第六章 彎曲變形

第六章彎曲變形DeformationsinBending

§6–2梁的撓曲線近似微分方程及其積分§6–3

按疊加原理求梁的撓度與轉(zhuǎn)角§6–4

梁的剛度校核第六章彎曲變形

§6-1工程中的彎曲變形問題§6-5提高彎曲剛度的一些措施§6－１工程中的彎曲變形問題研究范圍：等直梁在對稱彎曲時位移的計算。研究目的：①對梁作剛度校核；

②解超靜定梁（變形幾何條件提供補充方程）。疊板彈簧應(yīng)有較大的變形,才可以更好地起緩沖減振作用.工程中彎曲變形的利用疊板彈簧1.撓度：橫截面形心沿垂直于軸線方向的線位移。用f表示。與f

同向為正，反之為負。

2.轉(zhuǎn)角：橫截面繞其中性軸轉(zhuǎn)動的角度。用

表示，順時針轉(zhuǎn)動為正，反之為負。

二、撓曲線：變形后，軸線變?yōu)楣饣€，該曲線稱為撓曲線。其方程為：

f=F(x)三、轉(zhuǎn)角與撓曲線的關(guān)系：一、度量梁變形的兩個基本位移量小變形PxvCqC1f撓曲線撓曲線必須是光滑和連續(xù)的，任意截面都有唯一的撓度和轉(zhuǎn)角注意:

§6-2

梁的撓曲線近似微分方程及其積分一、撓曲線近似微分方程----撓曲線近似微分方程。小變形對于等截面直梁，撓曲線近似微分方程可寫成如下形式：二、求撓曲線方程（彈性曲線）1.微分方程的積分如何確定積分常數(shù)C1C2?2.確定積分常數(shù)的方法PABCPD

邊界條件：

光滑連續(xù)條件：例：確定以下邊界條件光滑連續(xù)條件:撓度、轉(zhuǎn)角均唯一。分三段，AC，CD，DB，有6個積分常數(shù)邊界條件：連續(xù)條件：光滑條件：fB

=0fc左=fc右fD左

=fD右例1求下列各等截面直梁的彈性曲線、最大撓度及最大轉(zhuǎn)角。

建立坐標系并寫出彎矩方程

寫出微分方程的積分并積分

應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù)解：PLxf

寫出彈性曲線方程并畫出曲線

最大撓度及最大轉(zhuǎn)角xfPL解：

建立坐標系并寫出彎矩方程

寫出微分方程的積分并積分xfPLa例2求下列各等截面直梁的彈性曲線、最大撓度及最大轉(zhuǎn)角。

應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù)PLaxf

寫出彈性曲線方程并畫出曲線

最大撓度及最大轉(zhuǎn)角PLaxf§6-3按疊加原理求梁的撓度與轉(zhuǎn)角一、載荷疊加：多個載荷同時作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形

等于每個載荷單獨作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形的代數(shù)和。二、結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法）：例3按疊加原理求A點轉(zhuǎn)角和C點撓度。解、

載荷分解如圖

由梁的簡單載荷變形表，查簡單載荷引起的變形。qqPP=+AAABBB

CaaqqPP=+AAABBB

Caa

疊加求:fB,(1)分解載荷（2）疊加例利用疊加原理求圖示彎曲剛度為EI的懸臂梁自由端B截面的撓度和轉(zhuǎn)角。解：原荷載可看成為圖a和b兩種荷載的疊加，對應(yīng)的變形和相關(guān)量如圖所示。FlllEIFABCDqB1FqC1wC1wC1qC1

2l直線wB1(a)qD1qB2wD1·FqD1BD直線wD1wB2(b)

對圖a，可得C截面的撓度和轉(zhuǎn)角為：由位移關(guān)系可得此時B截面的撓度和轉(zhuǎn)角為：（向下）（順時針）qB1FqC1wC1wC1qC1

2l直線wB1(a)對圖b，可得D截面的撓度和轉(zhuǎn)角為：同理可得此時B截面的撓度和轉(zhuǎn)角為：（向下）（順時針）qD1qB2wD1·FqD1BD直線wD1wB2(b)

將相應(yīng)的位移進行疊加，即得：（向下）（順時針）求梁C截面的轉(zhuǎn)角和撓度例

結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法)原理說明。=+PL1L2ABCBCPL2f1f2等價等價xfxffPL1L2ABC剛化AC段PL1L2ABC剛化BC段PL1L2ABCMxf求：fc

剛化BC剛化AB(1)剛化BC(1)剛化AB例

由疊加原理求圖示彎曲剛度為EI的外伸梁C截面的撓度和轉(zhuǎn)角以及D截面的撓度。解：可將外伸梁看成是圖a和b所示的簡支梁和懸臂梁的疊加。BC(b)F=qaAEIDBqaqa2/2(a)ACaaaF=qaBDEI（1）對圖a，其又可看成為圖c和d所示荷載的組合。+AF=qa(c)qa2/2(d)圖c中D截面的撓度和B截面的轉(zhuǎn)角為：圖d中D截面的撓度和B截面的轉(zhuǎn)角為：將相應(yīng)的位移進行疊加，即得：（向下）（順時針）（2）對圖b，C截面的撓度和轉(zhuǎn)角分別為：

所以：原外伸梁C端的撓度和轉(zhuǎn)角也可按疊加原理求得，即：（向下）（順時針）ACaaaF=qaBDEIqBqCqqB×awCq

已知:階梯形懸臂梁。BC段剛度為EI，AB段剛度為2EI，自由端C處作用集中力F。求C處撓度和轉(zhuǎn)角.剛化BC剛化AB§6-4梁的剛度校核一、梁的剛度條件其中[

]稱為許用轉(zhuǎn)角；[f/L]稱為許用撓跨比。通常依此條件進行如下三種剛度計算：

、校核剛度：

、設(shè)計截面尺寸；(但：對于土建工程，強度常處于主要地位，剛度常處于從屬地位。特殊構(gòu)件例外）

、設(shè)計載荷。PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNB例

下圖為一空心圓桿，內(nèi)外徑分別為：d=40mm、D=80mm，桿的E=210GPa，工程規(guī)定C點的[f/L]=0.00001,B點的[

]=0.001弧度,試核此桿的剛度。=++=P1=1kNABDCP2BCDAP2=2kNBCDAP2BCaP2BCDAMP2BCa=++圖1圖2圖3解：

結(jié)構(gòu)變換，查表求簡單

載荷變形。PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxfP2BCa=++圖1圖2圖3PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxf

疊加求復(fù)雜載荷下的變形

校核剛度§6-5提高彎曲剛度的一些措施一、增大梁的抗彎剛度EI選擇梁的合理截面一般的合理截面(1)在面積相等的情況下，選擇慣性矩大的截面zDzaa(2)、根據(jù)材料特性選擇截面形狀sGz如鑄鐵類材料，常用T字形類的截面，如下圖：zaa二、合理布置外力（包括支座），使M

max

盡可能小。PL/2L/2P=qLL/54L/5對稱qLL/5qL/5qL/2L/2三改善結(jié)構(gòu)形式,減少彎矩的數(shù)值四把集中力分散成分布力,也可以取得減少彎矩降低彎曲變形的效果.§6-6

簡單超靜定梁的求解方法1、處理方法：變形協(xié)調(diào)方程、物理方程與平衡方程相結(jié)合，求全部未知力。解：

建立靜定基

確定超靜定次數(shù)，用反力代替多余約束所得到的結(jié)構(gòu)——靜定基。=q0LABLq0MABAq0LRBABxf

幾何方程——變形協(xié)調(diào)方程+q0LRBAB=RBABq0AB

物理方程——變形與力的關(guān)系

補充方程

求解其它問題（反力、應(yīng)力、變形等）

幾何方程