高中數(shù)學(xué)知識總結(jié)

目錄

前言...........................................2

第一章高中數(shù)學(xué)解題基本方法....................3

一、配方法................................3

二、換元法................................7

三、待定系數(shù)法............................14

四、定義法...............................19

五、數(shù)學(xué)歸納法...........................23

六、參數(shù)法...............................28

七、反證法...............................32

八、消去法..............................

九、分析與綜合法........................

十、特殊與?般法........................

十一、類比與歸納法...................

4--如旗與立蛤翅...................

第二章海中數(shù)掌常用的數(shù)學(xué)思想.................35

一、數(shù)形結(jié)合思想........................35

二、分類討論思想........................41

三、函數(shù)與方程思想......................47

四、轉(zhuǎn)化（化歸）思想....................54

第三章高考熱點問題和解題策略.................59

一、應(yīng)用問題............................59

二、探索性問題..........................65

三、選擇題解答策略......................71

四、填空題解答策略......................77

附錄.........................................

?、高考數(shù)學(xué)試卷分析....................

兩套高考模擬試卷...................

參考答案...........................

前言

美國著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說過，掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題。而當我們解題時遇到一個新問題，總

想用熟悉的題型去“套”，這只是滿足于解出來，只有對數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法理解透徹及融會貫通時，才能

提出新看法、巧解法。高考試題十分重視對于數(shù)學(xué)思想方法的考查，特別是突出考查能力的試題，其解答過

程都蘊含著重要的數(shù)學(xué)思想方法。我們要有意識地應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法去分析問題解決問題，形成能力，提高

數(shù)學(xué)素質(zhì)，使自己具有數(shù)學(xué)頭腦和眼光。

高考試題主要從以下幾個方面對數(shù)學(xué)思想方法進行考杳：

①常用數(shù)學(xué)方法：配方法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法、參數(shù)法、消去法等；

②數(shù)學(xué)邏輯方法：分析法、綜合法、反證法、歸納法、演繹法等；

③數(shù)學(xué)思維方法：觀察與分析、概括與抽象、分析與綜合、特殊與一般、類比、歸納和演繹等；

④常用數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化（化歸）思想等。

數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識相比較，它有較高的地位和層次。數(shù)學(xué)知識是數(shù)學(xué)內(nèi)容，可以用文字和符

號來記錄和描述，隨著時間的推移，記憶力的減退，將來可能忘記。而數(shù)學(xué)思想方法則是一種數(shù)學(xué)意識，只

能夠領(lǐng)會和運用，屬于思維的范疇，用以對數(shù)學(xué)問題的認識、處理和解決，掌握數(shù)學(xué)思想方法，不是受用一

陣子，而是受用一輩子，即使數(shù)學(xué)知識忘記了，數(shù)學(xué)思想方法也還是對你起作用。

數(shù)學(xué)思想方法中，數(shù)學(xué)基本方法是數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn)，是數(shù)學(xué)的行為，具有模式化與可操作性的特征，可

以選用作為解題的具體手段。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，它與數(shù)學(xué)基本方法常常在學(xué)習(xí)、掌握數(shù)學(xué)知識的同時

獲得。

2

可以說，“知識”是基礎(chǔ)，“方法”是手段，“思想”是深化，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)的核心就是提高學(xué)生對數(shù)

學(xué)思想方法的認識和運用，數(shù)學(xué)素質(zhì)的綜合體現(xiàn)就是“能力”。

為了幫助學(xué)生掌握解題的金鑰匙，掌握解題的思想方法，本書先是介紹高考中常用的數(shù)學(xué)基本方法：配

方法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法、參數(shù)法、消去法、反證法、分析與綜合法、特殊與?般法、類比

與歸納法、觀察與實驗法，再介紹高考中常用的數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、

轉(zhuǎn)化（化歸）思想。最后談淡解題中的有關(guān)策略和高考中的幾個熱點問題，并在附錄部分提供了近幾年的高

考試卷。

在每節(jié)的內(nèi)容中，先是對方法或者問題進行綜合性的敘述，再以三種題組的形式出現(xiàn)。再現(xiàn)性題組是?

組簡單的選擇填空題進行方法的再現(xiàn)，示范性題組進行詳細的解答和分析，對方法和問題進行示范。鞏固性

題組將在檢查學(xué)習(xí)的效果，起到鞏固的作用。每個題組中習(xí)題的選取，又盡量綜合到代數(shù)、三角、幾何幾個

部分重要章節(jié)的數(shù)學(xué)知識。

第一章高中數(shù)學(xué)解題基本方法

一、配方法

配方法是對數(shù)學(xué)式子進行一種定向變形（配成“完全平方”）的技巧，通過配方找到已知和未知的聯(lián)系,

從而化繁為簡。何時配方，需要我們適當預(yù)測，并且合理運用“裂項”與“添項”、“配”與“湊”的技巧,

從而完成配方。有時也將其稱為“湊配法”。

最常見的配方是進行恒等變形，使數(shù)學(xué)式子出現(xiàn)完全平方。它主要適用于：已知或者未知中含有二次方

程、二次不等式、二次函數(shù)、二次代數(shù)式的討論與求解，或者缺xy項的二次曲線的平移變換等問題。

配方法使用的最基本的配方依據(jù)是二項完全平方公式（a+b）2=a24-2ab4-b2,將這個公式靈活運用,

可得到各種基木配方形式，如：

a2+b2=(a+b)2—2ab=(a—b)2+2ab；

22b?

22V32

a+ab+b=(a+b)"—ab=(a—b)+3ab=(aH---)+(b)

2T

a2+b2+c2+ab+bc+ca=-[(a+b)2+(b+c)2+(c+a)2]

2

a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)=(a+b-c)2-2(ab-be-ca)=???

結(jié)合其它數(shù)學(xué)知識和性質(zhì)，相應(yīng)有另外的一些配方形式，如：

2

14-sin2a=l+2sinacosa=(sina+cosa)；

x2+~-2—(x+-)2—2=(x----)2+2：....等等。

XXX

I、再現(xiàn)性題組：

1.在正項等比數(shù)列｛a〃｝中，a1+2@3+@3也7=25,則@3+a$=

2.方程x2+y2—4kx—2y+5k=0表示圓的充要條件是。

A.4<k<lB.或k>lC.k￡RD.k=《或k=l

3.已知sin4a+cos4Q=1,則sina+cosa的值為。

A.1B.-1C.1或一1D.0

4.函數(shù)y=log^(-2x2+5x+3)的單調(diào)遞增區(qū)間是。

2

3

A.(—8,B.[4,+°°)C.(—J,4]D.[4,3)

5.已知方程x2+(a-2)x+a-l=0的兩根x[,x?，則點P(x]，x2)在圓x?+y?=4上，則實數(shù)a=。

【簡解】1小題：利用等比數(shù)列性質(zhì)將已知等式左邊后配方+@5)2易求。

答案是：5。

2小題：配方成圓的標準方程形式(x—a)2+(y—b)2=”，解=2〉0即可，選B。

3小題：已知等式經(jīng)配方成(sin2a+cos?a)2—2sin?acos2a=1,求出sinacosa,然后求出所

求式的平方值，再開方求解。選C。

4小題：配方后得到對稱軸，結(jié)合定義域和對數(shù)函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解。選I)。

5小題：答案3一布\

II、示范性題組：

例1.已知長方體的全面積為11,其12條棱的長度之和為24,則這個長方體的一條對角線長為一。

A.2y[jB.V14C.5D.6

2(盯+yz+xz)=11

【分析】先轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)表達式：設(shè)長方體長寬高分別為x,y,z,則〈“、…，而

4(x+y+z)=24

欲求對角線長擊N+N+Z，，將其配湊成兩已知式的組合形式可得。

【解】設(shè)長方體長寬高分別為x,y,z,由已知“長方體的全面積為11,其12條棱的長度之和為24”而

2(xy+yz+xz)=11

得：〈。

[4(x+y+z)=24

長方體所求對角線長為：y]x2+y2+z2=?x+y+z)2-2(盯+yz+xz)=-\/62-11=5

所以選B。

【注】本題解答關(guān)鍵是在于將兩個已知和?個未知轉(zhuǎn)換為三個數(shù)學(xué)表示式，觀察和分析三個數(shù)學(xué)式，容

易發(fā)現(xiàn)使用配方法將三個數(shù)學(xué)式進行聯(lián)系，即聯(lián)系了已知和未知，從而求解這也是我們使用配方法的?種

解題模式。

例2.設(shè)方程x2+kx+2=0的兩實根為p、q,若(R)2+(2)2W7成立，求實數(shù)k的取值范圍。

qp

【解】方程x2+kx+2=o的兩實根為p、q,由韋達定理得：p+q=-k,pq=2,

P2(q、2P，+q4(p2+/)2-2p2/[(〃+療—2〃行-2//

qp(pq)2(pqY(pqY

(公-4)2_8f—r-

-------------W7,解得kW—J10或J10.

4

又Yp、q為方程X?+kx+2=o的兩實根，△=k2-8N0即k>2j]或kw-2j]

綜合起來，k的取值范圍是：一Jibwkw-2J5或者2j5wkwjid。

【注】關(guān)于實系數(shù)一元二次方程問題，總是先考慮根的判別式“A”：已知方程有兩根時，可以恰當

運用韋達定理。本題由韋達定理得到p+q、pq后，觀察已知不等式，從其結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想到先通分后配方，

表示成p+q與pq的組合式。假如本題不對“△”討論，結(jié)果將出錯，即使有些題目可能結(jié)果相同，去掉對

的討論，但解答是不嚴密、不完整的，這一點我們要尤為注意和重視。

例3.設(shè)非零復(fù)數(shù)a、b滿足a?+ab+b2=0,求(上：)師8+(心不)叨8。

a+b。+匕

3

4

aaa

【分析】對已知式可以聯(lián)想：變形為(7)2+(7)+1=0,則7=3(3為1的立方虛根)；或配

bbb

方為(a+b)2=abo則代入所求式即得。

【解】由a2+ab+b2=0變形得：(￡)2+(f)+i=o,

bb

Cl-J\bO—Q

設(shè)3=:，則3~+G)+l=0,可知3為1的立方虛根，所以：一=一,3=。-=1。

bcoa

又由a2+ab+b2=0變形得：(a+b)2=ab,

球］、］/a\1998./x1998/a\999I/0、999/〃、999?、999999.~999

所以(-----)+(-----)=(―)+(―)=(-)+(—)=(。+0)

a-vba+bababba

=2o

【注】本題通過配方，簡化了所求的表達式；巧用1的立方虛根，活用3的性質(zhì)，計算表達式中的高

次惠。?系列的變換過程，有較大的靈活性，要求我們善于聯(lián)想和展開。

b

2a-1±V3z

【另解】由@2+放)+產(chǎn)=0變形得：(―)+(7)+1=0,解出一=---------后，化成三角形式,

bba2

代入所求表達式的變形式(f嚴9+(2嚴9后,-1±V3z

完成后面的運算。此方法用于只是未一-——聯(lián)想到3

ba2

時進行解題。

22一1±y[3i

假如本題沒有想到以上一系列變換過程時，還可由a2+ab+b2=0解出：a=--——b,直接代入

2

所求表達式，進行分式化簡后，化成復(fù)數(shù)的三角形式，利用棣莫佛定理完成最后的計算。

山、鞏固性題組：

函數(shù)y=(x—a)2+(x-b)2(a、b為常數(shù))的最小值為

9-4C22

A.8B.a+hD.最小值不存在

22

2.a、B是方程x2—2ax+a+6=0的兩實根，貝U(a-l)2+(BT)2的最小值是.

A.一普B.8C.18D.不存在

3.已知x、y￡R+,且滿足x+3y—1=0,則函數(shù)t=2”+8'有____。

B.最大值立C.最小值2夜B.最小值立

A.最大值20

22

4.橢圓X?—2ax+3y2+a?—6=0的一個焦點在直線x+y+4=0上，貝ija=

A.2B.-6C.-2或一6D.2或6

5.化簡：2Vl-sin8+j2+2cos8的結(jié)果是____。

A.2sin4B.2sin4-4cos4C.-2sin4D.4cos4—2sin4

6.設(shè)F］和k、2為雙曲線上一y2=l的兩個焦點，點P在雙曲線上且滿足NF|PF2=90°,則△F/F2

4

的面積是.

7.若x>-l,則f(x)=x?+2x+—!_的最小值為

x+1

8.已知生<3<a<-n,cos(a-3)=13.,sin(a+B)=-3,求sin2a的值。(92年高考題)

24135

4

5

9.設(shè)二次函數(shù)f(x)=Ax2+Bx+C,給定m、n(m<n),A2[(m+n)2+m2n2]+2A[B(m+n)—Cmn]

+B2+C2=01,

①解不等式f(x)>0；

②是否存在一個實數(shù)t,使當te(m+t,n-t)時，f(x)<0?若不存在，說出理由；若存在，指出t的取

值范圍。

4422

10.設(shè)s〉Lt>LmdR,x=logst+log(s>y=logvt+log,s+m(log(t+logzs),

①將y表示為x的函數(shù)y=f(x),并求出f(x)的定義域；

②若關(guān)于x的方程f(x)=0有且僅有一個實根，求m的取值范圍。

二、換元法

解數(shù)學(xué)題時，把某個式子看成個整體，用個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換

元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的

知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理。

換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯

露出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來?；蛘咦?yōu)槭煜さ男问剑褟?fù)雜的計算和推證簡化。

它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數(shù)式，在研究方程、不等式、

函數(shù)、數(shù)列、三角等問題中有廣泛的應(yīng)用。

換元的方法有：局部換元、三角換元、均值換元等。局部換元又稱整體換元，是在已知或者未知中，某

個代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個字母來代替它從而簡化問題，當然有時候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)。例如解不等式:

4"+2*—220,先變形為設(shè)2'=t(t>0),而變?yōu)槭煜さ囊辉尾坏仁角蠼夂椭笖?shù)方程的問題。

三角換元，應(yīng)用于去根號，或者變換為三角形式易求時;主要利用已知代數(shù)式中與三角知識中有某點聯(lián)

系進行換元。如求函數(shù)y=?+Jl—x的值域時,易發(fā)現(xiàn)xe[0,1],設(shè)x=sin2a,ae[0,問

2

題變成了熟悉的求三角函數(shù)值域。為什么會想到如此設(shè)，其中主要應(yīng)該是發(fā)現(xiàn)值域的聯(lián)系，又有去根號的需

要。如變量x、y適合條件x2+y2=r2(r>0)時，則可作三角代換x=rcos。、y=rsin。化為三角問題。

ss

均值換元，如遇到乂+丫=$形式時，設(shè)X=^+t,y=1—t等等。

22

我們使用換元法時，要遵循有利于運算、有利于標準化的原則，換元后要注重新變量范圍的選取，一定

兀

要使新變量范圍對應(yīng)于原變量的取值范圍，不能縮小也不能擴大。如上幾例中的t>0和a二]。

2

I、再現(xiàn)性題組：

1.y=sinx?cosx+sinx+cosx的最大值是。

2.設(shè)f(x?+1)=loga(4—x")(a>l),則f(x)的值域是。

3.已知數(shù)列｛a“｝中，aj=-1,a〃+1?a”=a〃+]—a〃，貝U數(shù)列通項a“=

4.設(shè)實數(shù)x、y滿足x2+2xy—l=0,則x+y的取值范圍是。

1+3一工

5.方程一不-=3的解是。

1+31一

v+，

6.不等式log2(2入-1),log2(2—2)〈2的解集是o

產(chǎn)J

【簡解】1小題：設(shè)sinx+cosx=t￡[―V2,V2],貝ljy=—+t---,對稱軸t=-1,當t=V2，

22

ymax=；+亞

5

6

2小題：設(shè)x?+l=t則f(t)=log,j[-(tT)?+4],所以值域為(-8,logq4]；

111

3小題：已知變形為———一=—1,設(shè)b“=---,則b]=-l,b“=—l+(n—1)(-1)-n,所以

許+iaan

J_

a〃=-

n

4小題:設(shè)x+y=k,則x/—2kx+l=0,△=4!<"—420,所以kel或kW—1：

x21

5小題:設(shè)3*=y,則3y"+2y—l=0,解得y=3,所以x=—l；

5

6小題:設(shè)log2(2x-1)=y,則y(y+l)<2,解得一2<y〈l,所以xe(log2工，log??)。

II、示范性題組:

999911

例1.實數(shù)x、y滿足4x——5xy+4y~=5(①式)，設(shè)$=*~+丫,求----F----的值。(93

Qmax”min

年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）

X=y[SCOSa

【分析】由S=x?+y2聯(lián)想至ljcos2a+sin2a=1,于是進行三角換元,設(shè)《代入①

y4ssina

式求Smax和Smin的值。

x-Vs"cosa

【解】設(shè)〈代入①式得：4S—5S?sinacosa=5

y=sina

10

解得s=----------------------------

8-5sin2a

101010

：-l，sin2aVI3W8-5sin2aW13:.—w-------------------------s一

138-5sina3

113B_16_8

一十--=+-=―

VSmin

max1010105

8S-108s—10

此種解法后面求S最大值和最小值,還可由sin2a---的有界性而求,即解不等式:

S

?lo這種方法是求函數(shù)值域時經(jīng)常用到的“有界法”。

5Sss

【另解】*S=x2+y2,設(shè)x2=j+t,y2—t,te

222

則xy=±代入①式得：4S±5

移項平方整理得l()0t2+39s2-160S+】00=0.

21010

395-1605+100^0解得：一WSW一

133

11316_8

++

Smin~1010~10~5

imax

6

7

【注】此題第一種解法屬于“三角換元法”，主要是利用已知條件S=x?+y2與三角公式cos?a+sin2

a=1的聯(lián)系而聯(lián)想和發(fā)現(xiàn)用三角換元，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值域問題。第：種解法屬于“均值換元

法”，主要是由等式S=x?+y2而按照均值換元的思路，設(shè)x2=l+t,y2=I-t,減少了元的個數(shù)，

22

問題且容易求解。另外，還用到了求值域的幾種方法：有界法、不等式性質(zhì)法、分離參數(shù)法。

和“均值換元法”類似，我們還有?種換元法，即在題中有兩個變量x、y時，可以設(shè)x=a+b,y=a

-b,這稱為“和差換元法”，換元后有可能簡化代數(shù)式。本題設(shè)x=a+b,y=a-b,代入①式整理得3a2+

252210201010

13b=5,求得a2-e[0,q],所以S=(a—b)~+(a+b)~=2(a~2+b2?)=百+a2~e[不，],

11

再求不一+--的值。

。max"min

11V2A-C

例2.Z\ABC的三個內(nèi)角A、B、C滿足：A+C=2B,---------+--------------------------，求cos-----------的

cosAcosCcosB2

值。(96年全國理)

'A+C=120°

【分析】由已知"A+C=2B”和“三角形內(nèi)角和等于180°”的性質(zhì)，可得1o；由

5=60°

A=60+aA-C

“A+C=120?！边M行均值換元，則設(shè)〈，再代入可求cosa即cos——

C=60°-a2

4+C=120。

【解】由aABC中已知A+C=2B,可得《?

5=60°

[4=60+a

由A+C=120°,設(shè)《代入已知等式得:

C=60°-a

111

-------+-------=----------------

cosA--------cosCCOS(60°+6Z)cos(600-a)1V3

-cos6Z---sin^r

22

1cosacosa

=-2A/2,

1y/3123.22J

-COS6Z+—sin(7-cos^a--smacosa--

22444

V2A-CV2

解得：COSQ=-----,即：COS-----------=-----o

222

11V2

【另解】由A+C=2B,得A+C=120°,B=60°。所以------+----------------

cosAcosCcosB

=—2四，設(shè)'—血』，

cosAcosC

11

所以cosA=-----7=-------,cosC=------f=----,兩式分別相加、相減得:

—A/2+加—V2—YYI

7

8

A+CA-CA-C2A/2

cosA4-cosC=2cos—~—cos-~-=cos-~-=~;----

222m2-2

A+CA-Cr-A-C2加

cosA—cosC=-2sin------sin-------=—"3sin-------=-z-----

222m2.

A-C2m2V2A-C2A-C4

即：，代入sin2------+cos—^-=1整理得：3m4

2—瓜n\2-2)m2-22

,A-C2V2V2

—16m-12=0,解出m=6,代入cos------=-z----=——

2m2—22

11r-

【注】本題兩種解法由“A+C=120。"、“——-4-——二=—2J2”分別進行均值換元，隨后

cosAcosC

結(jié)合三角形角的關(guān)系與三角公式進行運算，除由已知想到均值換元外，還要求對三角公式的運用相當熟練。

1

假如未想到進行均值換元，也可由三角運算直接解出：由A+C=2B,得A+C=120°,B=60°。所以------

cosA

+------=—=—2V2,即cosA+cosC=—2JEcosAcosC,和積互化得：

cosCcosB

A+CA—Cr-A—CV21—V2

2cos------cos-------=—y/2[cos(A+C)+cos(A-C),即cos-------=-----A/2COS(A-C)=.....-

nrjA—Cr-A.—CA—Cr-

V2(2cos"-------1),整理得：4J2cos-------+2cos---------3A/2=0,

222

A-CV2

解得：COS=——

例3.設(shè)a>0,求f(x)=2a(sinx+cosx)—sinx?cosx—2a2的最大值和最小值。

【解】設(shè)sinx+cosx=l,則LG[-V2,V2],由(sinx+cosx)2

f2—1

+2sinx?cosx得：sinx?cosx=------

2

/.f(x)=g(t)=——(t—2a)2+-(a>0),tG[-^2,V2]

t=-J^時，取最小值：-2a2—2V2a——

2

當2a2J1時，t=J2,取最大值:—2a2+2V2a---

2

當0<2awJ1時，t=2a,取最大值:]_

2

1V2

-(0<<7<—)

1

...f(x)的最小值為一2a2—2J5a一最大值為《

2

-2a2+242a--(a>—)

22

8

9

【注】此題屬于局部換元法，設(shè)sinx+cosx=t后，抓住sinx+cosx與sinx-cosx的內(nèi)在聯(lián)系，將

三角函數(shù)的值域問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問題，使得容易求解。換元過程中一定要注意新的參

數(shù)的范圍(te[-V2,V2])與sinx+cosx對應(yīng)，否則將會出錯。本題解法中還包含了含參問題時分類討

論的數(shù)學(xué)思想方法，即由對稱軸與閉區(qū)間的位置關(guān)系而確定參數(shù)分兩種情況進行討論。

一般地，在遇到題目12知和未知中含有sinx與cosx的和、差、積等而求三角式的最大值和最小值的題

型時，即函數(shù)為f(sinx±cosx,sinxcsox),經(jīng)常用到這樣設(shè)元的換元法，轉(zhuǎn)化為在閉區(qū)間上的二次函數(shù)或

一次函數(shù)的研究。

24(a+1)2a(a+1)2

例4.設(shè)對所于有實數(shù)x,不等式xlog,---------+2xlog,---^+log2-'~~5—>0恒成立，求

aa+l4a~

a的取值范圍。(87年全國理)

4(a+l)2a(a+l-

【分析】不等式中l(wèi)og,--------、10g,--、10g2,2?三項有何聯(lián)系？進行對數(shù)式的有關(guān)

a4a

變形后不難發(fā)現(xiàn)，再實施換元法。

2a4(〃+1)8(〃+1)Q+12a

【解】設(shè)log2=t,則log--------=log-----=3+log2==3—log-----

~aT\2a22a2a“Q+21

(Q4-1)~〃+1

3-t,log2———=21og9——=-2t,

4a~2a

代入后原不等式簡化為(3-t)x2+2tx-2t>0,它對一切實數(shù)x恒成立，所以：

3-/>0卜<32a

<,,解得<?,：.t<0即log2-----<0

△=4廠+8/(3—/)<0[t<Oskr>6'a+l

2a

0<-----<1,解得

。+1

【注】應(yīng)用局部換元法，起到了化繁為簡、化難為易的作用。為什么會想到換元及如何設(shè)元，關(guān)鍵是發(fā)

4(。+1)2a(a+l)2

現(xiàn)已知不等式中l(wèi)og2--------、log,——-、log2,2三項之間的聯(lián)系。在解決不等式恒成立問

aa-bl4a

題時，使用了“判別式法”。另外，本題還要求對數(shù)運算十分熟練。一