機械優(yōu)化設(shè)計期末考試試卷

機械優(yōu)化設(shè)計期末復(fù)習(xí)題

一、填空題

[組成優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型的三要素是設(shè)計變量、目標(biāo)函數(shù)、約

束條件O

2.函數(shù)/(X1，w)=k+X22-4x^+5在:點處的梯度為J/],海賽矩陣為

'2-4'

-42_

3.目標(biāo)函數(shù)是一項設(shè)計所追求的指標(biāo)的數(shù)學(xué)反映，因此對它最基本的要求

是能用來評價設(shè)計的優(yōu)劣，,同時必須是設(shè)計變量的可計算函數(shù)。

4.建立優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型的基本原則是確切反映工程實際問題,的基

礎(chǔ)上力求簡潔。

5.約束條件的尺度變換常稱規(guī)格化,這是為改善數(shù)學(xué)模型性態(tài)常用的一

種方法。

6.隨機方向法所用的步長一般按加速步長法來確定,此法是指依次

迭代的步長按一定的比例遞增的方法。

7.最速下降法以_負(fù)梯度方向作為搜索方向,因此最速下降法又稱為

梯度法,其收斂速度較」1—o

8.二元函數(shù)在某點處取得極值的必要條件是“(x0)=0,充分條件是該

點處的海賽矩陣正定

9.拉格朗日乘子法的基本思想是通過增加變量將等式約束優(yōu)化問題

變成無約束優(yōu)化問題,這種方法又被稱為ft維法。

10改變復(fù)合形形狀的搜索方法主要有反射，擴張，收縮，壓縮

11坐標(biāo)輪換法的基本思想是把多變量的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為單變量的優(yōu)化

問題

12.在選擇約束條件時應(yīng)特別注意避免出現(xiàn)相互矛盾的約束，，另

外應(yīng)當(dāng)盡量減少不必要的約束。

13.目標(biāo)函數(shù)是n維變量的函數(shù)，它的函數(shù)圖像只能在n+1,空間中描

述出來，為了在n維空間中反映目標(biāo)函數(shù)的變化情況，常采用門標(biāo)函數(shù)

等值面的方法。

Mkk

14.數(shù)學(xué)規(guī)劃法的迭代公式是—x=x+akd_,其核心是建立搜索方

向，—和計算最佳步長。

15協(xié)調(diào)曲線法是用來解決設(shè)計日標(biāo)互相矛盾的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計問題

的。

16.機械優(yōu)化設(shè)計的一般過程中，建立優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型是首要和關(guān)

鍵的一步，它是取得正確結(jié)果的前提。

二、選擇題

1、下面方法需要求海賽矩陣。

A、最速下降法

B、共舸梯度法

C、牛頓型法

D、DFP法

2、對于約束問題

min/(X)=X；+x；-4x2+4

g/X)=X1—門―120

g?(X)=3-xRO

g3(X)=x2>0

根據(jù)目標(biāo)函數(shù)等值線和約束曲線，判斷小)=[l,l]r為____________,

X(2)=g1『為O

A.內(nèi)點；內(nèi)點

B.外點；外點

C.內(nèi)點；外點

D.外點；內(nèi)點

3、內(nèi)點懲罰函數(shù)法可用于求解優(yōu)化問題。

A無約束優(yōu)化問題

B只含有不等式約束的優(yōu)化問題

C只含有等式的優(yōu)化問題

D含有不等式和等式約束的優(yōu)化問題

4、拉格朗日乘子法是求解等式約束優(yōu)化問題的一種經(jīng)典方法，它是一種

A、降維法

B、消元法

C、數(shù)學(xué)規(guī)劃法

D、升維法

5、對于一維搜索，搜索區(qū)間為[a,b],中間插入兩個點a、b-ai<b.,計

算出f⑸)則縮短后的搜索區(qū)間為0

A[a”bj

B[b”b]

C[a”b]

D[a,bj

6、不是優(yōu)化設(shè)計問題數(shù)學(xué)模型的基本要素。

A設(shè)計變量

B約束條件

C目標(biāo)函數(shù)

D最佳步長

7、變尺度法的迭代公式為xk”=xJakHkVf(xk),下列不屬于乩必須滿足的

條件的是o

A.凡之間有簡單的迭代形式

B.擬牛頓條件

C.與海塞矩陣正交

D.對稱正定

8、函數(shù)/(X)在某點的梯度方向為函數(shù)在該點的o

A、最速上升方向

B、上升方向

C、最速下降方向

D、下降方向

9、下面四種無約束優(yōu)化方法中，在構(gòu)成搜索方向時沒有使用

到目標(biāo)函數(shù)的一階或二階導(dǎo)數(shù)。

A梯度法

B牛頓法

C變尺度法

D坐標(biāo)輪換法

10、設(shè)/(X)為定義在凸集R上且具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則/(X)在R

上為凸函數(shù)的充分必要條件是海塞矩陣G(X)在R上處處o

A正定

B半正定

C負(fù)定

D半負(fù)定

11、通常情況下，下面四種算法中收斂速度最慢的是

A牛頓法

B梯度法

C共匏梯度法

D變尺度法

12、一維搜索試探方法——黃金分割法比二次插值法的收斂速

度-

A、慢

B、快

C、一樣

D、不確定

13、下列關(guān)于最常用的一維搜索試探方法—黃金分割法的敘述，錯誤的

是,假設(shè)要求在區(qū)間［a,b］插入兩點a、Ok,且a1〈Ct。

A、其縮短率為0.618

B、ai=b-X(b-a)

C、ai=a+X(b-a)

D、在該方法中縮短搜索區(qū)間采用的是外推法。

14、與梯度成銳角的方向為函數(shù)值方向，與負(fù)梯度成銳角的方向為

函數(shù)值______

方向，與梯度成直角的方向為函數(shù)值方向。

A、上升

B、下降

C、不變

D、為零

15、二維目標(biāo)函數(shù)的無約束極小點就是o

A、等值線族的一個共同中心

B、梯度為0的點

C、全局最優(yōu)解

D、海塞矩陣正定的點

16、最速下降法相鄰兩搜索方向dk和cT必為向量。

A相切

B正交

C成銳角

D共軌

17、下列關(guān)于共輾梯度法的敘述，錯誤的是o

A需要求海賽矩陣

B除第一步以外的其余各步的搜索方向是將負(fù)梯度偏轉(zhuǎn)一個角度

C共甄梯度法具有二次收斂性

D第一步迭代的搜索方向為初始點的負(fù)梯度

18、下列關(guān)于內(nèi)點懲罰函數(shù)法的敘述，錯誤的是o

A可用來求解含不等式約束和等式約束的最優(yōu)化問題。

B懲罰因子是不斷遞減的正值

C初始點應(yīng)選擇一個離約束邊界較遠(yuǎn)的點。

D初始點必須在可行域內(nèi)

三、問答題

1.什么是內(nèi)點懲罰函數(shù)法？什么是外點懲罰函數(shù)法？他們適用的優(yōu)化問

題是什么？在構(gòu)造懲罰函數(shù)時，內(nèi)點懲罰函數(shù)法和外點懲罰函數(shù)法的懲罰

因子的選取有何不同？

1)內(nèi)點懲罰函數(shù)法是將新目標(biāo)函數(shù)定義于可行域內(nèi)，序列迭代點在可

行域內(nèi)逐步逼近約束邊界上的最優(yōu)點。內(nèi)點法只能用來求解具有不等

式約束的優(yōu)化問題。內(nèi)點懲罰函數(shù)法的懲罰因子是由大到小，且趨

近于0的數(shù)列。相鄰兩次迭代的懲罰因子的關(guān)系為d=c/U=L2,…)c

為懲罰因子的縮減系數(shù)，其為小于1的正數(shù)，通常取值范圍在0.1?0.7

2)外點懲罰函數(shù)法簡稱外點法，這種方法新目標(biāo)函數(shù)定義在可行域之

外，序列迭代點從可行域之外逐漸逼近約束邊界上的最優(yōu)點。外點法

可以用來求解含不等式和等式約束的優(yōu)化問題。外點懲罰函數(shù)法的懲

罰因子，它是由小到大，且趨近于8的數(shù)列。懲罰因子按下式遞增

/=cr"X=l,2,...),式中c為懲罰因子的遞增系數(shù)，通常取c=5?10

2.為什么說共輒梯度法實質(zhì)上是對最速下降法進(jìn)行的一種改進(jìn)？.

答：共輾梯度法是共舸方向法中的一種，在該方法中每一個共朝向量

都依賴于迭代點處的負(fù)梯度構(gòu)造出來的。共輾梯度法的第一個搜索方向取

負(fù)梯度方向，這是最速下降法。其余各步的搜索方向是將負(fù)梯度偏轉(zhuǎn)一個

角度，也就是對負(fù)梯度進(jìn)行修正。所以共輒梯度法的實質(zhì)是對最速下降法

的一種改進(jìn)。

四、計算題

1、用外點法求解此數(shù)學(xué)模型

min/(X)=x

sJ.g(x)=1-x<0

2將/(x)=2x；+6x；+2xtx2+2芯+3x2+3寫成標(biāo)準(zhǔn)二次函數(shù)矩陣的形式。

min/(Jf)=X1+x2

3用外點法求解此數(shù)學(xué)模型：s./g(X)=x；-X240

g2(X)=-x,<0

4求出/(x)=2x；-6x,+2xl-4X2+20的極值及極值點。

，

min/(X)=1(x1+l)+x2

5用外點法求解此數(shù)學(xué)模型：s￡g/X)=F+lM0

g2(X)=x2>0

6.用內(nèi)點法求下列問題的最優(yōu)解:

min/(x)=x：+x：-2x]+1

g]=3-》2<0

2

(提?。嚎蓸?gòu)造懲罰函數(shù)</>(x,r))-r^ln[gu(x)],然后用解析法求

u=1

解。)。

7.設(shè)已知在二維空間中的點*=卜x2r,并已知該點的適時約束的梯度

Vg=[-1T"目標(biāo)函數(shù)的梯度V/=[-0.5『，試用簡化方法確定一

個適用的可行方向。

22

8.用梯度法求下列無約束優(yōu)化問題：MinF(X)=X1+4X2,設(shè)初始點取為

X(o)=[22]\以梯度模為終止迭代準(zhǔn)則，其收斂精度為5。

9.對邊長為3m的正方形鐵板，在四個角處剪去相等的正方形以制成方形

無蓋水槽，問如何剪法使水槽的容積最大？建立該問題的優(yōu)化設(shè)計的

數(shù)學(xué)模型。

10.已知約束優(yōu)化問題：

min/(x)=4x,-x1-12

s-tg,(x)=x,2+%2-25<0

g2(X)=-X]<0

g3(x)=-x2<0

試以x：=[2『，只=[33r為復(fù)合形的初始頂點，用復(fù)合形

法進(jìn)行一次迭代計算。

11.使用黃金分割法確定函數(shù)〃x)=3x3—4x+2的極值點。初始點

X。—0,力=1,￡=0.8o

(使用進(jìn)退法先確定初始區(qū)間)

12.用阻尼牛頓法求函數(shù)"X)=片+25焉的極小點。

13.利用庫恩-塔克條件判斷X*=[1,O]點是不是下列優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型的

極值點？

min/(X)=(X]-2)~+x；

s.t.g](X)=x；+》2-140

g2(X)=-x,<0

g3(X)=-吃<0

四、解答題

1、試用梯度法求目標(biāo)函數(shù)f(X)=l.5x「+0.5x2?-XIX2-2XI的最優(yōu)解，設(shè)初始

點x(°)=[-2,4『，選代精度￡=0.02(迭代一步)。

2、試用牛頓法求f(X)=(X「2)2+(X「2X，2的最優(yōu)解，設(shè)初始點X(0)=[2,11TO

22

3、設(shè)有函數(shù)f(X)=x,+2x2-2x1x2-4x1,試?yán)脴O值條件求其極值點和極值。

4、求目標(biāo)函數(shù)f(X)=X：+XIX2+2X22+4XI+6X2+10的極值和極值點。

222T

5、試證明函數(shù)f(X)=2XI+5X2+x3+2x3x2+2x3x-6x2+3在點[1,1,-2]

處具有極小值。

6、給定約束優(yōu)化問題

22

minf(X)=(Xi-3)+(X2-2)

22

s.t.gi(X)=XI+X2-5<0

g2(X)=XI+2X2-4<0

g3(X)=-X!<0

g.4(X)=-x2<0

驗證在點x=[2,『Kuhn-Tucker條件成立。

7、設(shè)非線性規(guī)劃問題

min/(X)=(X[—2)2+

si-gl(X)=-x1<0

g2(X)=-x2<0

g3(X)=-x；+E-lW0

用K-T條件驗證X*=「Of為其約束最優(yōu)點。

8、用共枕梯度法求函數(shù)/(芯,》2)='|*；-中2-2須的極小點。

9、已知目標(biāo)函數(shù)為f(X)=X1+X2,受約束于：

2

gi(X)=-XI+X2>0

g2(X)=Xi>0

寫出內(nèi)點罰函數(shù)。

22

10、已知目標(biāo)函數(shù)為f(X)=(X-1)+(X2+2)

受約束于:gi(X)=-x2-Xi-l>0

g2(X)=2-XI-X2>0

g3(X)=Xi>0

gi(X)=x2>0

試寫出內(nèi)點罰函數(shù)。

11、如圖，有一塊邊長為6m的正方形鋁板，四角截去相等的邊長為x的

方塊并折轉(zhuǎn)，造一個無蓋的箱子，問如何截法(x取何值)才能獲得最大

容器的箱子。試寫出這一優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型以及用MATLAB軟件求解的

程序。

12、某廠生產(chǎn)一個容積為8000cm3的平底無蓋的圓柱形容器，要求設(shè)計此

容器消耗原材料最少，試寫出這一優(yōu)化問