教育教學(xué)論文球體積公式的推導(dǎo)歷史及比較

1球體積公式的推導(dǎo)歷史及比較廣安市鄰水實(shí)驗(yàn)學(xué)校曾祥超摘要：球體積的計(jì)算是個(gè)相當(dāng)復(fù)雜的問(wèn)題，不同的時(shí)代，在不同的國(guó)家，對(duì)球體積公式的推導(dǎo)有著細(xì)心的研究，有幾個(gè)杰出的數(shù)學(xué)家：阿基米德、劉徽、祖沖之父子、關(guān)孝和等得出了相應(yīng)的球體積公式，他們之間有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系。關(guān)鍵詞：球體積；阿基米德；劉徽；祖沖之父子；關(guān)孝和ZengxiangchaoCollegeofMathematicsandinformation,mathematicsandappliedmathematicsAbstract:Ballvolumecalculationisaquitecomplexquestion,indifferebrilliantmathematician:Archimedes,LiuHui,fatherandsonzuchongzhi,GuanXiaoanddrawthecorrespondingvolumeformula,connectedbetweenthetype.Keywords:Ballsize;Archimedes;LiuHui;fatherandsonzuchongzhi;GuanXiaohe0引言球體積公式是非常復(fù)雜問(wèn)題。在《九章算術(shù)》中，球的體積公式相當(dāng)于(是球的直徑)。這是一個(gè)近似公式，誤差很大。張衡曾經(jīng)研究了這個(gè)問(wèn)題，但沒(méi)有得到更好的結(jié)果。劉徽發(fā)現(xiàn)了《九章算術(shù)》少?gòu)V章所說(shuō)的球與其外切圓柱的體積之比為π:4的結(jié)論是錯(cuò)誤的，并正確指出球與“牟合方蓋”(兩個(gè)底半徑相同的圓柱垂直相交，其公共部分稱(chēng)為“牟合方蓋”)的體積之比才是π:4,把對(duì)于球體積問(wèn)題的研究推進(jìn)了一大步，但他沒(méi)有能夠解決牟合方蓋體積的計(jì)算問(wèn)題。二百年后，祖沖之和他的兒子祖才在這個(gè)問(wèn)題上取得了突破。祖胞，字景爍，曾任梁朝員外散騎侍郎、太府卿、南康太守、材官將軍、奉朝請(qǐng)等，也是南北朝時(shí)期著名的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家，著有《漏刻均已失傳。有的文獻(xiàn)記載說(shuō)《綴術(shù)》也是他所著,說(shuō)他還曾參加阮孝緒編著《七2錄》的工作。祖沖之父子推算出牟合方蓋的體積等于，從而得到正確的球體積公式233dV=16d=3π,徹底解決了球體積的計(jì)算問(wèn)題。由于當(dāng)時(shí)用圓周率π,因此他們的球體積公式為。祖氏父子在推導(dǎo)牟合方蓋體積公式的過(guò)程中，提出了“冪勢(shì)既同，則積不容異”(即二立體如果在等高處截面的面積相等，則它們的體積也必定相等)的原理。現(xiàn)在一般把這個(gè)原理稱(chēng)為“祖胞原理”。在西方，17世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里重新提出這個(gè)原理，即被稱(chēng)為“卡瓦列里公理”,這個(gè)原理成為后來(lái)創(chuàng)立微積分學(xué)的重要的一步阿基米德(公元前287—前212年)在數(shù)學(xué)上的成就很多，其中他最感興趣的是關(guān)于球體積公式的推導(dǎo)，他為了找到球體積的計(jì)算方法，先用一個(gè)空心的等邊圓柱(就是圓柱底面圓的直徑正好等于圓柱的高)的容器，里面裝滿(mǎn)了水。然后把一個(gè)直徑等于這個(gè)圓柱高的球輕輕放進(jìn)容器，再小心地把溢出的水收集起來(lái)，量出水的體積就是球的體積。他經(jīng)過(guò)多次這樣的實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)球的體積正好等于圓柱容器體積的。因?yàn)閳A柱的體積是已知的，從而推導(dǎo)出球的體積公式。阿基米德非常重視這個(gè)發(fā)現(xiàn)，囑咐別人在他死后，能在他墓碑上刻上這個(gè)圖形。這就是上面所提到的古墳?zāi)贡纤痰膱D案。1球體積公式的推導(dǎo)歷史1.1阿基米德球體積公式的推導(dǎo)阿基米德推導(dǎo)球體積公式的思想方法是先利用力學(xué)中的杠桿平衡原理得出球體積公式，然后運(yùn)用幾何方法加以論證.他把球體和錐體分成很多窄的平行的條或薄的平行的層，并且把這些片掛在杠桿的一端，使它平衡于容積和重心已知的一個(gè)柱體.阿基米德發(fā)現(xiàn)球體積公式的具體方法和過(guò)程如下：矩形(長(zhǎng)為寬的兩倍)、角形和圓(半徑為r)圍繞BT軸旋轉(zhuǎn)，得旋轉(zhuǎn)體(圓柱體、圓錐體積和球體);然后，從這三個(gè)立體上切下與A相距x、x的豎立的薄片(并且假定它們是平行體),并把所得錐體和球體的薄片平移到T點(diǎn)(AB=AT=2r),把所得圓柱體薄片放到原來(lái)的圓柱體的重心處，當(dāng)△x很小時(shí)，就得到：球體薄片的體積=πx(2r-x)Ax=2πrx△x-πx2△x,柱體薄片的體積=4πr2△x,錐體薄片的體積=πx2Ax經(jīng)觀察可知，球體薄片的體積+錐體薄片的體積=πx(2r-x)△x+πx2△x=2πrxA,消去πx2△x項(xiàng)，把BT視為支點(diǎn)為A的杠桿，則所有球體和錐體薄片的力矩為4pgπr2xA:(假定柱體、錐體、球體取材相同，其中p為同種材料的密度，g為自由落體加速度),而柱體薄片的以2r為力臂的力矩也為pg2πrx△:2r=4pgπr2x△x利用杠桿平衡原理，可把球體和錐體的所有切得的薄片都掛在距A點(diǎn)2r的T處，3也即故球體體積×2r+錐體體積×2r=柱體體積×r式的嚴(yán)格證明.徑0C進(jìn)行n等分(設(shè)每等分的長(zhǎng)為h),通過(guò)各分點(diǎn)作平行于底面的截面，從將半球劃分n個(gè)截段，再作每個(gè)截段的外接和內(nèi)接圓柱.根據(jù)相交弦定理易知A?D?2=CDi×DD?=h(2r-h)=h(2n-1)hA?D?2=CD?×D?D?=2h(2r-2h)=2h(2n-2)hAO2=CO×OD=nh×nh=nh(2n-n)h4對(duì)任意的有限項(xiàng)，v柱即不能大于3/2V球，也不能小于3/2v球，從而只能出現(xiàn)相等的關(guān)系。1.2劉徽、祖沖之父子球體積公式的推導(dǎo)魏晉時(shí)數(shù)學(xué)家劉徽在研究我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》時(shí)，為《九章》作注，書(shū)名為《九章算術(shù)注》。在該書(shū)中，劉徽明確指出《九章算術(shù)》中的球體積公式v=9/16d3(d為球的直徑)是錯(cuò)誤的，錯(cuò)誤的原因在于誤以為球和它的外切圓柱的體積的比是π:4。為了糾正這一錯(cuò)誤，劉徽在他的《九章算術(shù)注》中，提出一個(gè)獨(dú)特的方法來(lái)計(jì)算球體的體積：他不直接求球體的體積，而是先計(jì)算另一個(gè)叫“牟合方蓋”的立體的體積。何謂“牟合方蓋”?用一個(gè)正方體的土坯，用一與之內(nèi)切且等高的空心鐵圓柱一套，拿出來(lái)，正方體變成了圓柱體，底面正好為原正方體底面的內(nèi)接圓，然后橫放此圓柱，再用同樣的一個(gè)空心鐵圓柱一套(如圖一),出現(xiàn)了圖二中形狀的物體——即由兩個(gè)同樣大小但軸心互相垂直的圓柱體相交而成的立體。由于這個(gè)立體的外形似兩把上下對(duì)稱(chēng)的正方形雨傘(整個(gè)造形也像兩頂餐桌上擋蒼蠅用的桌罩反向迭合而成的),所以就稱(chēng)它為“牟合方蓋”。在這個(gè)立體里面，可以?xún)?nèi)切一個(gè)半徑和原來(lái)圓柱體一樣大小的球體。劉徽指出，由于內(nèi)切圓的面積和外切正方形的面積之比為π:4(見(jiàn)圖三),所以球體體積與“牟合方蓋”的體積之比亦應(yīng)為π:4。而顯然，因?yàn)閮?nèi)切圓柱的體積大于合蓋的體積，所以球體體積與“牟合方蓋”的體積之比和球體體積與它的外切圓柱的體積的比應(yīng)不相等，由此說(shuō)明《九章算術(shù)》中的球體積公式是錯(cuò)誤的。顯然，只要求出牟合方蓋的體積，那么球體積便迎刃而解。可惜的是，劉徽功虧一簣，未能求出牟合方蓋的體積，但是他坦誠(chéng)地記下了自己的困惑，表示“欲陋形措意，懼失正理，敢不闕言，以候能言者”,表現(xiàn)了一位偉大學(xué)者實(shí)事求是、寄希望于后學(xué)的坦蕩胸懷。5二百年后，能實(shí)現(xiàn)劉徽愿望的人終于出現(xiàn)了。他就是祖胞!祖眶是南北朝時(shí)牟合方蓋”(如圖四),設(shè)OP=h,過(guò)P點(diǎn)作平面PQRS平行于OABC。又設(shè)內(nèi)切球體的半徑為r,則OS=OQ=r,由勾股定理有PS=PQ=√,2-h2,故如果將圖四的立體放在一個(gè)邊長(zhǎng)為r的正立方體之內(nèi)(如圖五),不難證明圖五高處，圖五中陰影部分的面積與圖六中倒立的正立方錐體的橫切面的面積總相“緣冪勢(shì)既同，則積不容異?！庇趫D五的正立方體體積，由此可知八分之一個(gè)“牟合方蓋”的體積伴隨著中國(guó)算書(shū)陸續(xù)東傳日本，球積計(jì)算問(wèn)題也受到日本數(shù)學(xué)界的數(shù)學(xué)家6中都曾嘗試求解球體積,方法大致是:(1)將直徑為1尺的球的直徑100等分,在這些分點(diǎn)上沿著與直徑垂直相交的平面,把球切為100個(gè)其厚度為1分的切片;(2)把上下面切口的直徑作為底的直徑,計(jì)算高度為1分的圓柱體的體積;(3)計(jì)算100個(gè)圓柱體的體積之和，將其作為球體積的近似值，這樣會(huì)得出兩種情況，如圖1所示,在圖1(I)的情況下,求出的體積比球體積真值要大,而在圖1(Ⅱ)的情況下，求出的體積比球體積真值要小。圖1求球體積的“切片”法和算家村松茂清(1608—1695)在《算俎》中首次改進(jìn)了這種球體積方法.《算俎》在求“玉積率(約0.524)”的方法中這樣描述，作垂直于球中的某個(gè)直徑的一組平面，并把這個(gè)直徑均勻的切成100等分.這時(shí)試著由平面切成的球的各個(gè)部分看成圓臺(tái)，分別計(jì)算出它們各自的體積，之后求和計(jì)算出玉積率，這種方法顯然要比以前的方法精確很多.此后，村瀨義益借助村松茂清的這一方法在“玉法根源”中把球體切分成一萬(wàn)份，給出了精確度更高的玉積率.村瀨義益的生卒年代沒(méi)有資料可靠，他應(yīng)是生活在日本江戶(hù)初期的和算家.根據(jù)村瀨在自己著作序文中的介紹，可知他出生在佐渡，向佐渡島的和算家百川治兵衛(wèi)的弟子或?qū)O弟子學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，之后去江戶(hù)，拜比自己年齡還小但知名度很大的和算家義村吉德(?—1710年)為師.經(jīng)過(guò)多年的刻苦努力，通曉了當(dāng)時(shí)許多日本數(shù)學(xué)和從中國(guó)傳來(lái)的數(shù)學(xué)算書(shū),并于1673年完成自己的數(shù)學(xué)著作《算法勿憚改》,共有5卷,在卷中給出了一種球體積近似公式.“玉貫法五二三六の根源八貫老尺の玉を老萬(wàn)枚にヘぎてき枚の厚さき毛宛也凡うすやうの紙の厚さに等き也如此徑矢弦の術(shù)をもツて其徑を知銘銘に坪を見(jiàn)て老萬(wàn)枚合て五百貳拾三坪六分と成故二定法とする也切又周法五九二老七九八周三尺老寸四分老厘六毛を再自因而為実以貫法除き知也”.這段話的大意是:玉貫法五二三六(π/6≈0.5236)的根源，是把直徑為一尺的球削成一萬(wàn)枚圓臺(tái)，每枚的厚度為一·,·當(dāng)于一張紙的厚度，利用徑矢弦術(shù)可知每枚圓臺(tái)的底面半徑，再求得每枚圓臺(tái)體積，最后把一萬(wàn)枚圓臺(tái)體積相加起來(lái)，共為五百二拾三坪六分.這是一種求證球體積的方法，其中重要一步是徑矢弦術(shù)，村瀨給出了徑矢弦公式，如圖2所示.“今有弓形，弦長(zhǎng)八寸，矢二寸，問(wèn)徑幾何.答曰：徑一尺.法曰：弦八寸自因，得7六十四步，另外矢二寸乘定法四，與前面的步法相除，得八，再與矢二寸相加得到徑長(zhǎng)”.這里給出公式：μ=a2(4)+h,其中d為直徑，a為弦，h為矢.瀨在“徑矢弦四之起”中驗(yàn)證了此公式的正確性.例如，直徑(弦)為一尺的圓，內(nèi)切長(zhǎng)方形.又知矢一寸，由勾股定理，可得股為八寸，勾為六寸，用邊長(zhǎng)為直徑(弦)的正方形面積(100步)減去中央邊長(zhǎng)為股的正方形面積(64步),得這4個(gè)相等的面積重新組成一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為4h,寬為d-h。由此可以得出下式：a3=4h(d-h),經(jīng)過(guò)整理就得出公式a=a2(4h)+h。實(shí)際上這一公式很早就在中國(guó)《九章算術(shù)》中有了記載，遺憾的是村瀨義益沒(méi)有給出求解球體積計(jì)算方法的具體過(guò)程，不過(guò)關(guān)孝和(?—1708)在《括要算法》中給出了明確的計(jì)算過(guò)程.首先，把直徑1尺的球切成50片，每片的厚度為2分，用徑矢弦術(shù)求出每片弦冪(弦的平方),再把相鄰兩個(gè)弦冪相加后，乘以厚度，再除以2,得到“截積”,把各個(gè)截積相加起來(lái)，得到“初積”,這里的初積為v?=666.4;得到初積后，關(guān)氏又將球體積分割成100片，每片的厚度為1分，利用同樣的計(jì)算方法，得到結(jié)果為v?=666.6立方寸，,稱(chēng)為“中積”;之后，再將球切成200片，每片的厚度為5厘，得到“后積”v;=666.65立方寸。由這里已知但這還仍是一個(gè)近似的求解方法，直到松永良弼(1693—1744)《立圓率》首次用極限的概念求出了球體的公式，才使這一問(wèn)題在日本得到最終解決.松永良弼的《算法集成》中的《立圓率》是一部試圖解說(shuō)和證明關(guān)孝和《括要算法》(求立圓積術(shù))的著作.他引入自己的具有普遍性的新方法，證明關(guān)孝和的球體積計(jì)算方法的正確性.在《立圓率》中，松永概述了自己的方法.“切球?yàn)閿?shù)萬(wàn)片，以切口之徑為弦.自之各和，以圓法及厚相乘，便得球形.”這一思想方法顯然是繼承于關(guān)氏，為了求出圓柱的體積，松永利用徑矢弦術(shù)并對(duì)這個(gè)公式一矢為一寸(h·1=h),弦冪則為三十六(a?);若二矢二寸(h·2=2h),則弦冪為六十四(a?2).但因二矢為一二之和，故為二寸；若三矢三(h·3=3h),8a2=4h(d-h)(k=1,2,……,n)接著，松永把k=1,k=2,…,k=10代入，計(jì)算結(jié)果為4hd-4h?,8hd一16h?,…,40hd-400h:.此后，又把這些算式加起來(lái)，“將其得數(shù)乘以厚，乘以圓積法，便得球之泛積”.所謂泛積，即“未竟的概略之積”.所謂圓積法，就是4.它對(duì)球的泛積v的計(jì)算整理后得：V,=π/6d3(1+6/4n-1/n2),得到此式后，松永進(jìn)一步解釋說(shuō)：“截?cái)?shù)(是指n)至虧多則此兩數(shù)微ナリ故截多極)數(shù)習(xí)增約シテ此兩數(shù)習(xí)消ス”[4].這即指n→,得到v=116πd3.松永就此導(dǎo)出了球的體積公式，從而證明了關(guān)孝和方法的正確性.從和算求解球體積的整個(gè)歷史發(fā)展過(guò)程中看出，其主要思想方法是：(1)將球的直徑d分為n等分，在這些分點(diǎn)上沿著與直徑直交的平面，把球切為n個(gè)其厚廢為n的切片；(2)把上下面的弦長(zhǎng)(切口的徑)作為底的直徑，計(jì)算高度為n的圓柱體的體積，取兩個(gè)圓柱體積的平均數(shù)作為近似的各切片的體積；(3)計(jì)算n個(gè)切片的體積之和，將其作為球體積的近似值；(4)作為n→~時(shí)的極限值，以此決定球的體積.2.球體積公式的推導(dǎo)之比較在中國(guó)，《九章算術(shù)》給出了球體積的經(jīng)驗(yàn)公式，這一公式很不精確，東漢劉徽試圖找到求解球體積的正確方法，但在求解“牟合方蓋”的問(wèn)題上受到阻礙，沒(méi)有進(jìn)行下去.這一方法被南北朝數(shù)學(xué)家祖胞所沿續(xù)，并在研究中發(fā)現(xiàn)了“祖原理”,最終得到球體積公式.劉祖剖分球體積的方法與日本和算家切分方法相比，不具有均勻性，是一種不規(guī)則的剖分方法.這種方法在特定情況下很有效，但很難成為一般性的方法來(lái)推廣.之后中國(guó)古代對(duì)球體積的研究基本上是停頓狀態(tài)，甚至到后來(lái)劉祖剖分球體積的方法已經(jīng)失傳.明清的時(shí)候，已經(jīng)無(wú)人知道這一方法，不過(guò)受西方數(shù)學(xué)傳入的刺激，中算家另辟蹊徑，重新開(kāi)始球體積的研究.方中通的方法，是將球的一個(gè)直徑作為中軸，對(duì)球體積作一種均勻剖分，可其剖分出來(lái)的小體積不規(guī)則，很難用當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)知識(shí)得出結(jié)論.梅文鼎是將球體積分成4個(gè)等體積的球扇形體，再求出球扇形體的體積，而得到球體積公式.從證明過(guò)程中可以看出，他的一些理論是受西方數(shù)學(xué)知識(shí)的影響，另外，在證明上還有不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牡胤?，被后?lái)晚清數(shù)學(xué)家徐有壬所完善。在日本，最初的思想方法是把球體切成薄片，再把薄片視為圓柱體，通過(guò)對(duì)圓柱體體積累加，近似得到球體積，不過(guò)這種方法從直觀上就可判斷出不準(zhǔn)確，即不是大于球體積就是小于球體積.這種缺陷并沒(méi)有使和算家放棄此種方法，而是對(duì)這種缺陷進(jìn)行改進(jìn).首先是村松茂清在《算俎》中把切片視為圓柱體的作法改為圓臺(tái)，這使計(jì)算精度大為提高，也為這種方法進(jìn)一步研究給予啟發(fā).到了關(guān)9氏的《括要算法》,不僅在球體切分上有了大的改進(jìn)，而且在算法上還發(fā)現(xiàn)了其中內(nèi)含的規(guī)律，即每次均勻切分50、100、200……后，把所得到的兩個(gè)相鄰近似球體積值作差運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)它們之間存在著等比關(guān)系，關(guān)氏猜測(cè)若如此無(wú)限繼續(xù)下去的話就能得到球的體積，但關(guān)氏沒(méi)有把這一思想方法進(jìn)行到底，到了關(guān)流三傳松永良弼徹底解決這一問(wèn)題，即在繼承關(guān)氏的思想基礎(chǔ)上，最終利用取極限的方法得到球體積公式.在西方，球體的體積計(jì)算方法雖然早已由希臘數(shù)學(xué)家阿基米德發(fā)現(xiàn)，但“祖胞原理”是在獨(dú)立研究的基礎(chǔ)上得出的，且比阿基米德的內(nèi)容要豐富，涉及的問(wèn)題要復(fù)雜?！白姘怼睆姆椒ㄖ镣茖?dǎo)都是由劉徽及祖氏父子自行創(chuàng)出，這不能不算是一項(xiàng)杰出的成就。這一球體體積公式比歐洲阿基米德的雖然出現(xiàn)較遲，但二者有異曲同工之妙。所用“緣冪勢(shì)既同，則積不容異”的原理，其中“勢(shì)”即是“祖胞原理”在17世紀(jì)由意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里重新發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)在一般認(rèn)為于受劉徽的啟發(fā)，祖氏父子比卡瓦列利早一千年就用到了這個(gè)原理，所以我認(rèn)為稱(chēng)之為“劉祖原理”可能更切合實(shí)際。3.結(jié)束語(yǔ)從古代球體積研究歷史可知以下幾點(diǎn)：首先，中算家的方法是多種多樣的，雖有一定的繼承，但多數(shù)是中算家獨(dú)立完成的.而日本球體積發(fā)展過(guò)程確有很強(qiáng)的繼承性，逐漸深入，在和算家?guī)状瞬恍傅呐ο?，最終完成了球體積公式的證明.其次，中算家證明球體積的方法，集中運(yùn)用幾何知識(shí)來(lái)證明，而和算家在證明時(shí)，不僅運(yùn)用幾何知識(shí)，還發(fā)現(xiàn)了計(jì)算中存在的數(shù)量規(guī)律，表現(xiàn)出了幾何的代數(shù)化傾向.還有，中算家方法的特點(diǎn)只局限于對(duì)特定問(wèn)題的特殊證明，他們的方法很難再平移或推廣到其它類(lèi)似數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決上來(lái).和算家的方法就不同，他們的方法不僅可以解決球體積，而且稍做改進(jìn)就可以推廣到很多類(lèi)似問(wèn)題的解決上來(lái).被稱(chēng)為和算中興之祖的安島直圓(1732—1798)就是繼承了這種方法，開(kāi)創(chuàng)和發(fā)展和算中的綴術(shù)理論，而且，這種方法也為后來(lái)微積分在和算中的產(chǎn)生做出了準(zhǔn)備.古希臘著名科學(xué)家阿基米德在其畢生的科學(xué)研究中，十分注重理論與實(shí)踐的緊密結(jié)合.他的所有成就幾乎都是在理論產(chǎn)生的同時(shí)便應(yīng)用于實(shí)踐，或在實(shí)踐的同時(shí)產(chǎn)生嚴(yán)密的科學(xué)理論，所以阿基米德堪稱(chēng)是把技術(shù)實(shí)踐和嚴(yán)密科學(xué)理論相結(jié)合的典范.他在物理上卓有成就，譬如《論杠桿》和《論平板的平衡》等著作；他同時(shí)也是整個(gè)數(shù)學(xué)史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一，其幾何著作堪稱(chēng)古希臘數(shù)學(xué)的頂峰.從他推導(dǎo)球體積公式的思想方法，我們或許能窺見(jiàn)一斑。美國(guó)學(xué)者懷爾德(R.Wilder)曾寫(xiě)有《數(shù)學(xué)概念的進(jìn)化》和《作為文化系統(tǒng)的數(shù)學(xué)》兩部著作[11].其中主要提出所謂的數(shù)學(xué)文化論，這是指把數(shù)學(xué)看成是一個(gè)由于其內(nèi)在力量