高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(知識(shí)點(diǎn)歸納與總結(jié))導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

x屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（知識(shí)點(diǎn)歸納與總結(jié)）導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第十三節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，?，[備考方向要明了]考什么怎么考1.利用極值或最值求解參數(shù)的取值范圍,如x年浙江1.能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)T22等,性、極值或最值,幵會(huì)解決不2.利用導(dǎo)數(shù)研究方程根的分布情況、兩曲線交點(diǎn)的個(gè)之有關(guān)的不等式問題,數(shù)等,如x年xT20等,2.會(huì)利用導(dǎo)數(shù)解決某些簡(jiǎn)單的實(shí)3.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，解決有關(guān)不等式問題，如x年天際問題.津T20等.[歸納?知識(shí)整合]1(生活中的優(yōu)化問題生活中常遇到求利潤最大，用料最省、效率最高等一些實(shí)際問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題(2(利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟[探究]1.求實(shí)際問題中的最大、最小值，與求一般函數(shù)的最值有什么區(qū)別,提示:在實(shí)際問題中要注意函數(shù)的定義域應(yīng)使實(shí)際問題有意義(另外～在求實(shí)際問題的最值時(shí)～如果區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)～就是最值點(diǎn)(2(如何求實(shí)際問題中的最值問題,提示:有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實(shí)際問題～一般指的是單峰函數(shù)～也就是說在實(shí)際問題中～如果遇到函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)～那么不與區(qū)間端點(diǎn)比較～就可以知道這個(gè)極值點(diǎn)就是最大(小)值點(diǎn)([自測(cè)?牛刀小試]1((教材習(xí)題改編)已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單位:萬元)與年產(chǎn)量x(單位:萬件)的13函數(shù)關(guān)系式為y,,x，81x,234，則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤的年產(chǎn)量為()3A(13萬件B(x萬件9萬件D(7萬件C(13解析:選C?y,,x，81x,234～32?y′,,x，81～令y′,0～則x,9.2((教材習(xí)題改編)從邊長為10cm×16cm的矩形紙板的四角截去四個(gè)相同的小正方形，作成一個(gè)無蓋的盒子，則盒子容積的最大值為()33A(xcmB(72cm33C(144cmD(160cm33解析:選C設(shè)盒子容積為ycm～盒子的高為xcm.則y,(10,2x)(16,2x)x,4x,252x，160x(0<x<5)～2?y′,xx,104x，160.20,0～得x,2或(舍去)～令y′33?y,6×x×2,144(cm)(max3((教材習(xí)題改編)某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造成本是20.8πr分，其中r是瓶子的半徑，單位是厘米(已知每出售1mL的飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半徑為6cm.則瓶子半徑為________時(shí)，每瓶飲料的利潤最大，瓶子半徑為________時(shí)，每瓶飲料的利潤最小(432解析:由于瓶子的半徑為r～所以每瓶飲料的利潤是y,f(r),0.2×πr,0.8πr,33r2,,0.8π,r～0<r?6.,,32令f′(r),0.8π(r,2r),0～則r,2.當(dāng)r?(0,2)時(shí)～f′(r)<0,當(dāng)r?(2,6)時(shí)～f′(r)>0.則f(r)的最大值為f(6)～最小值為f(2)(答案:6234(函數(shù)f(x),ax，x恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則a的取值范圍是________(3解析:f(x),ax，x恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間～即函數(shù)f(x)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)～即f′(x),0有兩個(gè)不等實(shí)根(32?f(x),ax，x～?f′(x),3ax，1.要使f′(x),0有兩個(gè)不等實(shí)根～則a<0.答案:(,?，0)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根x2[例1](x?x高考)已知函數(shù)f(x),e，ax,ex，a?R.(1)若曲線y,f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線平行于x軸，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)試確定a的取值范圍，使得曲線y,f(x)上存在唯一的點(diǎn)P，曲線在該點(diǎn)處的切線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)P.x[自主解答](1)由于f′(x),e，2ax,e～曲線y,f(x)在點(diǎn)(1～f(1))處的切線斜率k,2a,0～x所以a,0～即f(x),e,ex.x此時(shí)f′(x),e,e～由f′(x),0得x,1.當(dāng)x?(,?～1)時(shí)～有f′(x),0,當(dāng)x?(1～，?)時(shí)～有f′(x),0.～1)～單調(diào)遞增區(qū)間為(1～，?)(所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(,?(2)設(shè)點(diǎn)P(x～f(x))～曲線y,f(x)在點(diǎn)P處的切線方程為y,f′(x)(x,x)，f(x)～00000令g(x),f(x),f′(x)(x,x),f(x)～故曲線y,f(x)在點(diǎn)P處的切線與曲線y,f(x)只有000一個(gè)公共點(diǎn)P等價(jià)于函數(shù)g(x)有唯一零點(diǎn)(x因?yàn)間(x),0～且g′(x),f′(x),f′(x),e,ex，2a(x,x)(0000?若a?0～當(dāng)x,x時(shí)～g′(x),0～0則x,x時(shí)～g(x),g(x),0,00當(dāng)x,x時(shí)～g′(x),0～則x,x時(shí)～g(x),g(x),0.故g(x)只有唯一零點(diǎn)x,x.0000由P的任意性知～a?0不合題意(x?若a,0～令h(x),e,ex，2a(x,x)～則00xh(x),0～h′(x),e，2a.0**令h′(x),0～得x,ln(,2a)～記x,ln(,2a)～則當(dāng)x?(,?～x)時(shí)～h′(x),0～從***而h(x)在(,?～x)內(nèi)單調(diào)遞減,當(dāng)x?(x～，?)時(shí)～h′(x),0～從而h(x)在(x～，?)內(nèi)單調(diào)遞增(****a(若x,x～由x?(,?～x)時(shí)～g′(x),h(x),h(x),0,由x?(x～，?)時(shí)～g′(x)0*,h(x),h(x),0.所以g(x)在R上單調(diào)遞增(*所以函數(shù)g(x)在R上有且只有一個(gè)零點(diǎn)x,x.***b(若x,x～由于h(x)在(x～，?)內(nèi)單調(diào)遞增～且h(x),0～則當(dāng)x?(x～x)時(shí)～有000*g′(x),h(x),h(x),0～g(x),g(x),0,任取x?(x～x)有g(shù)(x),0.00101x22又當(dāng)x?(,?～x)時(shí)～易知g(x),e，ax,(e，f′(x))x,f(x)，xf′(x),ex，ax,1000012(e，f′(x))x,f(x)，xf′(x),ax，bx，c～0000其中b,,(e，f′(x))～c,ex,f(x)，xf′(x)(010002由于a,0～則必存在x,x～使得ax，bx，c,0.2122所以g(x)<0～故g(x)在(x～x)內(nèi)存在零點(diǎn)～即g(x)在R上至少有兩個(gè)零點(diǎn)(2213x*xc(若x<x～仿b并利用e>～可證函數(shù)g(x)在R上至少有兩個(gè)零點(diǎn)(06綜上所述～當(dāng)a<0時(shí)～曲線y,f(x)上存在唯一點(diǎn)P(ln(,2a)～f(ln(,2a)))～曲線在該點(diǎn)處的切線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)P.———————————————————利用導(dǎo)數(shù)研究方程根的方法研究方程根的情況，可以通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢(shì)等，根據(jù)題目要求，畫出函數(shù)圖象的走勢(shì)規(guī)律，標(biāo)明函數(shù)極(最)值的位置，通過數(shù)形結(jié)合的思想去分析問題，可以使得問題的求解有一個(gè)清晰、直觀的整體展現(xiàn)(121(設(shè)函數(shù)f(x),lnx,ax,bx.21(1)當(dāng)a,b,時(shí)，求f(x)的最大值;21a2(2)令F(x),f(x)，ax，bx，(0<x?3)，其圖象上任意一點(diǎn)P(x，y)處切線的斜率002x1k?恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;22(3)當(dāng)a,0，b,,1時(shí)，方程2mf(x),x有唯一實(shí)數(shù)解，求正數(shù)m的值(解:(1)依題意～知f(x)的定義域?yàn)?0～，?)～1112當(dāng)a,b,時(shí)～f(x),lnx,x,x～242,，x，2，，x,1，111f′(x),,x,,～x222x令f′(x),0～解得x,1(x,,2舍去)(當(dāng)0<x<1時(shí)～f′(x)>0～此時(shí)f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x>1時(shí)～f′(x)<0～此時(shí)f(x)單調(diào)遞減(3所以f(x)的極大值為f(1),,.43又因?yàn)閒′(x),0在(0～，?)上有唯一解～所以f(x)的最大值為,.4a(2)由題意得F(x),lnx，～x?(0,3]～則x,ax10k,F′(x),?在x?(0,3]上恒成立～020x2012,,所以a?,x，x～x?(0,3](00max0,,21112當(dāng)x,1時(shí)～,x，x取得最大值～所以a?.0002222(3)因?yàn)榉匠?mf(x),x有唯一實(shí)數(shù)解～2所以x,2mlnx,2mx,0有唯一實(shí)數(shù)解(2設(shè)g(x),x,2mlnx,2mx～22x,2mx,2m則g′(x),.x2令g′(x),0～即x,mx,m,0.2，4mm,m因?yàn)閙>0～x>0～所以x,<0(舍去)～122m，4m，mx,.22當(dāng)x?(0～x)時(shí)～g′(x)<0～g(x)在(0～x)上單調(diào)遞減,22(x～，?)時(shí)～g′(x)>0～g(x)在(x～，?)上單調(diào)遞增,當(dāng)x,x時(shí)～g′(x),0～當(dāng)x?2222g(x)取最小值g(x)(22,,g，x，,0～x,2mlnx,2mx,0～2222,,2,,mf(x),x因?yàn)?有唯一實(shí)數(shù)解～則即所以2g′，xx,，,0～,,mx,m,0～,,2222mlnx，mx,m,0.又因?yàn)閙>0～所以2lnx，x,1,0.(*)2222設(shè)函數(shù)h(x),2lnx，x,1～當(dāng)x>0時(shí)～h(x)是增函數(shù)～所以h(x),0至多有一解(2m，m，4m1因?yàn)閔(1),0～所以方程(*)的解為x,1～即,1～解得m,.222利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立及參數(shù)求解問題x[例2]已知函數(shù)f(x),e,ax，其中a>0.R，f(x)?1恒成立，求a的取值集合;(1)若對(duì)一切x?(2)在函數(shù)f(x)的圖象上取定兩點(diǎn)A(x，f(x))，B(x，f(x))(x<x)，記直線AB的斜率為112212k，證明:存在x?(x，x)，使f′(x),k成立(0120x[自主解答](1)f′(x),e,a～令f′(x),0得x,lna.當(dāng)x<lna時(shí)～f′(x)<0～f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x>lna時(shí)～f′(x)>0～f(x)單調(diào)遞增～故當(dāng)x,lna時(shí)～f(x)取最小值f(lna),a,alna.于是對(duì)一切x?R～f(x)?1恒成立～當(dāng)且僅當(dāng)a,alna?1.?令g(t),t,tlnt～則g′(t),,lnt.當(dāng)0<t<1時(shí)～g′(t)>0～g(t)單調(diào)遞增,當(dāng)t>1時(shí)～g′(t)<0～g(t)單調(diào)遞減(故當(dāng)t,1時(shí)～g(t)取最大值g(1),1.因此～當(dāng)且僅當(dāng)a,1時(shí)～?式成立(綜上所述～a的取值集合為{1}(f，x，,f，x，,exex2121(2)由題意知～k,,,a～x,xx,x2121,exex21x令φ(x),f′(x),k,e,～則x,x21ex1x,x21φ(x),,[e,(x,x),1]～121x,x21ex2x,x12φ(x),[e,(x,x),1](212x,x21tt令F(t),e,t,1～則F′(t),e,1.當(dāng)t<0時(shí)～F′(t)<0～F(t)單調(diào)遞減,當(dāng)t>0時(shí)～(t)>0～F(t)單調(diào)遞增(F′t故當(dāng)t?0時(shí)～F(t)>F(0),0～即e,t,1>0.x,x21從而e,(x,x),1>0～21x,x12e,(x,x),1>0～12exex12又>0～>0～x,xx,x2121所以φ(x)<0～φ(x)>0.12因?yàn)楹瘮?shù)y,φ(x)在區(qū)間[x～x]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線～所以存在x?(x～1201x)～使φ(x),0～即f′(x),k成立(200xax若將函數(shù)“f(x),e,ax，a>0”改為“f(x),e,x，a?0”，試解決問題(1)(ax解:若a<0～則對(duì)一切x>0～f(x),e,x<1～這與題設(shè)矛盾(又a?0～故a>0.11ax而f′(x),ae,1～令f′(x),0得x,ln.aa1111當(dāng)x<ln時(shí)～f′(x)<0～f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x>ln時(shí)～f′(x)>0～f(x)單調(diào)遞增(故當(dāng)xaaaa1111111,,,ln時(shí)～f(x)取最小值fln,,ln.,,aaaaaaa于是對(duì)一切x?R～f(x)?1恒成立～當(dāng)且僅當(dāng)111,ln?1.?aaa令g(t),t,tlnt～則g′(t),,lnt.當(dāng)0<t<1時(shí)～g′(t)>0～g(t)單調(diào)遞增,當(dāng)t>1時(shí)～g′(t)<0～g(t)單調(diào)遞減(1故當(dāng)t,1時(shí)～g(t)取最大值g(1),1.因此～當(dāng)且僅當(dāng),1～即a,1時(shí)～?式成立(a綜上所述～a的取值集合為{1}(——————————————————不等式恒成立問題的求解方法(1)由不等式恒成立求解參數(shù)取值范圍問題常采用的方法是分離參數(shù)求最值，即要使a?g(x)恒成立，只需a?g(x)，要使a?g(x)恒成立，只需a?g(x).另外，當(dāng)參數(shù)不宜maxmin進(jìn)行分離時(shí)，還可直接求最值建立關(guān)于參數(shù)的不等式求解，例如，要使不等式f(x)?0恒成立，可求得f(x)的最小值h(a)，令h(a)?0即可求出a的取值范圍((2)參數(shù)范圍必須依靠不等式才能求出，求解參數(shù)范圍的關(guān)鍵就是找到這樣的不等式(2x2(已知f(x),(x,a)e，a?R.(1)若a,3，求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;是f(x)的兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，且|x，x|?|xx|，求實(shí)數(shù)a的取值集合M;(2)已知x，x212121332(3)在(2)的條件下，若不等式3f(a)<a，a,3a，b對(duì)于a?M都成立，求實(shí)數(shù)b的取2值范圍(2x解:(1)?a,3～?f(x),(x,3)e.2x令f′(x),(x，2x,3)e,0?x,,3或x,1.當(dāng)x?(,?～,3)?(1～，?)時(shí)～f′(x)>0,x?(,3,1)時(shí)～f′(x)<0～?f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(,?～,3)～(1～，?),單調(diào)遞減區(qū)間為(,3,1)(,3?f(x)的極大值為f(,3),6e,極小值為f(1),,2e.2x2(2)令f′(x),(x，2x,a)e,0～即x，2x,a,0～由題意其兩根為x～x～12?x，x,,2～xx,,a～1212故,2?a?2.又Δ,4，4a>0～?,1<a?2.?M,{a|,1<a?2}(333232(3)原不等式等價(jià)于b>3f(a),a,a，3a對(duì)a?M都成立～記g(a),3f(a),a,a，223a(,1<a?2)～2a則g′(a),3(a，a,1)(e,1)～令g′(a),0～5,1,,1,5,則a,或a,0.a,舍去,,22故當(dāng)a變化時(shí)～g′(a)～g(a)的變化情況如下表:,,,5,1,5,15,1(,1,0)a020，，2,,,,222g′(a)，0,0，2g(a)極大值極小值6e,82又?g(0),0～g(2),6e,8～2?g(a),6e,8～max2?b>6e,8.2故實(shí)數(shù)b的取值范圍為(6e,8～，?).利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題[例3]隨著生活水平的不斷提高，人們?cè)絹碓疥P(guān)注身體健康，而電視廣告在商品市場(chǎng)中占有非常重要的地位(某著名保健品生產(chǎn)企業(yè)為了占有更多的市場(chǎng)份額，擬在x年通過電視廣告進(jìn)行一系列促銷活動(dòng)(經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查和測(cè)算，保健品的年銷量x(單位:百萬件)與年促銷費(fèi)t(單位:百萬元)之間滿足:3,x與t，2成反比例(如果不搞促銷活動(dòng)，保健品的年銷量只能是1百萬件，x年生產(chǎn)該保健品的固定費(fèi)用為5百萬元，每生產(chǎn)1百萬件保健品需再投入40百萬元的生產(chǎn)費(fèi)用(若將每件保健品的售價(jià)定為“其生產(chǎn)成本的150%”與“平均每件促銷費(fèi)的m倍(0<m?1.2)”之和，則當(dāng)年生產(chǎn)的保健品恰能銷完(假設(shè)x年該企業(yè)的保健品恰能銷完，且該企業(yè)的年產(chǎn)量最大為2.6百萬件((1)將x年的利潤y(單位:百萬元)表示為促銷費(fèi)t的函數(shù);(2)該企業(yè)x年的促銷費(fèi)投入多少百萬元時(shí)，企業(yè)的年利潤最大,(注:利潤,銷售收入,生產(chǎn)成本,促銷費(fèi)，生產(chǎn)成本,固定費(fèi)用，生產(chǎn)費(fèi)用)[自主解答](1)因?yàn)槟赇N量x百萬件與年促銷費(fèi)t百萬元之間滿足:3,x與t，2成反k比例～所以設(shè)t，2,(k?0)(3,xk由題意知～當(dāng)t,0時(shí)～x,1～代入得0，2,～解得k,4.3,144所以t，2,～即x,3,(t?0)(3,xt，24由該企業(yè)的年產(chǎn)量最大為2.6百萬件可得～x,3,?2.6～解得t?8.t，2由于x年的年銷量為x百萬件～則生產(chǎn)成本為y,5，40x～1促銷費(fèi)用為t～年銷售收入為y,150%×y，mt.2111所以x年的利潤y,y,y,t,y，(m,1)t,×(5，40x)，(m,1)t.211224將x,3,代入上式～得t，241，,,，3,y,×5，40×，(m,1)t，,,，t，2280,2.5，60,，(m,1)tt，280,62.5,，(m,1)t(0?t?8,0<m?1.2)(t，280(2)由(1)知～y,62.5,，(m,1)t(0?t?8)～t，280所以y′,，(m,1)(2，，t，28080當(dāng)1?m?1.2時(shí)～m,1?0～?0～所以y′,，(m,1)?0～此時(shí)函數(shù)在22，t，2，，t，2，80[0,8]上單調(diào)遞增～所以當(dāng)t,8時(shí)～年利潤y取得最大值～最大值為62.5,，(m,1)×88，2,46.5，8m(百萬元),80,80，,0解得t,,2～函數(shù)在當(dāng)0<m<1時(shí)～由y′,,上單調(diào)遞增～0～,21,m,，1,m,80，在,,上單調(diào)遞減(,2～8,，1,m80所以當(dāng)t,,2時(shí)～函數(shù)取得最大值～1,m80,80,最大值為62.5,，(m,1)?,,,64.5,85，1,m，,,2,,1,m80,,，2,,,2,,1,m2m(百萬元)(綜上～若1?m?1.2～則當(dāng)促銷費(fèi)投入t,8時(shí)～企業(yè)的年利潤y取得最大值～最大值80為46.5，8m(百萬元),若0<m<1～則當(dāng)促銷費(fèi)投入t,,2時(shí)～企業(yè)的年利潤y取1,m得最大值～最大值為64.5,85，1,m，,2m(百萬元)(———————————————————利用導(dǎo)數(shù)解決生活中優(yōu)化問題的一般步驟(1)分析實(shí)際問題中各量之間的關(guān)系，列出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出實(shí)際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系y,f(x)，根據(jù)實(shí)際意義確定定義域;(2)求函數(shù)y,f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)，解方程f′(x),0得出定義域內(nèi)的實(shí)根，確定極值點(diǎn);(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和極值點(diǎn)處的函數(shù)值大小，獲得所求的最大(小)值;(4)還原到原實(shí)際問題中作答(3(某商場(chǎng)預(yù)計(jì)x年1月份起前x個(gè)月，顧客對(duì)某商品的需求總量p(x)(單位:件)與x1*的關(guān)系近似地滿足p(x),x(x，1)(39,2x)(x?N，且x?x)(該商品第x月的進(jìn)貨單價(jià)2*150，2x，x?N，且1?x?6，，,,q(x)(單位:元)與x的近似關(guān)系是q(x),,160*185,，x?N，且7?x?12，.,,x(1)寫出x年第x月的需求量f(x)(單位:件)與x的函數(shù)關(guān)系式;(2)該商品每件的售價(jià)為185元，若不計(jì)其他費(fèi)用且每月都能滿足市場(chǎng)需求，試問商場(chǎng)x年第幾月銷售該商品的月利潤最大，最大月利潤為多少元,解:(1)當(dāng)x,1時(shí)～f(1),p(1),37～*當(dāng)2?x?x～且x?N時(shí)～112f(x),p(x),p(x,1),x(x，1)(39,2x),(x,1)?x(41,2x),,3x，40x.222*經(jīng)驗(yàn)證x,1符合f(x),,3x，40x(x?N～且1?x?x)((2)該商場(chǎng)預(yù)計(jì)第x月銷售該商品的月利潤為2*，,3x，40x，，35,2x，，x?N～且1?x?6，～,,g(x),,1602*，,3x，40x，?，x?N～且7?x?12，～,,x32*,6x,185x，1400x，x?N～且1?x?6，～,,即g(x),*,,,480x，6400，x?N～且7?x?12，～*2當(dāng)1?x?6～且x?N時(shí)～g′(x),18x,370x，1400～令g′(x),0～解得x,5～x,140(舍去)(9當(dāng)1?x?5時(shí)～g′(x)>0～當(dāng)5<x?6時(shí)～g′(x)<0～?當(dāng)x,5時(shí)～g(x),g(5),3x5(元)(max*?當(dāng)7?x?x～且x?N時(shí)～g(x),,480x，6400是減函數(shù)～當(dāng)x,7時(shí)～g(x),g(7)max,3040(元)～綜上～商場(chǎng)x年第5個(gè)月的月利潤最大～最大利潤為3x5元(2個(gè)轉(zhuǎn)化——解決含參問題及不等式問題中的兩個(gè)轉(zhuǎn)化(1)利用導(dǎo)數(shù)解決含有參數(shù)的單調(diào)性問題可將問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用((2)將不等式的證明、方程根的個(gè)數(shù)的判定轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極值問題處理(3個(gè)注意點(diǎn)——利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題應(yīng)注意的問題(1)既要注意將問題中涉及的變量關(guān)系用函數(shù)關(guān)系表示，還要注意確定函數(shù)關(guān)系式中自變量的取值范圍((2)一定要注意求得函數(shù)結(jié)果的實(shí)際意義，不符合實(shí)際的值應(yīng)舍去((3)如果目標(biāo)函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，那么根據(jù)實(shí)際意義該極值點(diǎn)就是最值點(diǎn).數(shù)學(xué)思想——轉(zhuǎn)化與化歸思想在證明不等式中的應(yīng)用對(duì)不等式的證明而言，我們可以從所證不等式的結(jié)構(gòu)和特點(diǎn)出發(fā)，結(jié)合已有的知識(shí)利用轉(zhuǎn)化與化歸思想，構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù)，再借助導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，從而使不等式得到證明，其一般步驟是:構(gòu)造可導(dǎo)函數(shù)?研究單調(diào)性或最值?得出不等關(guān)系?整理得出結(jié)論(lnx，k[典例](x?x高考)已知函數(shù)f(x),(k為常數(shù)，e,2.71828?是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，xe曲線y,f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與x軸平行((1)求k的值;(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;2,2(3)設(shè)g(x),(x，x)f′(x)，其中f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，證明:對(duì)任意x>0，g(x)<1，e.lnx，k[解](1)由f(x),～xe,kx,xlnx1得f′(x),～x?(0～，?)～xxe由于曲線y,f(x)在(1～f(1))處的切線與x軸平行～所以f′(1),0～因此k,1.1(2)由(1)得f′(x),(1,x,xlnx)～x?(0～，?)～xxe令h(x),1,x,xlnx～x?(0～，?)～當(dāng)x?(0,1)時(shí)～h(x)>0,當(dāng)x?(1～，?)時(shí)～h(x)<0.x又e>0～所以x?(0,1)時(shí)～f′(x)>0,當(dāng)x?(1～，?)時(shí)～f′(x)<0.因此f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)～單調(diào)遞減區(qū)間為(1～，?)(2(3)證明:因?yàn)間(x),(x，x)f′(x)～x，1所以g(x),(1,x,xlnx)～x?(0～，?)(xe,2因此對(duì)任意x>0～g等價(jià)于(x)<1，exe,21,x,xlnx<)((1，ex，1由(2)h(x),1,x,xlnx～x?(0～，?)～,2所以h′(x),,lnx,2,,(lnx,lne)～x?(0～，?)～,2因此當(dāng)x?(0～e)時(shí)～h′(x)>0～h(x)單調(diào)遞增,,2當(dāng)x?(e～，?)時(shí)～h′(x)<0～h(x)單調(diào)遞減(,2,2所以h(x)的最大值為h(e),1，e～,2x故1,.設(shè)φ(x),x,xlnx?1，ee,(x，1)(xx0因?yàn)棣铡?x),e,1,e,e～所以當(dāng)x?(0～，?)時(shí)～φ′(x)>0～φ(x)單調(diào)遞增～φ(x)>φ(0),0～x故當(dāng)x?(0～，?)時(shí)～φ(x),e,(x，1)>0～xe即>1.x，1xe,2,2所以1,x,xlnx?1，e<)((1，ex，1,2因此對(duì)任意x>0～g(x)<1，e.[題后悟道],21(本題中證明x>0時(shí)，g(x)<1，e，即證明函數(shù)g(x)在(0，，?)上的最大值小于1，,2e，從而將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)g(x)在(0，，?)上的最大值問題，使問題得以順利解決(2(一般地，證明f(x)<g(x)，x?(a，b)，可以構(gòu)造函數(shù)F(x),f(x),g(x)，如果F′(x)<0，，b)上是減函數(shù)，同時(shí)若F(a)?0，由減函數(shù)的定義可知，x?(a，b)時(shí)，有則F(x)在(aF(x)<0，即證明了f(x)<g(x)(證明f(x)>g(x)，x?(a，b)，可以構(gòu)造函數(shù)F(x),f(x),g(x)，如果F′(x)>0，則F(x)在(a，b)上是增函數(shù)，同時(shí)若F(a)?0，由增函數(shù)的定義可知，x?(a，b)時(shí)，有F(x)>0，即證明了f(x)>g(x)([變式訓(xùn)練](x?x高考)設(shè)f(x),ln(x，1)，x，1，ax，b(a，b?R，a，b為常數(shù))，曲線y,f(x)與直3線y,x在(0,0)點(diǎn)相切(2(1)求a，b的值;9x(2)證明:當(dāng)0<x<2時(shí)，f(x)<.x，6解:(1)由y,f(x)過(0,0)點(diǎn)～得b,,1.3由y,f(x)在(0,0)點(diǎn)的切線斜率為～2113,,,，，a又y′|,,，a～得a,0.,,,,,x0x0x，1,,,22x，1(2)證明:法一:由均值不等式～當(dāng)x>0時(shí)～x2，x，1，?1<x，1，1,x，2～故x，1<，1.29x記h(x),f(x),～則x，61154h′(x),，,2x，，x，16，2x，12，x，1x，65454,,<,222，x，1，，x，6，4，x，1，，x，6，3，x，6，,216，x，1，,.2，x，1，，x，6，43令g(x),(x，6),216(x，1)～則當(dāng)0<x<2時(shí)～2g′(x),3(x，6),216<0.因此g(x)在(0,2)內(nèi)是遞減函數(shù)(又由g(0),0～得g(x)<0～所以h′(x)<0.因此h(x)在(0,2)內(nèi)是遞減函數(shù)(又h(0),0～9x得h(x)<0.于是當(dāng)0<x<2時(shí)～f(x)<.x，6法二:由(1)知f(x),ln(x，1)，x，1,1.由均值不等式～當(dāng)x>0時(shí)～2，x，1，?1<x，1，1,x，2～x故x，1<，1.?2令k(x),ln(x，1),x～,x1則k(0),0～k′(x),,1,<0～x，1x，1故k(x)<0～即ln(x，1)<x.?3由??得～當(dāng)x>0時(shí)～f(x)<x.2記h(x),(x，6)f(x),9x～則當(dāng)0<x<2時(shí)～h′(x),f(x)，(x，6)f′(x),9113,,，<x，(x，6),9,,x，12,,2x，11,[3x(x，1)，(x，6)(2，x，1),18(x，1)]2，x，1，1x,,，，<3x，x，1，，，x，6，3，,18，x，1，，,,，2，x，1，2x,(7x,18)<0.4，x，1，因此h(x)在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減(9x又h(0),0～所以h(x)<0～即f(x)<.x，6一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)31(已知f(x),x,ax在[1，，?)上是單調(diào)增函數(shù)，則a的最大值是()A(0B(1C(2D(32解析:選Df′(x),3x,a?0在[1～，?)上恒成立～22即a?3x在[1～，?)上恒成立～而(3x),3×x,3～min?a?3～故a,3.max32(設(shè)動(dòng)直線x,m與函數(shù)f(x),x，g(x),lnx的圖象分別交于點(diǎn)M，N，則|MN|的最小值為()11A.(1，ln3)B.ln333C(1，ln3D(ln3,11332解析:選A由題意知|MN|,|x,lnx|～設(shè)h(x),x,lnx～h′(x),3x,～令h′(x)x331111111,,,0～得x,～易知當(dāng)x,時(shí)～h(x)取得最小值～h(x),,ln,1,ln>0～min,,3333333111,,故|MN|,1,ln,(1，ln3)(min,,33323(若不等式2xlnx?,x，ax,3對(duì)x?(0，，?)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A((,?，0)B((,?，4]C((0，，?)D([4，，?)332解析:選B2xlnx?,x，ax,3～則a?2lnx，x，～設(shè)h(x),2lnx，x，(x>0)～則xx，x，3，，x,1，h′(x),.當(dāng)x?(0,1)時(shí)～h′(x)<0～函數(shù)h(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x?(1～，?)時(shí)～2xh′(x)>0～函數(shù)h(x)單調(diào)遞增～所以h(x),h(1),4.所以a?h(x),4.minmin4(球的直徑為d，其內(nèi)接正四棱柱體積V最大時(shí)的高為()23A.dB.d2232C.dD.d33解析:選C設(shè)正四棱柱的高為h～底面邊長為x～如圖是其組合體的軸截面圖形～則AB,2x～BD,d～AD,h～222?AB，AD,BD～222?2x，h,d.22,hd2?x,.222，d,h，h1223又?V,x?h,,(dh,h)～221322?V′(h),d,h.2233令V′(h),0～得h,d或h,,d(舍去)(3335(已知函數(shù)f(x),x,3x，若對(duì)于區(qū)間[,3,2]上任意的x，x都有|f(x),f(x)|?t，則1212實(shí)數(shù)t的最小值是()A(0B(10C(18D(202解析:選Df′(x),3x,3～令f′(x),0～解得x,?1～所以1～,1為函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)(因?yàn)閒(,3),,18～f(,1),2～f(1),,2～f(2),2～所以在區(qū)間[,3,2]上～f(x),2～maxf(x),,18～所以對(duì)于區(qū)間[,3,2]上任意的x～x～|f(x),f(x)|?20～所以t?20～從而tmin1212的最小值為20.1,,6((x?宜昌模擬)已知y,f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x?(0,2)時(shí)，f(x),lnx,axa>，當(dāng)x?(,,,22,0)時(shí)，f(x)的最小值為1，則a的值等于()11A.B.431C.D(12解析:選D由題意知～當(dāng)x?(0,2)時(shí)～f(x)的最大值為,1.11令f′(x),,a,0～得x,～xa1當(dāng)0<x<時(shí)～f′(x)>0,a1當(dāng)x>時(shí)～f′(x)<0.a1,,?f(x),f,,lna,1,,1～解得a,1.max,,a二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)π37(設(shè)f(x),x，x，x?R，若當(dāng)0?θ?時(shí)，f(msinθ)，f(1,m)>0恒成立，則實(shí)數(shù)m的2取值范圍是________(32解析:因?yàn)閒(x),x，x～x?R～故f′(x),3x，1>0～則f(x)在x?R上為單調(diào)增函數(shù)～又因?yàn)閒(,x),,f(x)(故f(x)也為奇函數(shù)～由f(msinθ)，f(1,m)>0～即f(msinθ)>,f(1,m)ππ,f(m,1)～得msinθ>m,1～即m(sinθ,1)>,1～因?yàn)??θ?～故當(dāng)θ,時(shí)～0>,1恒221π1,,，,成立,當(dāng)θ?0～時(shí)～m<恒成立～即m<,1.故m<1.min，,,,1,sinθ12,sinθ答案:(,?，1)8(某商場(chǎng)從生產(chǎn)廠家以每件20元購進(jìn)一批商品，若該商品零售價(jià)為p元，銷量Q(單2,p，則該商品零售價(jià)定為位:件)與零售價(jià)p(單位:元)有如下關(guān)系:Q,8300,170p________元時(shí)利潤最大，利潤的最大值為________(解析:設(shè)商場(chǎng)銷售該商品所獲利潤為y元～則2y,(p,20)Q,(p,20)(8300,170p,p)32,,p,150p，x700p,166000(p?20)～2則y′,,3p,300p，x700.2令y′,0得p，100p,3900,0～解得p,30或p,,130(舍去)(則p～y～y′變化關(guān)系如下表:p(20,30)30(30～，?)y′，,0極大值y故當(dāng)p,30時(shí)～y取極大值為23000元(32又y,,p,150p，x700p,166000在[20～，?)上只有一個(gè)極值～故也是最值(所以該商品零售價(jià)定為每件30元～所獲利潤最大為23000元(答案:30230001329(若函數(shù)f(x),x,ax滿足:對(duì)于任意的x，x?[0,1]都有|f(x),f(x)|?1恒成立，12123則a的取值范圍是________(12232解析:由題意得～在[0,1]內(nèi)～f(x),f(x)?1.f′(x),x,a～函數(shù)f(x),x,ax的maxmin3極小值點(diǎn)是x,|a|.若|a|>1～則函數(shù)f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減～故只要f(0),f(1)?1～即只要423122322a?～即1<|a|?,若|a|?1～此時(shí)f(x),f(|a|),|a|,a|a|,,a|a|～由于f(0),0～min3333123122222,,f(1),,a～故當(dāng)|a|?時(shí)～f(x),f(1)～此時(shí)只要,a，a|a|?1即可～即a|a|,1max,,33333232233?～由于|a|?～故|a|,1?×,1<0～故此式成立,當(dāng)<|a|?1時(shí)～此時(shí)f(x),max33333322，2323，f(0)～故只要a|a|?1即可～此不等式顯然成立(綜上～a的取值范圍是.,～，，333，2323，答案:,，，，33三、解答題(本大題共3小題，每小題x分，共36分)10(已知函數(shù)f(x),alnx,ax,3(a?R)((1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)y,f(x)的圖象在點(diǎn)(2，f(2))處的切線的傾斜角為45?，對(duì)于任意的t?[1,2]，m32，，函數(shù)g(x),x，x?f′，x，，在區(qū)間(t,3)上不是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍(，，2解:(1)根據(jù)題意知～,x，a，1f′(x),(x>0)～x當(dāng)a>0時(shí)～f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1]～單調(diào)遞減區(qū)間為(1～，?),當(dāng)a<0時(shí)～f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1～，?)～單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1],當(dāng)a,0時(shí)～f(x)不是單調(diào)函數(shù)～a(2)?f′(2),,,1～2?a,,2.?f(x),,2lnx，2x,3.m32,,?g(x),x，，2x,2x～,,22?g′(x),3x，(m，4)x,2.?g(x)在區(qū)間(t,3)上不是單調(diào)函數(shù)～且g′(0),,2.,g′，t，<0～,,?g′，3，>0.,,由題意知:對(duì)于任意的t?[1,2]～g′(t)<0恒成立～g′，1，<0～,,g′，2，<0～?,,g′，3，>0～,37?,<m<,9.3lnxx(已知f(x),ax,lnx，x?(0，e]，g(x),，其中e是自然常數(shù)，a?R.x(1)討論當(dāng)a,1時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)性和極值;1(2)求證:在(1)的條件下，f(x)>g(x)，;2(3)是否存在實(shí)數(shù)a，使f(x)的最小值是3,若存在，求出a的值;若不存在，說明理由(x,11解:(1)?f(x),x,lnx～f′(x),1,,～xx?當(dāng)0<x<1時(shí)～f′(x)<0～此時(shí)f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)1<x<e時(shí)～f′(x)>0～此時(shí)f(x)單調(diào)遞增(?f(x)的極小值為f(1),1.(2)證明:?f(x)的極小值為1～即f(x)在(0～e]上的最小值為1～f(x),1.?min1,lnx又?g′(x),～2x?0<x<e時(shí)～g′(x)>0～g(x)在(0～e]上單調(diào)遞增(11?g(x),g(e),<.maxe21?f(x),g(x)>.minmax21?在(1)的條件下～f(x)>g(x)，.2ax,11(3)假設(shè)存在實(shí)數(shù)a～使f(x),ax,lnx(x?(0～e])有最小值3～則f′(x),a,,.xx4?當(dāng)a?0時(shí)～f(x)在(0～e]上單調(diào)遞減～f(x),f(e),ae,1,3～a,(舍去)～所以～mine此時(shí)f(x)的最小值不是3,111,,,，?當(dāng)0<<e時(shí)～f(x)在0～上單調(diào)遞減～在～e上單調(diào)遞增～,,,，aaa12,,f(x),f,1，lna,3～a,e～滿足條件,min,,a14?當(dāng)?e時(shí)～f(x)在(0～e]上單調(diào)遞減～f(x),f(e),ae,1,3～a,(舍去)～所以～minae此時(shí)f(x)的最小值不是3.2綜上～存在實(shí)數(shù)a,e～使得當(dāng)x?(0～e]時(shí)～f(x)有最小值3.1x(設(shè)函數(shù)f(x),x,,alnx.x22(1)若曲線y,f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線被圓x，y,1截得的弦長為2，求a的值;(2)若函數(shù)f(x)在其定義域上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;1(3)當(dāng)a?2時(shí)，設(shè)函數(shù)g(x),x,lnx,，若在[1，e]上存在x，x使f(x)?g(x)成立，1212e求實(shí)數(shù)a的取值范圍(解:由題意知～函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0～，?)(2,ax，1x1a(1)求導(dǎo)得～f′(x),1，,,～22xxx故f′(1),2,a～而f(1),0～故曲線y,f(x)在點(diǎn)(1～f(1))處的切線方程為y,0,(2,a)?(x,1)～即y,(2,a)(x,1)(故圓心到直線的距離|2,a|222,,d,,1,～22,,2，2,a，，，,1，|2,a|2即,～解得a,1或a,3.22，2,a，，1(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在其定義域上為增函數(shù)～即f′(x)?0在(0～，?)上恒成立～1a1所以1，,?0恒成立～即a?x，.2xxx11又x，?2x×,2(當(dāng)且僅當(dāng)x,1時(shí)取等號(hào))～故a的取值范圍為(,?～2](xx(3)由在[1～e]上存在x～x使f(x)?g(x)成立～可知當(dāng)x?[1～e]時(shí)～f(x)?g(x).1212maxmin1又因g′(x),1,～所以當(dāng)x?[1～e]時(shí)～g′(x)?0～即函數(shù)g(x)在區(qū)間[1～e]上是單x調(diào)遞增的函數(shù)～最小值為11g(1),1,ln1,,1,.ee2x,ax，12由(1)知f′(x),～因?yàn)閤>0～又函數(shù)2x222y,x,ax，1的判別式Δ,(,a),4×1×1,a,4～(?)當(dāng)a?[,2,2]時(shí)～Δ?0～則f′(x)?0恒成立～即函數(shù)f(x)在區(qū)間[1～e]上是單調(diào)遞1增的函數(shù)～故函數(shù)f(x)在區(qū)間[1～e]上的最大值為f(e),e,,a～e11故有f(e)?g(1)～即e,,a?1,～解得a?e,1.ee又a?[,2,2]～所以a?[,2～e,1],(?)當(dāng)a<,2時(shí)～Δ>0～f′(x),0的兩根為22,4,4a,aa，ax,～x,～1222此時(shí)x<0～x<0.故函數(shù)f(x)在區(qū)間[1～e]上是單調(diào)遞增的函數(shù)(由(?)知～a?e,1～又12a<,2～故a<,2.綜上所述～a的取值范圍為(,?～e,1](12xx1(設(shè)函數(shù)f(x),x，e,xe.2(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若當(dāng)x?[,2,2]時(shí)，不等式f(x)>m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍(解:(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,?～，?)～xxxx?f′(x),x，e,(e，xe),x(1,e)～x若x<0～則1,e>0～所以f′(x)<0,x若x>0～則1,e<0～所以f′(x)<0,f(x)在(,?～，?)上為減函數(shù)～?即f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(,?～，?)((2)由(1)知～f(x)在[,2,2]上單調(diào)遞減～2?f(x),f(2),2,e.min2?m<2,e時(shí)～不等式f(x)>m恒成立(22(設(shè)函數(shù)f(x),(x,a)lnx，a?R.(1)若x,e為y,f(x)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a;2(2)求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使得對(duì)任意的x?(0,3e]，恒有f(x)?4e成立(注:e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))(解:(1)對(duì)f(x)求導(dǎo)～得2，x,a，f′(x),2(x,a)lnx，xa,,,(x,a)2lnx，1,.,,xa,,因?yàn)閤,e是f(x)的極值點(diǎn)～所以f′(e),(e,a)?3,,0～解得a,e或a,3e.經(jīng)檢驗(yàn),,ea,e符合題意～所以或a,3e.(2)(?)當(dāng)0<x?1時(shí)～對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a～恒有2f(x)?0<4e成立((?)當(dāng)1<x?3e時(shí)～由題意～22f(3e),(3e,a)ln(3e)?4e～2e2e解得3e,?a?3e，.ln，3e，ln，3e，a,,由(1)知f′(x),(x,a)2lnx，1,～,,xa令h(x),2lnx，1,～x則h(1),1,a<0～h(a),2lna>0～2e3e，1aln，3e，，，ln，3e，,且h(3e),2ln(3e)，1,?2ln(3e)，1,,2>0.，，3e3e3ln，3e，又h(x)在(0～，?)內(nèi)單調(diào)遞增～所以函數(shù)h(x)在(0～，?)內(nèi)有唯一零點(diǎn)～記此零點(diǎn)為x～則1<x<3e～001<x<a.0從而～當(dāng)x?(0～x)時(shí)～f′(x)>0,0當(dāng)x?(x～a)時(shí)～f′(x)<0,0當(dāng)x?(a～，?)時(shí)～f′(x)>0～即f(x)在(0～x)內(nèi)單調(diào)遞增～在(x～a)內(nèi)單調(diào)遞減～在(a～，?)內(nèi)單調(diào)遞增(002所以要使f(x)?4e對(duì)x?(1,3e]恒成立～只要22,f，x，,，x,a，lnx?4e～?,000,恒成立(2f，3e，,，3e,a，ln，3e，?4e～?,,a由h(x),2lnx，1,,0～得a,2xlnx，x.?00000x023223將?代入?得4xlnx?4e.又x>1～注意到函數(shù)xlnx在[1～，?)內(nèi)單調(diào)遞增～故0001<x?e.0再由?以及函數(shù)2xlnx，x在(1～，?)內(nèi)單調(diào)遞增～可得1<a?3e.2e2e又3e,?a?3e，～ln，3e，ln，3e，2e所以3e,?a?3e.ln，3e，2e綜上～a的取值范圍為3e,?a?3e.ln，3e，alnxb3(已知函數(shù)f(x),，，曲線y,f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為x，2y,3,0.x，1x(1)求a，b的值(lnxk(2)如果當(dāng)x>0，且x?1時(shí)，f(x)>，，求k的取值范圍(x,1xx，1,,,lnxa,,xb解:(1)f′(x),,.22，x，1，x1由于直線x，2y,3,0的斜率為,～且過點(diǎn)(1,1)～2f，1，,1～b,1～,,,,故即解得a,,,1～b,1.1a1f′，1，,,～,b,,～,,,,222lnx1(2)由(1)知f(x),，～x，1xlnxk,,，所以f(x),,,x,1x2，k,1，，x,1，1，，,2lnx，.2，，1,xx2，k,1，，x,1，設(shè)h(x),2lnx，(x>0)～則x2，k,1，，x，1，，2xh′(x),.2x22k，x，1，,，x,1，(?)設(shè)k?0～由h′(x),知～當(dāng)x?1時(shí)～h′(x)<0～而h(1),0～2x1故當(dāng)x?(0,1)時(shí)～h(x)>0～可得h(x)>0,21,x1當(dāng)x?(1～，?)時(shí)～h(x)<0～可得h(x)>0.21,xlnxklnxk,,，從而當(dāng)x>0～且x?1時(shí)～f(x),>0～即f(x)>，.,,x,1xx,1x1,,1～(?)設(shè)0<k<1～由于x?時(shí)～,,1,k2(k,1)(x，1)，2x>0～故h′(x)>0.1,,1～而h(1),0～故當(dāng)x?時(shí)～,,1,k1(x)>0～可得hh(x)<0.與題設(shè)矛盾(21,x1(?)設(shè)k?1～此時(shí)h′(x)>0～而h(1),0～故當(dāng)x?(1～，?)時(shí)～h(x)>0～可得21,xh(x)<0.與題設(shè)矛盾(綜上所述～k的取值范圍為(,?～0](第二節(jié)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示[備考方向要明了]考什么怎么考本節(jié)內(nèi)容在高考中一般不單獨(dú)命題,常常是結(jié)合向1.了解平面向量基本定理及其意量的其他知識(shí)命制綜合性的小題,這些小題多屬于義,中低檔題,問題常常涉及以下幾個(gè)方面:2.掌握平面向量的正交分解及坐(1)結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算求向量的值,如x年重慶T6標(biāo)表示,等,3.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加(2)結(jié)合平面向量基本定理考查向量的線性表示,如法、減法不數(shù)乘運(yùn)算,x年xT3等,4.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線(3)結(jié)合向量的垂直與共線等知識(shí)，求解參數(shù)問題，如x的條件.年xT10等.[歸納?知識(shí)整合]1(兩個(gè)向量的夾角(1)定義,,,,,,,,OAOB已知兩個(gè)非零向量a和b，作,a，,b，則?AOB,θ叫做向量a與b的夾角((2)范圍向量夾角θ的范圍是[0，π]，a與b同向時(shí)，夾角θ,0;a與b反向時(shí)，夾角θ,π.(3)向量垂直π如果向量a與b的夾角是，則a與b垂直，記作a?b.22(平面向量基本定理及坐標(biāo)表示(1)平面向量基本定理:如果e，e是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有12且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ，λ，使a,λe，λe.121122其中，不共線的向量e，e叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底(12(2)平面向量的坐標(biāo)表示:?在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i，j作為基底，對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使a,xi，yj，把有序數(shù)對(duì)(x，y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作a,(x，y)，其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)(,,,,,,,,,,,,?設(shè),xi，yj，則向量的坐標(biāo)(x，y)就是A點(diǎn)的坐標(biāo)，即若,(x，y)，則AOAOAOA點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，反之亦成立((O是坐標(biāo)原點(diǎn))[探究]1.向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)有何不同,提示:向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)有所不同～相等向量的坐標(biāo)是相同的～但起點(diǎn)、終點(diǎn)的,,,,坐標(biāo)卻可以不同～以原點(diǎn)O為起點(diǎn)的向量的坐標(biāo)與點(diǎn)A的坐標(biāo)相同(OA3(平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)若a,(x，y)，b,(x，y)，則a?b,(x?x，y?y);11221212,,,,(2)若A(x，y)，B(x，y)，則,(x,x，y,y);AB11222121(3)若a,(x，y)，則λa,(λx，λy);(4)若a,(x，y)，b,(x，y)，則a?b?xy,xy.11221221[探究]2.相等向量的坐標(biāo)一定相同嗎,相等向量起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)可以不同嗎,提示:相等向量的坐標(biāo)一定相同～但是起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)可以不同(如A(3,5)～B(6,8)～,,,,,,,,,,,,,,,,CDCD則,(3,3),C(,5,3)～D(,2～6)～則,(3,3)～顯然,～但A～B～C～DABAB四點(diǎn)坐標(biāo)均不相同(xy113(若a,(x，y)，b,(x，y)，則a?b的充要條件能表示成,嗎,1122xy22xy11提示:若a,(x～y)～b,(x～y)～則a?b的充要條件不能表示成,～因?yàn)閤～y112222xy22有可能等于0～所以應(yīng)表示為xy,xy,0.同時(shí)～a?b的充要條件也不能錯(cuò)記為xx,yy12211212,0～xy,xy,0等(1122[自測(cè)?牛刀小試]1(若向量a,(1,1)，b,(,1,0)，c,(6,4)，則c,()A(4a,2bB(4a，2bC(,2a，4bD(2a，4b解析:選A設(shè)c,λa，μb～則有(6,4),(λ～λ)，(,μ～0),(λ,μ～λ)～即λ,μ,6～λ,4～從而μ,,2～故c,4a,2b.2(下列各組向量中，能作為基底的組數(shù)為()?a,(,1,2)，b,(5,7);?a,(2，,3)，b,(4，,6);?a,(2，,3)，b,(x，,34)(A(0B(1C(2D(3解析:選C對(duì)?～由于,1×7,2×5?0～所以a與b不共線～故a～b可作為基底,對(duì)?～由于b,2a～a與b共線～不能作為基底,對(duì)?～由于,34×2，3×x?0～所以a與b不共線～故a～b可作為基底(3(設(shè)向量a,(m,1)，b,(1，m)，如果a與b共線且方向相反，則m的值為()A(,1B(1C(,2D(2,m,λ～,,解析:選A設(shè)a,λb～則1,mλ～,,即λ,?1～又?a與b共線且方向相反～?λ<0～即λ,,1.,,,,,,,,AC4((教材習(xí)題改編)在?ABCD中，AC為一條對(duì)角線，,(2,4)，,(1,3)，則向AB,,,,量的坐標(biāo)為________(BD,,,,,,,,,,,,,,,,AC解析:設(shè),(x～y)～?,，ADABAD?(1,3),(2,4)，(x～y)～,,1,2，x～x,,1～,,,,?即3,4，y～y,,1～,,,,,,,,?,(,1～,1)(AD,,,,,,,,,,,,?,,,(,1～,1),(2,4),(,3～,5)(BDADAB答案:(,3，,5)5(已知向量a,(2，,1)，b,(,1，m)，c,(,1,2)，若(a，b)?c，則m,________.解析:?a，b,(1～m,1)(?(a，b)?c～?2,(,1)(m,1),0～?m,,1.答案:,1平面向量基本定理的應(yīng)用,,,,1[例1]如圖所示，在?ABC中，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，且,AN2,,,,,,,,,,,,，BN與CM相交于點(diǎn)E，設(shè),a，,b，試用基底a，b表NCACAB,,,,示向量.AE,,,,,,,,,,,,,,,,,1111[自主解答]易得,,b～,,a～由N～E～B三點(diǎn)共線知～存ANACAMAB3322,,,,,,,,,,,,1在實(shí)數(shù)m～滿足,m，(1,m),mb，(1,m)a.ANAEAB3,,,,,,,,,,,,,1由C～E～M三點(diǎn)共線知存在實(shí)數(shù)n～滿足,n，(1,n),na，(1,n)b.ACAEAM211所以mb，(1,m)a,na，(1,n)b.32131,m,n～m,～,,25由于a～b為基底～所以解得,,14m,1,n～n,～,,35,,,,21所以,a，b.AE55———————————————————應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的方法應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加法、減法或數(shù)乘運(yùn)算，基本方法有兩種:(1)運(yùn)用向量的線性運(yùn)算法則對(duì)待求向量不斷進(jìn)行化簡(jiǎn)，直至用基底表示為止;(2)將向量用含參數(shù)的基底表示，然后列方程或方程組，利用基底表示向量的唯一性求解(11.如圖，在梯形ABCD中，AD?BC，且AD,BC，E，F(xiàn)分別為3,,,,,,,,BC線段AD與BC的中點(diǎn)(設(shè),a，,b，試用a，b為基底表示向BA,,,,,,,,,,,,CD量EF，DF，.,,,,,,,,,,,,,,,,111解:EF,EA，AB，BF,,b,a，b,b,a～623,,,,,,,,,,,,111,,,，,,b，b,a,b,a～DFDEEF,,636,,,,,,,,,,,,121,,,，,,b,b,a,a,b.CDCFFD,,263平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,,,,,,,,,,,,[例2]已知A(,2,4)，B(3，,1)，C(,3，,4)(設(shè),a，,b，,c，且BCCAAB,,,,,,,,,,3c，,,2b.求:CMCN(1)3a，b,3c;,,,,,(2)M、N的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)(MN[自主解答]由已知得a,(5～,5)～b,(,6～,3)～c,(1,8)((1)3a，b,3c,3(5～,5)，(,6～,3),3(1,8),(15,6,3～,15,3,24),(6～,42)(,,,,,,,,,,,,,,(2)?,,,3c～CMOMOC,,,,,,,,,?OM,3c，OC,(3,24)，(,3～,4),(0,20)(?M(0,20)(,,,,,,,,,,,,又?CNONOC,,,,2b～,,,,,,,,ONOC?,,2b，,(x,6)，(,3～,4),(9,2)～,,,,,MN?N(9,2)(?,(9～,18)(———————————————————平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧(1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來進(jìn)行求解的，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)((2)解題過程中，常利用向量相等則其坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程(組)來進(jìn)行求解，并注意方程思想的應(yīng)用(,,,,,,,,,,,,,,,,11AC2(已知點(diǎn)A(,1,2)，B(2,8)以及,，,,，求點(diǎn)C、D的坐標(biāo)和ABDABA33,,,,CD的坐標(biāo)(解:設(shè)點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別為(x～y)、(x～y)～1122,,,,,,,,AC得,(x，1～y,2)～AB,(3,6)～11,,,,,,,,,(,1,x2,y)～,(,3～,6)(DABA2,2,,,,,,,,,,,,,,,,11因?yàn)?～,,～ACABDABA33,,x，1,1,1,x,1～12,,,,所以有～和y,2,22,y,2.,,,,12,,x,0～x,,2～1,2,,,解得和y,4～y,0.,,,,12所以點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別是(0,4)、(,2,0)～,,,,從而,(,2～,4).CD平面向量共線的坐標(biāo)表示[例3]平面內(nèi)給定三個(gè)向量a,(3,2)，b,(,1,2)，c,(4,1)((1)求滿足a,mb，nc的實(shí)數(shù)m，n;(2)若(a，kc)?(2b,a)，求實(shí)數(shù)k;(3)若d滿足(d,c)?(a，b)，且|d,c|,5，求d.[自主解答](1)由題意得(3,2),m(,1,2)，n(4,1)～5m,～,,,m，4n,3～9,,所以得,2m，n,2～8,,n,.,9(2)?a，kc,(3，4k,2，k)～2b,a,(,5,2)～16?2×(3，4k),(,5)×(2，k),0.?k,,.13(3)設(shè)d,(x～y)～d,c,(x,4～y,1)～a，b,(2,4)～,4，x,4，,2，y,1，,0～,,由題意得22，x,4，,，，y,1，,5～,,,x,3～x,5～,,,,得或故d,(3～,1)或(5,3)(y,,1y,3.,,,,本例(2)成立的前提下，a，kc與2b,a是同向還是反向(16解:?由例題知～k,,.13162510,,?a，kc,(3,2),(4,1),,～～,,1313132b,a,(,2,4),(3,2),(,5,2)～5?a，kc,(2b,a)～135又?,0～?a，kc與2b,a同向(13———————————————————利用兩向量共線解題的技巧(1)一般地，在求與一個(gè)已知向量a共線的向量時(shí)，可設(shè)所求向量為λa(λ?R)，然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量((2)如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時(shí)，則利用“若a,(x，y)，b,(x，y)，1122則a?b的充要條件是xy,xy”解題比較方便(12213((1)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形ABCD的邊AB?DC，AD?BC.已知點(diǎn)A(,2,0)，B(6,8)，C(8,6)，則D點(diǎn)的坐標(biāo)為________((2)已知向量a,(m，,1)，b,(,1，,2)，c,(,1,2)，若(a，b)?c，則m,________.解析:(1)由條件中的四邊形ABCD的對(duì)邊分別平行～可以判斷該四邊形ABCD是平行,,,,,,,,四邊形(設(shè)D(x～y)～則有,DC～即(6,8),(,2,0),(8,6),(x～y)～解得(x～y),(0～AB,2)～即D點(diǎn)的坐標(biāo)為(0～,2)((2)由題意知a，b,(m,1～,3)～c,(,1,2)～(a，b)?c得(,3)×(,1),(m,1)×2,0～由5即2(m,1),3～所以m,.25答案:(1)(0，,2)(2)21個(gè)區(qū)別——向量坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)的區(qū)別,,,,OA在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量,a，點(diǎn)A的位置被向量a唯一確定，此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)與a的坐標(biāo)統(tǒng)一為(x，y)，但應(yīng)注意其表示形式的區(qū)別，如點(diǎn)A(x，y)，向,,,,OA量a,,(x，y)(2種形式——向量共線的充要條件的兩種形式(1)a?b?b,λa(a?0，λ?R);(2)a?b?xy,xy,0(其中a,(x，y)，b,(x，y))(122111223個(gè)注意點(diǎn)——解決平面向量共線問題應(yīng)注意的問題(1)注意0的方向是任意的;(2)若a、b為非零向量，當(dāng)a?b時(shí)，a，b的夾角為0?或180?，求解時(shí)容易忽視其中一種情形而導(dǎo)致出錯(cuò);xy11(3)若a,(x，y)，b,(x，y)，則a?b的充要條件不能表示成,，因?yàn)閤，y有112222xy22可能等于0，所以應(yīng)表示為xy,xy,0.1221易誤警示——忽視向量平行的主要條件致誤[典例](x?x高考)設(shè)向量a，b滿足|a|,25，b,(2,1)，且a與b的方向相反，則a的坐標(biāo)為________(22[解析]設(shè)a,(x～y)～x,0～y,0～則x,2y,0且x，y,20～解得x,4～y,2(舍去)～或者x,,4～y,,2～即a,(,4～,2)([答案](,4，,2)[易誤辨析]1(解答本題易誤認(rèn)為“a與b的方向相反?a?b”，致使出現(xiàn)增解(4,2)，而造成解題錯(cuò)誤(2(解決此類問題常有混淆向量共線與向量垂直的充要條件致誤([變式訓(xùn)練](已知向量a,(1,0)，b,(0,1)，c,ka，b(k?R)，d,a,b，如果c?d，那么()1A(k,1且c與d同向B(k,1且c與d反向C(k,,1且c與d同向D(k,,1且c與d反向解析:選D?a,(1,0)～b,(0,1)～若k,1～則c,a，b,(1,1)～d,a,b,(1～,1)(顯然～c與d不平行～排除A、B.若k,,1～則c,,a，b,(,1,1)～,d,,a，b,(,1,1)～即c?d且c與d反向～排除C.112(若三點(diǎn)A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab?0)共線，則，的值等于________(ab,,,,,,,,AC解析:,(a,2～,2)～,(,2～b,2)～依題意～有(a,2)(b,2),4,0～即ABab,2a,2b,0～111所以，,.ab21答案:2一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分),,,,,,,,,,,,1((x?x高考)若向量,(2,3)，,(4,7)，則,()CABCBAA((,2，,4)B((2,4)C((6,10)D((,6，,10),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,解析:選A由于,(2,3)，,(4,7)，那么,，,(2,3)，(,4，,7)CABCACBABA,(,2，,4)(,,,,,,,,,,,,2(如圖，在平行四邊形ABCD中，E為DC邊的中點(diǎn)，且,a，,b，則ABADBE,()11A(b,aB(b，a2211C(a，bD(a,b22,,,,,,,,,,,,,,,,11解析:選A,，，,,a，b，a,b,a.BEBAADDE223((x?鄭州模擬)已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的兩個(gè)向量a,(1,2)，b,(m,3m,2)，且平面內(nèi)的任一向量c都可以唯一的表示成c,λa，μb(λ、μ為實(shí)數(shù))，則m的取值范圍是()A((,?，2)B((2，，?)C((,?，，?)D((,?，2)?(2，，?)3m,2解析:選D由題意知向量a～b不共線～故m?～解得m?2.2,,,,,,,,1ACCB4(已知A(7,1)、B(1,4)，直線y,ax與線段AB交于C，且,2，則實(shí)數(shù)a等2于()2B(1A(45C.D.53,,,,,,,,ACCB解析:選A設(shè)C(x～y)～則,(x,7～y,1)～,(1,x,4,y)～,,,,,,,,,x,7,2，1,x，～,,ACCB?,2～?y,1,2，4,y，～,,,x,3～,,解得?C(3,3)(y,3.,,1又?C在直線y,ax上～21?3,a?3～?a,2.25(已知點(diǎn)A(2,1)，B(0,2)，C(,2,1)，O(0,0)，給出下面的結(jié)論:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,?直線OC與直線BA平行;?，,;?，,;?,BCCAOAOCOBACAB,,,,,,,,,2.OBOA其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A(1B(2C(3D(42,1111解析:選C?由題意得k,,,～k,,,～?OC?BA～?正確,?OCBA,220,22,,,,,,,,,,,,，,～??錯(cuò)誤,BCACAB,,,,,,,,,,,,?，,(0,2),～??正確,OAOCOB,,,,,,,,,,,,?,2,(,4,0)～,(,4,0)～??正確(OBOAAC((x?成都模擬)在?ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，m,(3b,c，6cosC)，n,(a，cosA)，m?n，則cosA的值等于()33A.B.6433C.D.32解析:選Cm?n?(3b,c)cosA,acosC,0～再由正弦定理得3sinBcosA,sin3CcosA，cosCsinA?3sinBcosA,sin(C，A),sinB～即cosA,.3二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分),,,,,,,,,,,,PC7(在?ABC中，點(diǎn)P在BC上，且,2，點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)，若,(4,3)，BPPA,,,,,,,,BC,(1,5)，則,________.PQ,,,,,,,,,,,,解析:,,,(,3,2)～PAAQPQ,,,,,,,,AC?,2,(,6,4)(AQ,,,,,,,,,,,,PCAC,，,(,2,7)～PA,,,,,,,,BCPC?,3,(,6,21)(答案:(,6,21),,,,,,,,CACB8(在?ABC中，,a，,b，M是CB的中點(diǎn)，N是AB的中點(diǎn)，且CN、AM,,,,交于點(diǎn)P，則AP,____________(用a，b表示)(,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,221解析:如圖所示～,，,,，,,，×(，),,ACCPCACNCACACBAP332,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,112121，，,,，,,a，b.CACACBCACB33333321答案:,a，b339(已知向量a,(3，1)，b,(0，,1)，c,(k，3)，若a,2b與c共線，則k,________.解析:a,2b,(3～1),2(0～,1),(3～3)～又?a,2b與c共線～?(a,2b)?c?3×3,3k,0～解得k,1.答案:1三、解答題(本大題共3小題，每小題x分，共36分)10(如圖，已知點(diǎn)A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo)(,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,解:法一:由O～P～B三點(diǎn)共線～可設(shè)OPOBOPOA,λ,(4λ～4λ)～則,,AP,(4λ,4,4λ)(,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,ACOCOAAC又,,,(,2,6)～由與共線得(4λ,4)×6,4λ×(,2),0～解得λAP,,,,,,,,33OPOB,～所以,,(3,3)～44所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,3)(,,,,,,,,,,,,,,,,xyOPOBOPOB法二:設(shè)P(x～y)～則,(x～y)～因?yàn)?(4,4)～且與共線～所以,～44即x,y.,,,,,,,,,,,,,,,,ACAC又,(x,4～y)～,(,2,6)～且與共線～APAP所以(x,4)×6,y×(,2),0～解得x,y,3～所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,3)(,,,,,,,,,,,,OPOAx(已知O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及,，t，試問:AB(1)t為何值時(shí)，P在x軸上,在y軸上,P在x象限,(2)四邊形OABP能否成為平行四邊形,若能，求出相應(yīng)的t值;若不能，請(qǐng)說明理由(,,,,,,,,OA解:(1)?,(1,2)～AB,(3,3)～,,,,,,,,,,,,?,，t,(1，3t,2，3t)(OPOAAB2若點(diǎn)P在x軸上～則2，3t,0～解得t,,,31若點(diǎn)P在y軸上～則1，3t,0～解得t,,,3,1，3t<0～,2,若點(diǎn)P在x象限～則.解得t<,32，3t<0.,,(2)不能～若四邊形OABP成為平行四邊形～,,,,,,,,,1，3t,3～,,則,～即OPAB2，3t,3.,,?該方程組無解～?四邊形OABP不能成為平行四邊形(x(若平面向量a、b滿足|a，b|,1，a，b平行于x軸，b,(2，,1)，求a的坐標(biāo)(解:設(shè)a,(x～y)～?b,(2～,1)～?a，b,(x，2～y,1)(又?a，b平行于x軸～?y,1,0～得y,1～?a，b,(x，2,0)(又?|a，b|,1～?|x，2|,1～?x,,1或x,,3～?a,(,1,1)或a,(,3,1)(1(已知a，a，?，a,0，且a,(3,4)，則a，a，?，a的坐標(biāo)為(),12nn12n1A((4,3)B((,4，,3)C((,3，,4)D((,3,4)解析:選C?a，a，?，a,0～12n?(a，a，?，a),,a,(,3～,4)(,12n1n2(若α，β是一組基底，向量γ,x?α，y?β(x，y?R)，則稱(x，y)為向量γ在基底α，β下的坐標(biāo)，現(xiàn)已知向量a在基底p,(1，,1)，q,(2,1)下的坐標(biāo)為(,2,2)，則a在另一組基底m,(,1,1)，n,(1,2)下的坐標(biāo)為()A((2,0)B((0，,2)C((,2,0)D((0,2)解析:選D由題意～a,,2p，2q,(,2,2)，(4,2),(2,4)(設(shè)a在基底m～n下的坐標(biāo)為(λ～μ)～則a,λ(,1,1)，μ(1,2