〃分別是數(shù)列{2"2}(〃eN*)的第2項(xiàng)和第4項(xiàng)，則這個(gè)

樣本的方差是

A.3B.4

C.5D.6

10.已知甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行罰球訓(xùn)練，每人練習(xí)10組，每組罰球40個(gè)，甲、乙兩人每組命中個(gè)數(shù)的

莖葉圖如圖所示,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是

甲乙

809

32113489

76542020113

73

A.甲命中個(gè)數(shù)的極差是29B.乙命中個(gè)數(shù)的眾數(shù)是21

C.甲的命中率比乙高I).甲命中個(gè)數(shù)的中位數(shù)是25

11.某網(wǎng)店在2018年1月的促銷活動(dòng)中，隨機(jī)抽查了100名消費(fèi)者的消費(fèi)情況,并記錄了他們的消費(fèi)金額(單

位:千元)，將數(shù)據(jù)分成6組：(0,1],(1,2],(2,3],(3,4],(4,5],(5,6],整理得到頻率分布直方圖如圖所

3

示.若消費(fèi)金額不超過3千元的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的三,則消費(fèi)金額超過4千元的人數(shù)為

5

A.12

C.16D.18

12.某市安踏專賣店為了了解某日旅游鞋的銷售情況，抽取了部分顧客所購(gòu)旅游鞋的尺寸，將所得數(shù)據(jù)整理

后，畫出頻率分布直方圖.已知從左到右前3個(gè)小組的頻率之比為1：2：3,第4小組與第5小組的頻率

分布直方圖如圖所示，第2小組的頻數(shù)為10,則第5小組的頻數(shù)是

C.8D.10

13.某次知識(shí)競(jìng)賽中，五個(gè)參賽小隊(duì)的初始積分都是50,在答題過程中，各小隊(duì)每答對(duì)一題可使本隊(duì)積分增加

5,每答錯(cuò)--題本隊(duì)積分不變,若答題過程中五個(gè)小隊(duì)答對(duì)的題數(shù)分別是4,7,6,2,5,則這五個(gè)小隊(duì)積分

的方差為.

14.隨著智能手機(jī)的普及，網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物越來越受到人們的青睞，某研究性學(xué)習(xí)小組對(duì)使用智能手機(jī)的利與弊

隨機(jī)調(diào)查了10位同學(xué)，得到的滿意度打分如莖葉圖所示.

~567

81379

9345

若這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、平均數(shù)分別為。/，則。力的大小關(guān)系是.

15.某市為了增加2018屆高三畢業(yè)生對(duì)各著名高校的了解,從而調(diào)動(dòng)他們的學(xué)習(xí)動(dòng)力,利用2017年暑假組

織部分有意愿的學(xué)生赴部分大學(xué)參加夏令營(yíng),各大學(xué)夏令營(yíng)的天數(shù)都在⑵12］內(nèi)，現(xiàn)從中抽出100名學(xué)

生,統(tǒng)計(jì)他們參加夏令營(yíng)的天數(shù),繪制成如圖所示的頻率分布直方圖,則這100名學(xué)生中參加夏令營(yíng)的天

數(shù)在［6,10）的人數(shù)為.

16.為組織好“市九運(yùn)會(huì)”，組委會(huì)征集了800名志愿者，現(xiàn)對(duì)他們的年齡抽樣統(tǒng)計(jì)后,得到如圖所示的頻率

分布直方圖，但是年齡在［25,30）內(nèi)的數(shù)據(jù)不慎丟失,依據(jù)此圖可得：

，頻率/組距

08

07

06

05

04

03

02

—

—

0O1味

20253(354045年齡/歲

（1）年齡在［25,30）內(nèi)對(duì)應(yīng)小長(zhǎng)方形的高度為；

（2）這800名志愿者中年齡在［25,35）內(nèi)的人數(shù)為.

17.某屆馬拉松招聘志愿者，報(bào)名者首先進(jìn)入筆試,按筆試成績(jī)選出參加面試的人員，最后確定入選名單.現(xiàn)

從報(bào)名的所有人中按男女比例采用分層抽樣的方式抽取了100名，統(tǒng)計(jì)了他們的筆試成績(jī)（滿分100分）,

統(tǒng)計(jì)結(jié)果見如下所示的頻率分布表,其中分?jǐn)?shù)在區(qū)間［90,100］內(nèi)的人員直接進(jìn)入面試階段,若分?jǐn)?shù)在區(qū)

間［80,90）內(nèi)，則需要進(jìn)行短期的培訓(xùn)后,再參加第二次筆試,從而確定能否參加面試.

分?jǐn)?shù)區(qū)間頻數(shù)頻率

[50,60)80.08

[60,70)b

[70,80)420.42

[80,90)a0.26

[90,100]8

合計(jì)1001.00

（1）求a與6的值，并作出頻率分布直方圖；

（2）（i）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，估計(jì)這100名人員筆試成績(jī)的中位數(shù)（精確到小數(shù)點(diǎn)后1位）；

（ii）分析知，這100名人員在各分?jǐn)?shù)段內(nèi)的男女比例如下表所示,那么若以頻率分布表中的頻率近似作

為概率,在總共2000名參考人員中，求經(jīng)過第一次考試就可直接進(jìn)入面試的男女人數(shù)的估計(jì)值.

分?jǐn)?shù)段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

男女比例1:13:13：47:63:5

18.隨著科技發(fā)展,手機(jī)成了人們?nèi)粘Ｉ钪斜夭豢缮俚耐ㄐ殴ぞ?現(xiàn)在的中學(xué)生幾乎都擁有了屬于自己的

手機(jī)了.為了調(diào)查某地區(qū)高中生一周使用手機(jī)的頻率,某機(jī)構(gòu)隨機(jī)調(diào)查了該地區(qū)100名高中生某一周使

用手機(jī)的時(shí)間（單位:小時(shí)），所取樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為。2）、［2,4）、［4,6）、［6,8）、［8,10）、［10,12）,由此

得到如圖所示的頻率分布直方圖.

a

(D求。的值并估計(jì)該地區(qū)高中生一周使用手機(jī)時(shí)間的平均值;

(2)從使用手機(jī)時(shí)間在［6,8)、［8,10)、［10,12)、［12,14］的四組學(xué)生中，用分層抽樣方法抽取13人,則每層

各應(yīng)抽取多少人?

19.某市為了制定合理的節(jié)電方案,對(duì)居民用電情況進(jìn)行了調(diào)查,通過抽樣,獲得了某年200戶居民每戶的月

均用電量(單位:百千瓦?時(shí))，將數(shù)據(jù)按［0,1),口，2),［2,3),［3,4),［4,5),［5,6),［6,7),［7,8),［8,9)分成9組,制成了

如圖所示的頻率分布直方圖.

a

(1)求直方圖中加的值;

(2)設(shè)該市有100萬戶居民，估計(jì)全市每戶居民中月均用電量不低于6百千瓦?時(shí)的人數(shù)及每戶居民月均

用電量的中位數(shù)；

(3)政府計(jì)劃對(duì)月均用電量在4百千瓦?時(shí)以下的用戶進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì),月均用電量在［。1)內(nèi)的用戶獎(jiǎng)勵(lì)20元/

月，月均用電量在口，2)內(nèi)的用戶獎(jiǎng)勵(lì)10元/月，月均用電量在［2,4)內(nèi)的用戶獎(jiǎng)勵(lì)2元/月.若該市共有400

萬戶居民，試估計(jì)政府執(zhí)行此計(jì)劃的年度預(yù)算.

20.某研究小組為了研究某品牌智能手機(jī)在正常使用情況下的電池供電時(shí)間，分別從該品牌手機(jī)的甲、乙

兩種型號(hào)中各選取6部進(jìn)行測(cè)試，其結(jié)果如下：

甲種手機(jī)供電時(shí)間（小時(shí)）191821222320

乙種手機(jī)供電時(shí)間（小時(shí)）1817.520232222.5

（1）求甲、乙兩種手機(jī)供電時(shí)間的平均值與方差，并判斷哪種手機(jī)電池質(zhì)量好；

（2）為了進(jìn)一步研究乙種手機(jī)的電池性能，從上述6部乙種手機(jī)中隨機(jī)抽取2部，求這兩部手機(jī)中恰

有一部手機(jī)的供電時(shí)間大于該種手機(jī)供電時(shí)間平均值的概率.

21.某城市為了滿足市民出行的需要和節(jié)能環(huán)保的要求，在公共場(chǎng)所提供單車共享服務(wù)，某部門為了對(duì)該

城市共享單車進(jìn)行監(jiān)管，隨機(jī)選取了20位市民對(duì)共享單車的情況進(jìn)行問卷調(diào)查，并根據(jù)其滿意度評(píng)分

值（滿分100分）制作的莖葉圖如圖所示：

女性男性

553

9862S

89065了1034

72861

69

（1）分別計(jì)算男性打分的平均數(shù)和女性打分的中位數(shù)；

（2）從打分在70分以下（不含70分）的市民中抽取3人，求有女性被抽中的概率.

昌通高考%;

1.（2017新課標(biāo)全國(guó)I文科）為評(píng)估一種農(nóng)作物的種植效果，選了〃塊地作試驗(yàn)田.這〃塊地的畝產(chǎn)量（單

位：kg）分別為為，至，…，Xn，下面給出的指標(biāo)中可以用來評(píng)估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是

A.擊，也，…，x〃的平均數(shù)B.Xi,心…，x〃的標(biāo)準(zhǔn)差

C.%i,必，…，乂的最大值D.小，必，…，x〃的中位數(shù)

2.（2017山東文科）如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)（單位：件）.若這兩

組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則x和y的值分別為

A.3,5B.5,5

C.3,7D.5,7

3.（2017新課標(biāo)全國(guó)m文科）某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014

年1月至2016年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖.

根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是

A.月接待游客量逐月增加

B.年接待游客量逐年增加

C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月

D.各年1月至6月的月接待游客量相對(duì)于7月至12月，波動(dòng)性更小，變化比較平穩(wěn)

4.（2016新課標(biāo)全國(guó)HI文科）某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中各月平均最高氣溫

和平均最低氣溫的雷達(dá)圖.圖中A點(diǎn)表示十月的平均最高氣溫約為15°C,B點(diǎn)表示四月的平均最低氣溫

約為5。。下面敘述不正確的是

七月

——平均?低，■——平均?高

A.各月的平均最低氣溫都在0℃以上

B.七月的平均溫差比一月的平均溫差大

C.三月和十一月的平均最高氣溫基本相同

D.平均最高氣溫高于20℃的月份有5個(gè)

5.（2016山東文科）某高校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間（單位：小時(shí)），制成了如圖所示的頻率分布

直方圖，其中自習(xí)時(shí)間的范圍是口7.5,30],樣本數(shù)據(jù)分組為[17.5,20）,[20,22.5）,[22.5,25）,

[25,27.5）,[27.5,30].根據(jù)直方圖，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)是

A.56B.60

C.120D.140

6.（2018江蘇）已知5位裁判給某運(yùn)動(dòng)員打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖如圖所示，那么這5位裁判打出的分?jǐn)?shù)的平

均數(shù)為▲.

899

9011

7.（2016上海文科）某次體檢，6位同學(xué)的身高（單位：米）分別為1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77,

則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（米）.

8.（2018新課標(biāo)全國(guó)I文科）某家庭記錄了未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)（單位：m:,）和使用了節(jié)

水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)，得到頻數(shù)分布表如下：

未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表

日用水量[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6)[0.6,0.7)

頻數(shù)13249265

使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表

日用水量[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6)

頻數(shù)151310165

（1）在答題卡上作出使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖:

Ji率/組距八

3.4

3.2

3.0

2.8

2.6

2.4

22

2.0

1.8

1.6

L4

1.2

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

>

00.10.2030.40.50.6日用水量/m?

（2）估計(jì)該家庭使用節(jié)水龍頭后，日用水量小于0.35n?的概率；

（3）估計(jì)該家庭使用節(jié)水龍頭后，一年能節(jié)省多少水？（一年按365天計(jì)算，同一組中的數(shù)據(jù)以這組

數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表.）

9.（2018新課標(biāo)全國(guó)HI文科節(jié)選）某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)

的兩種新的生產(chǎn)方式.為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20人,

第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間（單

位：min）繪制了如下莖葉圖：

第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式

8655689

976270122345668

987765433281445

2110090

（1）根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由;

（2）求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)相，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過相和不超過機(jī)的

工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表:

超過〃2不超過機(jī)

第一種生產(chǎn)方式

第二種生產(chǎn)方式

10.（2017新課標(biāo)全國(guó)H文科）海水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比，收獲時(shí)各隨機(jī)

抽取了100個(gè)網(wǎng)箱，測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：kg）,其頻率分布直方圖如下：

（1）記/表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg”，估計(jì)/的概率；

（2）填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān);

箱產(chǎn)量＜50kg箱產(chǎn)量250kg

舊養(yǎng)殖法

新養(yǎng)殖法

（3）根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，對(duì)這兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進(jìn)行比較.

附：

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

n(ad-be)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

11.（2017北京文科）某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測(cè)評(píng)，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的

方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[20,30],[30,40],,[80,

90],并整理得到如下頻率分布直方圖:

頻率

緲巨

（1）從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于70的概率；

（2）已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50）內(nèi)的人數(shù)；

（3）已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70,且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等.試估計(jì)總

體中男生和女生人數(shù)的比例.

12.（2016新課標(biāo)全國(guó)H文科）某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a（單位：元），繼續(xù)購(gòu)買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人,

續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：

上年度出險(xiǎn)次數(shù)0123425

保費(fèi)0.85aa1.25a1.5a1.75a2a

隨機(jī)調(diào)查了該險(xiǎn)種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險(xiǎn)情況，得到如下統(tǒng)計(jì)表:

出險(xiǎn)次數(shù)0123425

頻數(shù)605030302010

（1）記力為事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)不高于基本保費(fèi)”，求一（4）的估計(jì)值；

（2）記8為事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)但不高于基本保費(fèi)的160%”，求P（0的估

計(jì)值；

（3）求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)估計(jì)值.

13.（2016北京文科）某市居民用水?dāng)M實(shí)行階梯水價(jià)，每人月用水量中不超過獷立方米的部分按4元/立方

米收費(fèi)，超出獷立方米的部分按10元/立方米收費(fèi).從該市隨機(jī)調(diào)查了10000位居民，獲得了他們某

月的用水量數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖:

(1)如果獷為整數(shù)，那么根據(jù)此次調(diào)查，為使80%以上居民在該月的用水價(jià)格為4元/立方米，獷至少

定為多少？

(2)假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點(diǎn)值代替，當(dāng)呼3時(shí)，估計(jì)該市居民該月的人均水費(fèi).

14.(2016四川文科)我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對(duì)居民用水情況進(jìn)行

了調(diào)查.通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位：噸)，將數(shù)據(jù)按照[0,0.5),[0.5,

1),…，［4,4.5］分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.

頻率

(1)求直方圖中a的值;

(2)設(shè)該市有30萬居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，說明理由;

(3)估計(jì)居民月均用水量的中位數(shù).

參考答案,

變式拓展

1.【答案】C

【解析】若無殳…人的方差為s2,則a%+b,ax2+bt...；ax”+b的方差為。2s2,故可得當(dāng)孫無〃…，。的

方差為]時(shí)，2%+4,2々+4,”?,24+4的方差為22乂1=4,故選為

2.【答案】C

【解析】先根據(jù)平均數(shù)公式求出％再利用方差公式求解.

由題意，得3巧+7打+10=6*5,得產(chǎn)5,

I28

所以這組數(shù)據(jù)的方差(9+1+1+1+16)=彳.

3.【答案】C

72+77+81+80+X+86+90

【解析】由=82,可得尤=6.

~6~

170+y+82__—r/日、

由---------=77>可得>=2,

x-y=6—2=4,故選C.

4.【答案】D

【解析】由頻率分布直方圖知,前兩個(gè)小矩形的面積之和為(0.01+0.02)X10=0.3,

02

由于0.5-0.3=0.2,則「一X10=5,

0.4

所以中位數(shù)為60+5=65.故選D.

5.【解析】(1)估計(jì)一個(gè)銷售季度內(nèi)市場(chǎng)需求量X的平均數(shù)為

x=105x0.1+115x0.2+125x0.3+135x0.25+145x0.15=126.5(噸).

由頻率分布直方圖易知，由于xe[100,120)時(shí)，對(duì)應(yīng)的頻率為(0.01+0.02)x10=0.3<0.5,而

xe[l00,139時(shí)，對(duì)應(yīng)的頻率為(O.Ol+0.02+0.03)x10=0.6>0.5，

因此一個(gè)銷售季度內(nèi)市場(chǎng)需求量x的中位數(shù)應(yīng)屬于區(qū)間[120,130),

于是估計(jì)中位數(shù)應(yīng)為120+(0.5—0.1—02)+0.03*126.7(噸).

(2)當(dāng)xe[100,130)時(shí)，T=0.5x—0.3(130—x)=0.8x—39；

當(dāng)xw[130,150]時(shí)，7=0.5x130=65,

「f0.8x-39,100<x<130

所以，T=\

65,1304尤4150

當(dāng)xe[100,130）時(shí)，由T=0.8x-39257,得120Wx<130；

當(dāng)xe[130,150]時(shí)，T=65257,

所以，利潤(rùn)7不少于57萬元當(dāng)且僅當(dāng)1204x4150,

于是由頻率分布直方圖可知，市場(chǎng)需求量x6[120,150]的頻率為（0.030+0.025+O.Ol3x10=0.7,

所以下一個(gè)銷售季度內(nèi)的利潤(rùn)T不少于57萬元的概率的估計(jì)值為0.7.

考點(diǎn)沖關(guān)

-----

1.【答案】C

【解析】對(duì)于①，由于一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)不唯一，故①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，一組數(shù)據(jù)的方差必須是非負(fù)數(shù)，故②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，根據(jù)方差的定義知③正確；

對(duì)于④，根據(jù)頻率分布直方圖中頻率的意義知④正確.

綜上可得①②錯(cuò)誤.

故選C.

2.【答案】A

【解析】由莖葉圖可知所給數(shù)據(jù)，其中出現(xiàn)最多的是45,共三次，所以為眾數(shù)，將所有數(shù)據(jù)從小到大排

列后，中間兩數(shù)為45,47,故中位數(shù)為46.故本題答案為A.

3.【答案】B

【解析】由圖計(jì)算可得前四組的頻數(shù)是22,其中第4組的頻數(shù)為8,故本題正確答案是B.

4.【答案】B

【解析】設(shè)模糊不清的數(shù)字為x,由題意知該組數(shù)據(jù)的極差為48-20=28,所以中位數(shù)為61-28=33,

30+x+34_x

所以25+32=33,解得產(chǎn)2,

即模糊不清的數(shù)字為2.

5.【答案】D

50+60

Q--59c——_________55

【解析】經(jīng)計(jì)算得平均值一、&眾數(shù)為b=50,中位數(shù)為2一，故6<c<a,選D.

6.【答案】B

【解析】依題意可得10X(0.0054).01X).02%心035)=1,則a=0.03,

從而身高在高在,130),[130,140),[140,150]三組內(nèi)的學(xué)生比例為3：2:1,所以從身高在[140,150]內(nèi)

的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為3+2+1X18=3,故選B.

7.【答案】C

32+34

【解析】由莖葉圖可知乙的中位數(shù)是二一=33,又甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相同，所以m3.

49+44+27

從而甲的平均數(shù)為------------33,

又甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同，所以北+34+：8+20+2=33,解得戶&