特色題型專練09 三大運(yùn)動-旋轉(zhuǎn)（解析版）（江蘇專用）

中考特色題型專練之三大運(yùn)動——旋轉(zhuǎn)幾何篇題型一、與三角形結(jié)合1．如圖，在中，，將繞點(diǎn)C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，此時點(diǎn)恰好在邊上，連接，則的長為（）A．6 B． C． D．3【答案】C【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，含30度角直角三角形性質(zhì)等知識；由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及已知得是等邊三角形，由含30度角直角三角形性質(zhì)及勾股定理即可求解．【詳解】解：∵繞點(diǎn)C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∴由勾股定理得．故選：C．2．如圖，在中，，將繞點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，若點(diǎn)剛好落在邊上，且，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些的性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，由等腰三角形的性質(zhì)可得，，由三角形的外角性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可求解．【詳解】解：，，，將繞點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，，，，，，，，故選：C．3．如圖中，，M是斜邊的中點(diǎn)，將繞點(diǎn)F按順時針方向旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)E落在延長線上的處，點(diǎn)D落在處，若，．則的長為.【答案】/【分析】本題利用勾股定理算出，根據(jù)直角三角形性質(zhì)得到，利用等腰三角形性質(zhì)推出，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰三角形性質(zhì)得到，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)建立等式求解，即可解題．【詳解】解：，，，，M是斜邊的中點(diǎn)，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，，，，，解得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理、直角三角形性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)并靈活運(yùn)用，即可解題．4．如圖，已知中，、、，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，此時點(diǎn)落在點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，則長為．【答案】/【分析】由勾股定理的逆定理可求，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，由相似三角形的性質(zhì)分別求出，的長，即可求解．【詳解】解：、、，，，如圖，過點(diǎn)作于，，，，，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，，，，，，，，，，，∴解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，證明相似三角形是解題的關(guān)鍵．5．綜合與實踐：綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“圖形的旋轉(zhuǎn)與翻折”為主題開展數(shù)學(xué)活動．情境導(dǎo)入：在中，，，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)至，連接交直線于點(diǎn)．活動一：圖形的旋轉(zhuǎn)：（1）當(dāng)點(diǎn)在線段上時，如圖，小明為探究與的關(guān)系，給出了如圖的思路：根據(jù)思路，可知：與的數(shù)量關(guān)系是：______；（2）當(dāng)點(diǎn)在線段上時，如圖，（1）的結(jié)論是否成立？請說明理由；活動二：圖形的翻折：（3）如圖，當(dāng)，時，為直線上一動點(diǎn)，連接，作關(guān)于直線的對稱圖形得到，當(dāng)線段最小時，直接寫出的面積．【答案】（1）；（2）仍然成立，理由見解析；（3）．【分析】（1）由“”可證≌，可得，可證四邊形是平行四邊形，可得結(jié)論；（2）由“”可證≌，可得，可證四邊形是平行四邊形，可得結(jié)論；（3）先確定點(diǎn)的位置，由勾股定理分別求出的長，的長，由面積和差關(guān)系可求解．【詳解】解：（1）如圖，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，連接，，將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)至，，，，，又，，≌，，四邊形是平行四邊形，，故答案為：；（2）仍然成立，理由如下：過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，連接，，將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)至，，，，，又，，≌，，四邊形是平行四邊形，；關(guān)于直線的對稱圖形為，，，，點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時，有最小值，此時，點(diǎn)在上，如圖，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，，，，，，，，，，，，，，，，，的面積，的面積為．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．6．在數(shù)學(xué)活動課上，小麗將兩副相同的三角板中的兩個等腰直角三角形按如圖1方式放置，使的頂點(diǎn)D與的頂點(diǎn)C重合，在繞點(diǎn)C的旋轉(zhuǎn)過程中，邊、始終與的邊分別交于M、N兩點(diǎn)．(1)老師提了一個問題：試證明．小麗開動腦筋，作了如下思考：考慮到且，可將繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)至位置，連結(jié)，若能證明、分別等于的另兩邊則可以解決問題．請幫小麗繼續(xù)完成證明過程．證明：將繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)至位置，連結(jié)；(2)如圖2，小昆另取一塊與相同的三角板，放在位置，邊與邊相交于點(diǎn)H，連、．①小昆猜想：，請幫他給出證明；②圖2中始終與相等的線段有；③請?zhí)剿?、、之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出結(jié)論：．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②；③【分析】（1）①由“”可證，可得，根據(jù)直角三角形中運(yùn)用勾股定理，即可得結(jié)論；（2）①證明A，C，N，H四點(diǎn)共圓即可解題；②證明，得到，然后根據(jù)等角對等邊得到即可得到結(jié)論③連接，推導(dǎo)，則可得到，然后根據(jù)即可證明結(jié)論．【詳解】（1）由旋轉(zhuǎn)可知：，，，，∵，，∴，∴，即，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，，∴；（2）①證明：∵，，∴，∴A，C，N，H四點(diǎn)共圓，∴，∵，∴；②解：∵四邊形是正方形，∴，，∵，∴，由①可知，又∵，∴，∴．故答案為：、；③連接，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．題型二、與四邊形結(jié)合1．如圖，將邊長為正方形繞點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)后得到正方形，邊相交于點(diǎn)，則四邊形的面積為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，判斷出點(diǎn)共線是解答本題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，連接．∵四邊形是正方形，∴．∵正方形繞點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)后得到正方形，∴，∴點(diǎn)共線，且，，∴四邊形的面積為．故選C．2．如圖，四邊形是正方形，在正方形外且；將逆時針旋轉(zhuǎn)至，使旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)邊與重合．連接、，已知，，則正方形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查求線段長，誰旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的逆定理、勾股定理等知識，過作于，如圖所示，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)及勾股定理和勾股定理的逆定理求出相關(guān)線段及角度，在中，利用勾股定理求出即可得到答案，熟練掌握勾股定理及勾股定理逆定理是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：過作于，如圖所示：將逆時針旋轉(zhuǎn)至，使旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)邊與重合，，，在中，，，則，在中，，，，則，由勾股定理的逆定理可知為直角三角形，，則，在等腰中，，則，，在中，，，則由勾股定理可得，正方形的面積為，故選：B．3．如圖中，，M是斜邊的中點(diǎn)，將繞點(diǎn)F按順時針方向旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)E落在延長線上的處，點(diǎn)D落在處，若，．則的長為.【答案】/【分析】本題利用勾股定理算出，根據(jù)直角三角形性質(zhì)得到，利用等腰三角形性質(zhì)推出，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰三角形性質(zhì)得到，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)建立等式求解，即可解題．【詳解】解：，，，，M是斜邊的中點(diǎn)，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，，，，，解得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理、直角三角形性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)并靈活運(yùn)用，即可解題．4．如圖，已知中，、、，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，此時點(diǎn)落在點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，則長為．【答案】/【分析】由勾股定理的逆定理可求，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，由相似三角形的性質(zhì)分別求出，的長，即可求解．【詳解】解：、、，，，如圖，過點(diǎn)作于，，，，，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，，，，，，，，，，，∴解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，證明相似三角形是解題的關(guān)鍵．5．已知正方形與正方形，正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周．(1)如圖1，連接，很明顯______，從而我們可以得出的值為______；(2)如圖2，連接，求的值；(3)當(dāng)正方形旋轉(zhuǎn)至圖3位置時，連接，分別取的中點(diǎn)，連接，試探究：與的關(guān)系，并說明理由；(4)連接，分別取的中點(diǎn)，連接，，請直接寫出線段掃過的面積．【答案】(1)，1(2)(3)(4)【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，可得，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得．（2）通過證明，可得．（3）連接，過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，連接，設(shè)與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，證明，得，根據(jù)得，證明，根據(jù)得，利用，證明，可得，，根據(jù)，點(diǎn)是的中點(diǎn)可得，最終可得．（4）取中點(diǎn)，連接，根據(jù)，三角形中位線定理可得，，點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動，點(diǎn)在以為圓心，3為半徑的圓上運(yùn)動，可得線段掃過的面積為．【詳解】（1）解：根據(jù)正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，（2）解：如圖，連接、四邊形和四邊形都是正方形，，（3）解：如圖，連接，過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，連接，設(shè)與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)又（）又，點(diǎn)是的中點(diǎn)（4）解：如圖，取中點(diǎn)，連接點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動，點(diǎn)在以為圓心，3為半徑的圓上運(yùn)動線段掃過的面積【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形、相似三角形、三角形中位線定理、正方形的性質(zhì)等，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．6．如圖，是正方形內(nèi)一點(diǎn)，將繞點(diǎn)順時針方向旋轉(zhuǎn)得到．

(1)觀察猜想：如圖1，線段與的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______．(2)探究實踐：如圖2，連接，若，，，求的度數(shù)．(3)拓展延伸：如圖3，A，P，Q三點(diǎn)在一條直線上，若，，請求出的長度．【答案】(1)，(2)(3)【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，勾股定理，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．（1）延長交分別于點(diǎn)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)可得，，則，，進(jìn)而根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可得，即可得出；（2）連接，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得：，，勾股定理求得，勾股定理的逆定理證明是直角三角形，即，進(jìn)而即可求解；（3）①當(dāng)點(diǎn)在正方形內(nèi)時，作于．勾股定理求得，根據(jù)，②當(dāng)點(diǎn)在正方形外時，根據(jù)即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，延長交分別于點(diǎn)，

∵將繞點(diǎn)順時針方向旋轉(zhuǎn)得到，四邊形是正方形，∴，，∴，，又∵，∴，∴．（2）連接

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得：，，∴，，由得：∴，，∵，∴是直角三角形，即，∴；（3）①當(dāng)點(diǎn)在正方形內(nèi)時，作于．則，

，，，，，在中，，，，，②當(dāng)點(diǎn)在正方形外時，作于．

同理可得：，，綜上所述，滿足條件的的值為．題型三、與圓結(jié)合1．如圖1，在中，圓心角.點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，繞著點(diǎn)O以每秒的速度在圓周上逆時針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)A.在旋轉(zhuǎn)過程中，線段的長度y（cm）與旋轉(zhuǎn)時間t（s）的函數(shù)關(guān)系如圖2所示，則下列說法正確的是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】此題考查了動點(diǎn)的的函數(shù)圖象、垂徑定理、解直角三角形等知識，數(shù)形結(jié)合和分類討論是解題的關(guān)鍵．根據(jù)點(diǎn)P的位置和的長度，分別畫出圖形，結(jié)合函數(shù)圖象給出的信息，逐項進(jìn)行求解即可作出判斷．【詳解】解：當(dāng)時，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，此時，由圖象可知，，故選項A錯誤，不符合題意；由圖象可知，當(dāng)時，此時點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，即，如圖，

∵，∴是等邊三角形，∴，即的半徑為，當(dāng)時，即，過點(diǎn)O作于點(diǎn)D，則，如圖，

∴，∴，即，同理可得，，此時或，由圖象可知，，∴，故選B正確；當(dāng)時，即，如圖，

∵，∴，此時或，由圖象可知，，∴，故選選項C錯誤，當(dāng)點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到，即是直徑，y取最大值時，如圖，

則，則由圖象可知，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，故選項D錯誤，故選：B．2．如圖，中，，，，O，H分別為邊，的中點(diǎn)，將繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)到的位置，則整個旋轉(zhuǎn)過程中線段所掃過部分的面積（即陰影部分面積）為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題連接，，根據(jù)題意分析整個旋轉(zhuǎn)過程中線段所掃過部分的面積，其實是大扇形與小扇形的面積之差，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到扇形的圓心角，再根據(jù)勾股定理，以及線段中點(diǎn)的性質(zhì)算出、、，推出,利用扇形面積公式求解，即可解題．【詳解】解：連接，，O、H分別為邊，的中點(diǎn)，將繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)到的位置，，，，，，．H為邊的中點(diǎn)，，，陰影部分面積．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理、線段中點(diǎn)的性質(zhì)、扇形面積公式，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理并靈活運(yùn)用，即可解題．3．如圖，和是兩個完全重合的直角三角板，，斜邊長為．三角板繞直角頂點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)落在邊上時，旋轉(zhuǎn)所構(gòu)成的扇形的弧長為．【答案】【分析】本題考查了弧長公式、含度的直角三角形三邊的關(guān)系以及等邊三角形的判定與性質(zhì)．根據(jù)中的角所對的直角邊是斜邊的一半、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)推知是等邊三角形，所以根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)利用弧長公式來求旋轉(zhuǎn)所構(gòu)成的扇形的弧長，熟知旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等?！驹斀狻拷猓骸咴谥校?，，，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，，，∴點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn)，，，，旋轉(zhuǎn)所構(gòu)成的扇形的弧長為：，故答案為：．4．如圖，在矩形中，，以為直徑作．將矩形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使所得矩形的邊與相切，切點(diǎn)為，邊與相交于點(diǎn)，則的長為．【答案】【分析】連接并延長交于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，根據(jù)切線的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得到四邊形、四邊形均為矩形，結(jié)合、、的半徑及勾股定理可以求出及的長度，再利用等腰三角形的性質(zhì)即可確定及的長度；【詳解】解：如圖，連接并延長交于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，∵邊與相切，∴，∵為的直徑，∴，∵四邊形、四邊形均為矩形，∴，則，在中，，∵且，∴，即：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理，掌握等腰三角形、矩形的性質(zhì)，理解切線的性質(zhì)定理是解決本題的關(guān)鍵．5．“啟智”數(shù)學(xué)興趣小組對圖形的旋轉(zhuǎn)展開進(jìn)一步探究，總結(jié)了一些方法和規(guī)律，請你完成相關(guān)問題．（畫圖工具不限，不寫畫法）

(1)動中有定：如圖1，是邊長為的等邊三角形．①將點(diǎn)繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，請在圖1中畫出點(diǎn)的運(yùn)動路徑，當(dāng)點(diǎn)不與A、B重合時，可得__________或__________；②將邊繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)一周，請在圖1中畫出線段掃過的區(qū)域（用陰影表示，畫出必要的輔助線），并求出該區(qū)域的面積．(2)以靜制動：如圖2，中，，，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得，點(diǎn)P是線段上一個動點(diǎn)，點(diǎn)M是的中點(diǎn)．①線段的最小值是__________，最大值是__________；②點(diǎn)P到直線的距離為h，當(dāng)時，求h的取值范圍．【答案】(1)①，；②(2)①；②【分析】（1）①根據(jù)題意以為圓心，為半徑作圓，進(jìn)而根據(jù)圓周角定理以及圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，即可求解；②過點(diǎn)作于點(diǎn)，勾股定理求得，進(jìn)而根據(jù)題意，可得線段掃過的區(qū)域為圓環(huán)的面積，根據(jù)圓的面積公式，即可求解；（2）①過點(diǎn)分別走的垂線，垂足分別為，勾股定理求得，等面積法求得，進(jìn)而根據(jù)題意，與重合，且在線段上時，取的最大值；當(dāng)時，且重合時，取的最小值，結(jié)合圖形，即可求解；②分別以為半徑，以為圓心作圓，過作的垂直平分線，交為半徑的圓于點(diǎn)，交為半徑的圓于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時，最小，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時，最大，勾股定理，即可求解．【詳解】（1）解：①如圖所示，

當(dāng)在優(yōu)弧上時，，當(dāng)在上時，，故答案為：，．②如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵的邊長為，則，，線段掃過的區(qū)域為；（2）解：①依題意，過點(diǎn)分別走的垂線，垂足分別為，

∵中，，，∴，∵，∴∵是線段上一個動點(diǎn)，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，則∴與重合，且在線段上時，取的最大值；如圖所示，

此時，當(dāng)時，且重合時，取的最小值，此時如圖所示，∴是的中位線，

∴②如圖所示，分別以為半徑，以為圓心作圓，過作的垂直平分線，交為半徑的圓于點(diǎn)，交為半徑的圓于點(diǎn)，

∵是上一點(diǎn)，∴當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時，最小，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時，最大，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，一點(diǎn)到圓上的距離的最值問題，勾股定理，垂直平分線的性質(zhì)，垂線段最短，勾股定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．如圖，點(diǎn)B在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)是，以原點(diǎn)O為圓心、的長為半徑作優(yōu)弧，使點(diǎn)A在原點(diǎn)的左上方，且，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，點(diǎn)D在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為8．(1)_____________；(2)點(diǎn)P是優(yōu)弧上任意一點(diǎn)，則的最大值為___________；(3)在（2）的條件下，當(dāng)最大，且時，固定的形狀和大小，以原點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)．①連接，，在旋轉(zhuǎn)過程中，與有何數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②直接寫出在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)C到所在直線的距離d的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用扇形的面積公式計算即可．（2）如圖中，當(dāng)與相切時，的值最大．解直角三角形即可解決問題．（3）①如圖中，連接，．證明，即可解決問題；②如圖3，當(dāng)中點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)B時，點(diǎn)C到所在直線距離最小為2，如圖4，當(dāng)中點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)Q時，點(diǎn)C到所在直線距離最大為6，即可得到取值范圍．【詳解】（1）解：∵，∴，∴（大于半圓的扇形），故答案為：．（2）解：如圖1中，當(dāng)與相切時，的值最大．∵是的切線，∴，∴，∵，∴，同法當(dāng)與相切時，，∴的最大值為．故答案為：．（3）解：①結(jié)論：．理由：如圖中，連接，．∵，，∴是等邊三角形，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．②由題意，，如圖，當(dāng)中，點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)B時，點(diǎn)C到所在直線距離最小為2；如圖，當(dāng)中，點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)Q時，點(diǎn)C到所在直線距離最大為6；∴在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)C到所在直線的距離的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題考查了求扇形的面積，切線的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)，相似三角形的判定與性質(zhì)，圖形的性質(zhì)等知識，綜合性較強(qiáng)，難度較大，熟知相關(guān)知識，根據(jù)題意畫圖，并添加輔助線是解題關(guān)鍵．題型四、與相似有關(guān)1．如圖，與的邊相切于點(diǎn)．將繞點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)并以點(diǎn)為位似中心，按一定比例縮小得到，且點(diǎn)，落在上．若，，則的半徑為（）A． B．2.5 C． D．3【答案】A【分析】本題考查的是位似變換、翻折變換、勾股定理、切線的性質(zhì)．根據(jù)切線的性質(zhì)得到，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換、位似變換的性質(zhì)得到與的相似比為，，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程得到答案．【詳解】解：與相切于點(diǎn)，，將繞點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)并以點(diǎn)為位似中心，按一定比例縮小得到，，，與的相似比為，則，由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知：，為的直徑，設(shè)，則，，，解得：（負(fù)值舍去），的半徑為，故選：A．2．矩形中，，連接對角線，將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到，交邊于點(diǎn)G，恰好，，則值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先連接，構(gòu)造直角三角形以及相似三角形，根據(jù)，可得到，設(shè)，則，中，根據(jù)勾股定理可得方程，求得的長以及的長，即可得到所求的比值．【詳解】解：連接，如圖，

由旋轉(zhuǎn)可得，，∴，∴，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，設(shè)，則，∵中，，∴，解得（舍去），∴，∴中，，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，解一元二次方程以及勾股定理的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造直角三角形以及相似三角形，依據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，將轉(zhuǎn)化為，并依據(jù)直角三角形的勾股定理列方程求解，從而得出矩形的寬，這也是本題的難點(diǎn)所在．3．如圖，、是的直徑，點(diǎn)在上，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿順時針方向繞圓心旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時，直徑在中截得的三角形與相似．【答案】50或70或160【分析】本題主要考查了相似三角形的判定，圓周角定理，垂徑定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，運(yùn)用分類討論思想是解題的關(guān)鍵．分或或三種情形，分別畫出圖形，求出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)即可．【詳解】解：當(dāng)時，直徑在中截得的三角形與相似．連接，，，，，，當(dāng)時，，，，當(dāng)時，直徑在中截得的三角形與相似．，，故答案為：50或70或160．4．如圖，已知N為正方形的邊AB上一點(diǎn)，，繞點(diǎn)N旋轉(zhuǎn)至，連接，M為上的一點(diǎn)，，則當(dāng)與直線所夾銳角為，時．【答案】或【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．分逆時針和順時針旋轉(zhuǎn)兩種情況討論，當(dāng)逆時針旋轉(zhuǎn)時，作交直線于點(diǎn)，證明，推出，，再證明點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，求得，證明，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解．當(dāng)順時針旋轉(zhuǎn)時，同樣的方法求解即可．【詳解】解：當(dāng)逆時針旋轉(zhuǎn)時，如圖，作交直線于點(diǎn)，∵四邊形是正方形，∴，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，，∴，∴，∴，，∵，∴，∴點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∴；當(dāng)順時針旋轉(zhuǎn)時，如圖，作交直線于點(diǎn)，同理得，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，是等腰直角三角形，∴，同理得，∴，∴；故答案為：或．5．在中，，在中，，已知和有公共頂點(diǎn)A，連接和．(1)如圖①，若，，當(dāng)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，和的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______；(2)如圖②，若，當(dāng)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，（1）中和的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系是否依然成立，判斷并說明理由；(3)在（2）的條件下，若，，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)C，B，D三點(diǎn)共線時，請直接寫出的長度．【答案】(1)，(2)，，理由見解析(3)或【分析】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識：（1）根據(jù)證明得，再證明，可得；（2）延長交于H，與交于O，證明可得結(jié)論；（3）分兩種情況討論：運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)求出，，由勾股定理求出，在中，運(yùn)用勾股定理求出，從而可求出．【詳解】（1）證明：如圖，延長交于H，與交于O∵和是等腰直角三角形，∴，，又∴，∴，∴，，∵，∴，∴，故答案為：，；（2）解：，，理由如下：延長交于H，與交于O，∵，，∴，∴，，∴，∵，∴，∴綜上，（3）解：①如圖：由（2）知，，且，∵，∴，在中，由勾股定理得，∵，∴在中，由勾股定理得，∵C，B，D三點(diǎn)共線，且∴在中，由勾股定理得即∴∴；②如圖：由（2）知，，且，∵，∴，由勾股定理得，∵，∴，在中，，∵C，B，D三點(diǎn)共線，且，∴在中，由勾股定理得，即，∴

，∴；綜上，當(dāng)C，B，D三點(diǎn)共線時，的長度為或．6．如圖1和圖2，在矩形中，，，將線段繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)到，的平分線交射線于點(diǎn)P，連接，設(shè)，(1)求證：；(2)如圖2，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)D時，，求x的值；(3)在線段繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中：①當(dāng)點(diǎn)到的距離為2時，求x的值；②直接寫出點(diǎn)到射線的距離（用含x的式子表示）．【答案】(1)見解析(2)(3)①或；②【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，折疊的性質(zhì)，求正切值，熟練掌握以上知識且分類討論是解題的關(guān)鍵．（1）證明即可得出；（2）根據(jù)三角函數(shù)值代入求解即可；（3）考慮兩種情況，當(dāng)時和當(dāng)時，再根據(jù)勾股定理和相似的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）證明：∵將線段繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)到，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（2）根據(jù)題意，，，那么在中，，則，；因此，；∵，∴，在中，，因此，；故答案為：；（3）①考慮兩種情況，當(dāng)時，如圖3所示，過作交于E，交于F；根據(jù)題意，，；∵，∴，則，∵，∴，，∴，∴，因此，；∵在中，，，∴；解得：；當(dāng)時，如圖4所示，過作交于E，交于F；根據(jù)題意，，；同上，可證，因此，；解得：；綜上所述，或；②同第①問，考慮兩種情況，當(dāng)時，如圖3所示，同上可證，因此，；解得點(diǎn)到射線的距離為：；當(dāng)時，如圖4所示，同上可證，因此，；解得點(diǎn)到射線的距離為：；綜上所述，點(diǎn)到射線BC的距離為：．函數(shù)篇題型一、與一次函數(shù)結(jié)合1．如圖，直線的圖象與軸相交于點(diǎn)，將它繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后所得到的直線的解析式為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查求一次函數(shù)解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，先求得點(diǎn)A、B坐標(biāo)，設(shè)旋轉(zhuǎn)后的直線交y軸于C，證明求得點(diǎn)C坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求直線解析式即可．利用相似三角形的性質(zhì)求得點(diǎn)C坐標(biāo)是解答的關(guān)鍵．【詳解】解：令，由得，則，令，則，∴，∴，，設(shè)旋轉(zhuǎn)后的直線交y軸于C，則，∵，∴，則，∴，∴即，∴，則，設(shè)旋轉(zhuǎn)后的直線的解析式為，則，解得，∴旋轉(zhuǎn)后的直線解析式為，故選：C．2．如圖所示，直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)軸上有一點(diǎn)為軸上一動點(diǎn)，把線段繞點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，連結(jié)，則當(dāng)長度最小時，線段的長為（

）A． B． C．5 D．【答案】A【分析】作EH⊥x軸于H，通過證明△DBO≌△BEH，可得HE=OB，從而確定點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是直線m：，根據(jù)垂線段最短確定出點(diǎn)E的位置，然后根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：作EH⊥x軸于H，如圖所示：∵∠DBE=90°，∴∠DBC+∠CBE=90°.∵∠BHE=90°，∴∠BEH+∠CBE=90°，∴∠DBC=∠BEH，∵∠BOD=∠BHE=90°，BD=BE，∴△DBO≌△BEH（AAS），∴HE=OB，HB=OD，當(dāng)y=0時，，∴x=2，∴HE=OB=2，∴點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是直線m：，B(2，0)，∴當(dāng)⊥m時，CE最短，如圖所示，此時點(diǎn)C與點(diǎn)H重合，點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1，-2)，∵C(-1，0)，B(2，0)，∴BC=3，∴OD=，∴CD=，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，坐標(biāo)與圖形的變化，全等三角形的判定與性質(zhì)，垂線段最短以及勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)E的位置．3．如圖，在中，為邊上的中線，，，．將繞點(diǎn)以逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)、分別與點(diǎn)、對應(yīng)．連接，與線段交于點(diǎn)．如果點(diǎn)、、在同一條直線上，那么．【答案】【詳解】以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系，過作于，設(shè)交軸于，由為邊上的中線，，，可得，，設(shè)，由，可得，故，，，，直線解析式為，根據(jù)將繞點(diǎn)以逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，可證，得四邊形是矩形，從而求得，，直線解析式為，聯(lián)立得，即可得到答案．本題考查三角形中的旋轉(zhuǎn)問題，解題的關(guān)鍵是建立直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系，過作于，設(shè)交軸于，如圖：為邊上的中線，，，，，設(shè)，則，，，解得，，，，，由，，得直線解析式為，將繞點(diǎn)以逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，，，，，，，，，四邊形是矩形，，，，，，∴設(shè)直線解析式為把，代入，得解得直線解析式為，聯(lián)立得，∴，故答案為：．4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖像分別交，軸于點(diǎn)，，將直線繞點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)45°，交軸于點(diǎn)，則直線的函數(shù)表達(dá)式是．【答案】y=3x-2【分析】根據(jù)已知條件得到A（-1，0），B（0，-2），求得OA=1，OB=2，過A作AF⊥AB交BC于F，過F作FE⊥x軸于E，得到AB=AF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=OB=2，EF=OA=1，求得F（1，1），設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為：y=kx+b，解方程組于是得到結(jié)論．【詳解】解：∵一次函數(shù)y=-2x-2的圖象分別交x、y軸于點(diǎn)A、B，∴令x=0，得y=-2，令y=0，則x=-1，∴A（-1，0），B（0，-2），∴OA=1，OB=2，過A作AF⊥AB交BC于F，過F作FE⊥x軸于E，∵∠ABC=45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AB=AF，∵∠OAB+∠ABO=∠OAB+∠EAF=90°，∴∠ABO=∠EAF，在△ABO和△FAE中，，∴△ABO≌△FAE（AAS），∴AE=OB=2，EF=OA=1，∴F（1，1），設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為：y=kx+b，∴，解得，∴直線BC的函數(shù)表達(dá)式為：y=3x-2，故答案為：y=3x-2．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．5．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，，，直線與x軸相交于點(diǎn)C，與直線交于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)E．(1)求直線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)如圖2，直線繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)與直線交于點(diǎn)F，連接，求的面積；(3)將繞平面內(nèi)某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的三角形記為，若點(diǎn)落在直線上，點(diǎn)落在直線上，請直接寫出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)直線AB的解析式為，點(diǎn)D的坐標(biāo)為．(2)的面積為．(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【分析】（1）本題考查用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式和聯(lián)立方程組求交點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線的解析式為，將，兩點(diǎn)代入解析式中，求解即可，再聯(lián)立方程組求解，即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．（2）本題考查勾股定理和勾股定理逆定理，利用直線求出點(diǎn)C，點(diǎn)E．用勾股定理求出、、，根據(jù)得出，由直線繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)，得到為等腰直角三角形，有，最后根據(jù)三角形面積公式求解即可．（3）本題根據(jù)點(diǎn)落在直線上，點(diǎn)落在直線上，設(shè)，，由旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)可知，軸，，列出與的式子，求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)直線的解析式為，將，兩點(diǎn)代入解析式中，有，解得，直線AB的解析式為，直線與直線AB交于點(diǎn)D，，解得，點(diǎn)D的坐標(biāo)為．（2）解：由（1）知，直線與x軸相交于點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)E．，，，，，即，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，，，的面積．（3）解：點(diǎn)落在直線上，點(diǎn)落在直線上，且直線AB的解析式為，直線的解析式為，設(shè)，，繞平面內(nèi)某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，且軸，軸，，，，整理得，將其代入中，有，解得，，將代入中，有，將代入中，有，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)解析式的求法、聯(lián)立方程組求交點(diǎn)坐標(biāo)、勾股定理、勾股定理逆定理、點(diǎn)到點(diǎn)的距離、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等，本題難度較大，熟練掌握一次函數(shù)性質(zhì)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線：經(jīng)過點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，與直線：相交于點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)為軸上一動點(diǎn)，橫坐標(biāo)為．

備用圖(1)求直線的表達(dá)式；(2)過作軸的平行線，分別交直線，直線于點(diǎn)，，連接，①當(dāng)時，求的長；②當(dāng)時，請直接寫出的值；(3)若點(diǎn)在射線上，連接，當(dāng)時，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．(4)在（3）的條件下，當(dāng)時，將繞點(diǎn)順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到，其中的對應(yīng)點(diǎn)為，的對應(yīng)點(diǎn)為，連接，直接寫出的長．【答案】(1)(2)①的長為，②的值為或．(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為或．(4)【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)在直線：的圖像上，求出，再把點(diǎn)，點(diǎn)代入函數(shù)，得到答案．（2）①當(dāng)時，得到點(diǎn)，的橫坐標(biāo)，分別代入函數(shù)，求出答案．②根據(jù)題意，設(shè)，，可以求出的長，根據(jù)絕對值的性質(zhì)求出答案．（3）由，找到滿足的點(diǎn)，然后根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式，等腰三角形的性質(zhì)，得到點(diǎn)坐標(biāo)，再利用對稱的性質(zhì)，求出點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)．（4）由已知，在（3）的條件下，當(dāng)時，點(diǎn)的坐標(biāo)為，由此利用兩點(diǎn)間的距離公式，勾股定理求出．【詳解】（1）解：點(diǎn)在直線：的圖像上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，則，直線：過點(diǎn)，點(diǎn)，，解得，直線的解析式為：．（2）①當(dāng)時，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，如圖所示，

點(diǎn)，的橫坐標(biāo)均為，點(diǎn)在直線：的圖像上，，即，點(diǎn)在直線：的圖像上，，即，，的長為；②點(diǎn)在直線：的圖像上，點(diǎn)在直線：的圖像上，且，的橫坐標(biāo)相同，設(shè)，，，整理得：，或，或，的值為或．（3）由（1）知：直線：，直線：，，，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)，，

設(shè)點(diǎn)，，，，即，，解得：，點(diǎn)坐標(biāo)為，又也滿足條件，且，，即點(diǎn)的坐標(biāo)為綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．（4）由已知，在（3）的條件下，當(dāng)時，點(diǎn)的坐標(biāo)為，如圖，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得：，，是等邊三角形，，垂直平分，，，在中，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與幾何圖形的綜合，等邊三角形的判定及性質(zhì)，兩點(diǎn)的距離公式，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)的計算方法，兩點(diǎn)的距離公式，等邊三角形的判定及性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．題型二、與反比例函數(shù)結(jié)合1．已知點(diǎn)是第一象限內(nèi)的點(diǎn)，且在反比例函數(shù)的圖像上，將點(diǎn)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后得到點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則四邊形的面積為（

）．A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想分析問題．設(shè)點(diǎn)，根據(jù)將點(diǎn)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后得到點(diǎn)，可得，易得，，然后由四邊形的面積求解即可．【詳解】解：如下圖，根據(jù)題意，點(diǎn)是第一象限內(nèi)的點(diǎn)，且在反比例函數(shù)的圖像上，可設(shè)點(diǎn)，∵將點(diǎn)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后得到點(diǎn)，∴，∵軸，軸，∴，，∴，，，，∴四邊形的面積．故選：C．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是，將繞點(diǎn)O逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到，函數(shù)（）的圖象過的中點(diǎn)C，則k的值為（

）

A．4 B． C．8 D．【答案】B【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)不改變圖形的大小和形狀，所得圖形與原圖形全等求得的坐標(biāo)，的坐標(biāo)是，進(jìn)而求得中點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法求得k的值．【詳解】解：點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是，，，，的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)是的中點(diǎn)，函數(shù)（）的圖象過的中點(diǎn)C，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形的變化----旋轉(zhuǎn)，反比例函數(shù)圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3．如圖，將反比例函數(shù)的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的圖象與x軸相交于A點(diǎn)，若直線與旋轉(zhuǎn)后的圖象相交于B，則的面積為．

【答案】//【分析】反比例函數(shù)的圖象上點(diǎn)繞點(diǎn)順時針方向旋轉(zhuǎn)得點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于，得出，作軸于，設(shè)，并且是由繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到的，則，從而，可證出是等腰直角三角形，得的坐標(biāo)，代入從而得出的值，進(jìn)而求得的長度，利用三角形面積公式解決問題．【詳解】解：設(shè)反比例函數(shù)的圖象上點(diǎn)繞點(diǎn)順時針方向旋轉(zhuǎn)得點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于，設(shè)，，，，，，，作軸于，是由繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到的，∴點(diǎn)K在原反比例函數(shù)圖象上．設(shè)，，∴，過點(diǎn)作軸于，軸，

是等腰直角三角形，，，，即，，解得或（舍，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積，求得點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．4．如圖，已知中，，，，將的頂點(diǎn)O與平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，頂點(diǎn)B落在x軸上，另一頂點(diǎn)A在反比例函數(shù)在第一象限的圖象上．將通過旋轉(zhuǎn)和平移變換得到，若斜邊在x軸上，且直角頂點(diǎn)也在反比例函數(shù)的第一象限的圖象上，則．【答案】【分析】利用勾股定理可得，即，即可得反比例函數(shù)為，根據(jù)旋轉(zhuǎn)、平移的性質(zhì)可得，，，，作軸于D，證明，即有，進(jìn)而可得，，可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4.8，進(jìn)而有，問題隨之得解．【詳解】解：中，，，，∴，∴，∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)在第一象限的圖象上，∴，∴反比例函數(shù)為，由題意可知，，，，，作軸于D，∴，∵，∴，∴，即，∴，，∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4.8，代入，得，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，勾股定理，平移的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．5．如圖，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像交于A，B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)D．已知點(diǎn)，點(diǎn)．(1)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；(2)點(diǎn)M是反比例函數(shù)圖像上一點(diǎn)，當(dāng)與的面積相等時，請直接寫出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)；(3)將射線繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)α度后與雙曲線交于另一點(diǎn)Q，若，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【答案】(1)反比例解析式為，一次函數(shù)的解析式為(2)或(3)或【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；（2）當(dāng)點(diǎn)M在下方時，過點(diǎn)D作，交反比例函數(shù)圖象于M，得到直線為，即可求解；當(dāng)點(diǎn)M在上方時，同理可解；（3）當(dāng)射線逆時針旋轉(zhuǎn)時，用解直角三角形的方法求出，即可求解；當(dāng)射線順時針旋轉(zhuǎn)時，同理可解．【詳解】（1）解：把代入得，則反比例解析式為；把點(diǎn)代入得，∴，解得：，∴，把A與B坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式得，解得，∴一次函數(shù)的解析式為；（2）解：在中，令，解得：，則D的坐標(biāo)是．即．則．設(shè)直線的解析式為∵點(diǎn)，∴，∴直線為，過點(diǎn)D作，交反比例函數(shù)圖象于M，∴直線為，解得：，即點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為：；在上方取點(diǎn)N，使，過點(diǎn)N作直線，則直線n和拋物線的交點(diǎn)也為點(diǎn)，同理可得，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；綜上，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為：或；（3）解：當(dāng)射線逆時針旋轉(zhuǎn)時，如下圖：由點(diǎn)A、D的坐標(biāo)得，，設(shè)直線交y軸于點(diǎn)N，過點(diǎn)N作于點(diǎn)H，則，由直線的表達(dá)式知，，則，在中，設(shè)，則，則，則，解得：，則，則點(diǎn)，由點(diǎn)A、N的坐標(biāo)得，直線的表達(dá)式為：，聯(lián)立和反比例函數(shù)表達(dá)式得：，解得：或2（舍去），則點(diǎn)；當(dāng)射線順時針旋轉(zhuǎn)時，同理可得：的表達(dá)式為：，聯(lián)立和反比例函數(shù)表達(dá)式得：，解得：或2（舍去），則點(diǎn)，綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：或．【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到解直角三角形、圖象的旋轉(zhuǎn)、平行線的性質(zhì)等，分類求解是本題解題的關(guān)鍵．6．如圖，已知一次函數(shù)分別與軸和反比例函數(shù)交于點(diǎn)，．(1)求反比例和一次函數(shù)表達(dá)式；(2)反比例圖象上是否存在點(diǎn)，使得的面積與的面積相等，若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；(3)把一次函數(shù)的直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度交反比例函數(shù)的圖象于另一點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，當(dāng)時，求直線的解析式．【答案】(1)(2)存在點(diǎn)，坐標(biāo)為或(3)的解析式為：【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；（2）利用三角形面積的性質(zhì)及平移規(guī)律得出平移后的直線解析式，再聯(lián)立方程組即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）過點(diǎn)，分別向軸作垂線，并利用平行線分線段成比例定理求出的長，從而求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求解．【詳解】（1）將點(diǎn)代入一次函數(shù)得：，則，一次函數(shù)的表達(dá)式為：，將點(diǎn)代入得：，則，，將代入反比例函數(shù)得：，反比例函數(shù)的表達(dá)式為：，（2）存在點(diǎn)，如圖1所示：過作交雙曲線于點(diǎn)．則（同底等高的兩個角形的面積相等），的解析式，的解析式為，令，解得：，（舍去），，，直線交軸于點(diǎn)，，把向下平移2個單位，則的解析式為：，令，解得：，（舍去），，存在點(diǎn)，坐標(biāo)為，或，，（3）如圖2所示：過．分別向軸作垂線，垂足分別為．，，，，，，，，，點(diǎn)橫坐標(biāo)為，，，，設(shè)的解析式為：，把，，代入得：，解得：，的解析式為：．【點(diǎn)睛】本題為反比例函數(shù)綜合題，主根考查了待定系數(shù)法，一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，平移規(guī)律，三角形的面積性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等，綜合性強(qiáng)，難度適中．題型三、與二次函數(shù)結(jié)合1．已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為，點(diǎn)為，將拋物線：，繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到拋物線，若拋物線與線段只有一個公共點(diǎn)，則的取值范圍是()A． B．C．或 D．或【答案】A【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是得到二次函數(shù)圖象繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到拋物線的解析式．先得出該二次函數(shù)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到拋物線的解析式，再把點(diǎn)A和點(diǎn)B分別代入，求出m的值，即可解答．【詳解】解：將拋物線：，繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到拋物線：，即，當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)時，則，解得；當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)時，則，解得，當(dāng)拋物線與軸有一個交點(diǎn)時，則，，解得，此時，與軸的交點(diǎn)為，不合題意，若拋物線與線段只有一個公共點(diǎn)，則的取值范圍是．故選：A．2．已知拋物線P：，將拋物線P繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到拋物線，當(dāng)時，在拋物線上任取一點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為t，若，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出拋物線的解析式為，再分拋物線的對稱軸在直線左側(cè)，在直線右側(cè)，在直線和直線之間，三種情況利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：設(shè)拋物線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的點(diǎn)為，且點(diǎn)在拋物線P上，∴，∴拋物線的解析式為，∴拋物線中，當(dāng)時，y有最大值，①當(dāng)時，即時，當(dāng)時y有最大值，∴，∴，此時；②當(dāng)時，即時，當(dāng)時y有最大值，∴，∴，此時a不存在；③當(dāng)時，即時，當(dāng)時y有最大值，∴，∴，此時a不存在；綜上所述：，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，正確求出拋物線的解析式是解題的關(guān)鍵．3．如圖，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，拋物線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，，連接，，點(diǎn)為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到對應(yīng)的點(diǎn)，，的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，若中恰有兩個點(diǎn)落在拋物線上，則此時點(diǎn)的坐標(biāo)為(點(diǎn)不與點(diǎn)重合)．

【答案】或【分析】本題主要考查二次函數(shù)圖形與幾何圖形的綜合，中心對稱的性質(zhì)，根據(jù)題意，分別求出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可用含的式子表示出對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，分類討論，①當(dāng)點(diǎn)在拋物線上時；②當(dāng)點(diǎn)在拋物線上時；③當(dāng)點(diǎn)在拋物線上時；列二元一次方程組并求解即可．【詳解】解：拋物線與軸交于兩點(diǎn)，令，∴，解得，，，∴，，∵點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，∴，即，∵將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到對應(yīng)的（點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)分別為，，），且，，，∴設(shè)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，則點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對稱，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對稱，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對稱，∴，，，①當(dāng)點(diǎn)在拋物線上時，如圖所示，

，解方程組得，，∴點(diǎn)，則的坐標(biāo)為，與點(diǎn)重合，不符合題意；②當(dāng)點(diǎn)在拋物線上時，如圖所示，

，解方程組得，，∴點(diǎn)，則的坐標(biāo)為，符合題意；③當(dāng)點(diǎn)在拋物線上時，如圖所示，

，解方程組得，，∴點(diǎn)，則的坐標(biāo)為，符合題意；綜上所示，點(diǎn)的坐標(biāo)為或，故答案為：或．4．如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，拋物線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，連接，點(diǎn)為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到對應(yīng)的（點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)分別為，，），若中恰有兩個點(diǎn)落在拋物線上，則此時點(diǎn)的坐標(biāo)為（點(diǎn)不與點(diǎn)重合）【答案】或【分析】根據(jù)題意，分別求出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可用含的式子表示出對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，分類討論，①當(dāng)點(diǎn)在拋物線上時；②當(dāng)點(diǎn)在拋物線上時；③當(dāng)點(diǎn)在拋物線上時；列二元一次方程組并求解即可．【詳解】解：拋物線與軸交于兩點(diǎn)，令，∴，解得，，，∴，，∵點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，∴，即，∵將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到對應(yīng)的（點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)分別為，，），且，，，∴設(shè)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，則點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對稱，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對稱，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對稱，∴，，，①當(dāng)點(diǎn)在拋物線上時，如圖所示，，解方程組得，，∴點(diǎn)，則的坐標(biāo)為，與點(diǎn)重合，不符合題意；②當(dāng)點(diǎn)在拋物線上時，如圖所示，，解方程組得，，∴點(diǎn)，則的坐標(biāo)為，符合題意；③當(dāng)點(diǎn)在拋物線上時，如圖所示，，解方程組得，，∴點(diǎn)，則的坐標(biāo)為，符合題意；綜上所示，點(diǎn)的坐標(biāo)為或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)圖形與幾何圖形的綜合，掌握二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求點(diǎn)坐標(biāo)，解二元方程組是解題的關(guān)鍵．5．已知拋物線是常數(shù)，，自變量與函數(shù)