第09講 空間幾何體的結(jié)構(gòu)與直觀圖高二數(shù)學(xué)（滬教版2020必修三）（解析版）

第09講空間幾何體的結(jié)構(gòu)與直觀圖（核心考點(diǎn)講與練）

1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

（D多面體的結(jié)構(gòu)特征

名稱棱柱棱錐棱臺(tái)

A

D1D'

圖形

ABSAB

AB

底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似

相交于一點(diǎn),但不一定相

側(cè)棱平行且相等延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)

等

側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形

（2）旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征

名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球

a廈

圖形

1

互相平行且相等，

母線相交于一點(diǎn)延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)

垂直于底面

軸截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形回

側(cè)面展開

矩形扇形扇環(huán)

圖

2.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式

圓柱圓錐圓臺(tái)

E￡

側(cè)面展開圖緇/￡jA//21r用

側(cè)面積公式S圓柱側(cè)=2nriS或錐惻=兀rlS例］臺(tái)例=n（方+熱）1

3.空間幾何體的表面積與體積公式

名稱

表面積體積

幾何

柱體

S表面積=S側(cè)+2S底V=s&h

（棱柱和圓柱）

錐體

S表面積=SRIJ+S底

（棱錐和圓錐）O

臺(tái)體

，=；（s上+S下+4鬲）力

S表面積=S（w+S上+S下

（棱臺(tái)和圓臺(tái)）O

仁尹4〃.

球S=4冗?

3—

題型一：柱體

一、單選題

1.（2021?上海?位育中學(xué)高二期中）給定一個(gè)正方體形狀的土豆塊，只切一刀，除了可以得

到四面體、四棱柱等類型的多面體以外，還能得到的多面體的類型可以含有（）

A.五棱柱、七面體B.五棱柱、六棱錐

C.六棱錐、七面體D.以上答案都不正確

【答案】A

【分析】根據(jù)正方體的幾何結(jié)構(gòu)特征，分別取46,4。，4張4口的中點(diǎn)￡￡昂不即可得

到一個(gè)直五棱柱，即可求解.

【詳解】如圖所示,分別取耳,AR的中點(diǎn)E,F,E“K，

分別連接EEE&,尸&與K，

可得幾何體BCDFE-B￡RF昌為一個(gè)直五棱柱，且為七面體.

故選：A.

2.（2021?上海市進(jìn)才中學(xué)高二期中）下列命題是假命題的是（）

A.棱柱的所有側(cè)面都是平行四邊形

B.將矩形ABC。繞其一邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的的幾何體叫做圓柱；

C.正棱錐頂點(diǎn)在底面的投影是底面正多邊形的中心；

D.將直角三角形AOB繞其一邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的的幾何體叫做圓錐.

【答案】D

【分析】由棱柱、圓柱、正棱錐、圓錐的定義逐一判斷可得選項(xiàng).

【詳解】解：對(duì)于A：由棱柱的定義得棱柱的所有側(cè)面都是平行四邊形，故A正確；

對(duì)于B：由圓柱的定義得將矩形A8CZ）繞其一邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的的幾何體叫做圓柱，故B

正確；

對(duì)于C：由正棱錐的定義得正棱錐頂點(diǎn)在底面的投影是底面正多邊形的中心，故C正確；

對(duì)于D：將直角三角形AOB繞其斜邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體不是圓錐，故D不正確，

所以假命題的是D選項(xiàng)，

故選：D.

3.（2021.上海市建平中學(xué)高二期中）以下關(guān)于多面體的命題種，真命題為（）

A.所有側(cè)面均為正三角形的四棱錐是正四棱錐

B.所有側(cè)面均為正方形的四棱柱是正四棱柱

C.所有側(cè)面均為正三角形的多面體是正四面體

D.所有側(cè)面均為正方形的多面體是正方體

【答案】A

【分析】直接利用正棱柱和正棱錐體的定義判定A、B、C、D即可得出答案.

【詳解】解：對(duì)于A：所有側(cè)面均為正三角形的四棱錐是正四棱錐，故A正確；

對(duì)于B：所有側(cè)面均為正方形的四棱柱不一定是正四棱柱，底面不一定為正方形，故B錯(cuò)

誤；

對(duì)于C：所有側(cè)面均為正三角形的多面體是正四面體，也可能為正四棱錐，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：所有側(cè)面均為正方形的多面體是直棱柱，故D錯(cuò)誤.

故選：A.

4.（2021?上海市進(jìn)才中學(xué)高二期中）下列四種說法中：

①有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的兒何體叫棱柱：

②相等的線段在直觀圖中仍然相等；

③一個(gè)直角三角形繞其一邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的封閉圖形叫圓錐.

正確的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.IC.2D.3

【答案】A

【分析】直接根據(jù)棱柱的定義，平面圖形和直觀圖的應(yīng)用，圓錐的定義即可判斷出正誤.

【詳解】對(duì)于①，有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形，且相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相

平行，

這些面圍成的幾何體叫棱柱；如圖，該幾何體滿足①中條件，卻不是棱柱；故①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，相等的線段在直觀圖中不一定相等，例如正方形在直觀圖中是鄰邊不等的平行四邊

形，故②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，一個(gè)直角三角形繞其一直角邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的封閉圖形叫圓錐，故③錯(cuò)誤.

故選：A.

5.（2021.上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二期中）如圖，為正方體，任作平面a與對(duì)角

線AC'垂直，使得a與正方體的每個(gè)面都有公共點(diǎn)，記這樣得到的截面多邊形的面積為S,

周長(zhǎng)為/,則（）

A.S為定值，/不為定值

B.S不為定值，/為定值

C.S與/均為定值

D.S與/均不為定值

【答案】B

【分析】將正方體切去兩個(gè)正三棱錐A-ABD與C-DBC后，得到一個(gè)以平行平面4比＞與

QZ.C為上、下底面的幾何體V,V的每個(gè)側(cè)面都是等腰直角三角形，截面多邊形W的每一

條邊分別與V的底面上的一條邊平行，將V的側(cè)面沿棱4否剪開，展開在一個(gè)平面上，得到

一個(gè)平行四邊形A2￡A，考查E'的位置，確定5」

【詳解】解：將正方體切去兩個(gè)正三棱錐A-A'BD與C'-O'B'C后，得到一個(gè)以平行平面

A'BO與DAC為上、下底面的幾何體V,V的每個(gè)側(cè)面都是等腰直角三角形，截面多邊形W

的每一條邊分別與V的底面上的一條邊平行,將V的側(cè)面沿棱4Z’剪開,展開在一個(gè)平面上,

得到?個(gè)平行四邊形A88M，如圖所示

B'CC'Bi

E'K

D4

而多邊形W的周界展開后便成為一條與A'A平行的線段（如圖中E&）,顯然，EE]=AAt,

所以/為定值，

當(dāng)E.位于A乃中點(diǎn)時(shí)，多邊形W為正六邊形，而當(dāng)E'稱到A,時(shí)，卬為正三角形，則當(dāng)周長(zhǎng)

這定值/的正六邊形與正三角形面積分別為且尸，丑尸，所以S不是定值，

2436

故選：B

6.（2021?上海市第三女子中學(xué)高二期末）《九章算術(shù)》中，稱底面為矩形而有一側(cè)棱垂直于

底面的四棱錐為陽馬，設(shè)AA是正四棱柱的一條側(cè)棱，如圖，若陽馬以該正四棱柱的頂點(diǎn)為

頂點(diǎn)，以4A為底面矩形的一邊，則這樣的陽馬的個(gè)數(shù)是（）

A.4B.8C.12D.16

【答案】B

【分析】先找出包含AA的底面矩形，再根據(jù)圖形特征，逐個(gè)計(jì)數(shù)即可.

【詳解】如圖，

DA

若包含AA,的底面矩形為AAA。，則頂點(diǎn)可以從5,4，G，c中選取，故有四個(gè)不同的

陽馬；

若包含AA的底面矩形為44出田，則頂點(diǎn)可以從C1,c,。中選取，故有四個(gè)不同的

陽馬；

若包含刈的底面矩形為A4,￡C，則從8，4，Dt,。中任取一個(gè)作為頂點(diǎn)，都不符合陽

馬，故舍去.

綜上可知，以AA為底面矩形的一邊，則這樣的陽馬的個(gè)數(shù)是8個(gè).

故選：B.

7.（2021?上海?曹楊二中高二期末）在如圖所示的棱長(zhǎng)為20的正方體ABC。-ABCR中，

點(diǎn)M為C。的中點(diǎn)，點(diǎn)P在側(cè)面AORA上，且到4Q的距離為6,到4A的距離為5,則過

點(diǎn)尸且與AM垂直的正方體截面的形狀是（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

【答案】B

【分析】根據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)，以及正方體的截面的性質(zhì)、平面的基本性質(zhì)，即可求

解.

【詳解】如圖所示，過點(diǎn)尸作E/〃AR分別交4%力。丁點(diǎn)E,尸，因?yàn)?R_LA。，可得

EF,

在正方體48C￡）-A81GA中，C￡>_L平面AORA，所以EFLCD

又CODA。=。，所以平面MDA,,A,Dc平面MD\，所以A。1EF

過戶作PK_LAA交于AQ點(diǎn)K，則PK=6,設(shè)XF=x

FKKPx6

則AE=AF,所以高-=——,即——=--,511]x=6

E4,A^EA^EA^F

所以A1K+KF=5+6=11

在正方形A4GA中，取G"的中點(diǎn)連接何?

則VAMR與VZ）￡N,則N04M=ND[C]

所以NNRM]+=NNDM+ZDiAiMi=90。.即人陷1D、N

取8c的中點(diǎn)N,過尸作尸”//。。交友G于點(diǎn)“，連接D,N,則AM】J.FH

又M%_L平面所以MMJL/77.由MMcAM=陷

所以尸“_L平面A幽幽，所以

又EFcFH=F,所以AMI平面EFH

連接8G，過H作HG//Bq,由BCJ/AA,則//FE,所以HG//FE（且HGwFE）

連接EG,則四邊形瓦HG為梯形，所以平面EFHG

所以截面的形狀為四邊形邊形比HG.

故選：B.

8.（2021?上海青浦?高二期末）如圖，正方體ABC。-A內(nèi)GR中，E、尸分別是AB、8C的

中點(diǎn)，過點(diǎn)2、E、f的截面將正方體分割成兩個(gè)部分，記這兩個(gè)部分的體積分別為

KM（乂<%），則匕：匕=（）

【答案】C

【分析】如圖所示，過點(diǎn)。，E,尸的截面下方幾何體轉(zhuǎn)化為一個(gè)大的三棱錐，減去兩個(gè)

小的三棱錐，上方部分，用總的正方體的體積減去下方的部分體積即可.

【詳解】

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2a,

則過點(diǎn)O1，E,F的截面下方體積為：v；=y^-3a-3a-2a-1-aa^-2=^a3,

2547

??.另一部分體積為V2=8/-乎3=力3,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何的割補(bǔ)問題，還考查了空間想象的能力，屬于中檔題.

二、填空題

9.（2021?上海?閔行中學(xué)高二期中）①直四棱柱一定是長(zhǎng)方體；

②正方體一定是正四棱柱；

③底面是正多邊形的棱柱是正棱柱；

④有相鄰兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱；

⑤直棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)與高相等；

以上說法中正確的命題有（寫出正確的命題序號(hào)）

【答案】②④⑤

【分析】根據(jù)直棱柱、正四棱柱、平行六面體的概念和結(jié)構(gòu)特征依次判斷①②③④⑤，即可

得正確答案.

【詳解】①側(cè)棱垂直于底面的四棱柱叫做直四棱柱，底面是長(zhǎng)方形的直四棱柱才是長(zhǎng)方體.

底面如果不是長(zhǎng)方形或正方形，則該直四棱柱不是長(zhǎng)方體，故①錯(cuò)誤；

②上、下底面都是正方形，且側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做正四棱柱，所以正方體是正四棱柱,

但正四棱柱不一定是正方體，故②正確；

③底面是正多邊形的直棱柱是正棱柱，底面是正多邊形且側(cè)棱與底面不垂直的棱柱不是正棱

柱，故③錯(cuò)誤；

④有兩個(gè)相鄰的側(cè)面是矩形，說明側(cè)棱與底面兩條相交直線垂直，則側(cè)棱與底面垂直，

所以有相鄰兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱，故④正確；

⑤直棱柱的側(cè)棱垂直于底面，因此側(cè)棱長(zhǎng)與高相等，故⑤正確.

故答案為：②④⑤.

10.（2021?上海市西南位育中學(xué)高二期中）在直三棱柱中，

NAC3=9O°,AC=12,3C=CG=2VL點(diǎn)尸是直線BG上一動(dòng)點(diǎn)，則AP+PC的最小值是

【答案】10>/2

【分析】連接AB,沿將△CBG展開與VA8G在同一個(gè)平面內(nèi)，在BG上取一點(diǎn)與4c

構(gòu)成三角形，由三角形兩邊之和大于第三邊，可知4尸+PC的最小值是AC的連線，再利用

余弦定理可得解.

【詳解】連接沿8孰將△CBG展開與VABG在同一個(gè)平面內(nèi)，在5c上取一點(diǎn)與AC

構(gòu)成三角形，

由三角形兩邊之和大于第三邊，可知AP+PC的最小值是AC的連線，

因?yàn)橹倍庵鵄BC-AB|G中，ZACB=90.AC=12,BC=CC,-2A/2,

所以矩形BCQB,是邊長(zhǎng)為2夜的正方形，則8G=4,

又在矩形48瓦4中，AB\=AB=2BB1=2叵,則48=4后，

XA.C,2+BC-=A.B2,所以NA￡B=900,!）li]Z4C,C=135°,

在VAC1C=135°中，利用余弦定理可得：AC|=JAC：+C。-2AG?￡Ccosl35°

=^122+（272）2-2xl2x2>/2cosl350=10^

故答案為：10?

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查了棱柱的結(jié)構(gòu)特征及兩點(diǎn)之間的距離公式，其中將

△C3G沿BC,展開，將一個(gè)空間問題轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)求兩點(diǎn)之間的距離公式的問題是解答的

關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想，以及推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.

11.（2021.上海市延安中學(xué)高二期中）如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A4GQ中，AB=4,BC=10,

M=3,P為AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AP+PC的最小值為.

【答案】2屈

（分析】將半平面AR4,沿\B翻折到EBA且平面EBA,與平面ABC。位于同一平面,連接EC

與A出交于點(diǎn)P,此時(shí)EC即為AP+PC的最小值，再利用余弦定理求出EC即可；

【詳解】解：如圖

5G

為

C

AB

將半平面ABA,沿AtB翻折到EB4且平面EBA,與平面A^BCD,位于同一平面，截面圖如下所

示：連接EC與AB交于點(diǎn)尸，此時(shí)EC即為AP+PC的最小值，

22

因?yàn)殂@=4,BC=10,AA=3,所以EB=4,A,B=y/AAl+AB=5,sin=^=|,

3

所以cosNEBC=cos(NABE+90°)=-sin4BE=-g

所以EC?=@+BC?-2BE?8CcosNEBC=4?+10?-2x4x10x(-J164

所以EC=2"7

故答案為：2向

12.（2021.上海市控江中學(xué)高二期中）在棱長(zhǎng)為6的正方體ABCD-A8Gq中，E是棱A8

的中點(diǎn)，過E2G作正方體的截面，則該截面的面積是.

Q1

【答案】y

【分析】先確定截面為等腰梯形。E^G，畫出平面圖形CE尸G，計(jì)算即得解.

【詳解】如圖，在正方體ABCD-A4GA中，E是棱AB的中點(diǎn)，過E,D，G作正方體的截

面為等腰梯形DEFC-畫出平面圖形DEFG,過點(diǎn)E作E”J_￡>G,垂足為H.

因?yàn)?。=6Q，EF=3日DE=GF=*，所以竽，

所以截面。"G的面積為J_（6夜+3忘）=出

222

0I

故答案為：—

13.（2021?上海?復(fù)旦附中高二期中）向體積為1的正方體密閉容器內(nèi)注入體積為x（O<x<l）

的液體，旋轉(zhuǎn)容器，若液面恰好經(jīng)過正方體的某條對(duì)角線，則液面邊界周長(zhǎng)的最小值為

【答案】2石

【分析】根據(jù)正方體的截面性質(zhì)，將AAGA繞GR旋轉(zhuǎn)1時(shí)，根據(jù)兩點(diǎn)間線段最短求得

即可.

【詳解】解：當(dāng)液面過。與0寸，截面為四邊形4N0G,將AB?、繞CQ,旋轉(zhuǎn)此時(shí)

與N=8；N如圖所示：

則DN+B\N=DN+B：N>DB：=V1+4=#）,當(dāng)DNB：共線時(shí)等號(hào)成立，

故周長(zhǎng)最小值為（QN0cz“=2（07+4'q“而=2石.

故答案為：2小.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方體的截面問題，意在考查學(xué)生的空間想象力和計(jì)算能力，屬于中檔

題.

14.（2021?上海?位育中學(xué)高二期中）已知長(zhǎng)方體的表面積為24cm一過同一頂點(diǎn)的三條棱

長(zhǎng)之和為6cm,則它的對(duì)角線的長(zhǎng)為cm.

【答案】26

【分析】設(shè)出長(zhǎng)寬高，表示出表面積和棱長(zhǎng)之和，得到關(guān)系式即可求解.

【詳解】設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為“，b,c,

則由圖可得+b（：:砒）一24,可得/*從+C2=]2,

所以長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為，？+萬+C?=26■

故答案為：2G.

15.（2021.上海徐匯.高二期末）如圖，在正四棱柱A8CO-A4CQ中，AB=\,例=6,

點(diǎn)E為AB上的動(dòng)點(diǎn)，則RE+CE的最小值為.

【答案】M

【解析】將平面ABGR與平面相8延展至同?平面，由C、E、2三點(diǎn)共線可求得

RE+CE的最小值.

【詳解】如下圖所示，將平面ABGP與平面"CD延展至同一平面,

:CD=\,山勾股定理可得CR=J『+32=713.

由圖形可知，當(dāng)c、E、。三點(diǎn)共線時(shí)，OE+CE取得最小值

故答案為：M.

【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中折線長(zhǎng)度的最值問題的求解，一般要求將兩個(gè)平面延展至同一

平面，利用三點(diǎn)共線來處理，考查空間想象能力與計(jì)算能力，屬于中等題.

三、解答題

16.(2021?上海寶山?高二期末)如圖，在正四棱柱ABC。-AEG。中，AB=2,CC,=4,

M為棱Bq的中點(diǎn)

(i)求三棱錐M-AAA的體積；

(2)求直線與平面A/G2所成角的正弦值.

【答案】3)(2)走.

33

【分析】⑴在正四棱柱ABC。-ABC閩中求出點(diǎn)M到平面ADRA的距離即可作答;

(2)連8d,證得是直線RM與平面所成角，再經(jīng)計(jì)算即得.

【詳解】(1)在正四棱柱ABC。-44GA中，連AM,如圖，

AB，平面ADDA，平面ADDA,則棱8片的中點(diǎn)M到平面AAA的距離就是

AB=2,

所以%-他4至出0]，AB=1-4-2?2=]；

3312Jo3

(2)在正四棱柱ABCO-AAGR中，84，平面4q62,連8Q，

則B畫是RM在平面AAGR內(nèi)射影，/MC4是直線與平面所成的角,

而AB=2,CG=4,則=20,

因此，在R/AA〃)4中，RM="*：+8m2="20『+22=26,

Px.DBtM26

十ZBE得asinNMD[8]==—尸=--，

所以直線RM與平面ABCQ所成角的正弦值為立.

3

題型二：棱錐

一、單選題

1.（2021.上海.華師大二附中高二期中）幾何體「的表面上有三條線段AB、CD、EF,有

AB.CD、E廠所在直線兩兩異面，則在①棱柱；②棱錐；③圓柱；④圓錐；⑤球中，「有

可能是（）

A.①?@B.①②④C.①③④D.③??

【答案】A

【分析】根據(jù)異面直線的定義以及幾何體的結(jié)構(gòu)特征即可求解.

【詳解】由圖可知，「有可能是棱柱，

由圖可知，「有可能是棱錐,

由圖可知，r有可能是圓柱,

由于圓錐側(cè)面上的直線都相交于一點(diǎn)，

所以不可能存在三條兩兩異面的直線，故r不可能為圓錐；

球的表面不存在直線，故故r不可能為球.

故選：A

2.（2021?上海市延安中學(xué)高二期末）下列結(jié)論正確的是（）

A.各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐

B.所有幾何體的表面都能展開成平面圖形

C.棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)相等，則該棱錐不可能是正六棱錐

D.一個(gè)直角三角形繞一邊所在直線旋轉(zhuǎn)形成的封閉曲面所圍成的圖形叫做圓錐

【答案】C

【分析】對(duì)于A、B、D舉出反例即可判斷，C選項(xiàng)假設(shè)正六棱錐，推出矛盾即可.

【詳解】A：如圖，各個(gè)面均是三角形，但不是三棱錐，故A錯(cuò)誤；

B：球不能展開為平面圖形，故B錯(cuò)誤；

C：若六棱錐的所有棱長(zhǎng)都相等，則底面是正六邊形，由過中心和頂點(diǎn)的截面可知，若以正

六邊形為底面，側(cè)棱長(zhǎng)必然大于底面的邊長(zhǎng)，所以該棱錐不可能是正六棱錐，故C正確；

D：直角三角形繞其斜邊旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是一個(gè)由兩個(gè)圓錐構(gòu)成的組合體，故D錯(cuò)誤,

3.（2021.上海.閔行中學(xué)高二期中）在棱長(zhǎng)均為2G的正四面體A8C。中，M為AC中點(diǎn)，

E為A3中點(diǎn)，P是。0上的動(dòng)點(diǎn)，。是平面ECZ）上的動(dòng)點(diǎn)，則AP+PQ的最小值是（）

A.色墳1B.百+亞C.->/3D.2G

24

【答案】A

【解析】在正四面體A8C3中，由AB_L平面找出DM在平面上的射影OG,再沿

DM展開平面ADM，使之與平面GDM重合,此時(shí),AP+PQ的最小值即為點(diǎn)A到DG的距離,

最后，結(jié)合數(shù)據(jù)解三角形即可.

【詳解】由題知，在正四面體A8CO中,E為A8中點(diǎn)，

ABLDE,ABLCE,

，AB_L平面CZ>￡

設(shè)CE中點(diǎn)為G,連MG,

?.?M為AC中點(diǎn)，

：.MG//AE，且MGJAE=R

22

MGJ?平面COE,

￡>G即為DM在平面COE上的射影，

沿DM展開平面ADM.使之與平面GDM重合，

此時(shí).AP+PQ的最小值即為點(diǎn)A到0G的距離，

故過點(diǎn)A作AQLOG于點(diǎn)Q,

又DM=^AD'-AM-=3，

.人?MG6人?733

sinNMDG=-----=——,/.cosNMDG=，

MD66

???ZADM=30\

??.sinZADQ=sin(ZADM+ZMDG)=—x^+叵x-=3+叵、

626212

A4Qc=AADn-sin/Z\.ADQ=c2VFi33+—>/3—3=G----+--A-/-F-T--,

故選:A.

【點(diǎn)睛】本題考查空間幾何體中的距離最值問題，需要學(xué)生有較強(qiáng)的空間想象和思維能力，綜

合性較強(qiáng).在解決此類最值問題時(shí)，一般采用側(cè)面展開的形式，將立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題解

決.

二、填空題

4.（2021?上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué)高二期中）將一段長(zhǎng)12cm的鐵絲折成兩兩互相垂直的三段,

使三段長(zhǎng)分別為3cm、4cm、5cm,則原鐵絲的兩個(gè)端點(diǎn)之間的距離為cm.

【答案】5夜

【分析】將所折鐵絲用空間幾何體表示，可得各側(cè)面均為直角三角形的三棱錐，進(jìn)而求原鐵

絲的兩個(gè)端點(diǎn)之間的距離.

【詳解】由題意，:段分別為AB=3cm,BC=4cm,CO=5cm,如卜圖示，

AB±BC,BC±CD,ABLCD,又BC1AB=B,即00_1面48。,

又ACu面ABC,故CD_LAC,

AD=^AB'+BC'+CD1=5缶m-

故答案為：5五

5.（2021?上海?格致中學(xué)高二期中）已知在正四棱錐P-ABC。中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方

形，棱錐的高為正，則該四棱錐的側(cè)面積等于.

2

【答案】G

【分析】由正四棱錐的性質(zhì)結(jié)合已知條件求出正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)，可知其側(cè)面為等邊三角形,

從而求得側(cè)面積.

【詳解】如圖，由正四棱錐的性質(zhì)知，POJ?平面A3CO

在直角△POC中，尸。=等，co=；4+F=與,則尸+［等）=1

所以該正四棱錐的側(cè)面為邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，

1n

所以側(cè)血積S=4x—xlxlxsin60°=2x^^=>/3

22

故答案為：G

6.（2021?上海市寶山中學(xué)高二期中）在正四棱錐尸-A8CO中，底面A8c。的邊長(zhǎng)為4,側(cè)

棱BP與底面所成角的大小為60。，則該四棱錐的高等于.

【答案】2能

【分析】根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)，將求高轉(zhuǎn)化到一個(gè)直角三角形內(nèi)求.

【詳解】

設(shè)點(diǎn)在P在底面ABCD的投影為O.

根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)，。為AC和8。的交點(diǎn)，APOB為直角三角形，NPOB=90

由題意可知，ZPBO=60,BO=~BD=^x4y/2=2y/2.

22

所以正四棱錐P-4BC。的高，PO=tanZPBOOB=^x2V2=2>/6.

故答案為：2瓜

7.（2021?上海市進(jìn)才中學(xué)高二期中）如圖所示，在側(cè)棱長(zhǎng)為2分的正三棱錐V-A8C中,

ZAVB=ZBVC=ZCVA=40,過A作截面AEF,AAEF周長(zhǎng)的最小值為.

【解析】將三棱錐V-ABC沿巖“4剪開，將側(cè)面以8、VBC、心延展至同一平面，計(jì)算

出AA,的長(zhǎng)，即為“回周長(zhǎng)的最小值.

【詳解】如圖，將三棱錐V-A8C沿側(cè)棱E4剪開，并將其側(cè)面展開平鋪在一個(gè)平面上，

則線段4A的長(zhǎng)即為所求AAEF的周長(zhǎng)的最小值.

V

CB

取AA的中點(diǎn)O，連接VO,則丫￡＞，M，ZAVD=60.

在中，AO=VA.sin60'=2后x且=3，則的=24。=6,

2

即AAEF周長(zhǎng)的最小值為6.

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】研究幾何體表面上兩點(diǎn)的最短距離問題，常選擇恰當(dāng)?shù)哪妇€或樓展開，轉(zhuǎn)化為平面

上兩點(diǎn)間的最短距離問題.

三、解答題

8.（2021?上海?高二專題練習(xí)）正四棱錐尸-"8的底面正方形邊長(zhǎng)是3,。是在底面上的

射影，PO=6,。是AC上的一點(diǎn)，過。且與小、BO都平行的截面為五邊形

（1）在圖中作出截面EFG）企，并寫出作圖過程；

（2）求該截面面積的最大值.

【答案】⑴見解析：（2）9.

【解析】（1）根據(jù)題意，作輔助線，過。作QG〃尸A且過點(diǎn)E作即//PA,交PB

于點(diǎn)尸，過點(diǎn)L作HL//PA交PD于點(diǎn)H,連接FG,GH,FH,即可得出截面EFGHZ,；

（2）由題意可知，PAH截EFGHL,即//截面EFGHL,根據(jù)PO_L平面ABCD,利用

線面垂宜的性質(zhì)和判定，可證出B/）J.平面PAC,則比＞_LP4,進(jìn)而得出EF_LEL,所以截

面EAG/也是由兩個(gè)全等的直角梯形組成，設(shè)EQ=X,則QL=X,截面EAG/"面積為S,

根據(jù)S=（￡F+QG）EQ,代入計(jì)算，最后利用二次函數(shù)求得最大值.

【詳解】解：（1）山題可知，。是AC上的一點(diǎn)，過。且與24、30都平行的截面為五邊形

EFGHL,

過。作磯//8O,交點(diǎn)E,交ADT點(diǎn)、L,

過。作QG///%,交PC于點(diǎn)G,

再過點(diǎn)E作所//P4,交PB于點(diǎn)、F,

過點(diǎn)L作HL//P4交尸。于點(diǎn)H,連接尸G,G〃,FH,

:.EF//PA,HL//PA,GQ//PA,

:.EF//HL//GQ,

所以E,EG,H,L共面，。日平面我/叱才比，

EL//BD,EZ,u平面EFGHL,

??5。//平面EFGHL,同理PA〃平面EFGHL.

所以過Q目.與PA、8。都平行的截面EFG乩如卜圖:

(2)由題意可知，PA〃截面EFG/4，6￡>//截面

PA//EF,PAUHL.PA//GQ,BD//EL,BD!IFH,

而。是在底面上的射影，PO=6,

.?.PO_L平面力BCD，BDLAC,

s.POLBD,且ACfW=O,

所以BO_L平面PAC,則8D_LB4,

:.EF±EL,

又?：FH//BD,P-MCD為正四棱錐，

PH=PF,故△PFG三△P”G,

于是GF=GH,

因此截面EFGHL是由兩個(gè)全等的直角梯形組成，

因EL//BD,則LAEL為等腰直角三角形，

設(shè)EQ=x,則。乙=》，

3&

EFBEOQ~^~x

所以，莉一詼=詬=?可，

-2~

EF=\--xPA,同理得，QG=l--xPA,

I3JI6J

又因?yàn)?JPO'+O*=2夜,

2

設(shè)截面ER%也面積為S,

所以S=（EF+QG）EQ=2x）呼x，

即：S=_/2+9&x=_|（x_0『+9,

當(dāng)且僅當(dāng)x=3時(shí)，S有最大值為9.

所以截面EFGHL的面積最大值為9.

【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)線面平面的性質(zhì)進(jìn)行作圖和截面的面積最大值的求法，還涉及線面平

行和垂直的性質(zhì)和判定定理，考查空間想象能力和計(jì)算能力.

題型三：棱臺(tái)

一、單選題

1.(2021?上海?閔行中學(xué)高二期中)兩個(gè)體積分別為匕，匕的幾何體夾在兩個(gè)平行平面之間，

任意一個(gè)平行于這兩個(gè)平面的平面截這兩個(gè)幾何體，截得的截面面積分別為，，邑，則

”=匕"是"=5」的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】由祖啕原理，再結(jié)合充分條件，必要條件的定義即可求解.

【詳解】解：根據(jù)祖曬原理，

①由5=邑，得到匕=%，二必要性成立，

②由匕=匕，則、，邑不一定相等，例如兩個(gè)完全相同的棱錐，分別正置和倒置，..?充分性

不成立，

./=匕是5=星的必要不充分條件，

故選：B.

二、填空題

2.(2021?上海市控江中學(xué)高二期中)若正四棱臺(tái)的上底邊長(zhǎng)為2,下底邊長(zhǎng)為8,高為4,

則它的側(cè)面積為.

【答案】100

【分析】根據(jù)正四棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，借助其高、斜高、兩底面對(duì)應(yīng)邊心距構(gòu)成的直角梯形求

出斜高即可計(jì)算得解.

【詳解】因正四棱臺(tái)的上底邊長(zhǎng)為2,下底邊長(zhǎng)為8,高為4,則該正四棱臺(tái)上底、下底面

邊心距分別為1，4,

而正四棱臺(tái)的高、斜高、兩底面對(duì)應(yīng)邊心距構(gòu)成直角梯形，于是得斜高”=〃2+(4-1)2=5,

因此，側(cè)面積S=4x-^x5=100,

所以所求的側(cè)面積為100.

故答案為：100

三、解答題

3.(2021.上海?曹楊二中高二階段練習(xí))如圖，水平放置的正四棱臺(tái)玻璃容器的高為32cm,

兩底面對(duì)角線EG、EQ的長(zhǎng)分別為14cm、62cm,水深為12cm.

(1)求正四棱臺(tái)的體積；

(2)將一根40cm長(zhǎng)的玻璃棒/放在容器中，/的一端置于點(diǎn)E處，另一端置于側(cè)棱GQ上，求

/沒入水中部分的長(zhǎng)度.(容器厚度，玻璃棒粗細(xì)均忽略不計(jì))

【答案】(l)26176(cm》(2)20cm

【分析】(D根據(jù)題意，結(jié)合臺(tái)體的體積公式，即可求出結(jié)果.

(2)設(shè)玻璃棒在GG上的點(diǎn)為M,玻璃棒與水面的交點(diǎn)為N,過點(diǎn)N作NPLEG,交EG

于點(diǎn)P,過點(diǎn)E作EQ1Eg,交E,G,于點(diǎn)。，推導(dǎo)出EE￡G為等腰梯形，求出耳。=24cm,

3

&E=40cm,由正弦定理求出sin/GEM=g,由此能求出玻璃棒/沒入水中部分的長(zhǎng)度.

(1)

解：由題意可知，下底面正方形的邊長(zhǎng)為美cm,上底面正方形的邊長(zhǎng)為趣cm,

所以下底面面積為￡=(=98(cm2)，上底面的面積反=(卷]=1922(cm2).

又臺(tái)體的高為32cm,

所以正四棱臺(tái)的體積

V=1/2(S,+52+VV5；)=1X32X(98+1922+798x1922)=26176(cm3)

(2)解：設(shè)玻璃棒在GQ上的點(diǎn)為“，則EM=40cm,玻璃棒與水面的交點(diǎn)為N,在平面

EEG。中，過點(diǎn)N作NPLEG,交EG于點(diǎn)P,過點(diǎn)E作EQLE；。，交后￡手點(diǎn)0,

?.?EFG”-EEGd為正四棱臺(tái)，

EE]=GG],EG//gG[,EGwE^G},

E￡￡G為等腰梯形，畫出平面gGQ的平面圖,

'/Eg=62cm,EG=14cm,EQ=32cm,NP—12cm,

:.EQ=24cm,

2

由勾股定理得：EtE=yjE^+EQ=40cm,

443

...sinNEEG=-,sinNEGM=sinNEgG=-,cosNEGM

EMEG4014

根據(jù)正弦定理得：sinNEGM-sin/EMG'-4-sinZEMG，

5

724

「.sinNEMG=—,cos/EMG=——,

2525

「.sin/GEM=sin(ZEGM+/EMG)

3

=sinZEGMcosZEMG+cosZ.EGMsin/EMG=—,

5

5

.?.玻璃棒/沒入水中部分的長(zhǎng)度為20cm.

題型四：圓柱

一、填空題

1.（2021.上海市松江二中高二期中）已知一個(gè)圓柱的底面直徑為4,其表面積等于側(cè)面積

3

的則該圓柱的軸截面周長(zhǎng)為.

【答案】16

【分析】設(shè)圓柱的高為〃，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于九的等式，求出力的值，即可得解.

【詳解】設(shè)圓柱的高為〃，該圓柱的衣面積為2乃x2?+2萬x2〃=8;r+4;r〃，側(cè)面積為4萬6，

由題意可得8%+4I〃=3X47Z7?,解得〃=4,

2

因此，該圓柱的軸截面周長(zhǎng)為4x2+2/7=16.

故答案為：16.

2.（2021?上海?位育中學(xué)高二階段練習(xí)）已知圓柱的底面半徑為1,母線長(zhǎng)為4,為母線,

則A繞圓柱側(cè)面兩周到達(dá)B點(diǎn)經(jīng)過的最短路程為

【答案】4A/NV

【分析】將圓柱側(cè)面展開即可求得結(jié)果.

【詳解】由圓柱的側(cè)面展開圖可知，A繞圓柱側(cè)面兩周到達(dá)B點(diǎn)經(jīng)過的最短路程為

j4，+（2x2;r）2=4,1+%2.

故答案為：4川+乃2.

3.（2021?上海市中國中學(xué)高二階段練習(xí)）圓柱底面半徑為3,母線長(zhǎng)為5,一只小蜘蛛從某

條母線上的一端點(diǎn)出發(fā)，沿著圓柱表面爬行一周到該母線的另一個(gè)端點(diǎn)，則蜘蛛所走的最短

路程為.

［答案］J25+36后

【分析】把圓柱側(cè)面展開后得一矩形，矩形對(duì)角線長(zhǎng)為所求最短距離.

【詳解】沿這條母線展開圓柱側(cè)面是一矩形，矩形的長(zhǎng)是圓柱的底面周長(zhǎng)為2萬x3=6;r,矩

形的寬為圓柱的母線長(zhǎng)5,矩形的對(duì)角線長(zhǎng)為j5?+（6萬f=,25+36米,即為所求最短距離.

故答案為：，25+36乃2

4.（2022?上海民辦南模中學(xué)高二開學(xué)考試）若一圓柱的側(cè)面積為6萬，則經(jīng)過圓柱的軸的截

面積為______

【答案】6

【分析】根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式得關(guān)系式，再根據(jù)圓柱的軸的截面積求結(jié)果.

【詳解】設(shè)圓柱的底面面積半徑為，高為/?,則6萬=2乃即附=3,

因此圓柱的軸的截面積為24=6

故答案為：6

【點(diǎn)睛】本題考查圓柱的側(cè)面積與軸截面積，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

5.（2019?上海市金山中學(xué)高二階段練習(xí)）有下列命題：①在圓柱的上、下底面的圓周上各

取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)連線的長(zhǎng)度是母線的長(zhǎng)度；②圓錐頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)連線的長(zhǎng)度

是母線的長(zhǎng)度；③圓柱的任意兩條母線所在直線互相平行；④過球上任意兩點(diǎn)有且只有一個(gè)

大圓；其中正確命題的序號(hào)是

【答案】②③

【分析】根據(jù)圓柱母線垂直于底面的特點(diǎn)可知①錯(cuò)誤，③正確；由圓錐的特點(diǎn)可知②正確；

當(dāng)兩點(diǎn)連線為球的直徑時(shí)，可知④錯(cuò)誤.

【詳解】①若上下頂面兩點(diǎn)連線不垂直于底面，則兩點(diǎn)連線長(zhǎng)度不是母線的長(zhǎng)度，①錯(cuò)誤;

②由圓錐的特點(diǎn)可知，圓錐頂點(diǎn)到底面圓周上任意一點(diǎn)長(zhǎng)度相等，均為母線長(zhǎng)度，②正確；

③圓柱的母線均垂直于底面，所以任意兩條母線所在直線互相平行，③正確；

④若兩點(diǎn)連線為球的直徑，則過兩點(diǎn)有兩個(gè)大圓，④錯(cuò)誤.

故答案為②③

【點(diǎn)睛】本題考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題.

題型五：圓錐

一、單選題

1.（2021.上海市進(jìn)才中學(xué)高二期中）下列命題是假命題的是（）

A.棱柱的所有側(cè)面都是平行四邊形

B.將矩形A8C。繞其一邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的的幾何體叫做圓柱；

C.正棱錐頂點(diǎn)在底面的投影是底面正多邊形的中心；

D,將直角三角形AO8繞其一邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的的幾何體叫做圓錐.

【答案】D

【分析】由棱柱、圓柱、正棱錐、圓錐的定義逐一判斷可得選項(xiàng).

【詳解】解：對(duì)于A：由棱柱的定義得棱柱的所有側(cè)面都是平行四邊形，故A正確；

對(duì)于B：由圓柱的定義得將矩形ABCD繞其一邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的的幾何體叫做圓柱，故B

正確；

對(duì)于C：由正棱錐的定義得正棱錐頂點(diǎn)在底面的投影是底面正多邊形的中心，故C正確；

對(duì)于D：將直角三角形AOB繞其斜邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體不是圓錐，故D不正確，

所以假命題的是D選項(xiàng)，

故選：D.

2.（2021.上海市南洋模范中學(xué)高二期中）分別以直角三角形的斜邊和兩直角邊所在直線為

軸，將三角形旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積依次為匕、匕、匕，則（）

A.%=%+%B.+4

1_111_11

C年=可+可口.%=%+可

【答案】C

222

【分析】設(shè)直角三角形的三邊分別為a、b、c,a+b=c,即。為斜邊，分別求得匕、了2、匕

的值，可得結(jié)論.

222

【詳解】設(shè)直角三角形的三邊分別為。、b、c,a+b=c,即c,為斜邊，

則以邊c所在直線為軸，將三角形旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為匕，

則,、、2，

匕=3兀（y）■c=：兀層,爐,

以邊。所在直線為軸，將三角形旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為匕，則，

.a

以邊b所在直線為軸，將三角形旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為匕，則，

匕=：nd2--b

???六=忘+會(huì)

故選：C.

二、填空題

3.（2022.上海市七寶中學(xué)附屬鑫都實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期末）圓錐的高為1,底面半徑為6,則

過圓錐頂點(diǎn)的截面面積的最大值為

【答案】2

【分析】求出圓錐軸截面頂角大小，判斷并求出所求面積最大值.

【詳解】如圖，SAB是圓錐軸截面，SC是一條母線，

設(shè)軸截面頂角為。，因?yàn)閳A錐的高為1,底面半徑為百，所以tan（=G,9e（0,乃），

設(shè)圓錐母線長(zhǎng)為/,則/=#+（揚(yáng)2=2,

截面SBC的面積為S=；SB.SCsinZBSC=1/2sinZBSC,

2

因?yàn)镹BSCe(O,與］,所以NBSC=￡時(shí)，Smax=^x2=2.

故答案為：2.

4.（2021?上海市西南位育中學(xué)高二期中）若一個(gè)圓錐的底面半徑為1,其側(cè)面展開圖的圓心

角大小為子，則該圓錐的高為.

【答案】2&

【分析】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為/，由已知得2萬=告1,求得/=3,由勾股定理可得解.

【詳解】圓錐的底面半徑為I,故圓錐的底面周長(zhǎng)為2萬，設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為/

根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面周長(zhǎng)可得：2T=與1,解得：/=3

所以圓錐的高A==百-『=2&

故答案為：2夜

5.（2021?上海?華東師大附屬楓涇中學(xué)高二期中）已知圓錐側(cè)面展開圖中扇形的中心角為胃,

底面周長(zhǎng)為Tcm,則這個(gè)圓錐的側(cè)面積為cm2.

【答案】v

【分析】求出圓錐母線長(zhǎng)和底面半徑后可得.

【詳解】設(shè)圓錐母線長(zhǎng)為/，底面半徑為,，

則2萬廠=萬，r=g,又g/=萬，/=-|,

所以側(cè)面積為S=Q/"XH=尋.

224

4?1依心/3冗

故答案為：—.

4

6.（2021?上海?華東師大附屬楓涇中學(xué)高二期中）如圖，一圓錐形物體的母線長(zhǎng)為3cm,一

只小蟲從圓錐的底面圓上的點(diǎn)P出發(fā)，繞圓錐表面爬行一周后回到點(diǎn)P處.若該小蟲爬行的

最短路程為36cm,則圓錐底面圓的半徑等于