高中數(shù)學(xué)第一章常用邏輯用語1.4.1全稱量詞1.4.2存在量詞備課省公開課一等獎(jiǎng)新名師獲獎(jiǎng)PP

1.4全稱量詞與存在量詞1.4.1全稱量詞1.4.2存在量詞1/53【自主預(yù)習(xí)】1.全稱量詞與全稱命題(1)全稱量詞:在指定范圍內(nèi),表示整體或全部含義短語,如“_______”“_________”,符號:___.(2)全稱命題:含有_________命題叫做全稱命題.符號表示:____________.全部任意一個(gè)?全稱量詞?x∈M,p(x)2/532.存在量詞與特稱命題(1)存在量詞:表示個(gè)別或一部分含義短語,如“_________”“___________”.符號:___.(2)特稱命題:含有_________命題叫做特稱命題.符號表示:_____________.存在一個(gè)最少有一個(gè)?存在量詞?x0∈M,p(x0)3/53【即時(shí)小測】1.以下命題中,不是全稱命題是()A.任何一個(gè)實(shí)數(shù)乘以0都等于0B.自然數(shù)都是正整數(shù)C.每一個(gè)向量都有大小D.一定存在沒有最大值二次函數(shù)【解析】選D.A,B,C都是全稱命題,D是特稱命題.4/532.以下命題中假命題是()A.存在實(shí)數(shù)α和β,使cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβB.不存在無窮多個(gè)α和β,使cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ5/53C.對任意α和β,有cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβD.不存在這么α和β,使cos(α+β)≠cosαcosβ-sinαsinβ6/53【解析】選B.如α=β=kπ(k∈Z)時(shí),cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ,故B為假命題,其余為真命題.7/533.對任意x>3,x>a恒成立,則實(shí)數(shù)a取值范圍是________.【解析】對任意x>3,x>a恒成立,即大于3數(shù)恒大于a,所以a≤3.答案:(-∞,3]8/534.已知命題:“存在x0∈[1,2],使x02+2x0+a≥0”為真命題,則a取值范圍是________.【解析】要使命題為真命題,則22+2×2+a≥0,即a≥-8.答案:[-8,+∞)9/53【知識探究】探究點(diǎn)全稱量詞(全稱命題)與存在量詞(特稱命題)了解1.你能說出一些慣用全稱量詞和存在量詞嗎?提醒:全稱量詞:一切、任意、任給、每一個(gè)、都是(有)、全體、全部、…,存在量詞:有一個(gè)、有一些、有、對某個(gè)、不都是、個(gè)別、部分、….10/532.全稱命題?x∈M,p(x)為真含義是什么?提醒:對M中每一個(gè)個(gè)體x,都含有或滿足性質(zhì)p(x),毫無例外.3.特稱命題?x0∈M,p(x0)為真含義是什么?提醒:在M個(gè)體中,最少有一個(gè)x0含有或滿足性質(zhì)p(x0),而不是全部個(gè)體都不含有性質(zhì)p(x).11/53【歸納總結(jié)】1.了解全稱命題及特稱命題時(shí)應(yīng)關(guān)注三點(diǎn)(1)全稱命題就是陳說某集合中全部元素都含有某種性質(zhì)命題,常見全稱量詞還有“一切”“每一個(gè)”等,對應(yīng)詞語是“都”.12/53(2)有些命題省去了全稱量詞,但仍是全稱命題,如“有理數(shù)是實(shí)數(shù)”,就是“全部有理數(shù)都是實(shí)數(shù)”.(3)特稱命題就是陳說某集合中存在一個(gè)或部分元素含有某種性質(zhì)命題,常見存在量詞還有“存在”等.13/532.全稱命題與特稱命題區(qū)分(1)全稱命題中全稱量詞表明給定范圍內(nèi)全部對象都含有某一性質(zhì),無一例外,強(qiáng)調(diào)“整體、全部”.(2)特稱命題中存在量詞則表明給定范圍內(nèi)對象有例外,強(qiáng)調(diào)“個(gè)別、部分”.14/53易錯(cuò)警示:經(jīng)過舉例驗(yàn)證方式判斷全稱命題為真易犯以偏概全錯(cuò)誤.15/53類型一全稱命題與特稱命題判定【典例】1.以下語句不是特稱命題是()A.有無理數(shù)平方是有理數(shù)B.有無理數(shù)平方不是有理數(shù)C.對于任意x∈Z,2x+1是奇數(shù)D.存在x0∈R,2x0+1是奇數(shù)16/532.判斷以下語句是全稱命題,還是特稱命題:(1)凸多邊形外角和等于360°.(2)有些實(shí)數(shù)a,b能使|a-b|=|a|+|b|.(3)對任意a,b∈R,若a>b,則(4)有一個(gè)函數(shù),既是奇函數(shù),又是偶函數(shù).17/53【解題探究】1.典例1中特稱命題特征是什么?提醒:含有存在量詞,如:有,有些等.2.典例2中判斷一個(gè)命題是全稱命題,還是特稱命題關(guān)鍵是什么?提醒:關(guān)鍵是分清量詞類型,若沒有量詞可依據(jù)命題意義將量詞補(bǔ)上.18/53【解析】1.選C.因?yàn)椤坝小薄按嬖凇睘榇嬖诹吭~,“任意”為全稱量詞,所以選項(xiàng)A,B,D均為特稱命題,選項(xiàng)C為全稱命題.19/532.(1)能夠改寫為“全部凸多邊形外角和等于360°”,是全稱命題.(2)含有存在量詞“有些”,故是特稱命題.(3)含有全稱量詞“任意”,故是全稱命題.(4)含有存在量詞“有一個(gè)”,是特稱命題.【延伸探究】把本例1中各個(gè)選項(xiàng)用符號?,?表示:20/53【解析】A:?x0∈{無理數(shù)},x02∈Q.B:?x0∈{無理數(shù)},x02?Q.C:?x∈Z,2x+1是奇數(shù).D:?x0∈R,2x0+1是奇數(shù).21/53【方法技巧】判斷一個(gè)語句是全稱命題還是特稱命題步驟(1)判斷語句是否為命題,若不是命題,就當(dāng)然不是全稱命題或特稱命題.(2)若是命題,再分析命題中所含量詞,含有全稱量詞命題是全稱命題,含有存在量詞命題是特稱命題.22/53(3)當(dāng)命題中不含量詞時(shí),要注意了解命題含義實(shí)質(zhì).尤其提醒:全稱命題可能省略全稱量詞,特稱命題存在量詞普通不能省略.23/53【拓展延伸】全稱命題、特稱命題不一樣表述形式應(yīng)用命題全稱命題“?x∈M,p(x)”特稱命題“?x0∈M,p(x0)”表述方法①全部x∈M,有p(x)成立②對一切x∈M,有p(x)成立③對每一個(gè)x∈M,有p(x)成立④任選一個(gè)x∈M,有p(x)成立⑤凡x∈M,都有p(x)成立①存在x0∈M,使p(x0)成立②最少有一個(gè)x0∈M,使p(x0)成立③對有些x0∈M,使p(x0)成立④對某個(gè)x0∈M,使p(x0)成立⑤有一個(gè)x0∈M,使p(x0)成立24/53【變式訓(xùn)練】設(shè)非空集合P,Q滿足P?Q,則表述正確是()A.?x∈Q,有x∈PB.?x∈P,有x∈QC.?x0?Q,使得x0∈PD.?x0∈P,使得x0?Q【解析】選B.因?yàn)镻?Q,則由子集定義,P集合中任何一個(gè)元素都在Q中,所以選B.25/53類型二全稱命題與特稱命題真假判斷【典例】1.(·新鄉(xiāng)高二檢測)有以下四個(gè)命題:①?x∈R,2x2-3x+4>0;②?x∈{1,-1,0},2x+1>0;③?x0∈N,x02≤x0;④?x0∈N*,x0為29約數(shù).其中真命題個(gè)數(shù)為()A.1B.2

C.3D.426/532.(·太原高二檢測)已知命題p:?x>0,x+≥4;命題q:?x0∈(0,+∞),則以下判斷正確是()A.p是假命題B.q是真命題C.p∧(?q)是真命題D.(?p)∧q是真命題27/53【解題探究】1.全稱命題和特稱命題為真含義是什么?提醒:全稱命題為真必須所給范圍內(nèi)每一個(gè)元素都滿足后面性質(zhì),特稱命題為真必須最少一個(gè)元素滿足后面性質(zhì).28/532.基本不等式內(nèi)容和指數(shù)函數(shù)定義域是什么?提醒:基本不等式:a,b∈R+時(shí),

,指數(shù)函數(shù)定義域?yàn)镽.29/53【解析】1.選C.對于①,這是全稱命題,因?yàn)棣?(-3)2-4×2×4<0,所以2x2-3x+4>0恒成立,故①為真命題;對于②,這是全稱命題,因?yàn)楫?dāng)x=-1時(shí),2x+1>0不成立,故②為假命題;對于③,這是特稱命題,當(dāng)x0=0或x0=1時(shí),有x02≤x0成立,故③為真命題;對于④,這是特稱命題,當(dāng)x0=1時(shí),x0為29約數(shù)成立,所以④為真命題.30/532.選C.由基本不等式知命題p正確;由知,x0=-1,故命題q不正確;結(jié)合邏輯聯(lián)結(jié)詞含義可知應(yīng)選C.31/53【延伸探究】1.本例2中命題p改為?x∈R(x≠0),x+≥4,判斷其真假.【解析】當(dāng)x∈R(x≠0)時(shí),x+∈(-∞,-4]∪[4,+∞),故命題為假命題.32/532.本例2中命題q改為?x∈(0,+∞),2x>,判斷其真假.【解析】當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),2x>1>恒成立,所以命題為真命題.33/53【方法技巧】全稱命題與特稱命題真假判斷技巧(1)全稱命題真假判斷:要判定一個(gè)全稱命題是真命題,必須對限定集合M中每個(gè)元素x驗(yàn)證p(x)成立;但要判定全稱命題是假命題,卻只要能舉出集合M中一個(gè)x=x0,使得p(x0)不成馬上可(這就是通常所說“舉出一個(gè)反例”).34/53(2)特稱命題真假判斷:要判定一個(gè)特稱命題是真命題,只要在限定集合M中,找到一個(gè)x=x0,使p(x0)成馬上可;不然,這一特稱命題就是假命題.尤其提醒:判斷全稱命題為假比判斷其為真輕易,只需一個(gè)反例即可;判斷特稱命題為真比判斷其為假輕易,只需一個(gè)特例.35/53【賠償訓(xùn)練】1.以下命題否定為假命題是()A.?x∈R,-x2+x-1<0B.?x∈R,|x|>xC.?x,y∈Z,2x-5y≠12D.?x0∈R,sin2x0+sinx0+1=036/53【解析】選A.命題否定為假命題亦即原命題為真命題,只有選項(xiàng)A中命題為真命題,其余均為假命題.37/532.以下命題中是真命題且為特稱命題是()A.棱柱是多面體B.對任意φ∈R,函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)都不是偶函數(shù)C.對任意實(shí)數(shù)x,有cosx≤1D.最少有一條直線過點(diǎn)(2,0)且與圓x2+y2=1相交38/53【解析】選D.A省略了全稱量詞“全部”是全稱命題;B,C中命題都是全稱命題.39/53類型三全稱命題與特稱命題應(yīng)用【典例】1.(·雅安高二檢測)若命題“?x0∈R使得x02+mx0+2m+5<0”為假命題,則實(shí)數(shù)m取值范圍是()A.[-10,6]B.(-6,2]C.[-2,10]

D.(-2,10)40/532.(·山東高考)若“?x∈,tanx≤m”是真命題,則實(shí)數(shù)m最小值為________.41/53【解題探究】1.典例1中二次不等式解集非空時(shí),判別式應(yīng)滿足什么條件?提醒:大于0.2.典例2中正切函數(shù)在上單調(diào)性是怎樣?提醒:增函數(shù).42/53【解析】1.選C.命題“?x0∈R,x02+mx0+2m+5<0”為真時(shí),說明不等式x2+mx+2m+5<0有解,所以判別式Δ=m2-4(2m+5)>0,解得m<-2或m>10,所以當(dāng)命題為假時(shí),m取值范圍是[-2,10].43/532.若“?x∈,tanx≤m”是真命題,則m大于或等于函數(shù)y=tanx在上最大值.因?yàn)楹瘮?shù)y=tanx在上為增函數(shù),所以,函數(shù)y=tanx在上最大值為1.所以,m≥1,即實(shí)數(shù)m最小值為1.答案:144/53【方法技巧】應(yīng)用全稱命題與特稱命題求參數(shù)范圍兩類題型(1)全稱命題常見題型是“恒成立”問題,全稱命題為真時(shí),意味著命題對應(yīng)集合中每一個(gè)元素都含有某種性質(zhì),所以利用代入能夠表達(dá)集合中對應(yīng)元素詳細(xì)性質(zhì);也能夠依據(jù)函數(shù)等數(shù)學(xué)知識來處理.45/53(2)特稱命題常見題型是以適合某種條件結(jié)論“存在”“不存在”“是否存在”等語句表述.解答這類問題,普通要先對結(jié)論作出必定存在假設(shè),然后從必定假設(shè)出發(fā),結(jié)合已知條件進(jìn)行推理證實(shí),若推出合理結(jié)論,則存在性隨之處理;若造成矛盾,則否定了假設(shè).46/53【變式訓(xùn)練】若?x∈R,f(x)=(a2-1)x是單調(diào)減函數(shù),則a取值范圍是________.【解析】依題意有:0<a2-1<1??-<a<-1或1<a<.答案:(-,-1)∪(1,)47/53【賠償訓(xùn)練】若?x∈R,函數(shù)f(x)=mx2+x-m-a圖象和x軸恒有公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)a取值范圍.48/53【解析】(1)當(dāng)m=0時(shí),f(x)=x-a與x軸恒相交,所以a∈R.(2)當(dāng)m≠0時(shí),二次函數(shù)f(x)=mx2+x-m-a圖象和x軸恒有公共點(diǎn)充要條件是Δ=1+4m(m+a)≥0恒成立,即4m2+4am+1≥0恒成立.又4m2+4am+1≥0是一個(gè)關(guān)于