高三數(shù)學一輪復習(知識點歸納與總結(jié))導數(shù)的應用

x屆高三數(shù)學一輪復習（知識點歸納與總結(jié)）導數(shù)的應用第十三節(jié)導數(shù)的應用，?，[備考方向要明了]考什么怎么考1.利用極值或最值求解參數(shù)的取值范圍,如x年浙江1.能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)T22等,性、極值或最值,幵會解決不2.利用導數(shù)研究方程根的分布情況、兩曲線交點的個之有關的不等式問題,數(shù)等,如x年xT20等,2.會利用導數(shù)解決某些簡單的實3.利用導數(shù)證明不等式，解決有關不等式問題，如x年天際問題.津T20等.[歸納?知識整合]1(生活中的優(yōu)化問題生活中常遇到求利潤最大，用料最省、效率最高等一些實際問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題(2(利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟[探究]1.求實際問題中的最大、最小值，與求一般函數(shù)的最值有什么區(qū)別,提示:在實際問題中要注意函數(shù)的定義域應使實際問題有意義(另外～在求實際問題的最值時～如果區(qū)間內(nèi)只有一個極值點～就是最值點(2(如何求實際問題中的最值問題,提示:有關函數(shù)最大值、最小值的實際問題～一般指的是單峰函數(shù)～也就是說在實際問題中～如果遇到函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個極值點～那么不與區(qū)間端點比較～就可以知道這個極值點就是最大(小)值點([自測?牛刀小試]1((教材習題改編)已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單位:萬元)與年產(chǎn)量x(單位:萬件)的13函數(shù)關系式為y,,x，81x,234，則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤的年產(chǎn)量為()3A(13萬件B(x萬件9萬件D(7萬件C(13解析:選C?y,,x，81x,234～32?y′,,x，81～令y′,0～則x,9.2((教材習題改編)從邊長為10cm×16cm的矩形紙板的四角截去四個相同的小正方形，作成一個無蓋的盒子，則盒子容積的最大值為()33A(xcmB(72cm33C(144cmD(160cm33解析:選C設盒子容積為ycm～盒子的高為xcm.則y,(10,2x)(16,2x)x,4x,252x，160x(0<x<5)～2?y′,xx,104x，160.20,0～得x,2或(舍去)～令y′33?y,6×x×2,144(cm)(max3((教材習題改編)某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造成本是20.8πr分，其中r是瓶子的半徑，單位是厘米(已知每出售1mL的飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半徑為6cm.則瓶子半徑為________時，每瓶飲料的利潤最大，瓶子半徑為________時，每瓶飲料的利潤最小(432解析:由于瓶子的半徑為r～所以每瓶飲料的利潤是y,f(r),0.2×πr,0.8πr,33r2,,0.8π,r～0<r?6.,,32令f′(r),0.8π(r,2r),0～則r,2.當r?(0,2)時～f′(r)<0,當r?(2,6)時～f′(r)>0.則f(r)的最大值為f(6)～最小值為f(2)(答案:6234(函數(shù)f(x),ax，x恰有三個單調(diào)區(qū)間，則a的取值范圍是________(3解析:f(x),ax，x恰有三個單調(diào)區(qū)間～即函數(shù)f(x)恰有兩個極值點～即f′(x),0有兩個不等實根(32?f(x),ax，x～?f′(x),3ax，1.要使f′(x),0有兩個不等實根～則a<0.答案:(,?，0)利用導數(shù)研究函數(shù)的零點或方程的根x2[例1](x?x高考)已知函數(shù)f(x),e，ax,ex，a?R.(1)若曲線y,f(x)在點(1，f(1))處的切線平行于x軸，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)試確定a的取值范圍，使得曲線y,f(x)上存在唯一的點P，曲線在該點處的切線與曲線只有一個公共點P.x[自主解答](1)由于f′(x),e，2ax,e～曲線y,f(x)在點(1～f(1))處的切線斜率k,2a,0～x所以a,0～即f(x),e,ex.x此時f′(x),e,e～由f′(x),0得x,1.當x?(,?～1)時～有f′(x),0,當x?(1～，?)時～有f′(x),0.～1)～單調(diào)遞增區(qū)間為(1～，?)(所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(,?(2)設點P(x～f(x))～曲線y,f(x)在點P處的切線方程為y,f′(x)(x,x)，f(x)～00000令g(x),f(x),f′(x)(x,x),f(x)～故曲線y,f(x)在點P處的切線與曲線y,f(x)只有000一個公共點P等價于函數(shù)g(x)有唯一零點(x因為g(x),0～且g′(x),f′(x),f′(x),e,ex，2a(x,x)(0000?若a?0～當x,x時～g′(x),0～0則x,x時～g(x),g(x),0,00當x,x時～g′(x),0～則x,x時～g(x),g(x),0.故g(x)只有唯一零點x,x.0000由P的任意性知～a?0不合題意(x?若a,0～令h(x),e,ex，2a(x,x)～則00xh(x),0～h′(x),e，2a.0**令h′(x),0～得x,ln(,2a)～記x,ln(,2a)～則當x?(,?～x)時～h′(x),0～從***而h(x)在(,?～x)內(nèi)單調(diào)遞減,當x?(x～，?)時～h′(x),0～從而h(x)在(x～，?)內(nèi)單調(diào)遞增(****a(若x,x～由x?(,?～x)時～g′(x),h(x),h(x),0,由x?(x～，?)時～g′(x)0*,h(x),h(x),0.所以g(x)在R上單調(diào)遞增(*所以函數(shù)g(x)在R上有且只有一個零點x,x.***b(若x,x～由于h(x)在(x～，?)內(nèi)單調(diào)遞增～且h(x),0～則當x?(x～x)時～有000*g′(x),h(x),h(x),0～g(x),g(x),0,任取x?(x～x)有g(x),0.00101x22又當x?(,?～x)時～易知g(x),e，ax,(e，f′(x))x,f(x)，xf′(x),ex，ax,1000012(e，f′(x))x,f(x)，xf′(x),ax，bx，c～0000其中b,,(e，f′(x))～c,ex,f(x)，xf′(x)(010002由于a,0～則必存在x,x～使得ax，bx，c,0.2122所以g(x)<0～故g(x)在(x～x)內(nèi)存在零點～即g(x)在R上至少有兩個零點(2213x*xc(若x<x～仿b并利用e>～可證函數(shù)g(x)在R上至少有兩個零點(06綜上所述～當a<0時～曲線y,f(x)上存在唯一點P(ln(,2a)～f(ln(,2a)))～曲線在該點處的切線與曲線只有一個公共點P.———————————————————利用導數(shù)研究方程根的方法研究方程根的情況，可以通過導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢等，根據(jù)題目要求，畫出函數(shù)圖象的走勢規(guī)律，標明函數(shù)極(最)值的位置，通過數(shù)形結(jié)合的思想去分析問題，可以使得問題的求解有一個清晰、直觀的整體展現(xiàn)(121(設函數(shù)f(x),lnx,ax,bx.21(1)當a,b,時，求f(x)的最大值;21a2(2)令F(x),f(x)，ax，bx，(0<x?3)，其圖象上任意一點P(x，y)處切線的斜率002x1k?恒成立，求實數(shù)a的取值范圍;22(3)當a,0，b,,1時，方程2mf(x),x有唯一實數(shù)解，求正數(shù)m的值(解:(1)依題意～知f(x)的定義域為(0～，?)～1112當a,b,時～f(x),lnx,x,x～242,，x，2，，x,1，111f′(x),,x,,～x222x令f′(x),0～解得x,1(x,,2舍去)(當0<x<1時～f′(x)>0～此時f(x)單調(diào)遞增,當x>1時～f′(x)<0～此時f(x)單調(diào)遞減(3所以f(x)的極大值為f(1),,.43又因為f′(x),0在(0～，?)上有唯一解～所以f(x)的最大值為,.4a(2)由題意得F(x),lnx，～x?(0,3]～則x,ax10k,F′(x),?在x?(0,3]上恒成立～020x2012,,所以a?,x，x～x?(0,3](00max0,,21112當x,1時～,x，x取得最大值～所以a?.0002222(3)因為方程2mf(x),x有唯一實數(shù)解～2所以x,2mlnx,2mx,0有唯一實數(shù)解(2設g(x),x,2mlnx,2mx～22x,2mx,2m則g′(x),.x2令g′(x),0～即x,mx,m,0.2，4mm,m因為m>0～x>0～所以x,<0(舍去)～122m，4m，mx,.22當x?(0～x)時～g′(x)<0～g(x)在(0～x)上單調(diào)遞減,22(x～，?)時～g′(x)>0～g(x)在(x～，?)上單調(diào)遞增,當x,x時～g′(x),0～當x?2222g(x)取最小值g(x)(22,,g，x，,0～x,2mlnx,2mx,0～2222,,2,,mf(x),x因為2有唯一實數(shù)解～則即所以2g′，xx,，,0～,,mx,m,0～,,2222mlnx，mx,m,0.又因為m>0～所以2lnx，x,1,0.(*)2222設函數(shù)h(x),2lnx，x,1～當x>0時～h(x)是增函數(shù)～所以h(x),0至多有一解(2m，m，4m1因為h(1),0～所以方程(*)的解為x,1～即,1～解得m,.222利用導數(shù)解決恒成立及參數(shù)求解問題x[例2]已知函數(shù)f(x),e,ax，其中a>0.R，f(x)?1恒成立，求a的取值集合;(1)若對一切x?(2)在函數(shù)f(x)的圖象上取定兩點A(x，f(x))，B(x，f(x))(x<x)，記直線AB的斜率為112212k，證明:存在x?(x，x)，使f′(x),k成立(0120x[自主解答](1)f′(x),e,a～令f′(x),0得x,lna.當x<lna時～f′(x)<0～f(x)單調(diào)遞減,當x>lna時～f′(x)>0～f(x)單調(diào)遞增～故當x,lna時～f(x)取最小值f(lna),a,alna.于是對一切x?R～f(x)?1恒成立～當且僅當a,alna?1.?令g(t),t,tlnt～則g′(t),,lnt.當0<t<1時～g′(t)>0～g(t)單調(diào)遞增,當t>1時～g′(t)<0～g(t)單調(diào)遞減(故當t,1時～g(t)取最大值g(1),1.因此～當且僅當a,1時～?式成立(綜上所述～a的取值集合為{1}(f，x，,f，x，,exex2121(2)由題意知～k,,,a～x,xx,x2121,exex21x令φ(x),f′(x),k,e,～則x,x21ex1x,x21φ(x),,[e,(x,x),1]～121x,x21ex2x,x12φ(x),[e,(x,x),1](212x,x21tt令F(t),e,t,1～則F′(t),e,1.當t<0時～F′(t)<0～F(t)單調(diào)遞減,當t>0時～(t)>0～F(t)單調(diào)遞增(F′t故當t?0時～F(t)>F(0),0～即e,t,1>0.x,x21從而e,(x,x),1>0～21x,x12e,(x,x),1>0～12exex12又>0～>0～x,xx,x2121所以φ(x)<0～φ(x)>0.12因為函數(shù)y,φ(x)在區(qū)間[x～x]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線～所以存在x?(x～1201x)～使φ(x),0～即f′(x),k成立(200xax若將函數(shù)“f(x),e,ax，a>0”改為“f(x),e,x，a?0”，試解決問題(1)(ax解:若a<0～則對一切x>0～f(x),e,x<1～這與題設矛盾(又a?0～故a>0.11ax而f′(x),ae,1～令f′(x),0得x,ln.aa1111當x<ln時～f′(x)<0～f(x)單調(diào)遞減,當x>ln時～f′(x)>0～f(x)單調(diào)遞增(故當xaaaa1111111,,,ln時～f(x)取最小值fln,,ln.,,aaaaaaa于是對一切x?R～f(x)?1恒成立～當且僅當111,ln?1.?aaa令g(t),t,tlnt～則g′(t),,lnt.當0<t<1時～g′(t)>0～g(t)單調(diào)遞增,當t>1時～g′(t)<0～g(t)單調(diào)遞減(1故當t,1時～g(t)取最大值g(1),1.因此～當且僅當,1～即a,1時～?式成立(a綜上所述～a的取值集合為{1}(——————————————————不等式恒成立問題的求解方法(1)由不等式恒成立求解參數(shù)取值范圍問題常采用的方法是分離參數(shù)求最值，即要使a?g(x)恒成立，只需a?g(x)，要使a?g(x)恒成立，只需a?g(x).另外，當參數(shù)不宜maxmin進行分離時，還可直接求最值建立關于參數(shù)的不等式求解，例如，要使不等式f(x)?0恒成立，可求得f(x)的最小值h(a)，令h(a)?0即可求出a的取值范圍((2)參數(shù)范圍必須依靠不等式才能求出，求解參數(shù)范圍的關鍵就是找到這樣的不等式(2x2(已知f(x),(x,a)e，a?R.(1)若a,3，求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;是f(x)的兩個不同的極值點，且|x，x|?|xx|，求實數(shù)a的取值集合M;(2)已知x，x212121332(3)在(2)的條件下，若不等式3f(a)<a，a,3a，b對于a?M都成立，求實數(shù)b的取2值范圍(2x解:(1)?a,3～?f(x),(x,3)e.2x令f′(x),(x，2x,3)e,0?x,,3或x,1.當x?(,?～,3)?(1～，?)時～f′(x)>0,x?(,3,1)時～f′(x)<0～?f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(,?～,3)～(1～，?),單調(diào)遞減區(qū)間為(,3,1)(,3?f(x)的極大值為f(,3),6e,極小值為f(1),,2e.2x2(2)令f′(x),(x，2x,a)e,0～即x，2x,a,0～由題意其兩根為x～x～12?x，x,,2～xx,,a～1212故,2?a?2.又Δ,4，4a>0～?,1<a?2.?M,{a|,1<a?2}(333232(3)原不等式等價于b>3f(a),a,a，3a對a?M都成立～記g(a),3f(a),a,a，223a(,1<a?2)～2a則g′(a),3(a，a,1)(e,1)～令g′(a),0～5,1,,1,5,則a,或a,0.a,舍去,,22故當a變化時～g′(a)～g(a)的變化情況如下表:,,,5,1,5,15,1(,1,0)a020，，2,,,,222g′(a)，0,0，2g(a)極大值極小值6e,82又?g(0),0～g(2),6e,8～2?g(a),6e,8～max2?b>6e,8.2故實數(shù)b的取值范圍為(6e,8～，?).利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題[例3]隨著生活水平的不斷提高，人們越來越關注身體健康，而電視廣告在商品市場中占有非常重要的地位(某著名保健品生產(chǎn)企業(yè)為了占有更多的市場份額，擬在x年通過電視廣告進行一系列促銷活動(經(jīng)過市場調(diào)查和測算，保健品的年銷量x(單位:百萬件)與年促銷費t(單位:百萬元)之間滿足:3,x與t，2成反比例(如果不搞促銷活動，保健品的年銷量只能是1百萬件，x年生產(chǎn)該保健品的固定費用為5百萬元，每生產(chǎn)1百萬件保健品需再投入40百萬元的生產(chǎn)費用(若將每件保健品的售價定為“其生產(chǎn)成本的150%”與“平均每件促銷費的m倍(0<m?1.2)”之和，則當年生產(chǎn)的保健品恰能銷完(假設x年該企業(yè)的保健品恰能銷完，且該企業(yè)的年產(chǎn)量最大為2.6百萬件((1)將x年的利潤y(單位:百萬元)表示為促銷費t的函數(shù);(2)該企業(yè)x年的促銷費投入多少百萬元時，企業(yè)的年利潤最大,(注:利潤,銷售收入,生產(chǎn)成本,促銷費，生產(chǎn)成本,固定費用，生產(chǎn)費用)[自主解答](1)因為年銷量x百萬件與年促銷費t百萬元之間滿足:3,x與t，2成反k比例～所以設t，2,(k?0)(3,xk由題意知～當t,0時～x,1～代入得0，2,～解得k,4.3,144所以t，2,～即x,3,(t?0)(3,xt，24由該企業(yè)的年產(chǎn)量最大為2.6百萬件可得～x,3,?2.6～解得t?8.t，2由于x年的年銷量為x百萬件～則生產(chǎn)成本為y,5，40x～1促銷費用為t～年銷售收入為y,150%×y，mt.2111所以x年的利潤y,y,y,t,y，(m,1)t,×(5，40x)，(m,1)t.211224將x,3,代入上式～得t，241，,,，3,y,×5，40×，(m,1)t，,,，t，2280,2.5，60,，(m,1)tt，280,62.5,，(m,1)t(0?t?8,0<m?1.2)(t，280(2)由(1)知～y,62.5,，(m,1)t(0?t?8)～t，280所以y′,，(m,1)(2，，t，28080當1?m?1.2時～m,1?0～?0～所以y′,，(m,1)?0～此時函數(shù)在22，t，2，，t，2，80[0,8]上單調(diào)遞增～所以當t,8時～年利潤y取得最大值～最大值為62.5,，(m,1)×88，2,46.5，8m(百萬元),80,80，,0解得t,,2～函數(shù)在當0<m<1時～由y′,,上單調(diào)遞增～0～,21,m,，1,m,80，在,,上單調(diào)遞減(,2～8,，1,m80所以當t,,2時～函數(shù)取得最大值～1,m80,80,最大值為62.5,，(m,1)?,,,64.5,85，1,m，,,2,,1,m80,,，2,,,2,,1,m2m(百萬元)(綜上～若1?m?1.2～則當促銷費投入t,8時～企業(yè)的年利潤y取得最大值～最大值80為46.5，8m(百萬元),若0<m<1～則當促銷費投入t,,2時～企業(yè)的年利潤y取1,m得最大值～最大值為64.5,85，1,m，,2m(百萬元)(———————————————————利用導數(shù)解決生活中優(yōu)化問題的一般步驟(1)分析實際問題中各量之間的關系，列出實際問題的數(shù)學模型，寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關系y,f(x)，根據(jù)實際意義確定定義域;(2)求函數(shù)y,f(x)的導數(shù)f′(x)，解方程f′(x),0得出定義域內(nèi)的實根，確定極值點;(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點和極值點處的函數(shù)值大小，獲得所求的最大(小)值;(4)還原到原實際問題中作答(3(某商場預計x年1月份起前x個月，顧客對某商品的需求總量p(x)(單位:件)與x1*的關系近似地滿足p(x),x(x，1)(39,2x)(x?N，且x?x)(該商品第x月的進貨單價2*150，2x，x?N，且1?x?6，，,,q(x)(單位:元)與x的近似關系是q(x),,160*185,，x?N，且7?x?12，.,,x(1)寫出x年第x月的需求量f(x)(單位:件)與x的函數(shù)關系式;(2)該商品每件的售價為185元，若不計其他費用且每月都能滿足市場需求，試問商場x年第幾月銷售該商品的月利潤最大，最大月利潤為多少元,解:(1)當x,1時～f(1),p(1),37～*當2?x?x～且x?N時～112f(x),p(x),p(x,1),x(x，1)(39,2x),(x,1)?x(41,2x),,3x，40x.222*經(jīng)驗證x,1符合f(x),,3x，40x(x?N～且1?x?x)((2)該商場預計第x月銷售該商品的月利潤為2*，,3x，40x，，35,2x，，x?N～且1?x?6，～,,g(x),,1602*，,3x，40x，?，x?N～且7?x?12，～,,x32*,6x,185x，1400x，x?N～且1?x?6，～,,即g(x),*,,,480x，6400，x?N～且7?x?12，～*2當1?x?6～且x?N時～g′(x),18x,370x，1400～令g′(x),0～解得x,5～x,140(舍去)(9當1?x?5時～g′(x)>0～當5<x?6時～g′(x)<0～?當x,5時～g(x),g(5),3x5(元)(max*?當7?x?x～且x?N時～g(x),,480x，6400是減函數(shù)～當x,7時～g(x),g(7)max,3040(元)～綜上～商場x年第5個月的月利潤最大～最大利潤為3x5元(2個轉(zhuǎn)化——解決含參問題及不等式問題中的兩個轉(zhuǎn)化(1)利用導數(shù)解決含有參數(shù)的單調(diào)性問題可將問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應用((2)將不等式的證明、方程根的個數(shù)的判定轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極值問題處理(3個注意點——利用導數(shù)解決實際問題應注意的問題(1)既要注意將問題中涉及的變量關系用函數(shù)關系表示，還要注意確定函數(shù)關系式中自變量的取值范圍((2)一定要注意求得函數(shù)結(jié)果的實際意義，不符合實際的值應舍去((3)如果目標函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)只有一個極值點，那么根據(jù)實際意義該極值點就是最值點.數(shù)學思想——轉(zhuǎn)化與化歸思想在證明不等式中的應用對不等式的證明而言，我們可以從所證不等式的結(jié)構(gòu)和特點出發(fā)，結(jié)合已有的知識利用轉(zhuǎn)化與化歸思想，構(gòu)造一個新的函數(shù)，再借助導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，從而使不等式得到證明，其一般步驟是:構(gòu)造可導函數(shù)?研究單調(diào)性或最值?得出不等關系?整理得出結(jié)論(lnx，k[典例](x?x高考)已知函數(shù)f(x),(k為常數(shù)，e,2.71828?是自然對數(shù)的底數(shù))，xe曲線y,f(x)在點(1，f(1))處的切線與x軸平行((1)求k的值;(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;2,2(3)設g(x),(x，x)f′(x)，其中f′(x)為f(x)的導函數(shù)，證明:對任意x>0，g(x)<1，e.lnx，k[解](1)由f(x),～xe,kx,xlnx1得f′(x),～x?(0～，?)～xxe由于曲線y,f(x)在(1～f(1))處的切線與x軸平行～所以f′(1),0～因此k,1.1(2)由(1)得f′(x),(1,x,xlnx)～x?(0～，?)～xxe令h(x),1,x,xlnx～x?(0～，?)～當x?(0,1)時～h(x)>0,當x?(1～，?)時～h(x)<0.x又e>0～所以x?(0,1)時～f′(x)>0,當x?(1～，?)時～f′(x)<0.因此f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)～單調(diào)遞減區(qū)間為(1～，?)(2(3)證明:因為g(x),(x，x)f′(x)～x，1所以g(x),(1,x,xlnx)～x?(0～，?)(xe,2因此對任意x>0～g等價于(x)<1，exe,21,x,xlnx<)((1，ex，1由(2)h(x),1,x,xlnx～x?(0～，?)～,2所以h′(x),,lnx,2,,(lnx,lne)～x?(0～，?)～,2因此當x?(0～e)時～h′(x)>0～h(x)單調(diào)遞增,,2當x?(e～，?)時～h′(x)<0～h(x)單調(diào)遞減(,2,2所以h(x)的最大值為h(e),1，e～,2x故1,.設φ(x),x,xlnx?1，ee,(x，1)(xx0因為φ′(x),e,1,e,e～所以當x?(0～，?)時～φ′(x)>0～φ(x)單調(diào)遞增～φ(x)>φ(0),0～x故當x?(0～，?)時～φ(x),e,(x，1)>0～xe即>1.x，1xe,2,2所以1,x,xlnx?1，e<)((1，ex，1,2因此對任意x>0～g(x)<1，e.[題后悟道],21(本題中證明x>0時，g(x)<1，e，即證明函數(shù)g(x)在(0，，?)上的最大值小于1，,2e，從而將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)g(x)在(0，，?)上的最大值問題，使問題得以順利解決(2(一般地，證明f(x)<g(x)，x?(a，b)，可以構(gòu)造函數(shù)F(x),f(x),g(x)，如果F′(x)<0，，b)上是減函數(shù)，同時若F(a)?0，由減函數(shù)的定義可知，x?(a，b)時，有則F(x)在(aF(x)<0，即證明了f(x)<g(x)(證明f(x)>g(x)，x?(a，b)，可以構(gòu)造函數(shù)F(x),f(x),g(x)，如果F′(x)>0，則F(x)在(a，b)上是增函數(shù)，同時若F(a)?0，由增函數(shù)的定義可知，x?(a，b)時，有F(x)>0，即證明了f(x)>g(x)([變式訓練](x?x高考)設f(x),ln(x，1)，x，1，ax，b(a，b?R，a，b為常數(shù))，曲線y,f(x)與直3線y,x在(0,0)點相切(2(1)求a，b的值;9x(2)證明:當0<x<2時，f(x)<.x，6解:(1)由y,f(x)過(0,0)點～得b,,1.3由y,f(x)在(0,0)點的切線斜率為～2113,,,，，a又y′|,,，a～得a,0.,,,,,x0x0x，1,,,22x，1(2)證明:法一:由均值不等式～當x>0時～x2，x，1，?1<x，1，1,x，2～故x，1<，1.29x記h(x),f(x),～則x，61154h′(x),，,2x，，x，16，2x，12，x，1x，65454,,<,222，x，1，，x，6，4，x，1，，x，6，3，x，6，,216，x，1，,.2，x，1，，x，6，43令g(x),(x，6),216(x，1)～則當0<x<2時～2g′(x),3(x，6),216<0.因此g(x)在(0,2)內(nèi)是遞減函數(shù)(又由g(0),0～得g(x)<0～所以h′(x)<0.因此h(x)在(0,2)內(nèi)是遞減函數(shù)(又h(0),0～9x得h(x)<0.于是當0<x<2時～f(x)<.x，6法二:由(1)知f(x),ln(x，1)，x，1,1.由均值不等式～當x>0時～2，x，1，?1<x，1，1,x，2～x故x，1<，1.?2令k(x),ln(x，1),x～,x1則k(0),0～k′(x),,1,<0～x，1x，1故k(x)<0～即ln(x，1)<x.?3由??得～當x>0時～f(x)<x.2記h(x),(x，6)f(x),9x～則當0<x<2時～h′(x),f(x)，(x，6)f′(x),9113,,，<x，(x，6),9,,x，12,,2x，11,[3x(x，1)，(x，6)(2，x，1),18(x，1)]2，x，1，1x,,，，<3x，x，1，，，x，6，3，,18，x，1，，,,，2，x，1，2x,(7x,18)<0.4，x，1，因此h(x)在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減(9x又h(0),0～所以h(x)<0～即f(x)<.x，6一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)31(已知f(x),x,ax在[1，，?)上是單調(diào)增函數(shù)，則a的最大值是()A(0B(1C(2D(32解析:選Df′(x),3x,a?0在[1～，?)上恒成立～22即a?3x在[1～，?)上恒成立～而(3x),3×x,3～min?a?3～故a,3.max32(設動直線x,m與函數(shù)f(x),x，g(x),lnx的圖象分別交于點M，N，則|MN|的最小值為()11A.(1，ln3)B.ln333C(1，ln3D(ln3,11332解析:選A由題意知|MN|,|x,lnx|～設h(x),x,lnx～h′(x),3x,～令h′(x)x331111111,,,0～得x,～易知當x,時～h(x)取得最小值～h(x),,ln,1,ln>0～min,,3333333111,,故|MN|,1,ln,(1，ln3)(min,,33323(若不等式2xlnx?,x，ax,3對x?(0，，?)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是()A((,?，0)B((,?，4]C((0，，?)D([4，，?)332解析:選B2xlnx?,x，ax,3～則a?2lnx，x，～設h(x),2lnx，x，(x>0)～則xx，x，3，，x,1，h′(x),.當x?(0,1)時～h′(x)<0～函數(shù)h(x)單調(diào)遞減,當x?(1～，?)時～2xh′(x)>0～函數(shù)h(x)單調(diào)遞增～所以h(x),h(1),4.所以a?h(x),4.minmin4(球的直徑為d，其內(nèi)接正四棱柱體積V最大時的高為()23A.dB.d2232C.dD.d33解析:選C設正四棱柱的高為h～底面邊長為x～如圖是其組合體的軸截面圖形～則AB,2x～BD,d～AD,h～222?AB，AD,BD～222?2x，h,d.22,hd2?x,.222，d,h，h1223又?V,x?h,,(dh,h)～221322?V′(h),d,h.2233令V′(h),0～得h,d或h,,d(舍去)(3335(已知函數(shù)f(x),x,3x，若對于區(qū)間[,3,2]上任意的x，x都有|f(x),f(x)|?t，則1212實數(shù)t的最小值是()A(0B(10C(18D(202解析:選Df′(x),3x,3～令f′(x),0～解得x,?1～所以1～,1為函數(shù)f(x)的極值點(因為f(,3),,18～f(,1),2～f(1),,2～f(2),2～所以在區(qū)間[,3,2]上～f(x),2～maxf(x),,18～所以對于區(qū)間[,3,2]上任意的x～x～|f(x),f(x)|?20～所以t?20～從而tmin1212的最小值為20.1,,6((x?宜昌模擬)已知y,f(x)是奇函數(shù)，當x?(0,2)時，f(x),lnx,axa>，當x?(,,,22,0)時，f(x)的最小值為1，則a的值等于()11A.B.431C.D(12解析:選D由題意知～當x?(0,2)時～f(x)的最大值為,1.11令f′(x),,a,0～得x,～xa1當0<x<時～f′(x)>0,a1當x>時～f′(x)<0.a1,,?f(x),f,,lna,1,,1～解得a,1.max,,a二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)π37(設f(x),x，x，x?R，若當0?θ?時，f(msinθ)，f(1,m)>0恒成立，則實數(shù)m的2取值范圍是________(32解析:因為f(x),x，x～x?R～故f′(x),3x，1>0～則f(x)在x?R上為單調(diào)增函數(shù)～又因為f(,x),,f(x)(故f(x)也為奇函數(shù)～由f(msinθ)，f(1,m)>0～即f(msinθ)>,f(1,m)ππ,f(m,1)～得msinθ>m,1～即m(sinθ,1)>,1～因為0?θ?～故當θ,時～0>,1恒221π1,,，,成立,當θ?0～時～m<恒成立～即m<,1.故m<1.min，,,,1,sinθ12,sinθ答案:(,?，1)8(某商場從生產(chǎn)廠家以每件20元購進一批商品，若該商品零售價為p元，銷量Q(單2,p，則該商品零售價定為位:件)與零售價p(單位:元)有如下關系:Q,8300,170p________元時利潤最大，利潤的最大值為________(解析:設商場銷售該商品所獲利潤為y元～則2y,(p,20)Q,(p,20)(8300,170p,p)32,,p,150p，x700p,166000(p?20)～2則y′,,3p,300p，x700.2令y′,0得p，100p,3900,0～解得p,30或p,,130(舍去)(則p～y～y′變化關系如下表:p(20,30)30(30～，?)y′，,0極大值y故當p,30時～y取極大值為23000元(32又y,,p,150p，x700p,166000在[20～，?)上只有一個極值～故也是最值(所以該商品零售價定為每件30元～所獲利潤最大為23000元(答案:30230001329(若函數(shù)f(x),x,ax滿足:對于任意的x，x?[0,1]都有|f(x),f(x)|?1恒成立，12123則a的取值范圍是________(12232解析:由題意得～在[0,1]內(nèi)～f(x),f(x)?1.f′(x),x,a～函數(shù)f(x),x,ax的maxmin3極小值點是x,|a|.若|a|>1～則函數(shù)f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減～故只要f(0),f(1)?1～即只要423122322a?～即1<|a|?,若|a|?1～此時f(x),f(|a|),|a|,a|a|,,a|a|～由于f(0),0～min3333123122222,,f(1),,a～故當|a|?時～f(x),f(1)～此時只要,a，a|a|?1即可～即a|a|,1max,,33333232233?～由于|a|?～故|a|,1?×,1<0～故此式成立,當<|a|?1時～此時f(x),max33333322，2323，f(0)～故只要a|a|?1即可～此不等式顯然成立(綜上～a的取值范圍是.,～，，333，2323，答案:,，，，33三、解答題(本大題共3小題，每小題x分，共36分)10(已知函數(shù)f(x),alnx,ax,3(a?R)((1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)y,f(x)的圖象在點(2，f(2))處的切線的傾斜角為45?，對于任意的t?[1,2]，m32，，函數(shù)g(x),x，x?f′，x，，在區(qū)間(t,3)上不是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍(，，2解:(1)根據(jù)題意知～,x，a，1f′(x),(x>0)～x當a>0時～f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1]～單調(diào)遞減區(qū)間為(1～，?),當a<0時～f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1～，?)～單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1],當a,0時～f(x)不是單調(diào)函數(shù)～a(2)?f′(2),,,1～2?a,,2.?f(x),,2lnx，2x,3.m32,,?g(x),x，，2x,2x～,,22?g′(x),3x，(m，4)x,2.?g(x)在區(qū)間(t,3)上不是單調(diào)函數(shù)～且g′(0),,2.,g′，t，<0～,,?g′，3，>0.,,由題意知:對于任意的t?[1,2]～g′(t)<0恒成立～g′，1，<0～,,g′，2，<0～?,,g′，3，>0～,37?,<m<,9.3lnxx(已知f(x),ax,lnx，x?(0，e]，g(x),，其中e是自然常數(shù)，a?R.x(1)討論當a,1時，函數(shù)f(x)的單調(diào)性和極值;1(2)求證:在(1)的條件下，f(x)>g(x)，;2(3)是否存在實數(shù)a，使f(x)的最小值是3,若存在，求出a的值;若不存在，說明理由(x,11解:(1)?f(x),x,lnx～f′(x),1,,～xx?當0<x<1時～f′(x)<0～此時f(x)單調(diào)遞減,當1<x<e時～f′(x)>0～此時f(x)單調(diào)遞增(?f(x)的極小值為f(1),1.(2)證明:?f(x)的極小值為1～即f(x)在(0～e]上的最小值為1～f(x),1.?min1,lnx又?g′(x),～2x?0<x<e時～g′(x)>0～g(x)在(0～e]上單調(diào)遞增(11?g(x),g(e),<.maxe21?f(x),g(x)>.minmax21?在(1)的條件下～f(x)>g(x)，.2ax,11(3)假設存在實數(shù)a～使f(x),ax,lnx(x?(0～e])有最小值3～則f′(x),a,,.xx4?當a?0時～f(x)在(0～e]上單調(diào)遞減～f(x),f(e),ae,1,3～a,(舍去)～所以～mine此時f(x)的最小值不是3,111,,,，?當0<<e時～f(x)在0～上單調(diào)遞減～在～e上單調(diào)遞增～,,,，aaa12,,f(x),f,1，lna,3～a,e～滿足條件,min,,a14?當?e時～f(x)在(0～e]上單調(diào)遞減～f(x),f(e),ae,1,3～a,(舍去)～所以～minae此時f(x)的最小值不是3.2綜上～存在實數(shù)a,e～使得當x?(0～e]時～f(x)有最小值3.1x(設函數(shù)f(x),x,,alnx.x22(1)若曲線y,f(x)在點(1，f(1))處的切線被圓x，y,1截得的弦長為2，求a的值;(2)若函數(shù)f(x)在其定義域上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍;1(3)當a?2時，設函數(shù)g(x),x,lnx,，若在[1，e]上存在x，x使f(x)?g(x)成立，1212e求實數(shù)a的取值范圍(解:由題意知～函數(shù)f(x)的定義域為(0～，?)(2,ax，1x1a(1)求導得～f′(x),1，,,～22xxx故f′(1),2,a～而f(1),0～故曲線y,f(x)在點(1～f(1))處的切線方程為y,0,(2,a)?(x,1)～即y,(2,a)(x,1)(故圓心到直線的距離|2,a|222,,d,,1,～22,,2，2,a，，，,1，|2,a|2即,～解得a,1或a,3.22，2,a，，1(2)因為函數(shù)f(x)在其定義域上為增函數(shù)～即f′(x)?0在(0～，?)上恒成立～1a1所以1，,?0恒成立～即a?x，.2xxx11又x，?2x×,2(當且僅當x,1時取等號)～故a的取值范圍為(,?～2](xx(3)由在[1～e]上存在x～x使f(x)?g(x)成立～可知當x?[1～e]時～f(x)?g(x).1212maxmin1又因g′(x),1,～所以當x?[1～e]時～g′(x)?0～即函數(shù)g(x)在區(qū)間[1～e]上是單x調(diào)遞增的函數(shù)～最小值為11g(1),1,ln1,,1,.ee2x,ax，12由(1)知f′(x),～因為x>0～又函數(shù)2x222y,x,ax，1的判別式Δ,(,a),4×1×1,a,4～(?)當a?[,2,2]時～Δ?0～則f′(x)?0恒成立～即函數(shù)f(x)在區(qū)間[1～e]上是單調(diào)遞1增的函數(shù)～故函數(shù)f(x)在區(qū)間[1～e]上的最大值為f(e),e,,a～e11故有f(e)?g(1)～即e,,a?1,～解得a?e,1.ee又a?[,2,2]～所以a?[,2～e,1],(?)當a<,2時～Δ>0～f′(x),0的兩根為22,4,4a,aa，ax,～x,～1222此時x<0～x<0.故函數(shù)f(x)在區(qū)間[1～e]上是單調(diào)遞增的函數(shù)(由(?)知～a?e,1～又12a<,2～故a<,2.綜上所述～a的取值范圍為(,?～e,1](12xx1(設函數(shù)f(x),x，e,xe.2(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若當x?[,2,2]時，不等式f(x)>m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍(解:(1)函數(shù)f(x)的定義域為(,?～，?)～xxxx?f′(x),x，e,(e，xe),x(1,e)～x若x<0～則1,e>0～所以f′(x)<0,x若x>0～則1,e<0～所以f′(x)<0,f(x)在(,?～，?)上為減函數(shù)～?即f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(,?～，?)((2)由(1)知～f(x)在[,2,2]上單調(diào)遞減～2?f(x),f(2),2,e.min2?m<2,e時～不等式f(x)>m恒成立(22(設函數(shù)f(x),(x,a)lnx，a?R.(1)若x,e為y,f(x)的極值點，求實數(shù)a;2(2)求實數(shù)a的取值范圍，使得對任意的x?(0,3e]，恒有f(x)?4e成立(注:e為自然對數(shù)的底數(shù))(解:(1)對f(x)求導～得2，x,a，f′(x),2(x,a)lnx，xa,,,(x,a)2lnx，1,.,,xa,,因為x,e是f(x)的極值點～所以f′(e),(e,a)?3,,0～解得a,e或a,3e.經(jīng)檢驗,,ea,e符合題意～所以或a,3e.(2)(?)當0<x?1時～對于任意的實數(shù)a～恒有2f(x)?0<4e成立((?)當1<x?3e時～由題意～22f(3e),(3e,a)ln(3e)?4e～2e2e解得3e,?a?3e，.ln，3e，ln，3e，a,,由(1)知f′(x),(x,a)2lnx，1,～,,xa令h(x),2lnx，1,～x則h(1),1,a<0～h(a),2lna>0～2e3e，1aln，3e，，，ln，3e，,且h(3e),2ln(3e)，1,?2ln(3e)，1,,2>0.，，3e3e3ln，3e，又h(x)在(0～，?)內(nèi)單調(diào)遞增～所以函數(shù)h(x)在(0～，?)內(nèi)有唯一零點～記此零點為x～則1<x<3e～001<x<a.0從而～當x?(0～x)時～f′(x)>0,0當x?(x～a)時～f′(x)<0,0當x?(a～，?)時～f′(x)>0～即f(x)在(0～x)內(nèi)單調(diào)遞增～在(x～a)內(nèi)單調(diào)遞減～在(a～，?)內(nèi)單調(diào)遞增(002所以要使f(x)?4e對x?(1,3e]恒成立～只要22,f，x，,，x,a，lnx?4e～?,000,恒成立(2f，3e，,，3e,a，ln，3e，?4e～?,,a由h(x),2lnx，1,,0～得a,2xlnx，x.?00000x023223將?代入?得4xlnx?4e.又x>1～注意到函數(shù)xlnx在[1～，?)內(nèi)單調(diào)遞增～故0001<x?e.0再由?以及函數(shù)2xlnx，x在(1～，?)內(nèi)單調(diào)遞增～可得1<a?3e.2e2e又3e,?a?3e，～ln，3e，ln，3e，2e所以3e,?a?3e.ln，3e，2e綜上～a的取值范圍為3e,?a?3e.ln，3e，alnxb3(已知函數(shù)f(x),，，曲線y,f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為x，2y,3,0.x，1x(1)求a，b的值(lnxk(2)如果當x>0，且x?1時，f(x)>，，求k的取值范圍(x,1xx，1,,,lnxa,,xb解:(1)f′(x),,.22，x，1，x1由于直線x，2y,3,0的斜率為,～且過點(1,1)～2f，1，,1～b,1～,,,,故即解得a,,,1～b,1.1a1f′，1，,,～,b,,～,,,,222lnx1(2)由(1)知f(x),，～x，1xlnxk,,，所以f(x),,,x,1x2，k,1，，x,1，1，，,2lnx，.2，，1,xx2，k,1，，x,1，設h(x),2lnx，(x>0)～則x2，k,1，，x，1，，2xh′(x),.2x22k，x，1，,，x,1，(?)設k?0～由h′(x),知～當x?1時～h′(x)<0～而h(1),0～2x1故當x?(0,1)時～h(x)>0～可得h(x)>0,21,x1當x?(1～，?)時～h(x)<0～可得h(x)>0.21,xlnxklnxk,,，從而當x>0～且x?1時～f(x),>0～即f(x)>，.,,x,1xx,1x1,,1～(?)設0<k<1～由于x?時～,,1,k2(k,1)(x，1)，2x>0～故h′(x)>0.1,,1～而h(1),0～故當x?時～,,1,k1(x)>0～可得hh(x)<0.與題設矛盾(21,x1(?)設k?1～此時h′(x)>0～而h(1),0～故當x?(1～，?)時～h(x)>0～可得21,xh(x)<0.與題設矛盾(綜上所述～k的取值范圍為(,?～0](第二節(jié)平面向量基本定理及坐標表示[備考方向要明了]考什么怎么考本節(jié)內(nèi)容在高考中一般不單獨命題,常常是結(jié)合向1.了解平面向量基本定理及其意量的其他知識命制綜合性的小題,這些小題多屬于義,中低檔題,問題常常涉及以下幾個方面:2.掌握平面向量的正交分解及坐(1)結(jié)合向量的坐標運算求向量的值,如x年重慶T6標表示,等,3.會用坐標表示平面向量的加(2)結(jié)合平面向量基本定理考查向量的線性表示,如法、減法不數(shù)乘運算,x年xT3等,4.理解用坐標表示的平面向量共線(3)結(jié)合向量的垂直與共線等知識，求解參數(shù)問題，如x的條件.年xT10等.[歸納?知識整合]1(兩個向量的夾角(1)定義,,,,,,,,OAOB已知兩個非零向量a和b，作,a，,b，則?AOB,θ叫做向量a與b的夾角((2)范圍向量夾角θ的范圍是[0，π]，a與b同向時，夾角θ,0;a與b反向時，夾角θ,π.(3)向量垂直π如果向量a與b的夾角是，則a與b垂直，記作a?b.22(平面向量基本定理及坐標表示(1)平面向量基本定理:如果e，e是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有12且只有一對實數(shù)λ，λ，使a,λe，λe.121122其中，不共線的向量e，e叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底(12(2)平面向量的坐標表示:?在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為基底，對于平面內(nèi)的一個向量a，有且只有一對實數(shù)x，y，使a,xi，yj，把有序數(shù)對(x，y)叫做向量a的坐標，記作a,(x，y)，其中x叫做a在x軸上的坐標，y叫做a在y軸上的坐標(,,,,,,,,,,,,?設,xi，yj，則向量的坐標(x，y)就是A點的坐標，即若,(x，y)，則AOAOAOA點坐標為(x，y)，反之亦成立((O是坐標原點)[探究]1.向量的坐標與點的坐標有何不同,提示:向量的坐標與點的坐標有所不同～相等向量的坐標是相同的～但起點、終點的,,,,坐標卻可以不同～以原點O為起點的向量的坐標與點A的坐標相同(OA3(平面向量的坐標運算(1)若a,(x，y)，b,(x，y)，則a?b,(x?x，y?y);11221212,,,,(2)若A(x，y)，B(x，y)，則,(x,x，y,y);AB11222121(3)若a,(x，y)，則λa,(λx，λy);(4)若a,(x，y)，b,(x，y)，則a?b?xy,xy.11221221[探究]2.相等向量的坐標一定相同嗎,相等向量起點和終點坐標可以不同嗎,提示:相等向量的坐標一定相同～但是起點和終點的坐標可以不同(如A(3,5)～B(6,8)～,,,,,,,,,,,,,,,,CDCD則,(3,3),C(,5,3)～D(,2～6)～則,(3,3)～顯然,～但A～B～C～DABAB四點坐標均不相同(xy113(若a,(x，y)，b,(x，y)，則a?b的充要條件能表示成,嗎,1122xy22xy11提示:若a,(x～y)～b,(x～y)～則a?b的充要條件不能表示成,～因為x～y112222xy22有可能等于0～所以應表示為xy,xy,0.同時～a?b的充要條件也不能錯記為xx,yy12211212,0～xy,xy,0等(1122[自測?牛刀小試]1(若向量a,(1,1)，b,(,1,0)，c,(6,4)，則c,()A(4a,2bB(4a，2bC(,2a，4bD(2a，4b解析:選A設c,λa，μb～則有(6,4),(λ～λ)，(,μ～0),(λ,μ～λ)～即λ,μ,6～λ,4～從而μ,,2～故c,4a,2b.2(下列各組向量中，能作為基底的組數(shù)為()?a,(,1,2)，b,(5,7);?a,(2，,3)，b,(4，,6);?a,(2，,3)，b,(x，,34)(A(0B(1C(2D(3解析:選C對?～由于,1×7,2×5?0～所以a與b不共線～故a～b可作為基底,對?～由于b,2a～a與b共線～不能作為基底,對?～由于,34×2，3×x?0～所以a與b不共線～故a～b可作為基底(3(設向量a,(m,1)，b,(1，m)，如果a與b共線且方向相反，則m的值為()A(,1B(1C(,2D(2,m,λ～,,解析:選A設a,λb～則1,mλ～,,即λ,?1～又?a與b共線且方向相反～?λ<0～即λ,,1.,,,,,,,,AC4((教材習題改編)在?ABCD中，AC為一條對角線，,(2,4)，,(1,3)，則向AB,,,,量的坐標為________(BD,,,,,,,,,,,,,,,,AC解析:設,(x～y)～?,，ADABAD?(1,3),(2,4)，(x～y)～,,1,2，x～x,,1～,,,,?即3,4，y～y,,1～,,,,,,,,?,(,1～,1)(AD,,,,,,,,,,,,?,,,(,1～,1),(2,4),(,3～,5)(BDADAB答案:(,3，,5)5(已知向量a,(2，,1)，b,(,1，m)，c,(,1,2)，若(a，b)?c，則m,________.解析:?a，b,(1～m,1)(?(a，b)?c～?2,(,1)(m,1),0～?m,,1.答案:,1平面向量基本定理的應用,,,,1[例1]如圖所示，在?ABC中，點M是AB的中點，且,AN2,,,,,,,,,,,,，BN與CM相交于點E，設,a，,b，試用基底a，b表NCACAB,,,,示向量.AE,,,,,,,,,,,,,,,,,1111[自主解答]易得,,b～,,a～由N～E～B三點共線知～存ANACAMAB3322,,,,,,,,,,,,1在實數(shù)m～滿足,m，(1,m),mb，(1,m)a.ANAEAB3,,,,,,,,,,,,,1由C～E～M三點共線知存在實數(shù)n～滿足,n，(1,n),na，(1,n)b.ACAEAM211所以mb，(1,m)a,na，(1,n)b.32131,m,n～m,～,,25由于a～b為基底～所以解得,,14m,1,n～n,～,,35,,,,21所以,a，b.AE55———————————————————應用平面向量基本定理表示向量的方法應用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加法、減法或數(shù)乘運算，基本方法有兩種:(1)運用向量的線性運算法則對待求向量不斷進行化簡，直至用基底表示為止;(2)將向量用含參數(shù)的基底表示，然后列方程或方程組，利用基底表示向量的唯一性求解(11.如圖，在梯形ABCD中，AD?BC，且AD,BC，E，F(xiàn)分別為3,,,,,,,,BC線段AD與BC的中點(設,a，,b，試用a，b為基底表示向BA,,,,,,,,,,,,CD量EF，DF，.,,,,,,,,,,,,,,,,111解:EF,EA，AB，BF,,b,a，b,b,a～623,,,,,,,,,,,,111,,,，,,b，b,a,b,a～DFDEEF,,636,,,,,,,,,,,,121,,,，,,b,b,a,a,b.CDCFFD,,263平面向量的坐標運算,,,,,,,,,,,,[例2]已知A(,2,4)，B(3，,1)，C(,3，,4)(設,a，,b，,c，且BCCAAB,,,,,,,,,,3c，,,2b.求:CMCN(1)3a，b,3c;,,,,,(2)M、N的坐標及向量的坐標(MN[自主解答]由已知得a,(5～,5)～b,(,6～,3)～c,(1,8)((1)3a，b,3c,3(5～,5)，(,6～,3),3(1,8),(15,6,3～,15,3,24),(6～,42)(,,,,,,,,,,,,,,(2)?,,,3c～CMOMOC,,,,,,,,,?OM,3c，OC,(3,24)，(,3～,4),(0,20)(?M(0,20)(,,,,,,,,,,,,又?CNONOC,,,,2b～,,,,,,,,ONOC?,,2b，,(x,6)，(,3～,4),(9,2)～,,,,,MN?N(9,2)(?,(9～,18)(———————————————————平面向量坐標運算的技巧(1)向量的坐標運算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運算的法則來進行求解的，若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求向量的坐標((2)解題過程中，常利用向量相等則其坐標相同這一原則，通過列方程(組)來進行求解，并注意方程思想的應用(,,,,,,,,,,,,,,,,11AC2(已知點A(,1,2)，B(2,8)以及,，,,，求點C、D的坐標和ABDABA33,,,,CD的坐標(解:設點C、D的坐標分別為(x～y)、(x～y)～1122,,,,,,,,AC得,(x，1～y,2)～AB,(3,6)～11,,,,,,,,,(,1,x2,y)～,(,3～,6)(DABA2,2,,,,,,,,,,,,,,,,11因為,～,,～ACABDABA33,,x，1,1,1,x,1～12,,,,所以有～和y,2,22,y,2.,,,,12,,x,0～x,,2～1,2,,,解得和y,4～y,0.,,,,12所以點C、D的坐標分別是(0,4)、(,2,0)～,,,,從而,(,2～,4).CD平面向量共線的坐標表示[例3]平面內(nèi)給定三個向量a,(3,2)，b,(,1,2)，c,(4,1)((1)求滿足a,mb，nc的實數(shù)m，n;(2)若(a，kc)?(2b,a)，求實數(shù)k;(3)若d滿足(d,c)?(a，b)，且|d,c|,5，求d.[自主解答](1)由題意得(3,2),m(,1,2)，n(4,1)～5m,～,,,m，4n,3～9,,所以得,2m，n,2～8,,n,.,9(2)?a，kc,(3，4k,2，k)～2b,a,(,5,2)～16?2×(3，4k),(,5)×(2，k),0.?k,,.13(3)設d,(x～y)～d,c,(x,4～y,1)～a，b,(2,4)～,4，x,4，,2，y,1，,0～,,由題意得22，x,4，,，，y,1，,5～,,,x,3～x,5～,,,,得或故d,(3～,1)或(5,3)(y,,1y,3.,,,,本例(2)成立的前提下，a，kc與2b,a是同向還是反向(16解:?由例題知～k,,.13162510,,?a，kc,(3,2),(4,1),,～～,,1313132b,a,(,2,4),(3,2),(,5,2)～5?a，kc,(2b,a)～135又?,0～?a，kc與2b,a同向(13———————————————————利用兩向量共線解題的技巧(1)一般地，在求與一個已知向量a共線的向量時，可設所求向量為λa(λ?R)，然后結(jié)合其他條件列出關于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量((2)如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時，則利用“若a,(x，y)，b,(x，y)，1122則a?b的充要條件是xy,xy”解題比較方便(12213((1)在平面直角坐標系xOy中，四邊形ABCD的邊AB?DC，AD?BC.已知點A(,2,0)，B(6,8)，C(8,6)，則D點的坐標為________((2)已知向量a,(m，,1)，b,(,1，,2)，c,(,1,2)，若(a，b)?c，則m,________.解析:(1)由條件中的四邊形ABCD的對邊分別平行～可以判斷該四邊形ABCD是平行,,,,,,,,四邊形(設D(x～y)～則有,DC～即(6,8),(,2,0),(8,6),(x～y)～解得(x～y),(0～AB,2)～即D點的坐標為(0～,2)((2)由題意知a，b,(m,1～,3)～c,(,1,2)～(a，b)?c得(,3)×(,1),(m,1)×2,0～由5即2(m,1),3～所以m,.25答案:(1)(0，,2)(2)21個區(qū)別——向量坐標與點的坐標的區(qū)別,,,,OA在平面直角坐標系中，以原點為起點的向量,a，點A的位置被向量a唯一確定，此時點A的坐標與a的坐標統(tǒng)一為(x，y)，但應注意其表示形式的區(qū)別，如點A(x，y)，向,,,,OA量a,,(x，y)(2種形式——向量共線的充要條件的兩種形式(1)a?b?b,λa(a?0，λ?R);(2)a?b?xy,xy,0(其中a,(x，y)，b,(x，y))(122111223個注意點——解決平面向量共線問題應注意的問題(1)注意0的方向是任意的;(2)若a、b為非零向量，當a?b時，a，b的夾角為0?或180?，求解時容易忽視其中一種情形而導致出錯;xy11(3)若a,(x，y)，b,(x，y)，則a?b的充要條件不能表示成,，因為x，y有112222xy22可能等于0，所以應表示為xy,xy,0.1221易誤警示——忽視向量平行的主要條件致誤[典例](x?x高考)設向量a，b滿足|a|,25，b,(2,1)，且a與b的方向相反，則a的坐標為________(22[解析]設a,(x～y)～x,0～y,0～則x,2y,0且x，y,20～解得x,4～y,2(舍去)～或者x,,4～y,,2～即a,(,4～,2)([答案](,4，,2)[易誤辨析]1(解答本題易誤認為“a與b的方向相反?a?b”，致使出現(xiàn)增解(4,2)，而造成解題錯誤(2(解決此類問題常有混淆向量共線與向量垂直的充要條件致誤([變式訓練](已知向量a,(1,0)，b,(0,1)，c,ka，b(k?R)，d,a,b，如果c?d，那么()1A(k,1且c與d同向B(k,1且c與d反向C(k,,1且c與d同向D(k,,1且c與d反向解析:選D?a,(1,0)～b,(0,1)～若k,1～則c,a，b,(1,1)～d,a,b,(1～,1)(顯然～c與d不平行～排除A、B.若k,,1～則c,,a，b,(,1,1)～,d,,a，b,(,1,1)～即c?d且c與d反向～排除C.112(若三點A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab?0)共線，則，的值等于________(ab,,,,,,,,AC解析:,(a,2～,2)～,(,2～b,2)～依題意～有(a,2)(b,2),4,0～即ABab,2a,2b,0～111所以，,.ab21答案:2一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分),,,,,,,,,,,,1((x?x高考)若向量,(2,3)，,(4,7)，則,()CABCBAA((,2，,4)B((2,4)C((6,10)D((,6，,10),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,解析:選A由于,(2,3)，,(4,7)，那么,，,(2,3)，(,4，,7)CABCACBABA,(,2，,4)(,,,,,,,,,,,,2(如圖，在平行四邊形ABCD中，E為DC邊的中點，且,a，,b，則ABADBE,()11A(b,aB(b，a2211C(a，bD(a,b22,,,,,,,,,,,,,,,,11解析:選A,，，,,a，b，a,b,a.BEBAADDE223((x?鄭州模擬)已知平面直角坐標系內(nèi)的兩個向量a,(1,2)，b,(m,3m,2)，且平面內(nèi)的任一向量c都可以唯一的表示成c,λa，μb(λ、μ為實數(shù))，則m的取值范圍是()A((,?，2)B((2，，?)C((,?，，?)D((,?，2)?(2，，?)3m,2解析:選D由題意知向量a～b不共線～故m?～解得m?2.2,,,,,,,,1ACCB4(已知A(7,1)、B(1,4)，直線y,ax與線段AB交于C，且,2，則實數(shù)a等2于()2B(1A(45C.D.53,,,,,,,,ACCB解析:選A設C(x～y)～則,(x,7～y,1)～,(1,x,4,y)～,,,,,,,,,x,7,2，1,x，～,,ACCB?,2～?y,1,2，4,y，～,,,x,3～,,解得?C(3,3)(y,3.,,1又?C在直線y,ax上～21?3,a?3～?a,2.25(已知點A(2,1)，B(0,2)，C(,2,1)，O(0,0)，給出下面的結(jié)論:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,?直線OC與直線BA平行;?，,;?，,;?,BCCAOAOCOBACAB,,,,,,,,,2.OBOA其中正確結(jié)論的個數(shù)是()A(1B(2C(3D(42,1111解析:選C?由題意得k,,,～k,,,～?OC?BA～?正確,?OCBA,220,22,,,,,,,,,,,,，,～??錯誤,BCACAB,,,,,,,,,,,,?，,(0,2),～??正確,OAOCOB,,,,,,,,,,,,?,2,(,4,0)～,(,4,0)～??正確(OBOAAC((x?成都模擬)在?ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，m,(3b,c，6cosC)，n,(a，cosA)，m?n，則cosA的值等于()33A.B.6433C.D.32解析:選Cm?n?(3b,c)cosA,acosC,0～再由正弦定理得3sinBcosA,sin3CcosA，cosCsinA?3sinBcosA,sin(C，A),sinB～即cosA,.3二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分),,,,,,,,,,,,PC7(在?ABC中，點P在BC上，且,2，點Q是AC的中點，若,(4,3)，BPPA,,,,,,,,BC,(1,5)，則,________.PQ,,,,,,,,,,,,解析:,,,(,3,2)～PAAQPQ,,,,,,,,AC?,2,(,6,4)(AQ,,,,,,,,,,,,PCAC,，,(,2,7)～PA,,,,,,,,BCPC?,3,(,6,21)(答案:(,6,21),,,,,,,,CACB8(在?ABC中，,a，,b，M是CB的中點，N是AB的中點，且CN、AM,,,,交于點P，則AP,____________(用a，b表示)(,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,221解析:如圖所示～,，,,，,,，×(，),,ACCPCACNCACACBAP332,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,112121，，,,，,,a，b.CACACBCACB33333321答案:,a，b339(已知向量a,(3，1)，b,(0，,1)，c,(k，3)，若a,2b與c共線，則k,________.解析:a,2b,(3～1),2(0～,1),(3～3)～又?a,2b與c共線～?(a,2b)?c?3×3,3k,0～解得k,1.答案:1三、解答題(本大題共3小題，每小題x分，共36分)10(如圖，已知點A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC與OB的交點P的坐標(,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,解:法一:由O～P～B三點共線～可設OPOBOPOA,λ,(4λ～4λ)～則,,AP,(4λ,4,4λ)(,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,ACOCOAAC又,,,(,2,6)～由與共線得(4λ,4)×6,4λ×(,2),0～解得λAP,,,,,,,,33OPOB,～所以,,(3,3)～44所以P點的坐標為(3,3)(,,,,,,,,,,,,,,,,xyOPOBOPOB法二:設P(x～y)～則,(x～y)～因為,(4,4)～且與共線～所以,～44即x,y.,,,,,,,,,,,,,,,,ACAC又,(x,4～y)～,(,2,6)～且與共線～APAP所以(x,4)×6,y×(,2),0～解得x,y,3～所以P點的坐標為(3,3)(,,,,,,,,,,,,OPOAx(已知O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及,，t，試問:AB(1)t為何值時，P在x軸上,在y軸上,P在x象限,(2)四邊形OABP能否成為平行四邊形,若能，求出相應的t值;若不能，請說明理由(,,,,,,,,OA解:(1)?,(1,2)～AB,(3,3)～,,,,,,,,,,,,?,，t,(1，3t,2，3t)(OPOAAB2若點P在x軸上～則2，3t,0～解得t,,,31若點P在y軸上～則1，3t,0～解得t,,,3,1，3t<0～,2,若點P在x象限～則.解得t<,32，3t<0.,,(2)不能～若四邊形OABP成為平行四邊形～,,,,,,,,,1，3t,3～,,則,～即OPAB2，3t,3.,,?該方程組無解～?四邊形OABP不能成為平行四邊形(x(若平面向量a、b滿足|a，b|,1，a，b平行于x軸，b,(2，,1)，求a的坐標(解:設a,(x～y)～?b,(2～,1)～?a，b,(x，2～y,1)(又?a，b平行于x軸～?y,1,0～得y,1～?a，b,(x，2,0)(又?|a，b|,1～?|x，2|,1～?x,,1或x,,3～?a,(,1,1)或a,(,3,1)(1(已知a，a，?，a,0，且a,(3,4)，則a，a，?，a的坐標為(),12nn12n1A((4,3)B((,4，,3)C((,3，,4)D((,3,4)解析:選C?a，a，?，a,0～12n?(a，a，?，a),,a,(,3～,4)(,12n1n2(若α，β是一組基底，向量γ,x?α，y?β(x，y?R)，則稱(x，y)為向量γ在基底α，β下的坐標，現(xiàn)已知向量a在基底p,(1，,1)，q,(2,1)下的坐標為(,2,2)，則a在另一組基底m,(,1,1)，n,(1,2)下的坐標為()A((2,0)B((0，,2)C((,2,0)D((0,2)解析:選D由題意～a,,2p，2q,(,2,2)，(4,2),(2,4)(設a在基底m～n下的坐標為(λ～μ)～則a,λ(,1,1)，μ(1,2