17.2 第1課時(shí) 勾股定理的逆定理 教學(xué)設(shè)計(jì)

人教版八下17.2.1勾股定理的逆定理（第1課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容解析教學(xué)流程圖地位與作用在證明一個(gè)三角形是直角三角形時(shí)，之前都是從角的角度進(jìn)行證明，三角形勾股定理的逆定理則是從邊的數(shù)量關(guān)系的角度進(jìn)行證明.通過對(duì)勾股定理及其逆定理的學(xué)習(xí)，加深對(duì)性質(zhì)和判定之間關(guān)系的認(rèn)識(shí).幾何中有許多互逆的命題、互逆的定理，它們從正反兩個(gè)方面揭示了圖形的特征性質(zhì)，互逆命題和互逆定理是幾何中的重要概念.概念解析勾股定理的逆定理是通過三角形邊的數(shù)量關(guān)系判定一個(gè)三角形是直角三角形，是直角三角形的判定定理.思想方法從特殊到一般的探索勾股定理的逆定理，在尋找證明思路的過程中蘊(yùn)含著邏輯推理及轉(zhuǎn)化思想.知識(shí)類型勾股定理的逆定理是原理與規(guī)則類知識(shí)，通過探索去發(fā)現(xiàn)圖形的性質(zhì)，提出一般的猜想，證明勾股定理逆定理.教學(xué)重點(diǎn)探索勾股定理的逆定理.教學(xué)目標(biāo)解析教學(xué)目標(biāo)1.探索勾股定理的逆定理，運(yùn)用勾股定理的逆定理解決簡(jiǎn)單的問題.2.結(jié)合具體實(shí)例，了解原命題及其逆命題的概念．會(huì)識(shí)別兩個(gè)互逆的命題，知道原命題成立其逆命題不一定成立．目標(biāo)解析目標(biāo)1達(dá)成的標(biāo)志是能通過畫圖探究或從逆命題的角度，猜想勾股定理逆定理，并用文字語言、符號(hào)語言、圖形語言敘述勾股定理逆定理．能證明勾股定理逆定理．記住一些簡(jiǎn)單的勾股數(shù)，并能根據(jù)勾股定理的逆定理判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形．目標(biāo)2達(dá)成的標(biāo)志是會(huì)舉例說明逆命題和逆定理的概念，以及性質(zhì)定理和判定定理的關(guān)系．能舉例說明原命題和逆命題不一定同時(shí)成立．能寫出一個(gè)命題的逆命題，并判斷這個(gè)逆命題是否成立．教學(xué)問題診斷分析具備的基礎(chǔ)學(xué)生能運(yùn)用勾股定理進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算，經(jīng)歷了探究勾股定理的過程，學(xué)習(xí)過其他圖形的性質(zhì)和判定，能體會(huì)性質(zhì)與判定的關(guān)系.與本課目標(biāo)的差距分析學(xué)生對(duì)利用計(jì)算證明幾何結(jié)論比較陌生.存在的問題學(xué)生難以想到勾股定理逆定理的證明方法，對(duì)于沒有寫成“如果…那么…”形式的命題，在敘述它的逆命題時(shí)有時(shí)會(huì)感到困難.應(yīng)對(duì)策略勾股定理的逆定理的證明關(guān)鍵是構(gòu)建全等的直角三角形，教學(xué)中采取了從特殊到一般、從動(dòng)手操作到推理證明的順序，以問題串的形式，使學(xué)生在動(dòng)手操作的基礎(chǔ)上和合作交流的良好氛圍中.通過巧妙而自然地在學(xué)生的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)與幾何知識(shí)結(jié)構(gòu)之間筑了一個(gè)信息流通渠道，進(jìn)而達(dá)到完善學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)的目的，更有利于突破難點(diǎn).教學(xué)難點(diǎn)證明勾股定理的逆定理.教學(xué)支持條件分析準(zhǔn)備直角邊長(zhǎng)為3cm，4cm的直角三角形，用來和畫出來的三邊長(zhǎng)為3cm、4cm、5cm的三角形進(jìn)行比較，看是否能夠重合，從而驗(yàn)證勾股定理的逆定理.利用《幾何畫板》或圖形計(jì)算器畫已知邊長(zhǎng)的三角形，度量最大角，發(fā)現(xiàn)勾股定理的逆定理.教學(xué)過程設(shè)計(jì)課前檢測(cè)1.在直角三角形中，有兩邊分別為3和4，則第三邊是（）A.1B.5C.D.5或2.如圖，用三角尺可按下面方法畫角平分線：在已知的∠AOB

的兩邊上分別取點(diǎn)M、N，使OM＝ON，再分別過點(diǎn)M、N作OA、OB的垂線，交點(diǎn)為P，畫射線OP．可證得△POM

≌△PON，OP平分∠AOB．以上作法中能證明△POM≌△PON根據(jù)的是（）A.SSSB.SASC.AASD.HL3.寫出命題“兩條直線相交，只有一個(gè)交點(diǎn)”的題設(shè)部分和結(jié)論部分，判斷它是真命題還是假命題，并說明理由.設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)勾股定理的內(nèi)容為本節(jié)課勾股定理逆定理做準(zhǔn)備，全等的證明過程為證明勾股定理逆定理做準(zhǔn)備，命題的相關(guān)概念為學(xué)習(xí)互逆命題、互逆定理做準(zhǔn)備.新課學(xué)習(xí)1．探究新知，得到猜想方案一：基于測(cè)評(píng)，學(xué)生對(duì)于命題的相關(guān)概念遺忘較嚴(yán)重.問題1：我們知道，對(duì)于一個(gè)直角三角形，已知兩條邊的長(zhǎng)度利用勾股定理可以求出直角三角形的第三邊，那么當(dāng)一個(gè)三角形滿足什么條件時(shí)它是直角三角形？師生互動(dòng)設(shè)計(jì)：教師給學(xué)生一定的時(shí)間思考問題，然后視學(xué)生情況以下列問題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考．學(xué)生大部分回答①有一個(gè)內(nèi)角是90°；②一個(gè)三角形有兩個(gè)角的和是90°，那么這個(gè)三角形是直角三角形．教師總結(jié)我們知道，在三角形中，如果有一個(gè)角是90°，或兩個(gè)銳角和為90°，那么這個(gè)三角形就為直角三角形，這是從角度的方面判定直角三角形，本節(jié)課，我們將學(xué)習(xí)如何從邊的角度判定一個(gè)三角形是直角三角形．設(shè)計(jì)意圖：先提出目標(biāo)性問題，引發(fā)學(xué)生思考，再逐步探究解決．問題2：實(shí)際上，剛才老師提的那個(gè)問題，在很久之前的古埃及人已經(jīng)有了答案，看看他們是怎么做的．在古代，沒有直角尺、圓規(guī)、量角器等作圖工具，人們是怎樣得到一個(gè)直角的呢？方法：把一根長(zhǎng)繩打上13個(gè)等距的結(jié)，把一根繩子分成等長(zhǎng)的12段，然后以3個(gè)結(jié)間距，4個(gè)結(jié)間距，5個(gè)結(jié)間距的長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)，用木樁釘成一個(gè)三角形，其中一個(gè)角便是直角.按照這種方法真的能得到一個(gè)直角嗎？設(shè)計(jì)意圖：介紹前人經(jīng)驗(yàn)，引發(fā)思考，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)來源于生活，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣．合作探究1：接下來我們也按照古人的方法畫一畫，請(qǐng)同學(xué)們組內(nèi)合作完成合作探究部分，要求組內(nèi)每位同學(xué)完成一幅作圖．師生互動(dòng)設(shè)計(jì)：學(xué)生合作活動(dòng)1：（小組內(nèi)合作完成）.1.畫圖：畫出邊長(zhǎng)分別是下列各組數(shù)的三角形（單位：厘米）A：3、4、5

；B：2.5、6、6.5

；C：3、4、6

；D：6、8、102.測(cè)量：用你的量角器分別測(cè)量一下上述各三角形的最大角的度數(shù)，并記錄下來．3.判斷：請(qǐng)判斷一下上述你所畫的三角形的形狀．4.找規(guī)律：每組給出的三邊之間具有怎么樣的數(shù)量關(guān)系？5.你能得到什么猜想？你的猜想是__________________________．學(xué)生分小組回答問題．追問1：C組作圖當(dāng)兩邊的平方和小于第三邊時(shí)，這個(gè)三角形是鈍角三角形，若兩邊的平方和大于第三邊時(shí)，這個(gè)三角形又是什么三角形呢？追問2：教師適當(dāng)動(dòng)畫展示，通過老師的動(dòng)畫演示，和同學(xué)們的猜想一致，如果給出任意一個(gè)三角形，三邊長(zhǎng)為a、b、c，這三邊之間滿足什么關(guān)系，就構(gòu)成了直角三角形？結(jié)合圖形，你能說出這個(gè)猜想命題嗎？猜想：如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c滿足

a2+b2=c2

，那么這個(gè)三角形是直角三角形．設(shè)計(jì)意圖：教學(xué)中讓學(xué)生畫三角形，測(cè)量邊長(zhǎng)，然后計(jì)算邊長(zhǎng)的平方，并分析最長(zhǎng)邊的平方和其它兩邊平方和之間的關(guān)系，最后引導(dǎo)得出結(jié)論.讓學(xué)生充分經(jīng)歷測(cè)量——計(jì)算——?dú)w納——猜想等幾何定理的探索過程．方案二：基于測(cè)評(píng)，學(xué)生對(duì)于命題的相關(guān)概念掌握情況良好．問題1：怎樣判定一個(gè)三角形是直角三角形呢？師生互動(dòng)設(shè)計(jì)：學(xué)生可能無從回答這個(gè)問題．或者從角的關(guān)系入手回答．追問1：回憶一下我們學(xué)習(xí)等腰三角形的過程，學(xué)習(xí)完了等腰三角形我們學(xué)習(xí)了什么？是如何進(jìn)行學(xué)習(xí)的？學(xué)生回答“學(xué)習(xí)等腰三角形的判定”，通過把等腰三角形的性質(zhì)中的題設(shè)和結(jié)論互換，得到等腰三角形判定的猜想．追問2：你還學(xué)習(xí)過哪些將題設(shè)和結(jié)論互換得到的定理呢？師生互動(dòng)設(shè)計(jì)：學(xué)生思考后回答平行線的性質(zhì)和判定也是將題設(shè)和結(jié)論互換得到的．追問3：你能從性質(zhì)和判定的關(guān)系出發(fā)思考一下怎樣判定一個(gè)三角形是直角三角形嗎？師生互動(dòng)設(shè)計(jì)：學(xué)生猜想將勾股定理的題設(shè)和結(jié)論互換得到直角三角形的判定．猜想：如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c滿足

a2+b2=c2

,

那么這個(gè)三角形是直角三角形．設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生從研究一個(gè)圖形的性質(zhì)和判定的角度入手進(jìn)行思考，感受性質(zhì)和判定的關(guān)系，體會(huì)互逆命題的關(guān)系，從而得到猜想．2．證明猜想，得到定理問題3：我們看到這個(gè)猜想和勾股定理的題設(shè)、結(jié)論正好相反，我們把像這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題．如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做逆命題．我們得到的這個(gè)猜想是不是正確的呢？我們要進(jìn)行證明．如何證明這個(gè)命題呢？師生互動(dòng)設(shè)計(jì)：學(xué)生先獨(dú)立思考，然后教師視學(xué)生情況直接讓學(xué)生分析或以下列問題引導(dǎo)．追問1：對(duì)于這個(gè)猜想我們需要證明的是什么？通過什么證明？師生互動(dòng)設(shè)計(jì)：學(xué)生回答一個(gè)三角形是直角三角形．通過三邊的關(guān)系進(jìn)行證明．設(shè)計(jì)意圖：檢測(cè)學(xué)生是否真的明確證明對(duì)象．追問2：那么滿足什么條件的三角形是直角三角新呢？師生互動(dòng)設(shè)計(jì)：學(xué)生回答一個(gè)內(nèi)角是90°．設(shè)計(jì)意圖：將證明對(duì)象聚焦到三角形的構(gòu)成元素．追問3：如何證明一個(gè)角是90°？師生互動(dòng)設(shè)計(jì)：學(xué)生感覺到困難．追問4：如果已經(jīng)有一個(gè)三角形是直角三角形呢？師生互動(dòng)設(shè)計(jì)：學(xué)生回答只需要運(yùn)用全等進(jìn)行證明即可．設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生理清證明對(duì)象滲透證明方法．合作探究2：作圖：1.三邊長(zhǎng)度為3cm，4cm，5cm的三角形ABC；2.以3cm，4cm為直角邊的直角三角形A'B'C'，并剪下△A'B'C'，放在△ABC上，兩個(gè)三角形是否重合？師：如果老師把邊長(zhǎng)是3、4、5的三角形換成邊長(zhǎng)分別為a、b、c，且滿足a2+b2=c2

，你會(huì)證明這個(gè)三角形是直角三角形么？幾何推理論證：已知：在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，并且a2+b2=c2求證：∠C=90°．（探究的關(guān)鍵是構(gòu)建一個(gè)直角邊是a、b的Rt△A’B’C’，然后和△ABC比較！于是畫一個(gè)Rt△A’B’C’，

使∠C’=90°，A’C’=b，B’C’=a）證明

:

作△A’B’C’，使∠C’=90°，A’C’=b，B’C’=a，如圖，那么A’B’2=a2+b2（勾股定理）又∵a2+b2=c2（已知）∴A’B’2=

c2，即A’B’=c

(A’B’＞0)∴△ABC≌△A’B’C’(SSS)∴∠C=∠C’=90°，∴△ABC是直角三角形．當(dāng)我們證明了命題2是正確的，那么命題就成為一個(gè)定理．并且這個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論和勾股定理的題設(shè)和結(jié)論相反，我們就稱之為勾股定理逆定理，利用這個(gè)定理可以判定一個(gè)三角形是否為直角三角形．一般地原命題成立時(shí)，它的逆命題可能成立也可能不成立．像勾股定理和它的逆定理這樣的兩個(gè)互逆命題都是成立的，我們稱之為互逆定理．設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生分組畫三邊長(zhǎng)度為3cm，4cm，5cm的三角形和3cm，4cm為直角邊的直角三角形．讓學(xué)生自然聯(lián)想到三角形全等這一工具，為構(gòu)造直角三角形，證明當(dāng)前三角形與一個(gè)直角三角形全等做好鋪墊，從而證明當(dāng)前三角形是直角三角形，讓學(xué)生體會(huì)這種證明思路的合理性，經(jīng)歷從特殊到一般的探究過程，從而突破本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)．實(shí)際應(yīng)用歸納總結(jié)3．定理運(yùn)用，加深理解【例題1】判斷以下線段組成的三角形是不是直角三角形:（1）a=15，b=17，c=8；

（2）a=13，b=14，c=15；師生互動(dòng)設(shè)計(jì)：學(xué)生計(jì)算并判斷三角形是否為直角三角形，教師進(jìn)行適當(dāng)點(diǎn)撥．關(guān)注學(xué)生能否進(jìn)一步理解勾股定理的逆定理的用處，以及能否運(yùn)用幾何語言規(guī)范書寫過程．介紹勾股數(shù)，像15、8、17這樣，能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)度的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．設(shè)計(jì)意圖：通過練習(xí)幫助學(xué)生把陳述性的定理轉(zhuǎn)化為認(rèn)知操作，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用勾股定理的逆定理判斷一個(gè)三角形是直角三角形．【例題2】說出下列命題的逆命題．這些命題的逆命題是真命題嗎？（1）兩條直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．（2）對(duì)頂角相等．（3）線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等．師生互動(dòng)設(shè)計(jì)：學(xué)生獨(dú)立思考并完成回答，教師關(guān)注學(xué)生如何寫出命題的逆定理，對(duì)互逆命題關(guān)系及真假性的理解，體會(huì)原命題成立但是逆命題不一定成立．歸納總結(jié)4．課堂小結(jié)，有效提升教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)以下問題進(jìn)行反思，回顧本節(jié)課內(nèi)容：1.勾股定理的逆定理的內(nèi)容是什么？它有什么作用？2.原命題、逆命題之間有什么關(guān)系？什么是互逆定理？3.我們證明勾股定理的逆定理的思路是什么？設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生回顧和理解勾股定理的逆定理，明確其基本應(yīng)用．體會(huì)互逆命題的有關(guān)知識(shí)．引導(dǎo)學(xué)生回顧和體會(huì)證明勾股定理逆定理的基本思路．人教版八下17.2.1勾股定理逆定理（第1課時(shí)）目標(biāo)檢測(cè)一、選擇題1．已知三角形三條邊分別是1，，2，則該三角形為（）A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰三角形2．若a，b，c為三角形的三邊，則下列各組數(shù)據(jù)中，不能組成直角三角形的是（）A．a(chǎn)=8，b=15，c=17B．a(chǎn)=3，b=5，c=4C．a(chǎn)=4，b=8，c=9D．a(chǎn)=9，b=40，