專題33直線與圓錐曲線綜合問題（教師版）

專題33【提升專題02】直線與圓錐曲線綜合問題（核心考點精講精練）類型一、直線與橢圓的位置關系類型二、直線與雙曲線的位置關系類型三、直線與拋物線的位置關系類型四、弦長問題類型五、圓錐曲線中的對稱問題類型六、圓錐曲線中的范圍最值問題類型七、圓錐曲線在新情景中應用直線與圓錐曲線的綜合問題常常涉及到一些重要的數(shù)學思想和解題方法，比如方程思想、轉化思想、數(shù)形結合思想等。以下是一些常見的問題：

1、直線與圓錐曲線的位置關系：包括直線與圓錐曲線的相交、相切、相離等位置關系，可以通過聯(lián)立方程組，利用判別式、韋達定理等方法求解。

2、弦長問題：包括弦長最值、弦長的定值、弦長之間的關系等問題，可以通過聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關系等方法求解。

3、圓錐曲線中的對稱問題：圓錐曲線中的一些對稱問題也常常作為綜合問題出現(xiàn)，比如圓錐曲線中的點對稱、線對稱、旋轉對稱等問題，可以通過對稱的性質進行求解。

4、圓錐曲線中的范圍最值問題：圓錐曲線中的范圍最值問題也是常見的綜合問題之一，可以通過聯(lián)立方程組，利用函數(shù)思想等方法進行求解。

以上只是直線與圓錐曲線的綜合問題中的一部分，這些問題的解決需要掌握一定的數(shù)學思想和解題方法，同時需要具備靈活的思維和敏銳的觀察能力類型一、直線與橢圓的位置關系1．（2023年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學真題）已知橢圓的左、右焦點分別為，，直線與C交于A，B兩點，若面積是面積的2倍，則（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】首先聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用，求出范圍，再根據三角形面積比得到關于的方程，解出即可.【詳解】將直線與橢圓聯(lián)立，消去可得，因為直線與橢圓相交于點，則，解得，設到的距離到距離，易知，則，，，解得或（舍去）.2．已知橢圓方程為，其右焦點為F（4，0），過點F的直線交橢圓與A，B兩點．若AB的中點坐標為，則橢圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設，利用點差法求解即可．【詳解】設，代入橢圓的方程可得，．兩式相減可得：．由，，代入上式可得：＝0，化為．又，，聯(lián)立解得．∴橢圓的方程為：．3．若橢圓的弦被點平分，則所在直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用點差法求出直線的斜率，再利用點斜式可得出直線的方程.【詳解】若直線軸，則點、關于軸對稱，則直線的中點在軸，不合乎題意，所以，直線的斜率存在，設點、，則，所以，，兩式作差可得，即，即，可得直線的斜率為，所以，直線的方程為，即.4．（2023年內蒙古模擬理科數(shù)學試題）已知橢圓，直線依次交軸、橢圓軸于點四點．若，且直線斜率．則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據題意分析可知：的中點即為弦的中點，利用點差法運算求解.【詳解】設直線：，可得，設的中點為，連接OM，則，，因為，則，即為弦的中點，設，則，因為，可得，兩式相減得，整理得，可得，即，可得，所以橢圓的離心率為.5．（2024屆安徽省聯(lián)考數(shù)學試題）已知橢圓C：（）的左焦點為，過左焦點作傾斜角為的直線交橢圓于A，B兩點，且，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】聯(lián)立直線與橢圓方程可得韋達定理，進而根據向量共線的坐標運算可得，進而結合求解離心率.【詳解】設，，，過點所作直線的傾斜角為，所以該直線斜率為，所以直線方程可寫為，聯(lián)立方程，可得，，根據韋達定理：，，因為，即，所以，所以，即，所以，聯(lián)立，可得，.6．（2023年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽一試及加試試題（A卷））平面直角坐標系中，已知圓與軸、軸均相切，圓心在橢圓內，且與有唯一的公共點.則的焦距為.【答案】10【分析】先求出的方程，從而求出公切線，再聯(lián)立公切線方程和橢圓方程后利用判別式為零可得，結合在橢圓上可求基本量，故可求焦距.【詳解】因為與有唯一的公共點且與軸、軸均相切，故圓心在第一象限，故設圓心為，故的方程為：，所以，解得或.因為在內，故，故原的方程為，因為與有唯一的公共點，且圓心在橢圓內，故與在處有公切線，故，故，故的方程為：，由可得，整理得到：，故，整理得到：，而，解得，，從而的焦距為.7．（2021年全國新高考II卷數(shù)學試題）已知橢圓C的方程為，右焦點為，且離心率為．（1）求橢圓C的方程；（2）設M，N是橢圓C上的兩點，直線與曲線相切．證明：M，N，F(xiàn)三點共線的充要條件是．【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）由離心率公式可得，進而可得，即可得解；（2）必要性：由三點共線及直線與圓相切可得直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程可證；充分性：設直線，由直線與圓相切得，聯(lián)立直線與橢圓方程結合弦長公式可得，進而可得，即可得解.【詳解】（1）由題意，橢圓半焦距且，所以，又，所以橢圓方程為；（2）由（1）得，曲線為，當直線的斜率不存在時，直線，不合題意；當直線的斜率存在時，設，必要性：若M，N，F(xiàn)三點共線，可設直線即，由直線與曲線相切可得，解得，聯(lián)立可得，所以，所以,所以必要性成立；充分性：設直線即，由直線與曲線相切可得，所以，聯(lián)立可得，所以，所以，化簡得，所以，所以或，所以直線或，所以直線過點，M，N，F(xiàn)三點共線，充分性成立；所以M，N，F(xiàn)三點共線的充要條件是．【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是直線方程與橢圓方程聯(lián)立及韋達定理的應用，注意運算的準確性是解題的重中之重.8．（2023年江蘇省模擬數(shù)學試題）已知橢圓C：的焦距為，且橢圓經過點.(1)求橢圓C的方程；(2)設直線l交C于P，Q兩點，直線AP，AQ的斜率之和為，求l的斜率.【答案】(1)；(2)；【分析】（1）根據已知條件求得，由此求得橢圓的方程.（2）利用點差法、或設直線方程、或設直線方程、或齊次化的方法來求得的斜率.【詳解】（1）因為橢圓C的焦距為，且橢圓經過點，所以，，又，解得，，；故橢圓C的方程為.（2）法一：（點差法）設，，則，兩式相減，得，所以l的斜率.因為直線AP，AQ的斜率之和為0，所以，整理得①由得，所以，同理，因為所以，整理得②②①，得，，所以，即l的斜率為.法二：（設線）設l：，，，（討論斜率不存在不給分，因為此種情況明顯不符），消去y，整理得，所以，，因為直線AP，AQ的斜率之和為0，所以，所以，所以，所以，若，則直線l：過點A，不合題意，故舍去，所以，即l的斜率為.法三：設AP：，AQ：，，，，消去y，整理得，所以，因為，所以，同理，所以，，所以l的斜率.方法四：（齊次化巧解圓錐曲線問題）因為PQ不過，所以設PQ：C：，（‘1’的代換）化簡得，所以，所以l的斜率為.【點睛】求解橢圓方程的幾種方法:方法一：定義法，根據橢圓的定義直接求解，一般用題中所給的橢圓長短軸，焦點等信息就能直接算出橢圓方程.方法二：待定系數(shù)法，根據橢圓焦點位置，長短軸，先設出對應的橢圓方程，然后再代入已知條件求系數(shù).方法三：共焦點系方程：等等.類型二、直線與雙曲線的位置關系1．（2023年高考全國乙卷數(shù)學（理）真題）設A，B為雙曲線上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據點差法分析可得，對于A、B、D：通過聯(lián)立方程判斷交點個數(shù)，逐項分析判斷；對于C：結合雙曲線的漸近線分析判斷.【詳解】設，則的中點，可得，因為在雙曲線上，則，兩式相減得，所以.對于選項A：可得，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故A錯誤；對于選項B：可得，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故B錯誤；對于選項C：可得，則由雙曲線方程可得，則為雙曲線的漸近線，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故C錯誤；對于選項D：，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時，故直線AB與雙曲線有交兩個交點，故D正確；2．（2023屆河南省仿真測試三模理科數(shù)學試題）已知直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點，（不重合），的垂直平分線過點，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先求出的垂直平分線的方程，即可求出的中點坐標，設，，利用點差法得到，最后利用離心率公式計算可得.【詳解】因為直線，所以，由題可知的垂直平分線的方程為，將與聯(lián)立可得，即的中點坐標為．設，，則，且，，兩式作差可得，即，所以，則雙曲線的離心率為．3．（2023屆四川省診斷性檢測理科數(shù)學試題）雙曲線C：的離心率為，直線與C的兩條漸近線分別交于點A，B，若點滿足，則（

）A．或0 B．－2 C．或0 D．3【答案】C【分析】由雙曲線離心率及參數(shù)關系確定漸近線方程，聯(lián)立直線方程求坐標，進而求其中點P的坐標，根據及斜率兩點式求參數(shù)，注意討論、兩種情況.【詳解】由離心率為，有．由得：A的坐標為；由得：B的坐標為．設線段AB中點為P，則，且P的坐標為．當時，，解出．當時，符合條件．綜上所述，或．4．（2023年黑龍江省模擬數(shù)學試題）雙曲線與直線的公共點的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2【答案】C【分析】根據已知直線和雙曲線的漸近線的位置關系判斷即可.【詳解】因為雙曲線的漸近線方程為，所以，當時，直線與漸近線重合，此時直線與雙曲線無交點；當時，直線與漸近線平行，此時直線與雙曲線有一個交點.5．（2023年浙江省名校聯(lián)盟五科聯(lián)賽數(shù)學試題）已知雙曲線的左頂點為，過的直線與的右支交于點，若線段的中點在圓上，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】設線段的中點為，雙曲線的右頂點為，連接，則可得，然后在中利用余弦定理求得，則，從而可表示出，代入雙曲線方程化簡可求出離心率.【詳解】設線段的中點為，雙曲線的右頂點為，左右焦點為，連接，因為線段的中點在圓上，所以，所以≌，所以，因為，所以，在中，由余弦定理得，因為，所以，所以，過作軸于，則，所以，所以，得，所以，，所以，所以離心率，【點睛】關鍵點點睛：此題考查求雙曲線的離心率，考查直線與雙曲線的位置關系，解題的關鍵是由題意求得，然后在中利用余弦定理求出，從而可表示出點的坐標，考查數(shù)形結合的思想和計算能力，屬于較難題.6．（2024屆陜西省一模文科數(shù)學試題）設，為雙曲線上兩點，下列四個點中，可為線段中點的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據點差法分析可得，對于A、B、C：通過聯(lián)立方程判斷交點個數(shù)，逐項分析判斷；對于D：結合雙曲線的漸近線分析判斷.【詳解】設，則的中點，設直線的斜率為，可得，因為在雙曲線上，則，兩式相減得，所以.對于選項A：可得，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故A錯誤；對于選項B：可得，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故B錯誤；對于選項C：，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時，故直線AB與雙曲線有交兩個交點，故C正確；對于選項D：可得，則由雙曲線方程可得，則為雙曲線的漸近線，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故D錯誤；【點睛】關鍵點點睛：此題考查直線與雙曲線的位置關系，考查點差法，解題的關鍵是根據點差法得到，然后逐個分析判斷，考查計算能力，屬于較難題.7．已知雙曲線，過點作直線交雙曲線于，，若線段的中點在直線上，求直線的斜率．【答案】【分析】設的方程為，聯(lián)立直線與雙曲線方程，得到韋達定理，解方程，再檢驗即得解.【詳解】由題意可設的方程為，聯(lián)立，消去整理得．顯然，設，，則，解得，由解得，顯然不適合，適合，所以．8．（2023屆四川省二診模擬理科數(shù)學試題）雙曲線C：的左右焦點分別為，，離心率為2，過斜率為的直線交雙曲線于A，B，則.【答案】/【分析】根據雙曲線的離心率為2得，根據過的直線的斜率為，得到，然后分別在和中，利用余弦定理求得，然后在中，利用余弦定理求解.【詳解】因為雙曲線的離心率為2，則，因為過斜率為，所以，則，在中，設，則，由，解得，則，在中，設，則，由，解得，則，則，在中.9．（2023屆河北省聯(lián)考數(shù)學試題）如圖，已知過原點的直線與雙曲線相交于兩點，雙曲線的右支上一點滿足，若直線的斜率為3，則雙曲線的離心率為.【答案】【分析】取的中點，連接，先求得直線的斜率，然后利用點差法求得，進而求得雙曲線的離心率.【詳解】如圖，取的中點，連接，則，所以，設直線的傾斜角為，則，所以，所以直線的斜率為.設，則.由，得到.，所以，所以，則.故答案為：10．（2023屆河北省模擬數(shù)學試題）已知雙曲線：的左焦點為，其一漸近線的傾斜角為，過雙曲線右焦點的直線與交于、兩點．(1)求雙曲線的方程．(2)已知點，點，直線、與軸分別交于點、，若四邊形存在外接圓，求直線的方程．【答案】(1)；(2)；【分析】（1）由雙曲線過焦點以及漸近線的傾斜角列出的等量關系，求解的值，從而求出雙曲線方程；（2）設直線的方程為，與雙曲線聯(lián)立，韋達定理表示兩點坐標之間的關系，利用兩點坐標表示并計算兩點坐標，代入等式，化簡并計算可求出的取值，從而求出直線的方程.【詳解】（1）由題意知：，解得∴雙曲線的方程為（2）設直線的方程為聯(lián)立方程得設，則，直線為令，得∴點為同理，為∵四邊形存在外接圓需，即即得得∴直線為即類型三、直線與拋物線的位置關系1．（20232024學年四川省模擬文科數(shù)學試題）已知拋物線的焦點為F，過點P（2，0）的直線交拋物線于A，B兩點，直線AF，BF分別于拋物線交于點C，D．設直線AB，CD的斜率分別為，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】根據題意設直線的方程和直線的方程，分別與拋物線方程聯(lián)立得到，，，然后求即可.【詳解】

由題意得，設直線的方程為，，，，,聯(lián)立得，，設直線的方程為，聯(lián)立得，，同理可得，所以.2．（2023屆河北省二模數(shù)學試題）已知拋物線，直線與C的一個交點為M，F(xiàn)為拋物線C的焦點，O為坐標原點，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據拋物線的定義以及正弦定理得出結果.【詳解】如圖，拋物線C的準線，直線n與x軸交于點，過點M作準線n的垂線，垂足為Q，由拋物線的性質可得，所以，又，所以，故，即．3．（2024屆廣東省次聯(lián)考數(shù)學試題）過向拋物線引兩條切線，切點分別為,又點在直線上的射影為，則焦點與連線的斜率取值范圍是.【答案】.【分析】利用導數(shù)的幾何意義求得切線方程，進而得到直線的方程為，進而得到點的軌跡為以為直徑的圓，得到方程，過點與圓相切的直線的斜率為，結合直線與圓的位置關系，列出方程，即可求解.【詳解】設，不妨設，由，可得，可得，則，可得切線的方程為因為點在直線上，可得，同理可得：，所以直線的方程為，可得直線過定點，又因為在直線上的射影為，可得且，所以點的軌跡為以為直徑的圓，其方程為，當與相切時，由拋物線，可得，設過點與圓相切的直線的斜率為，可得切線方程為，則，解得或，所以實數(shù)的范圍為.故答案為：.4．（2023年山西省模擬數(shù)學試題）已知拋物線，過的直線交拋物線于兩點，且，則直線的方程為.【答案】【分析】根據中點坐標以及點差法即可求解斜率，進而由點斜式求直線方程.【詳解】因為在拋物線內部，又，所以是的中點.設，所以，即，又在拋物線上，所以，兩式作差，得，所以，所以直線的方程為，即.故答案為：5．（2021年全國高考乙卷數(shù)學（文）試題）已知拋物線的焦點F到準線的距離為2．（1）求C的方程;（2）已知O為坐標原點，點P在C上，點Q滿足，求直線斜率的最大值.【答案】（1）；（2）最大值為.【分析】（1）由拋物線焦點與準線的距離即可得解；（2）設，由平面向量的知識可得，進而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解.【詳解】（1）拋物線的焦點，準線方程為，由題意，該拋物線焦點到準線的距離為，所以該拋物線的方程為；（2）[方法一]：軌跡方程+基本不等式法設，則，所以，由在拋物線上可得，即，據此整理可得點的軌跡方程為，所以直線的斜率，當時，；當時，，當時，因為，此時，當且僅當，即時，等號成立；當時，；綜上，直線的斜率的最大值為.[方法二]：【最優(yōu)解】軌跡方程+數(shù)形結合法同方法一得到點Q的軌跡方程為．設直線的方程為，則當直線與拋物線相切時，其斜率k取到最值．聯(lián)立得，其判別式，解得，所以直線斜率的最大值為．[方法三]：軌跡方程+換元求最值法同方法一得點Q的軌跡方程為．設直線的斜率為k，則．令，則的對稱軸為，所以．故直線斜率的最大值為．[方法四]：參數(shù)+基本不等式法由題可設．因為，所以．于是，所以則直線的斜率為．當且僅當，即時等號成立，所以直線斜率的最大值為．【整體點評】方法一根據向量關系，利用代點法求得Q的軌跡方程，得到直線OQ的斜率關于的表達式，然后利用分類討論，結合基本不等式求得最大值；方法二同方法一得到點Q的軌跡方程，然后利用數(shù)形結合法，利用判別式求得直線OQ的斜率的最大值，為最優(yōu)解；方法三同方法一求得Q的軌跡方程，得到直線的斜率k的平方關于的表達式，利用換元方法轉化為二次函數(shù)求得最大值，進而得到直線斜率的最大值；方法四利用參數(shù)法，由題可設，求得x,y關于的參數(shù)表達式，得到直線的斜率關于的表達式，結合使用基本不等式，求得直線斜率的最大值.6．（20232024學年河南省一模數(shù)學試題）已知拋物線的焦點為，點，過的直線垂直于，且交拋物線于兩點，則（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】D【分析】方法1：聯(lián)立直線與，設，，得出韋達定理，代入坐標求解即可；方法2：設點，在準線上的射影分別為點，，根據幾何關系可證得，可得即可.【詳解】（方法1）易知焦點，故，則，故直線的方程為，代入得，，設，，則，，.（方法2）設點，在準線上的射影分別為點，，如圖，易知，，，則，則，同理，則，又，由此可得，故.類型四、弦長問題1．（2023年四川省模擬數(shù)學（理）試題）已知拋物線的方程為，過其焦點的直線交拋物線于兩點，若，（

）A． B．3 C． D．2【答案】C【分析】設出直線方程與拋物線聯(lián)立，利用韋達定理和焦點弦公式代入計算可求得.【詳解】如下圖所示：易知，不妨設；設直線的方程為，與聯(lián)立消去得，,由韋達定理可知；由可得；聯(lián)立解得，即；根據焦點弦公式可得；代入計算可得.2．過點作兩條直線與拋物線相切于點A，B，則弦長等于（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】A【分析】利用直線與拋物線相切設直線方程求切點，利用兩點距離公式計算即可.【詳解】由題意直線斜率存在，可設過點的切線方程為，與拋物線方程聯(lián)立可得：，所以，解之得，如圖所示，設，則，當時，，即，當時，，即，所以.3．（2022年全國新高考II卷數(shù)學試題）已知直線l與橢圓在第一象限交于A，B兩點，l與x軸，y軸分別交于M，N兩點，且，則l的方程為．【答案】【分析】令的中點為，設，，利用點差法得到，設直線，，，求出、的坐標，再根據求出、，即可得解；【詳解】[方法一]：弦中點問題：點差法令的中點為，設，，利用點差法得到，設直線，，，求出、的坐標，再根據求出、，即可得解；解：令的中點為，因為，所以，設，，則，，所以，即所以，即，設直線，，，令得，令得，即，，所以，即，解得或（舍去），又，即，解得或（舍去），所以直線，即；故答案為：[方法二]：直線與圓錐曲線相交的常規(guī)方法解：由題意知，點既為線段的中點又是線段MN的中點，設，，設直線，，，則，，，因為，所以聯(lián)立直線AB與橢圓方程得消掉y得其中，∴AB中點E的橫坐標,又，∴∵，，∴,又，解得m=2所以直線，即4．（2024屆福建省質量監(jiān)測（一）數(shù)學試題）已知拋物線的焦點為，過點的直線與交于不同的兩點，.若，則.【答案】/【分析】根據給定條件，結合拋物線的定義求出點N的坐標，進而求出直線的方程，再與拋物線方程聯(lián)立求出點M的坐標作答.【詳解】拋物線的焦點為，設，由拋物線的對稱性不妨令，如圖，顯然，而，則，，于是直線的方程為，由得，解得，所以.5．（2024屆內蒙古質量監(jiān)測理科數(shù)學試題）已知雙曲線C：，若雙曲線C的一條弦的中點為，則這條弦所在直線的斜率為（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】運用點差法，結合一元二次方程根與系數(shù)的關系進行求解判斷即可.【詳解】設該弦為，設，則有，兩式相減，得，因為雙曲線C的一條弦的中點為，所以，因此由，即這條弦所在直線的斜率為，方程為，代入雙曲線方程中，得，因為，所以該弦存在.6．（2023屆四川省名校高全真模擬考試（二）理科數(shù)學試題）已知直線與雙曲線相交于A，B兩點，點在第一象限，經過點且與直線垂直的直線與雙曲線的另外一個交點為，點在軸上，，點為坐標原點，且，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出輔助線，設，根據點差法得到，由垂直關系得到，結合求出，由得到方程，求出，求出漸近線方程.【詳解】根據題意，畫出示意圖，如圖所示．因為，所以B、N、M三點共線．設線段BM的中點為，連接OQ，根據題意，顯然可得點為線段AB的中點，所以，設，，，．因為點B，M都在雙曲線上，則兩式相減，得，即．而，，所以，即．又因為，則，即，所以，即，所以．又，則，即，故，所以．而，故，即，則雙曲線的漸近線方程為：．【點睛】方法點睛：直線與圓錐曲線相交涉及中點弦問題，常用點差法，該法計算量小，模式化強，易于掌握，若相交弦涉及的定比分點問題時，也可以用點差法的升級版—定比點差法，解法快捷.7．（2023屆重慶市適應性月考（六）數(shù)學試題）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過作直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于A，B兩點，設P為線段AB的中點，若，則雙曲線的離心率為．【答案】/【分析】由可得點P，求得,由點差法得,可求得離心率.【詳解】如圖:,由,,可得點P的坐標為，則直線OP斜率為,直線AB斜率為，另一方面，設則,兩式相減得,整理得,即，故．故答案為:8．（2024屆安徽省聯(lián)考數(shù)學試題）過拋物線的焦點的直線與交于、兩點，且，為坐標原點，則的面積為.【答案】【分析】分析可知，直線的斜率存在，設直線的方程為，設點、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，由，可得出，結合韋達定理求出的值，求出以及原點到直線的距離，利用三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】易知，拋物線的焦點為，若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意，所以，直線的斜率存在，設直線的方程為，設點、，聯(lián)立可得，則，故，，又，即，即，所以，，可得，，解得.此時，又因為原點到直線的距離為，故的面積為.9．（2023屆湖北省壓軸卷數(shù)學試題（二））已知橢圓的左焦點為，離心率為．傾斜角為的直線與交于兩點，并且滿足，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設，用弦長公式表示出，用兩點間的距離公式結合點在橢圓上的條件表示出，代入題干條件即可求解.【詳解】設，則，由，消去，得，注意到，則.于是，同理，.因此.的傾斜角為，∴直線的斜率，根據弦長公式，可得.由，可得，故.．10．（2023年湖南省模擬數(shù)學試題）直線與橢圓相交于不同的兩點,若的中點的橫坐標為,則弦長的值.【答案】【分析】利用點差法可構造關于斜率的方程，求得斜率；將直線方程代入橢圓方程可得韋達定理的結論，利用弦長公式可求得結果.【詳解】設，，中點為，在直線上，；由得：，，即，解得：，直線方程為，由得：，，，.11．已知直線與橢圓交于M、N兩點，且.求直線的方程．【答案】或.【分析】設，聯(lián)立直線與橢圓方程，寫出韋達定理，利用弦長公式可以求出.【詳解】設，由消去y并化簡得，所以,由，得，所以，所以，即，化簡得，所以，所以.故直線方程為或.類型五、圓錐曲線中的對稱問題1．雙曲線C：的左、右焦點為，，點P在雙曲線C的右支上，點P關于原點的對稱點為Q，則.【答案】4【分析】根據雙曲線的對稱性及定義即可求解.【詳解】由題意.如圖，連接，，則點Q在雙曲線C的左支上，由雙曲線的對稱性知，，，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以由雙曲線的定義得.2．（2023年陜西省模擬理科數(shù)學試題）已知拋物線：與圓：在第一象限交于，兩點，設關于軸的對稱點為，則直線的斜率為（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】聯(lián)立方程求出兩點橫坐標，然后利用兩點斜率公式求解即可.【詳解】聯(lián)立消去y得，又，，又，所以，所以，因為關于軸的對稱點為，所以，所以直線的斜率為.3．（2023屆上海市模擬數(shù)學試題）不與軸重合的直線經過點，雙曲線：上存在兩點A，B關于對稱，AB中點M的橫坐標為，若，則的值為.【答案】【分析】由點差法得，結合得，代入斜率公式化簡并利用可求得.【詳解】設，則，兩式相減得，即，即，所以，因為是AB垂直平分線，有，所以，即，化簡得，故，則.4．（20232024學年四川省“零診”考試數(shù)學試題（文科））拋物線有如下光學性質：過焦點的光線經拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線的焦點為，一條平行于軸的光線從點射出，經過拋物線上的點反射后，再經拋物線上的另一點射出，則．【答案】【分析】由題意求出B點坐標，繼而求出直線BC的方程，聯(lián)立拋物線方程，求得點C坐標，即可求得答案.【詳解】如圖，由題意可知軸，，將代入中得，即,又，則，故的方程為，聯(lián)立，可得，解得，或（此時C與B關于x軸對稱，不合題意），則，故.5．（2023屆貴州省統(tǒng)一考試數(shù)學（理）試題）已知拋物線上兩點A，B關于點對稱，則直線AB的斜率為.【答案】2【分析】根據點差法求得直線AB的斜率，并驗證判別式大于零.【詳解】設，代入拋物線，得，則①，因為兩點A，B關于點對稱，則，所以由①得，直線AB的斜率為2.則直線AB：與代入拋物線聯(lián)立，得，，解得.所以直線AB的斜率為2.6．已知是拋物線上的兩個點，O為坐標原點，若且的垂心恰是拋物線的焦點，則直線的方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據題意，結合拋物線的對稱性，得到關于軸對稱，設直線的方程為，由的垂心恰好是拋物線的焦點，得到，根據，列出方程，即可求解.【詳解】由點是拋物線上的兩點，且，根據拋物線的對稱性，可得關于軸對稱，設直線的方程為，則，因為的垂心恰好是拋物線的焦點，所以，可得，即，解得，即直線的方程為.7．（20232024學年四川省模擬考試文科數(shù)學試題）已知A、B是橢圓與雙曲線的公共頂點，P是雙曲線上一點，PA，PB交橢圓于M，N．若MN過橢圓的焦點F，且，則雙曲線的離心率為．【答案】/【分析】由直線斜率公式結合點在曲線上可得，再由正切的和角的公式得到，結合雙曲線離心率公式即可得解.【詳解】由題意可知：如圖，設，可得直線的斜率分別為，因為點在雙曲線上，則，整理得，所以，設點，可得直線的斜率，因為點在橢圓上，則，整理得，所以，即，可得，所以直線與關于軸對稱，又因為橢圓也關于軸對稱，且過焦點，則軸，令，則，因為，，則，解得，所以雙曲線的離心率.【點睛】方法點睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的三種方法：定義法：通過已知條件列出方程組，求得得值，根據離心率的定義求解離心率；齊次式法：由已知條件得出關于的二元齊次方程，然后轉化為關于的一元二次方程求解；特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.類型六、圓錐曲線中的范圍最值問題1．（2023年內蒙古模擬理科數(shù)學試題）在橢圓上求一點，使點到直線的距離最大時，點的坐標為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據題意可知，當點在第三象限且橢圓在點處的切線與直線平行時，點到直線的距離取得最大值，可設切線方程為，將切線方程與橢圓方程聯(lián)立，求出的值，利用平行線間的距離公式可求得結果.【詳解】如下圖所示：根據題意可知，當點在第三象限且橢圓在點處的切線與直線平行時，點到直線的距離取得最大值，可設切線方程為，聯(lián)立，消去整理可得，，因為，解得，所以，橢圓在點處的切線方程為，因此，點到直線的距離的最大值為,聯(lián)立，可得點的坐標為.2．（20232024學年江蘇省學情檢測數(shù)學試題）經過橢圓的右焦點作傾斜角為的直線，交橢圓于兩點，則．【答案】/【分析】將直線方程與橢圓方程聯(lián)立后可得韋達定理的結論，結合韋達定理可求得結果.【詳解】由橢圓方程得：右焦點，則直線方程為：，由得：，則，，，.3．（2023年高三數(shù)學（理科）押題卷四試題）已知雙曲線的實軸長為4，離心率為，直線與交于兩點，是線段的中點，為坐標原點．若點的橫坐標為，則的取值范圍為．【答案】【分析】先求出雙曲線方程，然后聯(lián)立直線和雙曲線方程表示出，然后判斷出直線和雙曲線一定交于兩支后進行計算.【詳解】由題知，解得，即雙曲線的方程為：.直線的斜率若不存在，則垂直于軸，由于雙曲線頂點為，斜率不存在的直線和雙曲線有交點，則兩個交點橫坐標相等且均大于，與點的橫坐標為1矛盾；直線的斜率也不會為，否則根據對稱性可知，的橫坐標為，矛盾.故直線斜率存在且非零.設直線方程為，聯(lián)立，得到，由.設，由題意，，即，的縱坐標為，即.根據雙曲線的范圍可知，若直線和雙曲線交于同一支，則交點橫坐標均大于或小于，與的橫坐標為矛盾，故直線和雙曲線交于兩支.由，得到，顯然滿足判別式條件：.由，于是4．（20232024學年湖南省模擬數(shù)學試題）已知直線：與拋物線：交于，兩個不同的點，為的中點，為的焦點，直線與軸交于點，則的取值范圍是.【答案】【分析】根據中點坐標公式，結合一元二次方程根與系數(shù)的關系、根的判別式、平面向量數(shù)量積的坐標表示公式進行求解即可.【詳解】由可知：，因為直線在縱軸的截距為，所以點的坐標為，由，因為直線：與拋物線：交于，兩個不同的點，所以，設，則有，所以，所以，，所以的取值范圍是.【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是利用一元二次方程求出的取值范圍.5．（2023屆江西省模擬文科數(shù)學試題）已知拋物線的焦點為，傾斜角為的直線過點，且與拋物線交于兩點，，設直線的斜率分別為，則．【答案】0【分析】當直線l的斜率時，設直線l的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，結合韋達定理得出.【詳解】由題意，設其傾斜角為，,故，則，故l的方程為，與的方程聯(lián)立得，顯然，設，則，所以，6．（20232024學年江蘇省診斷測試數(shù)學試題）過點能作雙曲線的兩條切線，則該雙曲線離心率的取值范圍為.【答案】【分析】分析可知，切線的斜率存在，設切線方程為，將切線方程與雙曲線的方程聯(lián)立，由可得出關于的方程，可知方程有兩個不等的實數(shù)根，求出的取值范圍，即可求得該雙曲線的離心率的取值范圍.【詳解】當過點的直線的斜率不存在時，直線的方程為，由可得，故直線與雙曲線相交，不合乎題意；當過點的直線的斜率存在時，設直線方程為，即，聯(lián)立可得，因為過點能作雙曲線的兩條切線，則，可得，由題意可知，關于的二次方程有兩個不等的實數(shù)根，所以，，可得，又因為，即，因此，關于的方程沒有的實根，所以，且，解得，即，當時，，當時，，綜上所述，該雙曲線的離心率的取值范圍是.7．（2023屆江蘇省八校聯(lián)盟適應性檢測（三模）數(shù)學試題）已知雙曲線，過其右焦點的直線與雙曲線交于、兩點，已知，若這樣的直線有條，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】記，分析可知雙曲線的實軸長和通徑長不可能同時為，可知直線的斜率存在且不為零，設直線的方程為，其中，設點、，將直線的方程與雙曲線方程聯(lián)立，列出韋達定理，結合弦長公式可得出關于的方程由四個不等的實數(shù)解，可得出關于實數(shù)的不等式組，綜合可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】記，若直線與軸重合，此時，；若直線軸時，將代入雙曲線方程可得，此時，當時，則，此時，；當，可得，則，所以，雙曲線的實軸長和通徑長不可能同時為；當直線與軸不重合時，記，則點，設直線的方程為，其中，設點、，聯(lián)立可得，由題意可得，可得，，由韋達定理可得，，所以，，即，所以，關于的方程由四個不等的實數(shù)解.當時，即當時，可得，可得，整理可得，因為，解得；當時，即當，可得，可得，整理可得，可得.綜上所述，.故答案為：.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中取值范圍問題的五種求解策略：（1）利用圓錐曲線的幾何性質或判別式構造不等關系，從而確定參數(shù)的取值范圍；（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關系；（3）利用隱含的不等關系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（4）利用已知的不等關系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（5）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.類型七、圓錐曲線在新情景中應用1．（2023屆貴州省數(shù)學（理科）樣卷（二）試題）加斯帕爾蒙日是1819世紀法國著名的幾何學家．如圖，他在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓”．若長方形的四邊均與橢圓相切，則下列說法錯誤的是（

）A．橢圓的離心率為 B．橢圓的蒙日圓方程為C．若為正方形，則的邊長為 D．長方形的面積的最大值為18【答案】D【分析】由橢圓標準方程求得后再求得，從而可得離心率，利用特殊的長方形（即邊長與橢圓的軸平行）求得蒙日圓方程，從而可得長方形邊長的關系，結合基本不等式得面積最大值，并得出長方形為正方形時的邊長．【詳解】由橢圓方程知，，則，離心率