高中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)文化鑒賞與學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)與美術(shù)教師版

數(shù)學(xué)與美術(shù)數(shù)學(xué)與藝術(shù)之?dāng)?shù)學(xué)與藝術(shù)藝術(shù)的美感是與數(shù)學(xué)分不開(kāi)的，比如幾何中一些數(shù)量比例關(guān)系-黃金分割必，又如數(shù)學(xué)中分形學(xué)-局部與整體相似也體現(xiàn)了局部與整體美，中國(guó)古代的陶器也體現(xiàn)了古人對(duì)美學(xué)的認(rèn)識(shí)，讓我們一起來(lái)研究吧．一、好題賞析例1．1．人們一般把邊長(zhǎng)之比為黃金分割比的矩形稱為黃金矩形，即黃金矩形的短邊為長(zhǎng)邊的.黃金矩形能夠給畫(huà)面帶來(lái)美感，令人愉悅，在很多藝術(shù)品以及大自然中都能找到它.巴特農(nóng)神廟的部分輪廓就是黃金矩形（如下圖所示）.則圖中的正切值等于（

）A． B．C． D．2例2．2．?dāng)?shù)學(xué)中處處存在著美，機(jī)械學(xué)家萊洛發(fā)現(xiàn)的萊洛三角形就給人以對(duì)稱的美感.萊洛三角形的畫(huà)法∶先畫(huà)等邊三角形ABC，再分別以點(diǎn)A，B，C為圓心，線段AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓弧，便得到萊洛三角形（如圖所示）.若萊洛三角形的周長(zhǎng)為2π，則其面積是（）A． B．C． D．二、小試牛刀3．《易經(jīng)》是闡述天地世間關(guān)于萬(wàn)象變化的古老經(jīng)典，如圖所示的是《易經(jīng)》中記載的兒何圖形一八卦圖．圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽(yáng)太極圖其余八塊面積相等的圖形代表八卦圖．已知正八邊形的邊長(zhǎng)為2，是正八邊形內(nèi)的一點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．把一條線段分為兩部分，使其中一部分與全長(zhǎng)之比等于另一部分與這部分之比，其比值是一個(gè)無(wú)理數(shù)，由于按此比例設(shè)計(jì)的造型十分美麗柔和，因此稱為黃金分割，黃金分割不僅僅體現(xiàn)在諸如繪畫(huà)、雕塑、音樂(lè)、建筑等藝術(shù)領(lǐng)域，而且在管理、工程設(shè)計(jì)等方面也有著不可忽視的作用.在中，點(diǎn)D為線段的黃金分割點(diǎn)（），，，，則（

）A． B． C． D．5．國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME）是世界數(shù)學(xué)教育規(guī)模最大、水平最高的學(xué)術(shù)性會(huì)議.第十四屆大會(huì)于2021年7月11日~18日在上海市華東師范大學(xué)成功舉辦，其會(huì)標(biāo)如圖，包含著許多數(shù)學(xué)元素.主畫(huà)面是非常優(yōu)美的幾何化的中心對(duì)稱圖形，由弦圖、圓和螺線組成，主畫(huà)面標(biāo)明的ICME-14下方的“”是用中國(guó)古代八進(jìn)制的計(jì)數(shù)符號(hào)寫(xiě)出的八進(jìn)制數(shù)3744，也可以讀出其二進(jìn)制碼（0）11111100100，受疫情影響，第十四屆大會(huì)在原定的舉辦時(shí)間上有所推遲，已知上述二進(jìn)制和八進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制，即是第十四屆大會(huì)原定的舉辦時(shí)間，則第十四屆數(shù)學(xué)教育大會(huì)原定于（）年舉行.A．2018 B．2019 C．2020 D．20216．中國(guó)剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋，用于裝點(diǎn)生活或配合其他民俗活動(dòng)的民間藝術(shù)，蘊(yùn)涵了極致的數(shù)學(xué)美和豐富的傳統(tǒng)文化信息現(xiàn)有一幅剪紙的設(shè)計(jì)圖，其中的4個(gè)小圓均過(guò)正方形的中心，且內(nèi)切于正方形的兩鄰邊若在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自黑色部分的概率為（

）A． B． C． D．7．圓的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)與圓的半徑的比例稱為白銀比例，它在東方文化中的重要程度不亞于西方文化中的“黃金比例”．山西應(yīng)縣釋迦塔（即著名的應(yīng)縣木塔），是中國(guó)現(xiàn)存較為古老的木構(gòu)塔式建筑．該木塔總高度與頂層檐柱柱頭以下部分的高度之比與白銀比例高度吻合．已知木塔頂層檐柱柱頭以下部分的高度為米，則應(yīng)縣木塔的總高度大約是（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．米 B．米C．米 D．米8．用數(shù)學(xué)的眼光看世界就能發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)之“美”.現(xiàn)代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇.衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的曲率.若曲線與在處的曲率分別為，，（

）A． B． C．4 D．29．17世紀(jì)德國(guó)著名的天文學(xué)家開(kāi)普勒曾經(jīng)這樣說(shuō)過(guò)：“幾何學(xué)里有兩件寶，一個(gè)是勾股定理，另一個(gè)是黃金分割.如果把勾股定理比作黃金礦的話，那么可以把黃金分割比作鉆石礦.”黃金三角形有兩種，其中底與腰之比為黃金分割比的黃金三角形被認(rèn)為是最美的三角形，它是一個(gè)頂角為36°的等腰三角形（另一種是頂角為108°的等腰三角形）.例如，五角星由五個(gè)黃金三角形與一個(gè)正五邊形組成，如圖所示，在其中一個(gè)黃金中，.根據(jù)這些信息，可得（

）A． B． C． D．10．分形理論是一門(mén)新的學(xué)科，其中把部分與整體以某種方式相似的形體稱為分形.在分形中，每一組成部分都在特征上和整體相似，只僅僅是變小了一些而已，謝爾賓斯基三角形就是一種典型的分形，是由波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基在1915年提出的，按照如下規(guī)律依次在一個(gè)黑色三角形內(nèi)去掉小三角形，則當(dāng)時(shí)，該黑色三角形內(nèi)共去掉小三角形的個(gè)數(shù)為（

）A．40 B．81 C．121 D．36411．如圖，太極圖是由黑白兩個(gè)魚(yú)形紋組成的圖案，俗稱陰陽(yáng)魚(yú)，太極圖展現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化，相對(duì)統(tǒng)一的和諧美，定義：能夠?qū)AO的周長(zhǎng)和面積同時(shí)等分成兩個(gè)部分的函數(shù)稱為圓O的一個(gè)“太極函數(shù)”，則（）A．函數(shù)是圓O：的一個(gè)太極函數(shù)B．函數(shù)不是圓O：的太極函數(shù)C．函數(shù)不是圓O：的太極函數(shù)D．函數(shù)不是圓O：的太極函數(shù)12．某房地產(chǎn)建筑公司在挖掘地基時(shí)，出土了一件宋代小文物，該文物外面是紅色透明藍(lán)田玉材質(zhì)，里面是一個(gè)球形綠色水晶寶珠，其軸截面（如圖）由半橢圓與半橢圓組成，其中，設(shè)點(diǎn)是相應(yīng)橢圓的焦點(diǎn)，和是軸截面與軸交點(diǎn)，陰影部分是寶珠軸截面，其以曲線為邊界，在寶珠珠面上，為等邊三角形，則以下命題中正確的是（）A．橢圓的離心率是 B．橢圓的離心率大于橢圓的離心率C．橢圓的焦點(diǎn)在軸上 D．橢圓的長(zhǎng)短軸之比大于橢圓的長(zhǎng)短軸之比13．唐朝著名的鳳鳥(niǎo)花卉紋浮雕銀杯如圖1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球與圓柱的組合體(如圖2)，當(dāng)這種酒杯內(nèi)壁的表面積(假設(shè)內(nèi)壁表面光滑，表面積為S平方厘米，半球的半徑為R厘米)固定時(shí)，若要使得酒杯的容積不大于半球體積的2倍，則R的取值可能為()A． B． C． D．14．八卦是中國(guó)文化的基本哲學(xué)概念，如圖1是八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊形ABCDEFGH，其中，則下列結(jié)論正確的有（

）A．B．C．D．向量在向量上的投影向量為15．雙紐線，也稱伯努利雙紐線，伯努利雙紐線的描述首見(jiàn)于1694年，雅各布·伯努利將其作為橢圓的一種類比來(lái)處理.橢圓是由到兩個(gè)定點(diǎn)距離之和為定值的點(diǎn)的軌跡，而卡西尼卵形線則是由到兩定點(diǎn)距離之乘積為定值的點(diǎn)的軌跡，當(dāng)此定值使得軌跡經(jīng)過(guò)兩定點(diǎn)的中點(diǎn)時(shí)，軌跡便為伯努利雙紐線.伯努利將這種曲線稱為lemniscate，為拉丁文中“懸掛的絲帶”之意.雙紐線在數(shù)學(xué)曲線領(lǐng)域的地位占有至關(guān)重要的地位.雙紐線像數(shù)字“8”，不僅體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱、和諧、簡(jiǎn)潔、統(tǒng)一的美，同時(shí)也具有特殊的有價(jià)值的藝術(shù)美，是形成其它一些常見(jiàn)的漂亮圖案的基石，也是許多設(shè)計(jì)者設(shè)計(jì)作品的主要幾何元素.曲線是雙紐線，則下列結(jié)論正確的是（

）A．曲線經(jīng)過(guò)5個(gè)整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）B．曲線上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離都不超過(guò)2C．曲線關(guān)于直線對(duì)稱的曲線方程為D．若直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為16．?dāng)?shù)學(xué)中有各式各樣富含詩(shī)意的曲線，螺旋線就是其中比較特別的一類．螺旋線這個(gè)名詞來(lái)源于希臘文，它的原意是“旋卷”或“纏卷”．小明對(duì)螺旋線有著濃厚的興趣，用以下方法畫(huà)出了如圖所示的螺旋線．具體作法是：先作邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC，分別記射線AC，BA，CB為，，，以C為圓心、CB為半徑作劣弧交于點(diǎn)；以A為圓心、為半徑作劣弧交于點(diǎn)；以B為圓心、為半徑作劣弧交于點(diǎn)，依此規(guī)律，就得到了一系列圓弧形成的螺旋線．記劣弧的長(zhǎng)，劣弧的長(zhǎng)，劣弧的長(zhǎng)，…依次為，，，…，則______．17．“雙紐線”象數(shù)字“”，不僅體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱、和諧、簡(jiǎn)潔、統(tǒng)一的美，同時(shí)也具有特殊的有價(jià)值的藝術(shù)美，是形成其它一些常見(jiàn)的漂亮圖案的基石，也是許多設(shè)計(jì)者設(shè)計(jì)作品的主要幾何元素．曲線是“雙紐線”，下面是關(guān)于曲線的四個(gè)結(jié)論：①曲線的方程中；②曲線經(jīng)過(guò)個(gè)整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；③若直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是；④曲線上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離不超過(guò)．則上述結(jié)論正確的是______．參考答案：1．D【分析】先由題意求出，而，所以再利用正切的二倍角公式可求得結(jié)果【詳解】由題意知，則，故選:D.2．D【分析】由題設(shè)可得，法1：求三個(gè)弓形的面積，再加上三角形的面積即可；法2：求出一個(gè)扇形的面積并乘以3，減去三角形面積的2倍即可.【詳解】由已知得：，則，故扇形的面積為，法1：弓形的面積為，∴所求面積為．法2：扇形面積的3倍減去三角形面積的2倍，∴所求面積為．故選：D3．D【分析】由多邊形的外角和定理求得每個(gè)三角形的頂角，根據(jù)正八邊形的特征，可求得在方向上的投影的取值范圍，從而可得選項(xiàng).【詳解】解：因?yàn)槊總€(gè)三角形的頂角為．的模為2，根據(jù)正八邊形的特征，所以，，所以如下圖所示，在方向上的投影的取值范圍是，結(jié)合向量數(shù)量積的定義式，可知等于的模與在方向上的投影的乘積，所以的取值范圍是．故選：D.4．A【分析】點(diǎn)D為線段的黃金分割點(diǎn)，求出，,再求得解.【詳解】點(diǎn)D為線段的黃金分割點(diǎn)，則，所以，則.故選：A.5．C【分析】根據(jù)給定條件，將八進(jìn)制數(shù)3744轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)即可.【詳解】.故選：C6．A【分析】設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2，根據(jù)圖形求出小圓的半徑，可得黑色部分剛好組成一個(gè)小圓，根據(jù)面積之比即可求出.【詳解】如圖所示，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，設(shè)小圓的半徑為，由題可得，，，，解得，由圖可知黑色部分剛好組成一個(gè)小圓，所以黑色部分的面積為，正方形的面積為4，則該點(diǎn)取自黑色部分的概率為.故選：A.7．C【分析】由題意，木塔總高度與頂層檐柱柱頭以下部分的高度之比為，又，可估計(jì)【詳解】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，圓的半徑為，則，易知白銀比例為．因?yàn)?，，所以，故排除A，B，D．故選：C8．B【分析】求出導(dǎo)函數(shù)及導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)曲率定義直接計(jì)算，再得出即可．【詳解】（1），，所以，，，所以，故；故選：B【點(diǎn)睛】本題考查新定義“曲率”，解題關(guān)鍵是理解曲率的定義，實(shí)質(zhì)就是對(duì)導(dǎo)函數(shù)再求導(dǎo)得，然后根據(jù)所給公式求出的曲率．9．B【分析】先求出，，再根據(jù)二倍角余弦公式求出，然后根據(jù)誘導(dǎo)公式求出．【詳解】由題意可得：，且，，解得：，解得：，故選：B10．C【分析】由圖可知，每一個(gè)圖形中小三角形的個(gè)數(shù)等于前一個(gè)圖形小三角形個(gè)數(shù)的3倍加1，然后依次求出即可得到答案【詳解】由圖可知，每一個(gè)圖形中小三角形的個(gè)數(shù)等于前一個(gè)圖形小三角形個(gè)數(shù)的3倍加1，時(shí)，時(shí)，時(shí)，時(shí)，時(shí)，.故選：C.11．A【分析】根據(jù)題意分別作出四個(gè)選項(xiàng)對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖像，即可判斷各個(gè)選項(xiàng)的正誤.【詳解】解：兩曲線的對(duì)稱中心均為點(diǎn)，且兩曲線交于兩點(diǎn)，所以能把圓一分為二，如圖：故A正確；同理易知B，C不正確；函數(shù)為奇函數(shù)，且，，如圖：所以函數(shù)是圓O：的一個(gè)太極函數(shù)，故D不正確，故選：A．12．AC【分析】根據(jù)題意求出兩個(gè)半橢圓的方程，根據(jù)兩個(gè)橢圓方程分別求出離心率、長(zhǎng)短軸之比可得答案.【詳解】由半橢圓的方程和圖象可知，，由半橢圓的方程和圖象可知，，因?yàn)?，所以，，所以半橢圓的焦點(diǎn)在軸上，所以是半橢圓的焦點(diǎn)，、是半橢圓的焦點(diǎn)；依題意可知，，所以，又為等邊三角形，所以，所以，又因?yàn)椋?，所以，所以半橢圓的方程為，又，所以，所以，所以半橢圓的方程為，對(duì)于A，橢圓的離心率是，故A正確；對(duì)于B，橢圓的離心率，所以，故B不正確；對(duì)于C，由可知，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，故C正確；對(duì)于D，橢圓的長(zhǎng)短軸之比為，橢圓的長(zhǎng)短軸之比為，因?yàn)椋詸E圓的長(zhǎng)短軸之比小于橢圓的長(zhǎng)短軸之比，故D不正確.故選：AC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)結(jié)合圖形求出兩個(gè)半橢圓方程是本題的解題關(guān)鍵.13．AC【分析】首先設(shè)圓柱的高與半球的半徑分別為，，酒杯的容積為，則，再根據(jù)和得到，即可得到答案.【詳解】設(shè)圓柱的高與半球的半徑分別為，，酒杯的容積為，則，所以，所以解得.又，所以，解得.所以.故選：AC.14．ABD【分析】直接利用向量的數(shù)量積的應(yīng)用，向量的夾角的應(yīng)用結(jié)合圖像求出結(jié)果，逐一分析各個(gè)選項(xiàng)即可得出答案.【詳解】解：圖2中的正八邊形，其中，對(duì)于A，故A正確；對(duì)于B，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)椋?，，則，，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)椋韵蛄吭谙蛄可系耐队跋蛄考礊樵谙蛄可系耐队跋蛄?，故D正確．故選：ABD．15．BCD【分析】A，曲線C經(jīng)過(guò)整點(diǎn)（2，0），（﹣2，0），（0，0）；B，根據(jù)曲線C：（x2+y2）2＝4（x2﹣y2），可知22≥x2+y2，即可判定；C，曲線方程中x，y互換可得曲線C關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的曲線方程；D，利用x2≥y2，比較直線y＝kx的斜率即可判定；【詳解】解：對(duì)于A，令，解得：或或，當(dāng)時(shí)，無(wú)解.所以曲線C經(jīng)過(guò)整點(diǎn)（2，0），（﹣2，0），（0，0），故A錯(cuò)；對(duì)于B，根據(jù)曲線C：（x2+y2）2＝4（x2﹣y2），可知22≥x2+y2，所以雙曲線C上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離都不超過(guò)2，故B正確；對(duì)于C，曲線方程中x，y互換可得曲線C關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的曲線方程為（x2+y2）2＝4（y2﹣x2），故C正確；對(duì)于D，據(jù)據(jù)曲線C：（x2+y2）2＝4（x2﹣y2），可知x2≥y2，可得若直線y＝kx與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），故D正確；故選：BCD．16．【分析】根據(jù)給定條件，確定這些劣弧的半徑從小到大排成一列得等差數(shù)列，再利用前n項(xiàng)和公式計(jì)算即得.【詳解】依題意，這些劣弧的半徑從小到大排成一列得等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為1，則第n個(gè)劣弧的半徑長(zhǎng)為n，因每個(gè)劣弧的圓心角均為，于是得第n個(gè)劣弧的