第三次課誤差理論月

主要內(nèi)容：1.系統(tǒng)誤差2.誤差的合成3.最小二乘原理4.曲線的擬合5.補(bǔ)充：不確定度1一、隨機(jī)誤差的合成按方和根法得到它們的標(biāo)準(zhǔn)誤差:

二、系統(tǒng)誤差的合成1、恒定系差的合成可按代數(shù)和法合成：當(dāng)誤差項(xiàng)數(shù)較多時(shí)，一般情況下按方和根法合成較好。第九節(jié)誤差的合成22.變值系差的合成第j個(gè)系差的誤差區(qū)間為[aj,bj]系統(tǒng)不確定度為：ej=1/2*(bj-aj)標(biāo)準(zhǔn)誤差為：σj=ej/kj（系統(tǒng)不確定度或極限誤差與置信系數(shù)之比）合成方法：（1）線性相加法：

e=e1+e2+e3+??????+en3（2）方和根法：

e=√e12+e22+e32+??????+en2（3）廣義方和根法：將各變值系差的系統(tǒng)不確定度轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)誤差，用方和根法合成后，得到總的標(biāo)準(zhǔn)誤差，再轉(zhuǎn)化為總的系統(tǒng)不確定度。4三、隨機(jī)誤差與系統(tǒng)誤差的合成1.線性相加法:g=e+Δ

線性相加的結(jié)果，綜合不確定度g偏大。2.方和根法：g=√e2+Δ23.廣義方和根法5四、最后結(jié)果的表示（1）隨機(jī)不確定度（又稱A類不確定度）與系統(tǒng)不確定度（又稱B類不確定度）在結(jié)果中分別標(biāo)明。最后結(jié)果可表示為：M=（±Δ,±e）Where:M為被測量的測量值或計(jì)算結(jié)果；e及Δ分別是相應(yīng)的系統(tǒng)、隨機(jī)不確定度。（2）用隨機(jī)不確定度與系統(tǒng)不確定度合成后的綜合不確定度表示之。最后結(jié)果可寫為：M±g

。6例：標(biāo)準(zhǔn)活塞式壓力計(jì)實(shí)驗(yàn)測得各種誤差因數(shù)引起的壓力的極限誤差值如下。求總的不確定度（壓力P=ma/S，單位均略）。（1）恒定系差：ε=+0.2，由系統(tǒng)安裝誤差引起。（2）系統(tǒng)不確定度：e1=10.3，是由活塞有效面積S引起的：e2=3.2，來自砝碼及活塞質(zhì)量（m）；e3=0.5，是由重力加速度a的誤差引起的。（3）隨機(jī)不確定度：Δ1=11.6，是由活塞有效面積引起的；Δ2=4.8，是由砝碼及活塞質(zhì)量（m）引起的。7解：設(shè)引起誤差的各個(gè)因數(shù)是相互獨(dú)立的，按照方和根法合成之。總的系統(tǒng)不確定度為：=e=√e12+e22+e32=

√10.32+3.22+0.52=10.8總的隨機(jī)不確定度為：

Δ=√Δ12+Δ22=√11.62+4.82=12.6故活塞壓力計(jì)總的不確定度g及修正量c為：g=√e2+Δ2=√10.82+12.62≈16.6≈17C=-ε=-0.28例1：某彈簧管壓力表的測量范圍為0~1.6MPa，準(zhǔn)確度等級(jí)為2.5級(jí)，校驗(yàn)時(shí)出現(xiàn)的最大絕對誤差為0.05MPa，問這塊儀表是否合格？為什么？9例2：用標(biāo)準(zhǔn)壓力表來校驗(yàn)工業(yè)壓力表時(shí)，應(yīng)如何選用標(biāo)準(zhǔn)壓力表精度等級(jí)？可否用一臺(tái)精度等級(jí)為0.2，量程為0~25MPa的標(biāo)準(zhǔn)表來校驗(yàn)精度等級(jí)為1.5級(jí)，量程為0~2.5MPa的壓力表，為什么？10第十節(jié)最小二乘原理最小二乘原理：欲得真值的最佳估計(jì)值，應(yīng)使各測量值xi的殘差vi的平方之和為最小。真值x0的最佳估計(jì)值即算術(shù)平均值x，具有殘差平方和最小值的特性。由于殘差均是實(shí)數(shù)，各個(gè)殘差的平方必為正數(shù)，故殘差的平方和為最小值就保證了相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)偏差及方差為最小值，同時(shí)也說明了測量數(shù)據(jù)的離散度也是最小的，精度較高。11第十一節(jié)曲線擬和的概念

實(shí)際工作中由于各隨機(jī)因素的干擾，所得到的數(shù)據(jù)往往不同程度存在著誤差。因此，插值方法只能適用那些誤差可以忽略不記的情況，當(dāng)誤差較大而不能忽略時(shí)，又如何通過這些觀測數(shù)據(jù)確定其內(nèi)在的變化規(guī)律呢？本節(jié)所介紹的曲線擬合就是解決這一問題的主要方法之一。12如圖所示，常常需要從一組獲得的數(shù)據(jù)點(diǎn)中，尋找變量與變量之間的變化規(guī)律．用幾何方法來解釋，就是用已知平面內(nèi)的一組點(diǎn)，來確定一條曲線，使該曲線能在整體上刻畫這組點(diǎn)的變化趨勢而不需通過每個(gè)點(diǎn)，我們稱這種方法為曲線擬合，所求出的曲線稱為擬合曲線。1314測量不確定度

重要性與政策：1、測量的質(zhì)量以不確定度表示2、國家標(biāo)準(zhǔn)及ISO都強(qiáng)調(diào)不確定度的重要性3、中國實(shí)驗(yàn)室國家認(rèn)可委員會(huì)的測量不確定政策指出：實(shí)驗(yàn)室應(yīng)有能力進(jìn)行不確定度的評定15誤差（Error）準(zhǔn)確度（Accuracy）不確定度（Uncertainty）測量結(jié)果測得值減真值測量結(jié)果與真值的一致程度有定義批量生產(chǎn)儀器沒有定義示值最大允許誤差沒有定義計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)裝置有定義（示值誤差）沒有定義沒有定義但需要給出16定義不確定度定義：與測量結(jié)果相聯(lián)系的參數(shù)，表征合理地賦予被測量之值的分散性。此參數(shù)可以是用標(biāo)準(zhǔn)差或其倍數(shù)，也可以是給定概率下置信區(qū)間的半寬。不確定度恒為正值，由方差得出時(shí)取其正平方根。17標(biāo)準(zhǔn)不確定度：用標(biāo)準(zhǔn)偏差表示的測量結(jié)果的不確定度。（不確定度的）A類評定：對觀測列進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析以評定不確定度的方法。（不確定度的）B類評定：評定標(biāo)準(zhǔn)不確定度的非統(tǒng)計(jì)分析方法。影響量：不是被測量但對測量有影響的量。

18合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度：當(dāng)結(jié)果由若干其它量得來時(shí)，該測量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)不確定度等于這些量的方差和協(xié)方差加權(quán)的正平方根，權(quán)的大小取決于這些量的變化及測量結(jié)果影響的程度。擴(kuò)展不確定度：確定測量結(jié)果區(qū)間的量，期望測量結(jié)果以合理地賦予的較高置信水平包含在此區(qū)間內(nèi)。包含因子：為獲得擴(kuò)展不確定度，作為合成不確定度乘數(shù)的數(shù)字因子。19

測量不確定度的結(jié)構(gòu):

20◆A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度：

（由于隨機(jī)效應(yīng)導(dǎo)致的不確定度）

實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)（偏）差

s是單次觀測值Xi的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)（偏）差，是m次測量所得算術(shù)平均值的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)（偏）差，它是分布的標(biāo)準(zhǔn)（偏）差的估計(jì)值。為易于區(qū)別前者用表示，后者用表示，故：21◆B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度：

（由于系統(tǒng)效應(yīng)導(dǎo)致的不確定度）

不同于A類對觀測列進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法來評定標(biāo)準(zhǔn)不確定度，稱為不確定度B類的評定，有時(shí)也稱B類不確定度評定。B類不確定度評定是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)和資料及假設(shè)的概率分布估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)（偏）差表征，也就是說其原始數(shù)據(jù)并非來自觀測列的數(shù)據(jù)處理，而是基于實(shí)驗(yàn)或其他信息來估計(jì)，含有主觀鑒別的成分。B類不確定度的信息來源一般有：221.以前的觀測數(shù)據(jù)；2.對有關(guān)技術(shù)資料的測量儀器特性的了解和經(jīng)驗(yàn)；3.生產(chǎn)企業(yè)提供的技術(shù)說明文件；4.校準(zhǔn)證書（檢定證書）或其他文件提供的數(shù)據(jù)、準(zhǔn)確度的等別或級(jí)別，包括目前仍在使用的極限誤差、最大允許誤差等；5.手冊或某些資料給出的參考數(shù)據(jù)及其不確定度；6.規(guī)定試驗(yàn)方法的國家標(biāo)準(zhǔn)或類似技術(shù)文件中給出的重復(fù)性限或復(fù)現(xiàn)性。237.測量儀器的示值不夠準(zhǔn)確；8.標(biāo)準(zhǔn)物質(zhì)的標(biāo)準(zhǔn)值不夠準(zhǔn)確；9.引用的數(shù)據(jù)或其它參量的不夠準(zhǔn)確；10.取樣的代表性不夠，即被測樣本不能完全代表所定義的被測量；11.化學(xué)分析中的基體效應(yīng)，分析空白，干擾影響，回收率及反映效率等系統(tǒng)影響；12.測量方法和測量程序的近似和假設(shè)；13.其他因素……24B類不確定度的評定方法:B類評定的標(biāo)準(zhǔn)不確定度可以用下述四種方法得到：（Ⅰ）若有關(guān)資料（如：計(jì)量校準(zhǔn)/檢定證書，儀器說明書等）給出估計(jì)值的擴(kuò)展不確定度為其估計(jì)值標(biāo)準(zhǔn)不確定度的倍，則標(biāo)準(zhǔn)不確定度：

◆B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度：

（由于系統(tǒng)效應(yīng)導(dǎo)致的不確定度）

25（Ⅱ）如估計(jì)值的擴(kuò)展不確定度不是按標(biāo)準(zhǔn)不確定度的倍給出，而是給出了置信概率P為90%、95%、99%的置信區(qū)間的半寬、、，除非另有說明，一般按照正態(tài)分布考慮評定其標(biāo)準(zhǔn)不確定度。對應(yīng)于上述三種置信概率的包含因子分別為1.64、1.96或2.58，即：標(biāo)準(zhǔn)不確定度為26

表-1:正態(tài)分布情況下置信概率與包含因子之間的關(guān)系27（Ⅲ）如已知信息表明之值接近正態(tài)分布，并以0.68的概率落于的對稱范圍之內(nèi)，按表-1，，則。（Ⅳ）若已知估計(jì)值分散區(qū)間的半寬為，且落在至范圍內(nèi)的概率p為100%，通過對分布的估計(jì)，可以得出標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：28式中：為測量值概率分布區(qū)間半寬度,因?yàn)榕c分布狀態(tài)有關(guān)，見右表：29

合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度

式中：為：二個(gè)輸入量的相關(guān)系數(shù)為：靈敏系數(shù)（當(dāng)被測量Y為相互獨(dú)立的輸入量的線性函數(shù)時(shí)，靈敏系數(shù)為+1或-1）

30在下列情況下可以不考慮各輸入量之間的相關(guān)性：(1)可以確認(rèn)各輸入量之間相互獨(dú)立無關(guān)；(2)雖然某些輸入量相互之間可能存在相關(guān)性，但相關(guān)性較弱；（3）雖然某些輸入量之間存在強(qiáng)相關(guān)性，但這些輸入量所對應(yīng)的不確定度分量對合成不確定度的貢獻(xiàn)不大。31◆合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度當(dāng):;且或-1時(shí),

32結(jié)束選定包含因子一般為2~333◆合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度用Up

表示擴(kuò)展不確定度,即合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的自由度稱為有效自由度，如果是兩個(gè)以上多個(gè)估計(jì)方差分量的合成，即，則即使當(dāng)每個(gè)均服從正態(tài)分布的輸入量的估計(jì)值，變量可以近似為t分布，其有效自由度可以由韋爾奇-薩特思韋特（Welch-Satterthwaite）公式計(jì)算：34◆合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度上式也可用與相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度的合成：35評定不確定度的基本程序

可用下述框圖表示

分析引起不確定度的各種因素評定各個(gè)不確定度分量A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度評定合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度擴(kuò)展不確定度報(bào)告測量不確定度建立數(shù)學(xué)模型36建立數(shù)學(xué)模型

37測量不確定度的評定程序

第一步，按A類評定方法評出A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度；第二步，按B類評定方法評出各B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度；第三步，按照合成不確定度的合成方法合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度；38測量不確定度的評定程序第四步，擴(kuò)展不確定度的評定方法：（1）按照包含因子k=2~3給出擴(kuò)展不確定度（2）按照標(biāo)準(zhǔn)不確定度乘以給定概率p的包含因子，從而得到擴(kuò)展不確定度。與的分布有關(guān)。當(dāng)估計(jì)接近正態(tài)分布時(shí)，采用t分布臨界值，，一般采用p值為99%和95%。在多數(shù)情況下，采用p=95%。39測量不確定度的評定程序?qū)δ稠?xiàng)計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)的檢定或校準(zhǔn)，根據(jù)規(guī)定可采用p=99%。當(dāng)充分大時(shí)，可以近似認(rèn)為、，從而分別得出、。（3）當(dāng)只給出擴(kuò)展不確定度U時(shí)，不必評定各分量及合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的自由度及有效自由度。除另有說明,對Y可能值的分布作正態(tài)分布的估計(jì)，雖未計(jì)算，但可估計(jì)40測量不確定度的評定程序值并不太小時(shí)，則大約置信概率近似為95%的區(qū)間的半寬，而大約置信概率近似為99%的區(qū)間的半寬。（4）如果可以確定Y可能值的分布不是正態(tài)分布，而是接近于其他某種分布，則決不能按或計(jì)算U或。（5）當(dāng)Y可能值近似為矩形分布，則包含因子與之間的關(guān)系應(yīng)為：41概率分布情況的估計(jì)（參考件）

?正態(tài)分布：1)重復(fù)條件或復(fù)現(xiàn)條件下多次測量的算術(shù)平均值的分布；2)被測量量Y用擴(kuò)展不確定度Up給出，而對其分布又沒有特殊指明時(shí)，估計(jì)值Y的分布；3)被測量Y的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度中，相互獨(dú)立的分量較多，它們之間的大小也比較接近時(shí)，Y的分布；424)被測量Y的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度中，相互獨(dú)立的分量中，存在兩個(gè)界限值接近的三角分布，或4個(gè)界限值接近的均勻分布時(shí)；5)被測量Y的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的相互獨(dú)立的分量中，量值較大的分量（起著決定作用的分布）接近正態(tài)分布時(shí)。43?矩型（均勻）分布：1)數(shù)據(jù)修約導(dǎo)致的不確定度；2)數(shù)字式測量儀器對示值量化（分辨率）導(dǎo)致的不確定度；3)測量儀器由于滯后、摩擦效應(yīng)導(dǎo)致的不確定