橢圓及其性質(zhì)教案

3.1.2橢圓及其性質(zhì)

導(dǎo)學(xué)案

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.根據(jù)橢圓的方程研究曲線的幾何性質(zhì)，并正確地畫出它的圖形

2.根據(jù)幾何條件求出曲線方程，并利用曲線的方程研究它的性質(zhì)、圖形.

3.掌握直線與橢圓位置關(guān)系的相關(guān)知識(shí)

【自主學(xué)習(xí)】

知識(shí)點(diǎn)1橢圓的范圍、對(duì)稱性和頂點(diǎn)坐標(biāo)

焦點(diǎn)在X軸上焦點(diǎn)在y軸上

J+1=l(?>&>0)

標(biāo)準(zhǔn)方程/方=1(°>6>0)

圖形

JBilO\rBx

Y2

焦點(diǎn)坐標(biāo)仁c,0)(0,土c)

對(duì)稱性關(guān)于x軸、y軸軸對(duì)稱，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)中心對(duì)稱

4(一。,0),A2(〃,0),4(0,—a),A2(0,〃)，

頂點(diǎn)坐標(biāo)

Bi(0,~b),B2(0,b)&S,O)

范圍\y\^b\x\^b,|y|Wg

長(zhǎng)軸、

長(zhǎng)軸A1A2長(zhǎng)為區(qū),短軸BB長(zhǎng)為2b

短軸

知識(shí)點(diǎn)2橢圓的離心率

(1)橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比e=§叫橢圓的離心率.

2

X丫2一

(2)對(duì)于茄+官=1,b越小，對(duì)應(yīng)的橢圓越扁，反之，e越接近于0,c就越接

近于0,從而b越接近于。，這時(shí)橢圓越接近于圓，于是，當(dāng)且僅當(dāng)。=6時(shí)，

c=0,兩焦點(diǎn)重合，圖形變成圓，方程變?yōu)?+尸=層.(如圖)

知識(shí)點(diǎn)3點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系

設(shè)2(無(wú)0，yo),橢圓，+方=l(a>b>0),則點(diǎn)尸與橢圓的位置關(guān)系如下表所示:

位置關(guān)系滿足條件

尸在橢圓外

尸在橢圓上

料*1

P在橢圓內(nèi)

知識(shí)點(diǎn)4直線與橢圓的位置關(guān)系

(1)判斷直線和橢圓位置關(guān)系的方法：

將直線的方程和橢圓的方程聯(lián)立，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元二次方程.若/>0,則直

線和橢圓相交;若/=0,則直線和橢圓相切;若/<0,則直線和橢圓相離.

(2)根與系數(shù)的關(guān)系及弦長(zhǎng)公式:

?2

設(shè)直線/：y=kx+b(k^Q,6為常數(shù))與橢圓，+$=l(a>6>0)相交，

兩個(gè)交點(diǎn)為4(xi,州)、3(尤2,竺)，

則線段A8叫做直線/截橢圓所得的弦，

線段的長(zhǎng)度叫做弦長(zhǎng).

弦長(zhǎng)公式：AB=y11+8xi—尤2|,=71+(xi+%2)2—4XIX2,

其中X1+X2與WX2均可由根與系數(shù)的關(guān)系得到.

【合作探究】

例1由橢圓方程研究其簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

(1)求橢圓9(+16V=144的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo).

y2v2

解已知方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為花+§=1,

于是。=4,6=3,c=dl6-9=巾,

.?.橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)分別是2a=8和2b=6,

離心率6=\=坐，又知焦點(diǎn)在X軸上，

???兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(一/，0)和(小，0),

四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是(-4,0),(4,0),(0,-3)和(0,3).

歸納總結(jié)：解決此類問(wèn)題的方法是將所給方程先化為標(biāo)準(zhǔn)形式，然后根據(jù)方程判斷出橢圓的

焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上，再利用a,b,c之間的關(guān)系和定義，求橢圓的基本量.

練習(xí)1求橢圓9/+產(chǎn)=81的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)和離心率.

?2_____

解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為g+而=1,則a=9,b=3,c=yla2—b2=6yl2,長(zhǎng)軸長(zhǎng)：2a=18;短

軸長(zhǎng)：2。=6；

焦點(diǎn)坐標(biāo)：(0,672),(0,-6^2)；

頂點(diǎn)坐標(biāo)：(0,9),(0,-9),(3,0),(-3,0).

離心率：

ea3,

例2橢圓的幾何性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用

如圖所示，己知橢圓的中心在原點(diǎn)，它在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)尸與短軸兩個(gè)端點(diǎn)3，&的連

線互相垂直，且這個(gè)焦點(diǎn)與較近的長(zhǎng)軸的端點(diǎn)A的距離為E—4，求這個(gè)橢圓的方程.

92

解依題意，設(shè)橢圓的方程為，+方=1（。泌＞0）,

由橢圓的對(duì)稱性知同n=|昆尸|,

又BIF±B2F,

△B1EB2為等腰直角三角形，

:.\OB2\^\OF\,即―網(wǎng)=遮一木,

即a—C=4I5—小，且42=爐+〃，

b=c,

將上面三式聯(lián)立，得＜4—C=，15一小，

、次=廬+，，

a=y[id

解得9

b=鄧.

22

...所求橢圓方程為吉+5=1.

歸納總結(jié)：確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，首先要分清其焦點(diǎn)位置，然后，找到關(guān)于a,b,c的等

量關(guān)系，最后確定a?與〃的值即可確定其標(biāo)準(zhǔn)方程.

練習(xí)2已知橢圓的對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，廠是一個(gè)焦點(diǎn)，A是一個(gè)頂點(diǎn)，若橢圓

的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是6,且cosNOEl號(hào)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

2

解：尸是橢圓的焦點(diǎn)，cos/O以=§,

...點(diǎn)A是短軸的端點(diǎn),

.\\OF\=c,\AF\=a=3,

.c=2

,"一?

.,.c=2,Z?2=32—22=5,

7272

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是卷+!=1或a+5=1.

yJJy

例3橢圓的離心率的求解

（1）已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為b（L0）,離心率等于1,則C的方程是

2

222222

土+j

A.——+—=1B.二+工=1C.——+—=1D.

344V34243

【答案】D【解析】:c=l,a=2,b=6,故選D.

⑵設(shè)品，尸2是橢圓E：5+￡=1（。>6>0）的左，右焦點(diǎn)，P為直線尤=當(dāng)上一點(diǎn)，△巳產(chǎn)品

是底角為30。的等腰三角形，則E的離心率為（）

?2八4

A.2BqC'D.]

答案C

設(shè)直線尸竽與軸交于點(diǎn)則在中，

解析XM,ZPF2M=60°,RtAPF2M|PB|=|RB|=2c,

3_

巴M號(hào)」，故36。。=耨=亭$

Z\rrQ\ZCZ

33

解得￡c=不故離心率6=疝

2

（3）已知圓G：^+2^+/=0,圓C2：A—2“+丁=0,c>0,橢圓C：/+￡=l（a>6>0）,

且/=°2—廿.若圓ci,C2都在橢圓內(nèi)，則橢圓離心率的取值范圍是（）

A.[1.1)B.(0.1]

C.咨,1)D.(0,孚]

答案B

解析圓Cl,C2都在橢圓內(nèi)等價(jià)于圓C2的右頂點(diǎn)（2c,。），上頂點(diǎn)（c,c）在橢圓內(nèi)部,

???只需JU上可得彳2結(jié)合e￡（0,l）,可得OveW1

了十記W1,〔/—3/+120,

歸納總結(jié)：

y221

練習(xí)3⑴若焦點(diǎn)在工軸上的橢圓5+5v=1的離心率為點(diǎn)則相等于（）

A幣B.|C.得D.1

答案B解析u：a2=2,b2=m,e=：=[1-?=yjI苫=；,

y22

（2）已知點(diǎn)尸（根,4）是橢圓”+方v=1（〃泌＞0）上的一點(diǎn)，F(xiàn)i，民是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)

3

若△尸尸16的內(nèi)切圓的半徑為了則此橢圓的禺心率為.

3

答案5

解析一方面△尸尸擊的面積為W（2〃+2c"；

另一方面△尸尸的面積為；|如卜2c,

^（2a+2c）-r=2\yp|?2c,?、（〃+（?）?r=\yp\-c,

又力=4，二橢圓的離心率為e=?=*

C-I。JC4-。

2

22

（3）己知耳、工為橢圓。：0+?=1（?！?）的左、右焦點(diǎn)，若橢圓C上存在四個(gè)不同

點(diǎn)p滿足心的面積為4石，則橢圓。的離心率的取值范圍為

【答案】D【解析】設(shè)P（%,為）,5"用「；閨無(wú)卜聞=°加=4出，則

1yoi=逑若存在四個(gè)不同點(diǎn)P滿足Sk.=46，則。＜聞＜2,即

cyja2-41

例4直線與橢圓的位置關(guān)系

R

（1）直線尸區(qū)T+1與橢圓5+^v2=1的位置關(guān)系是（）

A.相交B.相切C.相離D.不確定

答案A

解析直線尸丘一人+1=依一1）+1過(guò)定點(diǎn)（1,1）,且該點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，因此必與橢圓相交.

（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,也）且斜率為k的直線/與橢圓與+＞2=1有兩個(gè)

不同的交點(diǎn)P和。.求k的取值范圍.

解由已知條件知直線I的方程為y=kx+yf2,代入橢圓方程得與十（日+也產(chǎn)=1.整理得

g+f|x2+2巾日+1=0.直線/與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q等價(jià)于/=8合一4弓+3）=

4嚴(yán)一2>0,解得左〈一坐或左>羋.即左的取值范圍為1-8,一坐)+8).

歸納總結(jié)：1.直線與橢圓的位置關(guān)系判別方法(代數(shù)法)

聯(lián)立直線與橢圓的方程，消元得到一元二次方程

⑴4>0=直線與橢圓相交=有兩個(gè)公共點(diǎn).

(2)/=0=直線與橢圓相切=有且只有一個(gè)公共點(diǎn).

⑶/<0=直線與橢圓相離=無(wú)公共點(diǎn).

2.直線過(guò)的定點(diǎn)是否在橢圓內(nèi)

練習(xí)4(1)已知直線/過(guò)點(diǎn)(3,-1),且橢圓C：導(dǎo)+5=1，則直線/與橢圓C的公共點(diǎn)的個(gè)

數(shù)為()

A.1B.1或2C.2D.0

?2

(2)若直線>=丘+2與橢圓5+5=1相切，則斜率k的值是()

亞3-D?—亞3「?—+亞3D?-+婦3

答案(1)C(2)C

解析(1)因?yàn)橹本€過(guò)定點(diǎn)(3,—1)且=+^^<1,

所以點(diǎn)(3,—1)在橢圓的內(nèi)部，故直線/與橢圓有2個(gè)公共點(diǎn).

72

(2)把y=kx+2代入行+方=1得(2+33)/+12依+6=0,由于/=0,

:.仁士乎.

例5直線與橢圓的相交弦問(wèn)題

92

(1)已知橢圓花+》=1和點(diǎn)尸(4,2),直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸且與橢圓交于A、8兩點(diǎn).當(dāng)直線/

的斜率為小寸，求線段的長(zhǎng)度；

解析⑴由已知可得直線I的方程為廠2=梟-4),

消去y可得x2—18=0,若設(shè)A(xi,ji),5a2,m).則xi+%2=0,

為冗2=-18.

于是I=yj(xi—%2)2+(yi—J2)2=(xi—X2)2+^(XI—X2)2=坐＞\/(x1+予人—4%

=^X6y[2=3y[id.所以線段AB的長(zhǎng)度為3冊(cè)5.

歸納總結(jié)：處理直線與橢圓相交的關(guān)系問(wèn)題的通法是通過(guò)解直線與橢圓構(gòu)成的方程.利用根

與系數(shù)的關(guān)系或中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決，

練習(xí)5如圖，已知橢圓C：3+0=1(〃>/?>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為A(2,0)

離心率為叩.直線>=%(%—1)與橢圓。交于不同的兩點(diǎn)M,N.

(1)求橢圓。的方程；

(2)當(dāng)△AMN的面積為^^時(shí)，求左的值.

7=2,

解(1)由題意得｛2=乎，解得b=小,所以橢圓c的方程為:+^=1.

222

<a=b+c9

y=k(x-l)9

(2)由<]得(1+23)/—4七+2/—4=0.

設(shè)點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為(為，%),(x2,竺)，

則—1),y2=k(X2—l)f

,4-2——4

XI+%2=]+2公，即尬=]+2產(chǎn)，

所以\MN\=^/(%2-%1)2+。2—刀)2=4(1+攵2)[。1+刀2)2—4X1X2]=空叵2笠翌土生1

又因?yàn)辄c(diǎn)A(2,0)到直線y=Z(x—1)的距離d=j[.

所以△AMN的面積為S=^\MN]-d=~^^-9

由呼薩=千，解得-±1.

例6中點(diǎn)弦問(wèn)題

72

(1)已知橢圓去+]=1和點(diǎn)尸(4,2),直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸且與橢圓交于A、B兩點(diǎn).

當(dāng)P點(diǎn)恰好為線段AB的中點(diǎn)時(shí)，求/的方程.

b兩式相減得淡薩+寸=。

解析設(shè)4(即，以)，5(X2,》2),則有

1,

整理得以8="二左=—小腎一由于P(4,2)是42的中點(diǎn)，...無(wú)i+尤2=8,巾+”=4,

X2—X136。2十州)，

9X811

于是kAB=-o7777=—,于是直線A3的方程為2=-z(x—4),

30入4Z乙

即x+2y—8=0.

歸納總結(jié)：設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程，兩式相減即得弦的中點(diǎn)與斜率的關(guān)系.

練習(xí)6已知橢圓C:9+V=1內(nèi)有一條以點(diǎn)P(lj)為中點(diǎn)的弦4B,則直線4B的方程

為,

【答案】3%+3y-4=0

【解析】設(shè)力(乙,乃)，Bg,y2),則詈=1,華=1

*2

由4,8在橢圓上可得當(dāng)+y/=i,^+y2=l,

(%1+%2)___2

36^1+72^3-|

直線4B的方程為y-：=—1(%—1)即3汽+3y—4=0.

例7橢圓中的最值（或范圍）問(wèn)題

72

（1）橢圓京+彳=1上的點(diǎn)到直線x+2y—啦=0的最大距離是（）

A.3B.VTTC.2小D.V10

答案D

解析設(shè)與直線x+2y—陋=0平行的直線為x+2y+wz=0與橢圓聯(lián)立得，（-2y—機(jī)產(chǎn)+句2

加2

—16=0,即4y2+4my+4y2—16+m2=0得2y2+^y—4+彳=0.

/=根2一8/~-4）=0,即一/+32=0,./=±4y2..??兩直線間距離最大是當(dāng)m=4、/，時(shí),

（2）已知歹是橢圓C：[+[=1的左焦點(diǎn)，P為c上一點(diǎn)，則|B4|+|P司

的最小值為

22

【答案】D【解析】設(shè)橢圓C:、■+]■=：!的右焦點(diǎn)為產(chǎn)'，易知E'（2,0）,E（—2,0）,

由得|AF[=；,根據(jù)橢圓的定義可得|P典+|尸尸|=2a=6,

513

所以1PAi+|PF|=|PA|+6Tpp|26—仙尸［=6—：=寸.

(3)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x,y)在橢圓蕓+木=1上，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,0),由1|=1,且前?嬴=0,

求I前I的最小值.

解由區(qū)而=1,4(3,0),

知點(diǎn)M在以A(3,0)為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

:麗■?嬴=0且尸在橢圓上運(yùn)動(dòng)，J.PMLAM,即尸M為。A的切線，連

接B4(如圖)，則|麗="兩2—4那=4|尸丁|2_1,...當(dāng)麗1mhi=a—c=5

—3=2時(shí)，|麗1min=d§.

歸納總結(jié):

練習(xí)8(1)設(shè)P,Q分別為必+(y-6)2=2和橢圓土+/=1上的點(diǎn)，則RQ兩點(diǎn)間的最

大距離是

A.5yf2,B.J46+C.7+^2,D.6A/2

【答案】D【解析】由題意可設(shè)Q(Mcosa,sintz),圓的圓心坐標(biāo)為C(0,6),圓心到。的

距離為ICQ1=J(>Mcosa)2+(sina_6)2=J50-9(sina+gfW回=5&,當(dāng)且僅

當(dāng)sin。=—|時(shí)取等號(hào)，所以|為213馮。。1厘+廠=50+及=60,所以P,Q兩點(diǎn)

間的最大距離是6亞.

2

(2)在橢圓?+/=1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P,Q,E(l,0)為定點(diǎn)，EPLEQ,則EPQP的

最小值為.

【答案】|【解析】由題意得EP-QP=EP?(EP—EQ)=Ep2—EP-EQ=EP、

設(shè)橢圓上一點(diǎn)P(羽y),則EP=(x—l,y),

5=(->+/=(1)2+11-訃2{+|

42

又—2Wx<2,...當(dāng)x=—3時(shí)，"石/取得最小值彳3.

(3)已知F是橢圓C：工+>2=1的左焦點(diǎn),p為橢圓c上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q(4,3),則|PQ|+|PF|

2

的最大值為_(kāi)______________

解析:因?yàn)辄c(diǎn)F為橢圓C:*y2=i的左焦點(diǎn)，

所以F(-1,O).

因?yàn)辄c(diǎn)P為橢圓C上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(4,3),

設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)為F'(1,0),

所以|PQ|+|PF|=|PQ+2&-|PF'|=2夜+IPQHPF'I,

因?yàn)閨PQ|-|PF'|W|QF'|=3企，

所以|PQ|+|PF|《5&,

即最大值為5e,此時(shí)Q,F',P共線.

故選A.

課后作業(yè)

A組基礎(chǔ)題

1.橢圓土+尸=1的短軸長(zhǎng)是（）

4'

1

A.4B.2C.1D.-

2

答案：B

【詳解】橢圓工+>2=1的短軸長(zhǎng)為26=2.

4-

2.若過(guò)橢圓工+）二=1內(nèi)一點(diǎn)尸（3,1）的弦被該點(diǎn)平分，則該弦所在直線方程為（）

164

A.3%+4y-13=0B.3x-4y-5=0C.4x+3y-15=0D.4x-3y-9=0

答案：A

【詳解】點(diǎn)差法：設(shè)交點(diǎn)為A（玉,芳）,5（々,%）,則

(22

江+國(guó)=1

164=小一/?才一￡_0=(石――)(X1+々)+%)_0

石門164164

----1-----1

1164

1,1(%-%)(%+%)3

---1

16--4(%一工2)(石+%2)4

3

=>AB:y-1=(x-3)=>3x+4y-13=0,

3.橢圓。：工+匕=1與直線/：（2〃?+1）%+（〃2+1）丁=7m+4,機(jī)6k的交點(diǎn)情況是（）

169

A.沒(méi)有交點(diǎn)B.有一個(gè)交點(diǎn)

C.有兩個(gè)交點(diǎn)D.由m的取值而確定

答案：C

【詳解】已知（2〃?+1）%+（〃?+1）、=7m+4,直線過(guò)定點(diǎn)4（3,1）,

將4（3,1）代入C：

1+卷=1可得:K

所以點(diǎn)4（3,1）在橢圓的內(nèi)部，所以必有兩個(gè)交點(diǎn).

4.橢圓工+乙=1的離心率為（）

43

A.-B.BC.-D.近

4422

答案：C

【詳解】解：因?yàn)闄E圓工+匯=1所以/=412=3,所以離心率6=41—眩=」.

43Va22

2

5.若點(diǎn)尸在橢圓C：^-+/=1,Fi,B分別為橢圓C的左右焦點(diǎn)，且/月2月=90。，則

鳥(niǎo)的面積為（）

A.73B.3C.4D.1

答案：D

2、L

【詳解】：橢圓C:、X+y2=l,."2=4,b2=l.可得C=JL

因此放中，閨閭=2g,由勾股定理得|P4「+歸6「=12①

根據(jù)橢圓的定義，得歸用+|尸閭=2a=4②

①②聯(lián)解，可得歸國(guó)?忸閭=2,，的面積S=；pKHP￡|=L

r221

6.已知橢圓j+v谷=1(a>A>0)的離心率為一，貝U

/b22

Aa2=2b2B.3a2=4b2C.a=2bD.3a=4b

答案：B

「1

【詳解】橢圓的離心率e=—=一^二/一我化簡(jiǎn)得夜二止，

a2

x2y2

7.橢圓m+36=1的焦距是2,則m的值是：

A.35或37B.35C.37D.16

答案：A

8.若直線丁=履+2和橢圓]+方=10〉0)恒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)6的取值范圍是()

A.[2,+oo)B.[2,3)U(3,+oo)C.[2,3)D.(3,+oo)

答案：B

22

【詳解】橢圓二+二=1(90)得出人再，??,若直線丁=辰+2

9b2

4

?,?直線恒過(guò)(0,2),?,.屏解得622,故實(shí)數(shù)b的取值范圍是[2,3)U(3,+8)

9.如圖所示，直線/：%-2丁+2=。過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)八和一個(gè)頂點(diǎn)-該橢圓的離心率為(

A.-B.-C.—D.撞

5555

答案：D

直線/的斜率為:，則2=:，即忙J=L,解得￡=型.

2c27c22a5

22

-7'I—=l(a〉0〉0)*,

10.過(guò)原點(diǎn)。的直線/與橢圓C：歐"交于〃，N兩點(diǎn)，P是橢圓c上

異于M，N的任一點(diǎn).若直線0M，PN的斜率之積為3,則橢圓c的離心率為

()

2V6V51

A.3B.3C.3D.2

答案：B

22

11.過(guò)橢圓胃■+]=1內(nèi)一點(diǎn)p(l,l)引一條恰好被P點(diǎn)平分的弦，則這條弦所在直線的方程

是_____________

答案：2x+3y—5=O

【詳解】由題意知，該直線斜率存在，設(shè)直線與橢圓交于人(%,%),5(9,%)兩點(diǎn)，斜率

2U.q,即二出左，所以左=_2

為左，則，，兩式相減得一1

x,+x%1-x32lx3

%T22

I32

2

所以所求直線方程為y-1=-j(x-l),即2x+3y-5=0.

3

12.如圖所示，在AABC中，ZA=90°,tan3=一.以A、8為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,若該

4

橢圓的焦距為4,則其短軸的長(zhǎng)為

答案：4若

3

【詳解】因?yàn)樵贏ABC中，ZA=90°,tan5=-,AB=4,

4

所以AC=3,BC=ylAB-+AC2=5-由橢圓的定義得AC+5C=2?,所以。=4,

因?yàn)閏=2,所以＜==2#)，故答案為：4A/3.

13.已知B為橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，若怛用+儼閭=2|片閭，則C的離

*C?率為.

答案：I

【詳解】P為橢圓。上一點(diǎn)，由橢圓的定義知，歸川+儼閭=2。，

因怛片|+忸q=2閨閭=4c,所以2a=4c,所以e=：=；

22

14.已知橢圓二+==1（a>b>0）的左右焦點(diǎn)分別為月（一。,0）,工（G。），過(guò)點(diǎn)尸2且

ab

2b

斜率為一的直線/交直線2Zzx+紗=。于若M在以線段/化2為直徑的圓上，則橢圓的

a

離心率為.

答案：I

【詳解】設(shè)直線/的方程為丁=一（尤—c）,聯(lián)立2"+毆=0,解得〈；，即點(diǎn)四的

abe

y二—

La

（cbe?

坐標(biāo)為5，-K,因?yàn)榘荚谝跃€段大工為直徑的圓上，所以可"，工"，有

則—3。2+絆=0,解得2="，則橢圓的離心率為

FMFM=O

124a2a2

22

15.已知橢圓V:=+==1（?！?〉0）的離心率為手,焦距為2招，斜率為k的直線/與

a"b

橢圓〃有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，4，B.

（」）求橢圓"的方程;

（2）若直線/過(guò)橢圓左焦點(diǎn)，且左=1,求|AB|.

/8

答案⑴小』⑵-

【詳解】

a2=b2+c2,

c_G

（1）由題意得《~cTF

2c=2百，

解得a=2,b=l.

所以橢圓M的方程為—+/=i.

4-

（2）由（1）得橢圓的左焦點(diǎn)為「上0）,則直線/的方程為：y=x+j3

設(shè)A（4K）,§（%，%）?

V=X+A/3,

由＜x2,得5/+8后+8=0,

匕+…

又看+尤2

所以

22ra\

16.已知網(wǎng)L0）是橢圓C：■+匕=1（。＞人＞0）的焦點(diǎn)，點(diǎn)在C上.

（1）求C的方程；

（2）斜率為十的直線/與C交于A（%，x）,3（9,%）兩點(diǎn)，當(dāng)3%/2+4%%=0時(shí)，求

直線/被圓好+/=4截得的弦長(zhǎng).

答案⑴）口⑵半

【詳解】解：（1）由己知得標(biāo)―尸=1,因點(diǎn)在橢圓上，所以'+,=1

,2,2

所以/=4，/=3所以橢圓。的方程為：L+2=1

43

卜1

1一x~\~t

2

（2）設(shè)直線/的方程為y=—%+f,聯(lián)立彳22，消去y得9+比+產(chǎn)—3=0,

2x+匕=1

T3

222

A=/-4（Z-3）=12-3Z>0,解得/<4,x1+x2=—t,項(xiàng)％2=干一3,

由3工］%2+4%%=0，即3%工2+41；了i:

-%%=0，

所以2%%2+，（石+Z）+2產(chǎn)=0（*）.

將為+%2=-%，玉%2=產(chǎn)一3代入（*）式，解得產(chǎn)=2,

由于圓心。到直線1的距離為d="!=*

V5V5

2屋T

所以直線/被圓。截得的弦長(zhǎng)為/=2/4-罐=

B組能力提升

223

1.已知橢圓—+%=1（?！?〉0）的離心率為左，右焦點(diǎn)分別為B,F2,過(guò)左焦點(diǎn)尸1

作直線與橢圓在第一象限交點(diǎn)為P,若心為等腰三角形，則直線「6的斜率為（）

A4夜R7&x8a

i\..----D.--------------------

787

答案：A

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)P在第一象限，所以|2耳|>|巴"，

c354

因?yàn)閑=—二—,所以。二一。，當(dāng)|尸耳|=|與耳|=2c時(shí)，||=2。-2c=—。滿足

a533

瑞|2—1。耳|2

ISF+IG4C2+4C2--C2R

cos二

1呷>1呷，^PFXF2__________9J

2|尸尸"I:上I

8c29

謔

所以sinNP耳工=J1--=—sin/尸耳月；4后

所以tan/P-E=

12V819cos〒二〒

APFXF2

9

所以直線尸耳的斜率為生g,當(dāng)|尸鳥(niǎo)|=|片方|=2c時(shí)，

7

4

IPFr\=2a-\PF2\=2a-2c=-c<\PF2\,不符合題意.

綜上所以直線PF】的斜率為逑.

7

2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，己知橢圓EiJ+^MKa〉人〉。）的右焦點(diǎn)為歹（c,0）,若

ab

廠到直線2Z?x—砂=0的距離為乎c,則E的離心率為（）

A.立B.-C.立D.走

2223

答案：A

【詳解】由尸到直線2bx-@=0的距離為^c,得直線2區(qū)-砂=0的傾斜角為45，所

以絲=1,SP4(a2-c2)=a2,解得e=[.

3已知圓M:x2+(y-1)2=1,圓N:x2+(y+l)2=l,直線/i、〃分別過(guò)圓心M、N,且Zi與圓Af相交

22

于A、3,/2與圓N相交于C、D尸是橢圓土+匕=1上的任意一動(dòng)點(diǎn)，則PAPB+PCPD

34

的最小值為()

A.乖)B.273C.3D.6

答案：D

【詳解】如圖所示，圓心M(0,1)，M。，-I)即為橢圓的焦點(diǎn).

當(dāng)且僅當(dāng)|PM=|PW=2時(shí)取等號(hào)PM+PN^>

22

PAPB+PCPD=PM+PN-2>6-

故選:D.

4.點(diǎn)P為橢圓工+匕=1上任意一點(diǎn)，EF為圓N:（x—1>+丁=1的任意一條直徑，則

1615

PE-P尸的取值范圍是（）

A.(8,24)B.[8,24]C.[5,21]D.(5,21)

答案：B

【詳解】由題意，

PEPF=（PN+NE〉（PN+NF）=（PN+NE、（PN-NE）=一|NE『

又所為圓N:（x-1）2+V=1的任意一條直徑，則M=1,

22

在橢圓三+匯=1中，有a—c?|PN|Wa+c,即3W|PN|<5,

16151111

所以，8<|P2V|2-1<24,故尸￡?尸R=’2年一1的取值范圍為[8,24].

22

5.已知尸2分別為橢圓土+匕=1的左、右焦點(diǎn)，/是橢圓上的一點(diǎn)，且在y軸的左側(cè)

168

過(guò)點(diǎn)色作鳥(niǎo)的角平分線的垂線，垂足為M若|ON|=2（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）則

|四等于（）

V3空

答案：A

【詳解】延長(zhǎng)KN交MK的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，作圖如下:

因?yàn)镸N為的角平分線，且,F?NJLMN,

所以w國(guó)=四尸|,所以W詞—W閨閨=閨|

因?yàn)镼N分別為耳心,6P的中點(diǎn)，所以O(shè)N為AP耳瑪?shù)闹形痪€,

所以|ON|=g閨4=2,所以|九碼—|阿閆￡H=2|ON|=4.

2

6.已知Fi,尸2分別是橢圓C：二=1（a＞0/＞0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)后的直線/交橢

a十%

圓于。、E兩點(diǎn)，|。制=5閨目，|￡＞周=JL且軸?若點(diǎn)P是圓。：必+y=1上

的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，貝1歸耳卜歸耳|的取值范圍是（）

A.[3,5]B.[2,5]C.[2,4]D.[3,4]

答案:A

【詳解】由題意可知，D(c,吟,E

[22「21

~+77=1

將。，石代入橢圓方程得＜a2n丁一5,所以耳(_2,0),瑪(2,0),

，2

[4195a1+225b=21A-4

設(shè)?(cos6,sin。),

貝U2耳HP工kJ(cos8+2)2+sir?eJ(cos6-2『+sin?8=V25-16cos26＞，

所以歸7小忸閭的取值范圍是[3,5].

7.已知R,B分別為橢圓C：1+工=1（。＞2）的左右焦點(diǎn)，若橢圓C上存在四個(gè)不

a24

同的點(diǎn)尸，滿足AP耳鳥(niǎo)的面積為4形，則橢圓C的離心率的取值范圍（）

D.GJ

答案：B

【詳解】因?yàn)榻裹c(diǎn)三角形面積最大值為Z?c=2c,

故只需2c>4應(yīng)，即c>2后即可滿足題意.

又工=(2近,+oo

a

易知￡〉逅，又ee（O,l）綜上則e

a3

22

8.已知方為橢圓C：土+匕=1的右焦點(diǎn)，過(guò)尸的直線/交橢圓。于A,8兩點(diǎn)，M為

62

的中點(diǎn)，則M到x軸的最大距離為（）

11「A/3

A.-B.—X?---D.正

3232

答案:C

【詳解】因?yàn)?=612=2,所以橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2,0）.設(shè)4（和的）,5（孫％），

直線/：x=ty+2,（顯然當(dāng)直線斜率為。時(shí)，不可能最大），與橢圓方程聯(lián)立得,

2+3)/+49—2=0,所以％+%=—產(chǎn)：3

-3-,所以又到無(wú)軸的距離為當(dāng)~

即弦AB的中點(diǎn)M縱坐標(biāo)為%、%

2r+3r+3

2M22

T.故加到x軸的最大距離為走

當(dāng)時(shí)，/+3

45