特色題型專練01 尺規(guī)作圖（解析版）（江蘇專用）

中考特色題型專練之尺規(guī)作圖幾何篇題型一、與三角形結合1．在學習等邊三角形的過程中，小睿同學發(fā)現(xiàn)一個規(guī)律：在等邊中，點D是邊上任意一點，連接，過點A的射線交于點E，交于點F，當時，則必有．為驗證此規(guī)律的正確性，小睿的思路是：先利用圖，作，再通過證全等得出結論．請根據(jù)小睿的思路完成以下作圖與填空：(1)用直尺和圓規(guī)在圖的基礎上作，交于點E，交于點F．（不寫作法，不下結論，只保留作圖痕跡）(2)證明：∵為等邊三角形，∴，______①在和中，，∴，∴______③，又∵∴______④，∴．【答案】(1)見解析；(2)等邊三角形的性質，，，．【分析】本題考查了作圖—基本作圖，全等三角形的判定和性質，等邊三角形的性質，熟練掌握全等三角形的性質是解題的關鍵．（1）根據(jù)題意作出圖形即可；（2）根據(jù)等邊三角形的性質和全等三角形的判定和性質定理即可得到結論．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所作的角；（2）證明：∵為等邊三角形，∴（等邊三角形的性質），在和中，，∴，∴，又∵，∴，∴，故答案為：等邊三角形的性質，，，．2．如圖，在中，．(1)用尺規(guī)作圖作邊上的中垂線，交于點D，交于點E，再連接（保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明）(2)在（1）題的基礎上，求證：【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】此題主要考查了基本作圖以及線段垂直平分線的性質和角平分線的性質，正確掌握線段垂直平分線的性質是解題關鍵．（1）直接利用線段垂直平分線的作法得出答案；（2）直接利用中垂線的性質結合角平分線的性質得出．【詳解】（1）解：如圖所示：（2）證明：∵∴又∵DE垂直平分AB∴∴∴∵∴3．如圖，在中，，點在的延長線上，連接．(1)在線段上確定點，使得；（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）(2)在（1）的條件下，如果，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了作圖—復雜作圖，等腰三角形的性質，相似三角形的判定與性質，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．（1）在右側作，交于點，點P即為所求；（2）利用相似三角形的性質求解即可．【詳解】（1）解：如圖，點P即為所求；由作圖可得：，，，，，，；（2）解：，，，，．4．（1）如圖，已知中，是上一點．求作，使得過點，且與相切．要求：①用直尺和圓規(guī)作圖；②保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明．（2）如圖，在中，是邊上一點（點與點不重合）．若在的直角邊上存在不同的點分別和點、構成直角三角形，直接寫出不同的點的個數(shù)及對應的的長的取值范圍．【答案】（1）圖見解析（2）見解析【分析】（1）根據(jù)題意，確定圓心的位置，再以為半徑畫圓即可；（2）當以為直徑的圓與相切時，求出此時圓的半徑，分四種情況進行討論求解即可．【詳解】解：（1）作的角平分線，交于點，過點作，交于點，以為圓心，以為半徑畫圓，即為所求，如圖：（2）當以為直徑的圓與相切時：如圖∵，∴，設的半徑為，則：，∵，∴，∴，∴，∴；當存在1個點時，此時與相離，或B、D兩點重合，，當存在2個點時，此時與相切，，當存在3個點時，此時與相交，，【點睛】本題考查復雜作圖—作圓，含30度角的直角三角形的性質，切線的判定和性質，直線與圓的位置關系，掌握尺規(guī)作角平分線，作垂線的方法，利用數(shù)形結合和分類討論的思想進行求解，是解題的關鍵．題型二、與四邊形結合1．已知，矩形．(1)若點E為邊上一點，且，請在圖1中用尺規(guī)作圖確定點E的位置，并將圖形補充完整；（不寫作法，保留作圖痕跡，并將痕跡描粗加黑）(2)在（1）的條件下，已知線段，線段，求的長．（請用圖2進行探究）【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了作圖-復雜作圖，矩形的性質，勾股定理：（1）以點B為圓心，長為半徑畫弧交于點即可；（2）根據(jù)矩形的性質可得，由（1）可得，根據(jù)勾股定理可得結論．【詳解】（1）解：如圖，以點B為圓心，長為半徑畫弧交于點E，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴，∴；∴點E即為所求；（2）解：∵四邊形是矩形，∴，∵，∴，由（1）可知：，在中，根據(jù)勾股定理得：∴∴．2．如圖，在中，．(1)按下列要求作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）．①作線段的垂直平分線，交線段于點D，連接．②以點B為圓心，長為半徑畫弧，交線段的垂直平分線于另一點E．③連接．請作出四邊形．(2)在（1）的條件下，若，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意用尺規(guī)作圖即可；（2）由作圖可知，則四邊形是菱形，設與的交點為F，在中，求出,求出，，即可得到，在和中，由勾股定理得到，則，解得，即可得到答案．【詳解】（1）如圖所示即為所求，（2）解：∵垂直平分，∴，∵，∴，∴四邊形是菱形，設與的交點為F，∴，，在中，，∴,∴，，∴，在和中，由勾股定理得到，，∴，解得，∴，即的長為．【點睛】此題考查了菱形的判定和性質、線段垂直平分線的作圖、勾股定理、解直角三角形等知識，利用勾股定理列方程是解題的關鍵．3．如圖，已知．(1)請用無刻度的直尺和圓規(guī)在邊上分別確定點，使四邊形是菱形，并畫出菱形（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）(2)若，求（1）中所作菱形的邊長．【答案】(1)見解析(2)邊長為6【分析】本題考查作圖-復雜作圖，菱形的性質與判定，角平分線，線段的垂直平分線以及相似三角形的判定與性質等知識．（1）作的角平分線交于點E，作線段的垂直平分線交于點F，交于點D，連接，四邊形即為所求．（2）根據(jù)菱形性質可得∠，進一步證明得，代入相關數(shù)據(jù)可得結論．【詳解】（1）解：如圖所示，菱形為所求．（2）解：∵四邊形是菱形，∴，，∴，∴．設，則，∴，解得，∴（1）中所作菱形的邊長為6．4．如圖1，在矩形中，，點P是邊上的一個動點，連接，點Q是邊上的一點，且滿足．(1)在圖1中作出點Q；（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡并用黑筆描黑加粗，不寫作法）(2)當時，則；(3)隨著點P的運動，是否存在最大值？若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)詳見解析(2)(3)存在最大值為【分析】（1）過點P作，交于點Q，即點Q為所求；（2）通過證明，可得，即可求解；（3）由相似三角形的性質可得，由二次函數(shù)的性質可求解．【詳解】（1）如圖，點Q為所求點；（2）∵四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴，故答案為:．（3）存在最大值；理由：∵，∴，∴當時，存在最大值為．【點睛】本題考查了復雜作圖——作垂線，矩形的性質，相似三角形的判定和性質，二次函數(shù)的性質等知識，利用數(shù)形結合的思想解決問題是解題關鍵．題型三、與圓結合1．在中，，連接．

(1)尺規(guī)作圖：過點A作，交的延長線于點D（不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)求證：為的切線；(3)若，，則的半徑為______.【答案】(1)圖見解析(2)證明見解析(3)2【分析】本題考查了圓的綜合，熟悉相關的知識點是解題的關鍵，（1）以A為圓心，長為半徑畫弧，以C為圓心長為半徑畫弧交于點P，連接，延長交于點D即可；（2）連接并延長交于點M，證明是線段的垂直平分線即可；（3）證明即可．【詳解】（1）如圖所示：

（2）如圖連接并延長交于點M，

∵，；∴是線段的垂直平分線；∴；∵；∴；∴為的切線．（3）設，；∵；∴；∵；∴；即；解得：；∴；∴；∴；故答案為：2．2．如圖，是的直徑，點在上．(1)請在圖1中的上作一點（異于點），使，連接并延長交的延長線于點，過作的垂線交于點；（作圖使用沒有刻度的真尺和圓規(guī)，不寫作法，保留作圖痕跡，并在圖中標注必要的字母）(2)在（1）中所作的圖形中，求證：．（如需畫草圖，請使用圖2）(3)在（1）中所作的圖形中，若，，求的長．（如需畫草圖，請使用圖2）【答案】(1)見解析(2)見解析(3)10【分析】本題考查了弧與弦的關系，垂線的作圖，圓周角定理，三角形相似的判定和性質，三角函數(shù)的應用（1）以點A為圓心，為半徑畫弧，得到即得，再根據(jù)垂線的基本作圖，利用圓規(guī)，規(guī)范畫出即可．（2）根據(jù)證明即可．（3）過點A作于點H，根據(jù)得到，利用等腰三角形的三線合一性質，得到，，得到，根據(jù)，，得，根據(jù)，得到，繼而利用，求得的長．【詳解】（1）以點A為圓心，為半徑畫弧，得到即得，再根據(jù)垂線的基本作圖，利用圓規(guī)，直尺畫圖如下：．（2）設與得交點為點E，∵是的直徑，，∴，∴，∵∴，∵，∴．（3）過點A作于點H，∵∴，∴，，∵，∴，∴∴，∵是的直徑，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．3．尺規(guī)作圖：如圖，已知，在中，，(1)已知點O在邊上，請用圓規(guī)和直尺作出，使經(jīng)過點C，且與相切（保留作圖痕跡，不寫作法和證明）(2)若與切于點D，與的另一個交點為E，若，的半徑為2，求劣弧與線段所圍成的圖形的面積．（結果保留）【答案】(1)見解析(2)【分析】本題是一道圓的知識的綜合題，考查了切線的判定和性質、尺規(guī)作圖、勾股定理等知識：（1）作的平分線與的交點即為圓心O，然后以點O為圓心，以的長為半徑作圓O即可；（2）連接，根據(jù)切線的性質可得，可得，從而得到，再由劣弧與線段所圍成的圖形的面積為，即可求解．【詳解】（1）解：如圖，即為所求；（2）解：如圖，連接，∵是圓O的切線，∴，∴，∵，∴，∵的半徑為2，∴，∴，∴，∴劣弧與線段所圍成的圖形的面積為．4．已知，正方形，邊長為4，點是邊、上一動點，以為直徑作，(1)點在邊上時（如圖1）①求證：點在邊的垂直平分線上；②如圖2，若與邊相切，請用尺規(guī)作圖，確定圓心的位置，（不寫作法，保留作圖痕跡），并求出長；③如圖3，點從運動到點的過程中，若始終是的中點，寫出點運動的軌跡并求出路徑長：(2)當點在邊上時（如圖4），若始終是的中點，連接，，連接，求：的面積．【答案】(1)①證明見解析；②見解析，；③點運動的軌跡為線段，線段(2)【分析】此題考查了切線的性質，線段垂直平分線的作法、等腰三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、垂徑定理、圓周角定理等．此題的關鍵是注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結合思想的應用．（1）①證明即可證明點在邊的垂直平分線上；②作的垂直平分線，作切點與A所連線段的垂直平分線，即可找到圓心；③由由是等腰直角三角形，證明，進而即可求解；（2）先證明，設，則，，，進而即可求解．【詳解】（1）解：①為直徑，；點在圓上，連接，，點在的垂直平分線上；②設與邊相切于點E，則，如圖所示：

設，則，∴，解得：，∴，∵是的中位線，∴；③連接，；始終是的中點，是等腰直角三角形，∴，連接、交于點，則，∴，∵，∴，；當點與點重合，點與點重合，當點與點重合，點與點重合，點運動的軌跡為線段，．（2）解：連接,，過點H作，由（1）③可得：，，，∴，∵，設，則，，，解得：，，∴．題型四、與相似結合1．如圖，中，．

(1)作的外接圓（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在（1）的條件下，點D在上且與點C位于異側，連接并延長交的垂直平分線于點E，過點E作交延長線于點．①求證：；②若，求的值．【答案】(1)見詳解；(2)①見詳解；②的值為．【分析】（1）由知是的直徑，先作線段的垂直平分線，垂直平分線與的交點即為圓心O，再以O為圓心，長為半徑作圓即可；（2）①由是的垂直平分線，可證，得，再結合，可以得出，再證明出，進而證明出；②由和圓內(nèi)接四邊形得出，再證明得出，可設，則，，證明，通過平行線分線段成比例得，再設，在中，通過勾股定理可求出，則，，再通過線段加減關系求出，，由得，再利用勾股定理依次求出，，進而得出．【詳解】（1）解：如圖所示：

（2）①連接，，

是的直徑，，是的垂直平分線，，，，，，，，，，，，，．②延長，交的延長線于M，，，，，，，，，，，，，設，則，，，，，，，設，則，在中，，，，，，，在中，，在中，，．【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖，相似三角形的判定和性質，勾股定理，全等三角形的性質和判定等知識點，解題的關鍵是熟練掌握角平分線模型的常見輔助線的做法，平行線分線段成比例，勾股定理求邊長；2．“關聯(lián)”是解決數(shù)學問題的重要思維方式．角平分線的有關聯(lián)想就有很多…【問題提出】（1）如圖①，是的角平分線，求證．小明思路：關聯(lián)“平行線、等腰三角形”，利用“三角形相似”．小紅思路：關聯(lián)“角平分線上的點到角的兩邊的距離相等”，利用“等面積法”．請根據(jù)小明或小紅的思路，選擇一種并完成證明．【作圖應用】（2）如圖②，是的弦，在優(yōu)弧上作出點P，使得．要求：①用直尺和圓規(guī)作圖；②保留作圖的痕跡．【結論應用】（3）在中，最大角是最小角的2倍，且，求．【答案】（1）證明見解析；（2）見解析；（3）【分析】（1）小明思路，作，利用平行線分線段成比例定理得到，再利用等角對等邊求得，即可證明結論；小紅思路，作，利用面積法即可證明結論；（2）作弦的垂直平分線，再作線段的垂直平分線，利用垂徑定理即可求解；（3）利用相似三角形，利用相似三角形的性質，即可求出的長．【詳解】（1）解：小明思路：過點B作交的延長線于點D，∴，，∵是的角平分線，∴，∴，∴，∴；小紅思路：分別過點P，C作，垂足為D，E，F(xiàn)，∵是的角平分線，∴，∵，，∴．∴；（2）解：①作弦的垂直平分線，交弦于點D，交點E，由垂徑定理得，②再作線段的垂直平分線，交弦于點C，③連接并延長交點P，點P即為所求；∵，∴平分，∵，∴，由（1）的結論得，同理，點也為所求；（3）如圖所示，作的平分線交于點D，∵，，∴，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴，∴即∴，∴（負值舍去）．【點睛】本題考查了角平分線的性質，線段垂直平分線的作法確定的圓的條件，平行線分線段成比例定理，相似三角形的性質與判定等知識，解決問題的關鍵是掌握題意，正確的作出圖形．3．如圖，中，，分別為邊的點，，．

(1)用圓規(guī)和沒有刻度的直尺在線段上求作一點，使（兩種工具分別只限使用一次，并保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，過點作交于，，求的值．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質，平行線的性質，解題的關鍵是掌握相似三角形的判定與性質，平行線的性質．（1）以點為圓心，為半徑畫弧交于點，連接交于一點,該點即為點；（2）由（1）可證明，得到，推出，再證明，得到，最后證明，得到，進而得到，即可求解．【詳解】（1）如圖所示即為所求，

（2）連接，由（1）可得，，，，，，，，，，，，，，，又，，，，，，，，．

4．如圖，在菱形中，于．(1)尺規(guī)作圖：求作，使得分別切于點；（要求：保留作圖痕跡，不寫作法）(2)在（1）的條件下，設分別交于點，連接．求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質、菱形的性質、圓周角定理，靈活運用相似三角形的性質計算相應線段的長或表示線段之間的關系是解題的關鍵；（1）先作的垂直平分線，得到的中點O然后以O點為圓心，為半徑作圓，則根據(jù)切線的判定方法可得到、分別切于點P、D；（2）先利用圓周角定理得到，，再證明，在證，然后利用相似三角形的性質可得到結論．【詳解】（1）的為所求作的圓，（2）證明：連接，為直徑，，，由作圖得，是的切線，為的直徑，，，又，，，．題型五、與三角函數(shù)結合1．如圖，海中有一個小島A，該島四周內(nèi)有暗礁．今有貨輪由西向東航行，開始在A島南偏西的B處，往東行后到達該島的南偏西的C處之后，貨輪繼續(xù)向東航行．（，）

(1)請用尺規(guī)作圖，找到貨輪距離小島A最近時的位置點P（不寫過程，需保留作圖痕跡）；(2)當貨輪航行到P點位置時，距離小島A有多遠，貨輪有觸礁危險嗎？【答案】(1)見解析(2)貨輪航行到P點位置時，距離小島A，貨輪沒有觸礁危險【分析】本題考查作圖一作垂線，解直角三角形的應用，解題的關鍵是理解題意，學會利用參數(shù)構建方程解決問題．（1）根據(jù)要求畫出圖形；（2）設，則，根據(jù)，構建方程求解即可．【詳解】（1）解：如圖，點P即為所求，

（2）在中，設，則，，解得：，經(jīng)檢驗，是方程的解，，，貨輪航行到P點位置時，距離小島A，貨輪沒有觸礁危險．2．小磊安裝了一個連桿裝置，他將兩根定長的金屬桿各自的一個端點固定在一起，形成的角大小可變，將兩桿各自的另一個端點分別固定在門框和門的頂部．如圖1是俯視圖，分別表示門框和門所在位置，M，N分別是上的定點，，的長度固定，的大小可變．

(1)圖2是門完全打開時的俯視圖，此時，，，求的度數(shù)．(2)圖1中的門在開合過程中的某一時刻，點F的位置如圖3所示，請在圖3中作出此時門的位置．（用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(3)在門開合的過程中，的最大值為______．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）在中，利用銳角三角函數(shù)求得結果；（2）以點O為圓心、的長為半徑畫弧，與以點F為圓心、的長為半徑的弧交于點，連接得出門的位置；（3）當最大時，的值最大，過點O作MN的垂線段，當這條垂線段最大時，最大，即當垂線段為OM即垂足為M時，最大，故的最大值為．【詳解】（1）解：在中，，∴．∴．（2）門的位置如圖1中或所示．（畫出其中一條即可）

（3）如圖2，連接，過點O作，交的延長線于點H．

∵在門的開合過程中，在不斷變化，∴當最大時，的值最大．由圖2可知，當與重合時，取得最大值，此時最大，∴的最大值為．故答案為：【點睛】本題考查了旋轉、尺規(guī)作圖、銳角三角函數(shù)等知識，準確作圖，數(shù)形結合是解題的關鍵．3．為了加強樹木的穩(wěn)定性，園林部門常常在樹的周圍打上木撐子（如圖，若木撐在地面上的三個落腳點構成等邊三角形，即圖中的，樹的根部正好在等邊三角形的中心處．

(1)若的長為，求的邊長．(2)如圖2，已知樹根部及木撐的落腳點確定，試只用圓規(guī)確定另兩個落腳點、．（不寫作法，保留作圖的痕跡）【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）如圖2中，連接，，過點作于點．解直角三角形求出，可得結論；（2）構造等邊，等邊，等邊，等邊三角形，點，點即為所求．【詳解】（1）解：如圖2中，連接，，過點作于點．

是等邊三角形的中心，，，，；（2）如圖，點，點即為所求．

【點睛】本題考查作圖應用與設計作圖，等邊三角形的性質等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．4．（1）如圖，射線與直線垂直相交，交點為，且，，請你在直線和射線上找出一點，使得為等腰三角形，請用尺規(guī)作圖，在圖中作出所有滿足條件的點用，，表示；保留作圖痕跡，不必寫作法（2）如圖，平地上一幢建筑物與鐵塔相距50m，在建筑物的頂部處測得鐵塔頂部的仰角為，鐵塔底部的俯角為，求鐵塔的高度.參考數(shù)據(jù)：，，，，，

【答案】（1）見解析（2）鐵塔的高度約為68.5m【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的定義分三種情況畫出圖形：①，此時點、符合題意；②，此時點、符合題意；③，可作的垂直平分線，點符合題意；（2）過點作于點，解直角三角形分別求出，即可．【詳解】解：（1）如圖，，，，，即為所求．

（2）如圖，過點作于點，由題意．在中，，，在中，，，．答：鐵塔的高度約為．【點睛】本題考查基本作圖，等腰三角形的判定和性質，解直角三角形等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．函數(shù)篇題型一、與一次函數(shù)結合1．已知一次函數(shù)（、為常數(shù)，）的圖像如圖所示．

(1)若圖像經(jīng)過點和．①求與的函數(shù)表達式；②當時，的取值范圍是______．(2)尺規(guī)作圖：在同一坐標系中作的函數(shù)圖像．（保留作圖的痕跡，寫出必要的文字說明．）【答案】(1)①；②(2)見詳解【分析】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式：求一次函數(shù)，則需要兩組，的值．也考查了一次函數(shù)的性質．（1）①利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式即可；②利用解析式計算出自變量為和1所對應的函數(shù)值，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質求解；（2）直線與軸、軸分別交于點、，在軸的負半軸上截取，在軸的負半軸上截取，則直線滿足條件．【詳解】（1）解：①根據(jù)題意得，解得，與的函數(shù)表達式為；②當時，；當時，，當時，的取值范圍是；故答案為：；（2）如圖，在軸的負半軸上截取，在軸的負半軸上截取，則直線為函數(shù)的圖象．

2．如圖，在平面直角坐標系中，正比例函數(shù)的圖像為直線，已知兩點、．(1)在直線找一點，使得．（尺規(guī)作圖，不寫畫法，保留作圖痕跡）；(2)直接寫出點的坐標為______；(3)若點在直線上，點關于軸的對稱點為，且，則點的坐標是______．【答案】(1)見詳解(2)(3)或【分析】（1）作線段的垂直平分線交直線于點，點即為所求；（2）由線段垂直平分線的定義得點是線段的中點，則，軸，將代入正比例函數(shù)，即可求得點的坐標；（3）設，根據(jù)題意可知，結合可得，求得的值，即可獲得答案．【詳解】（1）解：如下圖，作線段的垂直平分線交直線于點，點即為所求，∵是線段的垂直平分線，∴，∴；（2）∵是線段的垂直平分線，∴點是線段的中點，軸，∵、，∴，將代入正比例函數(shù)，可得，解得，∴點的坐標為．故答案為：；（3）設，∵點為點關于軸的對稱點，∴，又∵，∴，∴，當時，點坐標為，當時，點坐標為，所以，點的坐標是或．故答案為：或．【點睛】本題主要考查了坐標與圖形、尺規(guī)作圖—作垂線、垂直平分線的性質、正比例函數(shù)圖像上點的坐標特征、關于軸對稱的點的坐標特征等知識，解題關鍵是熟練掌握相關知識，并運用數(shù)形結合的思想分析問題．3．如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為，是軸上一點．

(1)上求作點，使得∽要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡；(2)在（1）的條件下，，是的中線，過點的直線交于點，交軸于點，當時，求點的坐標．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）作于點即可；（2）求出直線，直線的解析式，構建方程組求解．【詳解】（1）如圖，點即為所求；

（2）∽，：：，，，，，，，，，，，，直線的解析式為，，，，，，，直線的解析式為，由，解得，【點睛】本題考查作圖相似變換，一次函數(shù)的應用等知識，解題的關鍵是學會構建一次函數(shù)確定交點坐標．4．如圖，直線yx+m（m＞0）與x軸交于A，與y軸交于B，AC平分∠BAO．(1)尺規(guī)作圖：過點C作CD⊥AC交AB于D（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)求證：ADBD+AO；(3)若m＝4，點E、F分別為AC、AO上的動點，求OE+EF的最小值．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）延長AC，以C為圓心，任意長為半徑畫弧，與直線AC交于兩點，再分別以這兩個點為圓心，以大于這兩點間距離的一半為半徑畫弧，兩弧交于一點，連接這個點與點C，與AB交于一點，即為D點，則CD即為所求；（2）根據(jù)角平分線的性質得出，證明，利用一次函數(shù)圖象的性質，結合三角函數(shù)，得出∠BAO=60°，通過已知條件得出∠DCG=30°，利用含30°角的直角三角形的性質，得出，再證明CD=BD，即可得出結論；（3）作OH⊥AC于點M，并延長交AB于點H，過點H作HF⊥OA于點F，交AC于點E，證明AM垂直平分OH，從而說明HF的長為OE+EF的最小值，說明為等邊三角形，利用等邊三角形的性質即可求出HF的長，即可得出OE+EF的最小值．【詳解】（1）如圖所示：CD即為所求；（2）過點C作CG⊥AB于點G，如圖所示：∴，∵平分∠BAO，，∵，，，∵直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，∴，，，，∴，∴，，，∴，∵，∴，∴，∴，；（3）作OH⊥AC于點M，并延長交AB于點H，如圖所示：∵平分∠BAO，OH⊥AC，，，，，，，∴AM垂直平分OH，，過點H作HF⊥OA于點F，交AC于點E，此時OE+EF的值最小，，，，，，為等邊三角形，，，∵HF⊥OA，∴，∴OE+EF的最小值為．【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質，三角形全等的判定和性質，直角三角形的性質，等邊三角形的判定和性質，角平分線的性質，一次函數(shù)圖象的性質，正確作出輔助線是解題的關鍵．題型二、與反比例函數(shù)結合1．如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點．(1)求這兩個函數(shù)的表達式；(2)點為x軸上一動點，請用無刻度的直尺和圓規(guī)，過圖中所標的P點作x軸的垂線，分別交反比例函數(shù)及一次函數(shù)的圖象于C，D兩點（要求：不寫作法，保留作圖痕跡，使用2B鉛筆作圖）．(3)在（2）的條件下，當點C位于點D上方時，請直接寫出n的取值范圍．【答案】(1)，(2)見解析(3)或【分析】本題主要考查了一次函數(shù)和反比例綜合，解題的關鍵是熟練掌握用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式的方法和步驟．（1）先將點代入求出反比例函數(shù)解析式，再求出點B的坐標，最后將點A和點B的坐標代入，求出和b的值，即可得出一次函數(shù)解析式；（2）以點C為圓心，任意長為半徑畫弧，交y軸于兩點，再分別以兩交點為圓心，大于兩交點距離的一半為半徑畫弧，兩弧相交于一點，過兩弧交點作直線，分別交反比例函數(shù)及一次函數(shù)的圖象于C，D兩點，直線即為所求；（3）根據(jù)，，結合C，D兩點的位置，數(shù)形結合即可求解．【詳解】（1）解：把代入得；∴，∴反比例函數(shù)的解析式為．把代入．得：．∴，把，代入得：，解得：，∴一次函數(shù)的解析式為：；（2）解：如圖所示，直線即為所求作的直線．（3）解：∵，，∴由圖可知，當或時，點C位于點D上方．∴的取值范圍為：或．2．如圖，反比例函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)的圖象交于點，過點作軸，垂足為，為軸上一點，點的坐標為，連接．(1)求反比例函數(shù)的解析式．(2)請用無刻度的直尺和圓規(guī)在圖中找出的中點（保留作圖痕跡，不寫作法）．(3)在（2）的條件下，連接，求的面積．【答案】(1)反比例函數(shù)的解析式為；(2)見解析(3)的面積為．【分析】此題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)交點問題，還考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，線段垂直平分線作圖，數(shù)形結合思想是解題的關鍵．（1）把代入求得，再把點A的坐標代入反比例函數(shù)解析式得到k的值，即可得到反比例函數(shù)解析式；（2）作線段的垂直平分線，垂足D即為所求；（3）由點，點B的坐標，即可得到點D的橫坐標是1，，利用三角形面積公式即可得到答案．【詳解】（1）解：把代入得到，∴點，∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，∴，∴反比例函數(shù)的解析式為；（2）解：如圖所示，點D即為所求，；（3）解：∵點，點B的坐標，∴點D的橫坐標是1，，∴的面積是．3．如圖，已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，點P為該圖象上一動點，連接．

(1)求該反比例函數(shù)解析式；(2)在圖中請你利用無刻度的直尺和圓規(guī)作線段的垂直平分線，交x軸于點A．（要求：不寫作法，保留作圖痕跡，使用鉛筆作圖）．(3)當時，求點A的坐標．【答案】(1)；(2)見解析；(3)．【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；（2）分別以、為圓心，以大于為半徑作弧，兩個弧交于點、，連接，則為的中垂線；（3）求出點，由，即可求解．【詳解】（1）解：將代入反比例函數(shù)解析式得：，則反比例函數(shù)的解析式為：；（2）解：分別以、為圓心，以大于為半徑作弧，兩個弧交于點、，連接，則為的中垂線，如圖；

（3）解：過點作軸于點，

設點，則，，則，解得：（負值已舍去），則點，設點，連接，則，即，解得：，即點．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的綜合應用，待定系數(shù)法、一次函數(shù)與坐標軸的交點特征，解直角三角形等知識點，熟練掌握一次函數(shù)和反比例函數(shù)的相關知識是解題關鍵．4．如圖，已知，，，．

(1)請用無刻度的直尺和圓規(guī)作出點B關于直線的對稱點D．（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）(2)若反比例函數(shù)的圖象過點D，求此反比例函數(shù)的解析式；(3)求的值．【答案】(1)圖見詳解(2)(3)【分析】（1）分別以、為圓心，長為半徑畫弧，兩弧交點即為所作的點；（2）由勾股定理求出長，由軸對稱的性質可以推出四邊形是菱形，推出，即可得到的坐標，從而求出反比例函數(shù)的解析式；（3）由，得到，由勾股定理求出長，即可求出．【詳解】（1）解：如圖，點即為所求作的點；

（2）解：、關于直線對稱，，，，，，，，，，，，四邊形是菱形，，，，的坐標是，反比例函數(shù)的圖象過點，，，反比例函數(shù)的解析式是；（3）解：，，，，，，．【點睛】本題考查待定系數(shù)法求反比例函數(shù)關系式，解直角三角形，勾股定理，菱形的判定和性質，基本作圖，關鍵是證明四邊形是菱形，由菱形的性質得到的坐標；由，得到．題型三、與二次函數(shù)結合1．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點，點在軸上，直線與拋物線在第一象限交于點．

(1)求拋物線的解析式；(2)點在拋物線上，若使得的點恰好只有三個，求的值；(3)請使用圓規(guī)和無刻度直尺，在軸下方的拋物線上確定一點，使得，并說明理由（保留作圖痕跡，不寫作法）．【答案】(1)(2)9(3)詳見解析【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；（2）若使得的點恰好只有三個，則點在下方時，只有一個點，進而求解；（3）證明，得到，進而求解．【詳解】（1）解：由題意得：，解得：，故拋物線的表達式為：①；（2）解：若使得的點P恰好只有三個，則點P在AB下方時，只有一個P點，由點A、C的坐標得，直線AC的表達式為：，過點P作PN交y軸于點N使，

則設直線PN的表達式為：②，聯(lián)立①②并整理得：，則，則，則點，則，過點N作交于點H，由直線AB的表達式知，，則，則，，則；（3）解：設，則，在線段AO上取點H，使，

則，∵，∴，∴，即，則，即，∵，即，設非常接近2，令、，則以點A為圓心，以的長度為半徑作弧，交x軸于點H，以點H為圓心，以，長度為半徑作弧，交拋物線于點D，則點D為所求點．【點睛】本題為二次函數(shù)綜合題，涉及到函數(shù)作圖、解直角三角形、三角形相似等，綜合性強，難度適中．2．在初中函數(shù)學習中，我們經(jīng)歷了列表、描點、連線畫函數(shù)圖象，結合圖象研究函數(shù)性質并對其性質進行應用的過程．小麗同學學習二次函數(shù)后，對函數(shù)（自變量x可以是任意實數(shù)）圖象與性質進行了探究．請同學們閱讀探究過程并解答：(1)作圖探究：①下表是y與x的幾組對應值：x…01234…y…830m00n8…___________，___________；②在平面直角坐標系中，描出表中各組對應值為坐標的點，并根據(jù)描出的點，畫出該函數(shù)的圖象：

(2)深入思考：根據(jù)所作圖象，回答下列問題：①方程的解是___________；②如果的圖象與直線有4個交點，則k的取值范圍是___________；(3)延伸思考：將函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的平移可得到的圖象？請寫出平移過程．【答案】(1)①；3；②圖見解析(2)①或或；②

(3)將函數(shù)的圖象向左平移1個單位，向下平移2個單位可得到的圖象【分析】（1）①把與代入進行計算即可得到答案；②先描點，再連線即可；（2）①根據(jù)函數(shù)圖象與軸交點的橫坐標即可得到答案；②根據(jù)函數(shù)圖象可得答案；（3）根據(jù)函數(shù)圖象的平移規(guī)則：左加右減，上加下減，可得答案.【詳解】（1）解：①當時，；當時，；答案為：；3；②描點，連線，該函數(shù)的圖象如圖，

（2）①由函數(shù)圖象可得方程的解是或或；②根據(jù)的圖象與直線有4個交點，則k的取值范圍是；答案為：①或或；②；（3）根據(jù)函數(shù)圖象的平移規(guī)則可得：將函數(shù)的圖象向左平移1個單位，向下平移2個單位可得到的圖象；【點睛】本題考查的是求解函數(shù)的函數(shù)值，畫二次函數(shù)的圖象，二次函數(shù)與軸的交點坐標，二次函數(shù)圖象的平移，熟練的利用數(shù)形結合的方法解題是關鍵.3．對函數(shù)的圖象和性質進行了探究，過程如下，請補充完整．【作圖】①列表x…0123456…y…920m029…其中，______．②描點并連線：請根據(jù)上述數(shù)據(jù)，在如圖所示的平面直角坐標系中描點并畫出該函數(shù)的圖象．

【應用】①平行于x軸的一條直線與的圖象有兩個交點，則k的取值范圍為______．②已知函數(shù)的圖象如圖所示，結合你所畫的函數(shù)圖象，寫出方程的解為______．【答案】（作圖）①1；②見解析；（應用）①或；②【分析】（作圖）①將點的橫坐標直接代入函數(shù)解析式求出縱坐標即可；②描點畫圖即可