福建省泉州市泉港第二中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析

福建省泉州市泉港第二中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)=（）A．2﹣iB．2+iC．﹣1﹣2iD．﹣1+2i參考答案：A考點：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．專題：計算題．分析：復(fù)數(shù)的分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)化簡為a+bi（a，b∈R）的形式，即可．解答：解：復(fù)數(shù)=故選A點評：本題是基礎(chǔ)題，考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，注意分母實數(shù)化，考查計算能力，?？碱}型．2.已知拋物線y2=2px（p＞0）的準線經(jīng)過點（﹣1，1），則該拋物線焦點坐標為(

)A．（﹣1，0） B．（1，0） C．（0，﹣1） D．（0，1）參考答案：B【考點】拋物線的簡單性質(zhì)．【專題】計算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】利用拋物線y2=2px（p＞0）的準線經(jīng)過點（﹣1，1），求得=1，即可求出拋物線焦點坐標．解：∵拋物線y2=2px（p＞0）的準線經(jīng)過點（﹣1，1），∴=1，∴該拋物線焦點坐標為（1，0）．故選：B．【點評】本題考查拋物線焦點坐標，考查拋物線的性質(zhì)，比較基礎(chǔ)．3.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，，則數(shù)列的前10項和為A.5

B.6

C.10

D.12

參考答案：C4.在等差數(shù)列中，已知，是數(shù)列的前項和，則A．

B．

C．

D．參考答案：C5.命題“對，都有”的否定為

參考答案：【知識點】命題的否定A2【答案解析】“存在x∈R，有x2＜0”解析：解：∵全稱命題的否定是特稱命題，∴命題“任意x∈R，都有x2≥0”的否定為：“存在x∈R，有x2＜0”．故答案為：“存在x∈R，有x2＜0”．【思路點撥】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題即可得到命題的否定6.設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，給出下列四個命題：①若m⊥α，n∥α，則m⊥n

②若α∥β，β∥γ，m⊥α，則m⊥γ③若m∥α，n∥α，則m∥n

④若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β其中正確命題的序號是（）A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④參考答案：A【考點】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系；命題的真假判斷與應(yīng)用；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；平面與平面之間的位置關(guān)系．【分析】根據(jù)線面平行性質(zhì)定理，結(jié)合線面垂直的定義，可得①是真命題；根據(jù)面面平行的性質(zhì)結(jié)合線面垂直的性質(zhì)，可得②是真命題；在正方體中舉出反例，可得平行于同一個平面的兩條直線不一定平行，垂直于同一個平面和兩個平面也不一定平行，可得③④不正確．由此可得本題的答案．【解答】解：對于①，因為n∥α，所以經(jīng)過n作平面β，使β∩α=l，可得n∥l，又因為m⊥α，l?α，所以m⊥l，結(jié)合n∥l得m⊥n．由此可得①是真命題；對于②，因為α∥β且β∥γ，所以α∥γ，結(jié)合m⊥α，可得m⊥γ，故②是真命題；對于③，設(shè)直線m、n是位于正方體上底面所在平面內(nèi)的相交直線，而平面α是正方體下底面所在的平面，則有m∥α且n∥α成立，但不能推出m∥n，故③不正確；對于④，設(shè)平面α、β、γ是位于正方體經(jīng)過同一個頂點的三個面，則有α⊥γ且β⊥γ，但是α⊥β，推不出α∥β，故④不正確．綜上所述，其中正確命題的序號是①和②故選：A7.已知全集,集合，，則為（）A．{1,2,4}

B．{2,3,4}

C．{0,2,4}

D．{0,2,3,4}參考答案：C8.復(fù)數(shù)z滿足，則z=（

）A． B． C． D．參考答案：A由，則，故選A．

9.（08年大連24中）設(shè)l，m，n表示三條直線，α，β，γ表示三個平面，給出下列四個命題：

①若l⊥α，m⊥α，則l∥m；

②若mβ，n是l在β內(nèi)的射影，m⊥l，則m⊥n；

③若mα，m∥n，則n∥α；

④若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β.其中真命題為

（

）

A．①②

B．①②③

C．①②③④

D．③④參考答案：答案:A10.已知，，則（

）A． B． C． D．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z滿足z（1+i）=1﹣i，則|z|=．參考答案：1【考點】復(fù)數(shù)求模．【分析】利用復(fù)數(shù)的運算法則、模的計算公式即可得出．【解答】解：z（1+i）=（1﹣i），∴z（1+i）（1﹣i）=（1﹣i）（1﹣i），∴2z=﹣2i，z=﹣i．則復(fù)數(shù)z的模|z|=1．故答案為：1．12.在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=，BC=,則△ABC外接圓半徑運用類比方法，若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直且長度分別為a,b,c,則其外接球的半徑R=

.參考答案：13.設(shè)變量x，y滿足，則z=2x-y的最大值為_________.參考答案：7略14.設(shè)函數(shù)，對任意恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是 參考答案：已知f（x）為增函數(shù)且m≠0若m>0，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知f（mx）和mf（x）均為增函數(shù)，此時不符合題意。M<0，時有因為在上的最小值為2，所以1+即>1,解得.15.若變量x，y滿足，則z=的取值范圍是．參考答案：[0，1]【考點】簡單線性規(guī)劃．【專題】數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化法；不等式．【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義結(jié)合斜率公式進行求解即可．【解答】解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：z的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的點到點（﹣1，0）的斜率，由圖象知CD的斜率最小為0，AD的斜率最大，由得．即A（0，1），此時z===1，即0≤z≤1，故答案為：[0，1]【點評】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用直線斜率的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．16.若將復(fù)數(shù)表示為）的形式，則

．參考答案：8略17.已知，則=

。

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知，，α，β均為銳角．（1）求sin2α的值；（2）求sinβ的值．參考答案：【考點】同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用；二倍角的正弦．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值．【分析】（1）由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得sinα的值，再利用二倍角的正弦公式求得sin2α的值．（2）由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得sin（α+β）的值，再利用兩角和差的正弦公式求得sinβ的值．【解答】解：（1）∵，α為銳角，∴，∴．（2）∵α，β均為銳角，，∴α+β∈（0，π），∴，∴．【點評】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角公式，兩角和差的正弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．19.在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊．已知a=2，A=．（Ⅰ）若b=2，求角C的大?。唬á颍┤鬰=2，求邊b的長．參考答案：考點：正弦定理；余弦定理．專題：解三角形．分析：（Ⅰ）根據(jù)正弦定理和已知條件求得sinB的值，進而求得B，最后利用三角形內(nèi)角和求得C．（Ⅱ）用余弦定理列出關(guān)于b的表達式，整理求得b．解答： 解：（Ⅰ）由正弦定理=，∴sinB=sinA=×=，∴B=或，∵b＜a，∴，∴．（Ⅱ）依題意，，即．∴b2﹣2b﹣8=0，又b＞0，∴b=4．點評：本題主要考查了正弦定理和余弦定理的綜合運用．靈活運用正弦和余弦定理解三角形問題．20.設(shè)函數(shù)f（x）=|x+2|﹣|x﹣1|．（1）求不等式f（x）＞1解集；（2）若關(guān)于x的不等式f（x）+4≥|1﹣2m|有解，求實數(shù)m的取值范圍．參考答案：【考點】絕對值不等式的解法；絕對值三角不等式．【分析】（1）由條件利用絕對值的意義求得不等式f（x）＞1解集．（2）根據(jù)題意可得|x+2|﹣|x﹣1|+4≥|1﹣m|有解，即|x+2|﹣|x﹣1|+4的最大值大于或等于|1﹣m|，再利用絕對值的意義求得|x+2|﹣|x﹣1|+4的最大值，從而求得m的范圍．【解答】解：（1）函數(shù)f（x）=|x+2|﹣|x﹣1|表示數(shù)軸上的x對應(yīng)點到﹣2對應(yīng)點的距離減去它到1對應(yīng)點的距離，而0對應(yīng)點到﹣2對應(yīng)點的距離減去它到1對應(yīng)點的距離正好等于1，故不等式f（x）＞1解集為{x|x＞0}．（2）若關(guān)于x的不等式f（x）+4≥|1﹣2m|有解，即|x+2|﹣|x﹣1|+4≥|1﹣m|有解，故|x+2|﹣|x﹣1|+4的最大值大于或等于|1﹣m|．利用絕對值的意義可得|x+2|﹣|x﹣1|+4的最大值為3+4=7，∴|1﹣m|≤7，故﹣7≤m﹣1≤7，求得﹣6≤m≤8，m的范圍為[﹣6，8]．21.（2017?河北二模）空氣質(zhì)量指數(shù)（AirQualityIndex，簡稱AQI）是定量描述空氣質(zhì)量狀況的質(zhì)量狀況的指數(shù)，空氣質(zhì)量按照AQI大小分為六級，0～50為優(yōu)；51～100為良101﹣150為輕度污染；151﹣200為中度污染；201～300為重度污染；＞300為嚴重污染．一環(huán)保人士記錄去年某地某月10天的AQI的莖葉圖如圖．（Ⅰ）利用該樣本估計該地本月空氣質(zhì)量優(yōu)良（AQI≤100）的天數(shù)；（按這個月總共30天）（Ⅱ）將頻率視為概率，從本月中隨機抽取3天，記空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)為ξ，求ξ的概率分布列和數(shù)學(xué)期望．參考答案：【考點】離散型隨機變量的期望與方差；莖葉圖；離散型隨機變量及其分布列．【分析】（1）從莖葉圖中可以發(fā)現(xiàn)這樣本中空氣質(zhì)量優(yōu)的天數(shù)為2，空氣質(zhì)量良的天數(shù)為4，由此能求出該樣本中空氣質(zhì)量優(yōu)良的頻率，從而能估計該月空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)．（2）估計某天空氣質(zhì)量優(yōu)良的概率為，ξ的所有可能取值為0，1，2，3，且ξ～B（3，），由此能求出ξ的概率分布列和數(shù)學(xué)期望．【解答】解：（1）從莖葉圖中可以發(fā)現(xiàn)這樣本中空氣質(zhì)量優(yōu)的天數(shù)為2，空氣質(zhì)量良的天數(shù)為4，∴該樣本中空氣質(zhì)量優(yōu)良的頻率為，從而估計該月空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)為30×=18．（2）由（1）估計某天空氣質(zhì)量優(yōu)良的概率為，ξ的所有可能取值為0，1，2，3，且ξ～B（3，），P（ξ=0）=（）3=，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）=（）3=，∴ξ的分布列為：ξ0123P∴Eξ=3×=1.8．【點評】本題考查莖葉圖的應(yīng)用，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．22.本小題滿分14分）

已知函數(shù)處取得極值.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若當(dāng)恒成立，求的取值范圍；

（Ⅲ）對任意的是否恒成立？如果成立，給出證明，如果不成立，

請說明理由.參考答案：

（Ⅰ）∵f(x)=x3－x2+bx+c，

∴f′(x)=3x2－x+b.

……2分

∵f(x)在x=1處取得極值，

∴f′(1)=3－1+b=0.

∴b=－2.

……3分

經(jīng)檢驗，符合題意.

……4分

（Ⅱ）f(x)=x3－x2－2x+c.

∵f′(x)=3x2－x－2=(3x+2)(x－1)，

…5分x

1

(1,2)

2f′(x)

+

0

－

0

+f(x)