(完整)《生活中的數(shù)學》校本課程

(完整)《生活中的數(shù)學》校本課程(完整)《生活中的數(shù)學》校本課程(完整)《生活中的數(shù)學》校本課程《生活中的數(shù)學》校本課程龔條枝目錄第一講：讓數(shù)學幫你理財?shù)诙v：導航的雙曲線第三講：電冰箱溫控器的調(diào)節(jié)—-如何使電冰箱使用時間更長第四講：賭馬中的數(shù)學問題第五講：對稱-—自然美的基礎(chǔ)第六講：對數(shù)螺線與蜘蛛網(wǎng)第七講：斐波那契數(shù)列第八講：分數(shù)維的山峰與植物第九講：蜂房中的數(shù)學第十講：龜背上的學問第十一講：Music與數(shù)學A股誕生億萬第十二講：e和銀行業(yè)第十三講：幾何就在你的身邊第十四講：“壓歲錢”與“賑災(zāi)小銀行”第十五講：建議班級購買一臺飲水機第十六講：巧用數(shù)學看現(xiàn)實第十七講：商品調(diào)價中的數(shù)學問題第十八講：煤商怎樣進煤利潤高第一講:讓數(shù)學幫你理財某銀行為鼓勵小朋友養(yǎng)成儲蓄習慣，提供一個頗有心思的儲蓄計劃.參加者除可有較高年息優(yōu)惠外（見附表），更可以特價換取手表一只。先不論以低價換表是否真的超值,但這種宣傳方法頗具心思。手表與戶口連在一起，正好意味著利息隨時間遞增的關(guān)系.

儲蓄計劃優(yōu)惠年息一覽表每月存款（港幣）＄1,000存期（月）每年復(fù)息利率到期存款（港幣）利息（港幣)到期本息金額(港幣）9

12

15

18

246.625%

7。125%

7.375％

7.75%

8。00%9，000

12，000

15，000

18,000

24,000252

473

759

1,146

2，1069，252

12,473

15,759

19，146

26,106

銀行的宣傳小冊子更注明十一歲至十七歲小朋友已可開個人戶口。這群“準客戶”大致是接受中學教育的適齡兒童。無論有興趣參加與否，總希望他們或早或遲懂得儲蓄計劃背后的數(shù)學原理.

這個儲蓄計劃是以每月存入定額存款來計算利息，而存款期限愈長，利率則愈高。為了更有效理解表中“到期本息金額”如何計算出來,且讓我們設(shè)為每月存款的金額，而則為月息利率。月息利率是由“每年復(fù)息利率”除以12而來的。譬如說，存款期限為9個月，從表中得知每年復(fù)息利率是6.625%，因此月息利率為6.625％÷12,即約是0.5521%.

存款1個月后，到期本息金額：

存款2個月后，到期本息金額：

存款3個月后，到期本息金額:

余此類推，存款個月后，到期本息金額應(yīng)為：

為了簡化這數(shù)式，設(shè)。

因此,

括號內(nèi)的數(shù)式在數(shù)學上稱為等比級數(shù)（geometricprogression）：

首項（firstterm)是，公比(commonratio）亦是。利用公式,我們便可把的數(shù)式寫成:

。

現(xiàn)在就讓我們運用這公式找出表中第一行的“到期本息金額"：

，

代入數(shù)式，

（準確至最接近的整數(shù)）

表中其余的“到期本息金額”不如留給你算算，看看表中列的數(shù)字是否有錯誤吧。第二講:導航的雙曲線我們小時侯都曾夢想，長大以后要當上船長就好了。在茫茫的大海上，驚濤駭浪，你能順利地指揮著船隊駛向前方嗎?好，讓我們的雙曲線來幫助你吧。它是大海的導航員.

先來看一看原理.假如你站在廣場上，廣場的東西兩側(cè)各裝有一只喇叭，并且放著歡快的音樂:

北京的京山上光芒照四方，毛主席就是那金色的太陽,多么溫暖……

我站在廣場上,聽見第一只喇叭把“金色的太陽”傳到耳朵后的半秒鐘，又聽到了第二聲“金色的太陽”。由于兩個喇叭離耳朵的遠近不同,所以產(chǎn)生了聽覺上的時間差.再換一個地方，是否還有這樣歌聲相差半秒的情形呢？實際上，只要人站的位置與兩只喇叭的距離差與第一次一樣就可以了.因此可以找到很多這樣的點。這些點就構(gòu)成了雙曲線的一支。

輪船航行在海上時,它就處于人的位置。岸上有兩個無線電發(fā)射臺，用電波代替了喇叭里傳出的音樂。輪船行駛在某一位置時，就可以從接收的電波的相位差,測出輪船與電臺的距離差，由此確定了一條以兩個電臺為焦點的雙曲線。若再和另一對電臺聯(lián)系,可以確定出另一條雙曲線，兩條雙曲線有一個交點，船就處于這一點上。這一切都是在一瞬間完成的，因為有很多現(xiàn)代化的工具來幫助我們，你明白了嗎？船長們就是這樣來導航的.第三講：電冰箱溫控器的調(diào)節(jié)——如何使電冰箱使用時間更長中國自從1978年改革開放之后，人民生活水平日益提高，許多家庭都購買了電冰箱等家用電器。但是有許多家庭并不了解電冰箱的工作原理，更不了解電冰箱溫控器的工作原理及其調(diào)節(jié)方法。人民生活水平固然提高了許多，但是現(xiàn)在也并不是都十分富裕。不正確的使用電冰箱勢必會縮短其使用壽命，帶來了不必要的麻煩，同時也浪費了自然資源和財力。

有一次，我們家中的一臺電冰箱工作了很長時間，卻一直不停機。我們嚇了一跳,以為電冰箱壞了。我們給維修單位打電話咨詢，但是上上下下仔細查看了整個電冰箱后，才發(fā)現(xiàn)只是溫控器調(diào)節(jié)的不正確。這使我們認識到了冰箱溫控器對于電冰箱的重要性。因此,我們來研究一下電冰箱溫控器的正確使用方法，即如何使電冰箱的使用壽命更長。

問題：如何正確調(diào)節(jié)電冰箱溫控器,使電冰箱使用壽命更長。

電冰箱制冷是靠中溫低壓的液態(tài)制冷劑進入蒸發(fā)器吸收熱量汽化為低溫低壓的氣態(tài)制冷劑,達到蒸發(fā)器周圍降溫使冰箱內(nèi)部冷卻的目的。壓縮機、冷凝器、干燥過濾器、毛細管則是幫助并保證在蒸發(fā)器中已使用過的制冷劑回復(fù)到中溫低壓的液體，能再一次送回蒸發(fā)器吸熱汽化，實現(xiàn)單向連續(xù)循環(huán)制冷。蒸發(fā)器是電冰箱中唯一制冷的器件。壓縮機把蒸發(fā)器出來的低溫低壓的汽態(tài)制冷劑經(jīng)回氣管由壓縮機吸入氣缸，被壓縮為高溫高壓的氣態(tài)進入冷凝器，把蒸發(fā)器中吸收的熱量和壓縮機在壓縮做功時轉(zhuǎn)換的熱量，利用制冷劑與周圍介質(zhì)之間有較大的溫差，通過冷凝器全部散發(fā)到空氣中。制冷劑在冷凝器中因放熱而被液化。這高壓中溫液態(tài)制冷劑經(jīng)干燥過濾器吸收其中的水分，濾除其中的雜質(zhì)，進入毛細管節(jié)流降壓，使高壓液態(tài)制冷劑降為低壓而能回到蒸發(fā)器重復(fù)使用。電冰箱就是這樣由各種制冷劑作工質(zhì)，在封閉系統(tǒng)中作單向連續(xù)循環(huán)，把冰箱內(nèi)熱量不斷的轉(zhuǎn)移到箱外而達到制冷目的.

電冰箱壓縮機是開開停停間歇工作的。電冰箱達到箱內(nèi)的設(shè)定溫度是通過溫度控制器控制壓縮機的開、停機來完成的。壓縮機運轉(zhuǎn)時間長，即制冷時間長,則箱內(nèi)溫低；反之箱溫就高。溫度控制器二個觸點串聯(lián)在壓縮機電路中,當箱內(nèi)溫度低到某一設(shè)定溫度時則溫控器觸點跳開，壓縮機停轉(zhuǎn)，暫停制冷，隨后箱內(nèi)溫度逐漸提高，在箱內(nèi)溫度高到另一設(shè)定溫度時則溫控器觸點閉合，壓縮機又運轉(zhuǎn)制冷……如此循環(huán)。使箱內(nèi)溫度保持在一定范圍內(nèi)。

電冰箱溫控器中的感溫包感受蒸發(fā)器的溫度,當溫度升高或降低時，感溫元件中感溫劑膨脹或收縮，使非剛性元件感溫腔（波紋管或膜盒）推進或退縮，從而改變感溫元件與彈簧片之間的作用力通過溫控器中機械傳力放大,使感溫腔微小形變產(chǎn)生的微小位移放大，控制電觸點，使其閉合或斷開電路.溫控器指向的數(shù)字，并不表示確切的溫度，而是表示控制溫度高低的程度趨向,數(shù)字小表示控制在較高溫度，數(shù)字大則表示控制在較低溫度.

我們認為，壓縮機的使用壽命在很大程度上決定了電冰箱的使用壽命。而影響壓縮機工作時間的因素主要有：外界溫度、溫控器檔位、冷凍室食品量、開關(guān)冰箱門習慣。當電冰箱工作穩(wěn)定后，冷凍室食品量對其影響十分微小，但不可以忽略不計。無論是在寒冷的冬季，還是在炎熱的夏季，冰箱中的食品都是在不斷的吸熱和放熱。當冰箱內(nèi)冷汽散失時，食品吸熱；當電冰箱制冷吸熱時,食品放熱.這在夏季時最為明顯:當電冰箱停機時，冰箱內(nèi)食品越多其停機時間越長，因為如果假設(shè)食品的平均比熱容不變，那么根據(jù)物理學關(guān)于熱能的公式Q=M×C×ΔT可知食品量與停機時間成反比。其中Q為食品熱量變化，C為食品平均比熱，ΔT食品溫度變化量。因此,冰箱內(nèi)食品量的多少也是十分重要的.實際上，外界溫度隨季節(jié)變化而變化，溫控器檔位靠人工調(diào)節(jié)，冰箱內(nèi)的食品量和如何開關(guān)門對于一個家庭來講變化不會很大，因為已經(jīng)形成了習慣.但是，使用時如果壓縮機長時間連續(xù)工作，壓縮機溫度就會升高，就會造成熱沖擊。過多的熱沖擊會縮短壓縮機的使用壽命.因此，我們只要調(diào)節(jié)溫控器檔位，使電冰箱冷凍室溫度不低于某一溫度，而且壓縮機在非長時間連續(xù)工作的條件下（不超過一個小時）,工作時間與工作、停機的時間和的比值最小（如工作10分鐘，停機10分鐘,則比值為0.5),即壓縮機的使用壽命更長,就可以使電冰箱的使用壽命更長.同時，電冰箱的耗電量也降低了。這樣,一臺電冰箱在使用過程中既省電,又可以延長使用壽命，當然十分經(jīng)濟.通過電冰箱生產(chǎn)廠家的電話咨詢，專業(yè)技術(shù)人員肯定了我們的上述看法。于是我們就此進行了一些實驗，并通過電話咨詢得到了一些準確的數(shù)據(jù)。

在北京等中國北方城市，冬季的供暖由市區(qū)縣的各供暖單位負責保證。政府規(guī)定,冬季居民室內(nèi)的溫度不得低于16攝氏度。北京市的供暖單位現(xiàn)在一般能夠保證這個溫度在18攝氏度左右，最高溫可達20攝氏度，最低溫絕不低于16攝氏度。因此，可以認為我國北方冬季家庭室內(nèi)溫度在18攝氏度左右。又因為,我國北方春秋季節(jié)家庭室內(nèi)溫度也在18攝氏度左右，偏冷的地區(qū)依然有暖汽等供暖，甚至常年不斷.所以，可以認為，我國北方春秋冬三季的家庭室內(nèi)溫度均在18攝氏度左右。就一般家庭而言，熟食一般現(xiàn)吃現(xiàn)買，生食一般只放幾個星期。電冰箱冷凍室的食品量一般占冷凍室容積的五分之三左右，且一般變化不是很大。就是說，一般家庭的食品量對冰箱的影響基本相同。

綜上所述，我們理想化的實驗條件是我國北方春秋冬三季一般家庭的電冰箱.在研究這個問題時可以把食品量和室內(nèi)溫度作為常數(shù)來考慮。由于每次開冰箱門時都會使冰箱內(nèi)食品吸熱升溫,所以不同人的開門習慣和速度會影響到冰箱的制冷效果。比如說：老人可能手腳不是很利落，而且拿一件東西要想一下；年輕人可能一只手開門，另一只手就把東西拿出來了。為了簡便計算，我們可以認為，在一個家庭中不考慮老人與青年人的分別，只考慮平均到每個家庭成員的使用效果,那么各個家庭的情況基本相同。結(jié)果是，我們在計算過程中可以忽略這一因素的影響.我們想利用家用電冰箱來進行一次實驗.于是我們選用了長嶺阿里斯頓——BCD208型電冰箱，在保持室溫為18攝氏度且食品量始終占冷凍室有效容積五分之三不變的情況下，測定了一些數(shù)據(jù)。這種電冰箱屬于中等檔次的家用電器，制冷效果屬于一般水平。目前許多家庭使用的電冰箱的制冷效果和保溫能力都與其相差無幾。這些滿足了本論文前面交代的實驗條件，可以作為該條件下的一個例子，來解決這個問題。于是我們開始了實驗.實驗進行了一個多星期，每組數(shù)據(jù)(既一個檔位）間間隔二個小時，讓電冰箱進行調(diào)節(jié)，以保證數(shù)據(jù)的準確性。

這臺冰箱的溫控器旋鈕有六個檔位，分別是從零到五。第零檔為停機檔，既電冰箱壓縮機停止工作,不會啟動；第五檔為速凍檔,即壓縮機一直啟動，不會停機.因此，我們不能選第零檔，因為冰箱不會制冷；不能選第五檔，因為冰箱持續(xù)工作，即浪費電能，又會造成熱沖擊，還有可能凍壞食品。我們設(shè)工作時間與工作、停機的時間和的比值為y，設(shè)電冰箱溫控器檔位為x。則自變量x的取值范圍為(0,5）。在平面直角坐標系中描點作圖，為了便于計算,且不影響結(jié)果的正確，我們在計算時把原ｙ值擴大了100倍。這樣可以方便計算,也能方便作圖。觀察散點的分布，我們認為這些點極有可能是在一條拋物線上,因此設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)為。我們在后面附有實驗數(shù)據(jù)列表和用繪圖工具《幾何畫板》作出的函數(shù)圖象。其中，表格包含五組數(shù)據(jù)，在測定時每組數(shù)據(jù)之間至少間隔兩個小時，因為電冰箱需要約一個小時來調(diào)整。函數(shù)圖象有一個大致的輪廓。圖中的空心圓點表示描點，實心圓點表示當x為4。5時函數(shù)圖象上的點。

我們分別以三組數(shù)據(jù)為一組，把五組數(shù)據(jù)分成了十組.設(shè)五組數(shù)據(jù)對應(yīng)函數(shù)圖象上的點從左至右依次為A、B、C、D、E，則將五組數(shù)據(jù)分組為:ABC、ABD、ABE、ACD……BDE、CDE.每組可分別解出一個函數(shù)，但都有一定誤差.其中，凡是包含數(shù)據(jù)組E的組誤差都十分大，且不太正常。我們認為是由于壓縮機升溫且冷凝器溫度升高散熱變慢，導致電冰箱工作異常。這種可能性十分大，屬于正?，F(xiàn)象。通過電話咨詢，冰箱廠家的技術(shù)人員肯定了我們的想法，并告訴我們：目前一些高級的冷凝管可以大大提高散熱效率，但造價頗高，且調(diào)節(jié)溫控器就可解決問題，沒必要多花錢去生產(chǎn)。于是把數(shù)據(jù)組E舍去，只計算前四組，又可以分為四組：ABC、ABD、ACD、BCD。以這四組數(shù)據(jù)分別解出一個函數(shù),這四組函數(shù)中也存在誤差，但是應(yīng)該保留數(shù)據(jù)組A存在誤差的那一分組。因為，溫控器調(diào)得過低后也會造成冰箱本身的問題.由于檔位越低,要求達到的溫度越高（不一定始終在設(shè)定溫度以下），所以要工作的時間就比較短,但停機時間縮短得更多。就是說，冰箱內(nèi)的食品在較長時間內(nèi)放出了熱量,在較短的時間內(nèi)又吸入了大致相同的熱量。冰箱在這時需要適度調(diào)低要求達到的溫度。這就是為什么要注意溫控器的調(diào)節(jié).就是說，由BCD解得的函數(shù)對于點A、D的誤差屬于合理誤差.最后,只有BCD這一組的不合理誤差最小(此時A點誤差為—0.36)，最后解得的函數(shù)即為所求的函數(shù)y=f（x）。

由數(shù)據(jù)組BCD解函數(shù)：

當x=2。574時,函數(shù)有最小值y=35。846;

所以,溫控器旋鈕應(yīng)指在2.574的位置。

可是由于實驗中不可能消除誤差,所以應(yīng)指在2、3之間的一個位置，室溫稍低時就調(diào)低一點兒，反之就高一點兒,一般家庭不用經(jīng)常調(diào)，溫度差2到3度不會有大影響.但是不同的電冰箱性能不同，具體的食品量在變化，外界溫度也會上下浮動，每個人每一次開門造成的影響都不相同,不同品牌電冰箱溫控器控制面板也不相同。所以忽略絕大多數(shù)家庭相同的因素，只須再考慮不同的電冰箱性能不同、電冰箱溫控器控制面板也不相同。盡管不同的電冰箱性能不同，但是它們的工作原理相同，都是在不斷的吸熱、放熱。就是說,它們在那個檔位基本上都是最佳的。雖然電冰箱溫控器控制面板不相同,但是內(nèi)部旋轉(zhuǎn)多少角度能調(diào)節(jié)多少溫度，卻是同樣基本相同的。目前市場上比較多的樣式主要有：“0”到“5"，“1”到“7"和“弱”、“中”、“強”。由于我們實驗用的電冰箱配備的是第一種樣式的溫控器，所以對應(yīng)到其它兩種樣式分別是“3”、“4”檔之間和“中”略偏“弱”。

問題解決了，是在中國北方春秋冬三季，一般家庭家用電冰箱溫控器的調(diào)節(jié)。目的是如何更經(jīng)濟的使用好電冰箱.答案就是上一段最后的幾句話。問題雖然很小，而且用的就是解方程的方法，但卻能培養(yǎng)我們從生活中尋找數(shù)學問題、運用數(shù)學知識的好習慣。這對于推行素質(zhì)教育是一個極佳的方法，它使學生因為自己的興趣而學習，知識也就更加牢固。另外，這個問題可以擴展到其它方面。如下水道的清理問題，你必須知道什么時候清理最合理：時間早了浪費物資，晚了又極難工作。當然牽扯的量也是相當多的.我們相信，通過我們不斷的學習,我們將解決更多的生活中的問題。第四講：賭馬中的數(shù)學問題

隨著中國的改革開放,境外許多事物漸漸被生活在大陸的人知曉諸如賭馬、六合彩等常在媒體中提及。對我們來說，了解一些原來不熟悉的東西也是必要的。其實，一些博彩游戲和古老的賭博有許多相似之處，我們可以用初等概率知識對其中的現(xiàn)象作一定的分析。

我們以賭馬問題為例。為簡便起見，假設(shè)只有兩匹馬參加比賽。通過對決定馬匹勝負的各因素的研究以及對以往賽事勝負情況的統(tǒng)計分析，我們可得出兩匹馬各自勝出的實際概率。不失一般性，設(shè)其中一匹馬勝出的實際概率為，則另一匹馬勝出的實際概率為.那么，參賭者該如何下注以最大的限度確保他們能贏得錢呢？

要解決這個問題必須先弄明白莊家的賠率是如何設(shè)定的。所謂賠率,是指押注一元錢于勝方所獲得的總金額。舉例來說，若賠率為1。65元，則如押注一元的一方恰好勝出，可得收益0.65元，加上本金,一共可得1。65元。若押注負方，則會失去所押注的1元，但不須另外再輸錢。現(xiàn)在，我們知道了馬匹勝出的實際概率,知道了莊家設(shè)定的賠率，就可以分析參賭者該如何下注。這里，設(shè)總金額為1元,并設(shè)在第一匹馬上押注元,則在第二匹馬上押注.至于具體押注多少，參賭者可以將總金額按該比例分配給這兩匹馬。于是，可得下表：馬匹第一匹第二匹勝出的實際概率莊家設(shè)定賠率（元）押注(元）

如果第一匹馬贏，參賭者可得到元，再減去付出的1元,參賭者的收益為元；同理，如果第二匹馬贏，參賭者收益為元.考慮到兩匹馬勝出的實際概率分別為和，參賭者的期望收益為，其中。另外，若參賭者把所有錢都押注于第一匹馬時期望收益為；若參賭者把所有的錢都押注于第二匹馬時，期望收益為。

自然，參賭者希望收益，這樣，他們才能以一個正的概率贏利。所以要求：。

1)當，且,即當且時，不論取何值,恒大于0，且當趨向1時，趨向于極大值。實際上，當，即參賭者把錢全押注于第一匹馬上時，有收益，所以參賭者應(yīng)當把錢全部押注于第一匹馬上。

2）當且，即當且時，收益隨著的變大而變小，且當趨于0時，趨于極大值。實際上，當，即參賭者把錢全押注于第二匹馬上時，有收益。所以參賭者應(yīng)當把錢全押在第二匹馬上。

3)當，時,為使，應(yīng)滿足：

.又∵，∴，即.即當,且時，參賭者按分配賭注可期望贏利。且當趨向于1時，收益趨于極大值.同1)情況可知，這時，參賭者應(yīng)把錢全押注于第一匹馬上，有收益。

4）當，且時。

這時不論賭注如何分配,參賭者的期望收益恒為負.在這情況下，參賭者介入其中是不理智的行為。

以上是參賭者在已知勝出概率及賠率時選擇的策略。同樣，莊家在設(shè)置賠率時，一定會對實際各匹馬勝出的概率作一番認真研究,由此設(shè)定相應(yīng)賠率。這樣，他才有可能不賠本.由此當莊家設(shè)置一個賠率時，我們也可以反推莊家所估計的各匹馬勝出的概率.例如，莊家賠率設(shè)定為15,則我們大致可以知道該馬匹勝出概率大致應(yīng)小于。

其實,在其它涉及賠率、押注的簡單模型中，我們也可以用相應(yīng)的方法進行分析.當然，這只是對實際情況的一種簡化。現(xiàn)實生活中的賭馬不會僅有兩匹，并且要求出各馬匹實際勝出的概率是件非常困難的事，在一般情況下，只能求得近似解。第五講:對稱—-自然美的基礎(chǔ)在豐富多彩的物質(zhì)世界中，對于各式各樣的物體的外形，我們經(jīng)?？梢耘龅酵昝绖蚍Q的例子。它們引起人們的注意，令人賞心悅目。每一朵花，每一只蝴蝶，每一枚貝殼都使人著迷;蜂房的建筑藝術(shù),向日葵上種子的排列，以及植物莖上葉子的螺旋狀頒都令我們驚訝。仔細的觀察表明,對稱性蘊含在上述各種事例之中，它從最簡單到最復(fù)雜的表現(xiàn)形式，是大自然形式的基礎(chǔ)。

花朵具有旋轉(zhuǎn)對稱的性征.花朵繞花心旋轉(zhuǎn)適當位置，每一花瓣會占據(jù)它相鄰花瓣原來的位置，花朵就自相重合.旋轉(zhuǎn)時達到自相重合的最小角稱為元角。不同的花這個角不一樣。例如梅花為72°，水仙花為60°?！皩ΨQ"在生物學上指生物體在對應(yīng)的部位上有相同的構(gòu)造，分兩側(cè)對稱（如蝴蝶），輻射對稱（放射蟲，太陽蟲等）.我國最早記載了雪花是六角星形.其實,雪花形狀千奇百怪,但又萬變不離其宗（六角星）.既是中心對稱,又是軸對稱.

很多植物是螺旋對稱的，即旋轉(zhuǎn)某一個角度后，沿軸平移可以和自己的初始位置重合。例如樹葉沿莖桿呈螺旋狀排列，向四面八方伸展，不致彼此遮擋為生存所必需的陽光。這種有趣的現(xiàn)象叫葉序。向日葵的花序或者松球鱗片的螺線形排列是葉序的另一種表現(xiàn)形式。

“晶體閃爍對稱的光輝”，這是俄國學者費多洛夫的名言。無怪乎在古典童話故事中，奇妙的寶石交織著溫馨的幻境，精美絕倫,雍容華貴。在王冠上，以其熠熠光彩向世人炫耀，保持永久不衰的魅力。第六講：對數(shù)螺線與蜘蛛網(wǎng)曾看過這樣一則謎語:“小小諸葛亮，穩(wěn)坐軍中帳。擺下八卦陣，只等飛來將?！眲右粍幽X筋,這說的是什么呢?原來是蜘蛛，后兩句講的正是蜘蛛結(jié)網(wǎng)捕蟲的生動情形。我們知道,蜘蛛網(wǎng)既是它棲息的地方，也是它賴以謀生的工具。而且,結(jié)網(wǎng)是它的本能,并不需要學習。

你觀察過蜘蛛網(wǎng)嗎？它是用什么工具編織出這么精致的網(wǎng)來的呢？你心中是不是有一連串的疑問，好，下面就讓我來慢慢告訴你吧。在結(jié)網(wǎng)的過程中，功勛最卓著的要屬它的腿了。首先，它用腿從吐絲器中抽出一些絲，把它固定在墻角的一側(cè)或者樹枝上.然后，再吐出一些絲，把整個蜘蛛網(wǎng)的輪廓勾勒出來，用一根特別的絲把這個輪廓固定住。為繼續(xù)穿針引線搭好了腳手架。它每抽一根絲，沿著腳手架，小心翼翼地向前走，走到中心時，把絲拉緊，多余的部分就讓它聚到中心。從中心往邊上爬的過程中，在合適的地方加幾根輻線，為了保持蜘蛛網(wǎng)的平衡，再到對面去加幾根對稱的輻線。一般來說，不同種類的蜘蛛引出的輻線數(shù)目不相同。絲蛛最多,42條;有帶的蜘蛛次之,也有32條；角蛛最少，也達到21條。同一種蜘蛛一般不會改變輻線數(shù)。

到目前為止,蜘蛛已經(jīng)用輻線把圓周分成了幾部分，相臨的輻線間的圓周角也是大體相同的.現(xiàn)在，整個蜘蛛網(wǎng)看起來是一些半徑等分的圓周，畫曲線的工作就要開始了。蜘蛛從中心開始,用一條極細的絲在那些半徑上作出一條螺旋狀的絲。這是一條輔助的絲。然后，它又從外圈盤旋著走向中心，同時在半徑上安上最后成網(wǎng)的螺旋線.在這個過程中，它的腳就落在輔助線上,每到一處，就用腳把輔助線抓起來，聚成一個小球，放在半徑上。這樣半徑上就有許多小球。從外面看上去，就是許多個小點.好了,一個完美的蜘蛛網(wǎng)就結(jié)成了。

讓我們再來好好觀察一下這個小精靈的杰作：從外圈走向中心的那根螺旋線，越接近中心,每周間的距離越密，直到中斷。只有中心部分的輔助線一圈密似一圈，向中心繞去。小精靈所畫出的曲線,在幾何中稱之為對數(shù)螺線。

對數(shù)螺線又叫等角螺線，因為曲線上任意一點和中心的連線與曲線上這點的切線所形成的角是一個定角。大家可別小看了對數(shù)螺線:在工業(yè)生產(chǎn)中，把抽水機的渦輪葉片的曲面作成對數(shù);螺線的形狀，抽水就均勻；在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中，把軋刀的刀口彎曲成對數(shù)螺線的形狀,它就會按特定的角度來切割草料,又快又好。第七講：斐波那契數(shù)列斐波那契數(shù)列在自然界中的出現(xiàn)是如此地頻繁，人們深信這不是偶然的。

(1）細察下列各種花，它們的花瓣的數(shù)目具有斐波那契數(shù)：延齡草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金鳳花、耬斗菜、百合花、蝴蝶花。

(2）細察以下花的類似花瓣部分，它們也具有斐波那契數(shù)：紫宛、大波斯菊、雛菊。

斐波那契數(shù)經(jīng)常與花瓣的數(shù)目相結(jié)合：

3………百合和蝴蝶花

5………藍花耬斗菜、金鳳花、飛燕草

8………翠雀花

13………金盞草

21………紫宛

34，55，84……………雛菊

（3）斐波那契數(shù)還可以在植物的葉、枝、莖等排列中發(fā)現(xiàn)。例如,在樹木的枝干上選一片葉子，記其為數(shù)0，然后依序點數(shù)葉子（假定沒有折損），直到到達與那息葉子正對的位置,則其間的葉子數(shù)多半是斐波那契數(shù)。葉子從一個位置到達下一個正對的位置稱為一個循回。葉子在一個循回中旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)也是斐波那契數(shù)。在一個循回中葉子數(shù)與葉子旋轉(zhuǎn)圈數(shù)的比稱為葉序（源自希臘詞，意即葉子的排列）比。多數(shù)的葉序比呈現(xiàn)為斐波那契數(shù)的比。

（4）斐波那契數(shù)有時也稱松果數(shù)，因為連續(xù)的斐波那契數(shù)會出現(xiàn)在松果的左和右的兩種螺旋形走向的數(shù)目之中。這種情況在向日葵的種子盤中也會看到。此外,你能發(fā)現(xiàn)一些連續(xù)的魯卡斯數(shù)嗎？

（5）菠蘿是又一種可以檢驗斐波那契數(shù)的植物。對于菠蘿，我們可以去數(shù)一下它表面上六角形鱗片所形成的螺旋線數(shù)。

斐波那契數(shù)列與黃金比值

相繼的斐波那契數(shù)的比的數(shù)列：

它們交錯地或大于或小于黃金比的值。該數(shù)列的極限為。這種聯(lián)系暗示了無論（尤其在自然現(xiàn)象中）在哪里出現(xiàn)黃金比、黃金矩形或等角螺線,那里也就會出現(xiàn)斐波那契數(shù),反之亦然.第八講：分數(shù)維的山峰與植物大廳的燈光暗下來，帳幕徐徐打開,銀幕上出現(xiàn)了根據(jù)J．R．R．Tolkien的三部曲“LordoftheRings”所改編的電影。Frodo在一個開闊的峽谷里溜達著。遠處,鋸齒狀的冰雪覆蓋著的山峰聳入云端。近處有些不知是什么種類的奇花異木在陽光下閃爍。轉(zhuǎn)眼，屏幕上的奇景變成了一個男巫凝視著一只水晶球，在這球體的中央出現(xiàn)了一個堡壘，火焰正從它的城垛里竄出來。

雖然現(xiàn)在還很難說Frodo是否會在這樣的電影里出現(xiàn),但我肯定那些山峰、樹木、水晶球以及火焰都會奇妙地出現(xiàn)在銀幕上.這個成就主要將歸功于Pixar公司(即從前的Lucasfilm計算機繪圖實驗室）所開發(fā)的軟件和硬件。有家用計算機的讀者都能夠在計算機上作出基本類似于這些東西的圖形來.由于本文篇幅所限，不能在此對水晶球和火焰作一個廣泛深入的論述，但還是能夠揭示產(chǎn)生它們的基本原理。

在上面描述的假想的電影中，我們可以把攝像機移向Frodo身后的那些山峰上.人們可能從來沒有見過比這些山峰更令人生畏的大片陸地了。每一個大的山峰都由一些較小的山峰構(gòu)成，而這些較小的山峰又由比它們更小的山峰組成，如此下去就形成了一種小山峰的無窮回歸。即使一個有皮質(zhì)腳的滴水嘴一樣的海怪站在這樣一個犬牙般的地方也會感到難受（見彩圖11)。

原則上，這樣的一種山的圖形是容易作出來的。為簡便起見，我假定這山覆蓋了一個三角形的地面.找出每條邊的中點，用三條線段把這三個中點連起來。就把這三角形分成了四個較小三角形。用同樣的辦法再分這四個小三角形。這一過程不斷進行，直到達到分辨率極限或計算時間極限為止.結(jié)果是得到一大堆令人感到枯燥無味的三角形.如果要使這圖形變得生動一些，可以在作圖過程中加進一條有關(guān)垂直方向上的規(guī)則：每當新的中點畫在圖上時，就使其向上或向下移動某一隨機量。通常這個隨機數(shù)必須隨三角形的逐漸變小而減少。這一規(guī)則把那些三角形變成弄皺了的山峰和褶皺（見圖).

為什么這一種方法會作出那樣逼真的山峰圖案呢?答案在于這個過程中產(chǎn)生了一個分數(shù)維圖形,即當圖案不斷放大時會顯露出更多的細節(jié)的圖形。分數(shù)維形態(tài)在自然界似乎是隨處可見。我們可以用一個關(guān)于海岸線的例子解釋分數(shù)維圖形的基本概念。假設(shè)我們要用一根l000米長的測量桿測量出法國海岸線的長度，那么就得沿著海灘向前一桿一桿地進行艱難的測量，同時數(shù)出有多少個l000米。然而這樣會把許多小的海灣和海岬遺漏掉，所以用這種辦法測出的最后得數(shù)是不那么準確的.用一根l米長的測量桿重復(fù)這一過程，會得出一個更精確、數(shù)字更大的結(jié)果.但即使如此，也有大量的小海灣和岬地被遺漏掉了.無疑,用一根l厘米長的測量桿結(jié)果就會更為精確。

一般規(guī)律是，當測量桿變小時，測出的海岸線長度會增大。測出的長度與測量桿桿長之比率為一個專門值，這個值稱為分數(shù)維。分數(shù)維與通常說的維不同,它往往被表達成一個分數(shù)，而不是一個整數(shù)。例如我們討論的海岸線的維數(shù)可能就是一個3/2的分數(shù)維?？梢园堰@樣的一種形狀想象成一個介于一維形狀(直線)和二維形狀(平面）之間的中間形狀。如果海岸線比較直，其分數(shù)維就接近于1。如果海岸線很曲折，其分數(shù)維就接近于2，此時它幾乎填滿一個二維平面。

自然界的分數(shù)維模型實際上隱含了細節(jié)的無窮回歸。從計算機繪圖的角度來看，無窮回歸是無關(guān)緊要的問題；只要景物看來是具有各級放大水平上的細節(jié)就行了。在達到屏幕分辨率的極限之前，計算機上生成的山的特征就與上述分割過程中最終所得的三角形的特征一樣精細。完整的山峰繪制算法太長太復(fù)雜，無法在此作足夠詳細的介紹。但有一個簡單的程度可以繪出Mandelbrot峰的斷面，它稱為MOUNTAIN。該程序體現(xiàn)了沿垂直軸隨機移動中點這一基本早想。開始時是一條水平線段。確定其中點，使其向上或向下移動一段隨機地確定的距離，然后把由此產(chǎn)生的兩個線段再分,并使其各自中點也按此規(guī)則移動。用類似于再分三角形的方法可把這一過程不斷地進行下去。

程序MOUNTAIN有兩個數(shù)組，叫做points和lines。其作用是保持計算機屏幕上的山的輪廓。每個數(shù)組分別有兩列和足夠多的行（比如說2048行）以方便地調(diào)整屏幕分辨率；points的兩列是坐標值，而lines的兩列則是下標。每條線段定義為數(shù)組points中表明該線段終點坐標的一對位置。觀察一個普通的多邊形通過一連串的再分后形成山的輪廓這一過程是非常有趣的,所以程序MOUNTAIN使每一次圖案的形成都處于用戶的控制下.在-次主循環(huán)結(jié)束時，程序詢問用戶是否需要另一次迭代，如果回答是肯定的，那么執(zhí)行會再返回此程序的開頭。

主循環(huán)的作用是把當前的點與線段的集合變成大1倍的新集合。為實現(xiàn)這一點,它一次一行地對數(shù)組lines進行掃描，查尋其對應(yīng)點的下標并從數(shù)組poinlts中檢索出它們的坐標。在已知某一給定線段的兩個端點坐標后，程序就可以計算出該線段的中點坐標，同時隨機地改變y坐標的值。下面所列出的算法過程為程序的編制提供了充分的基礎(chǔ),其中變量j和k是指數(shù)組points和lines中當前正保持著再分的最新結(jié)果的那些“行"。變量pts和lns記錄在進入主循環(huán)之前構(gòu)成山的點和線段的數(shù)目。開始時j等于pts,k等于lns。下標i從1到lns。

MOUNTAIN程序的這一部分在很大程度上是不言自明的.當?shù)趈點的坐標計算出來后，下標j就被存貯起來作為第i條線段的第二個點和第k條線段的第一個點。第i條線段的第一個點與其原來的一樣，而第k條線段的第二個點與第i條線段原來的第二個點，即帶有下標b的那個點相同。當循環(huán)最終計算后，pts和lns必須分別復(fù)置為j和k的最新值。變量range是在程序的開頭由用戶確定各再分點在垂直方向上隨機移動量的最大值.每次循環(huán)結(jié)束時，該變量就要除以2，使得這一隨機移動量與線段尺寸成比例地減小.函數(shù)random（range)用于表示在0和變量range的當前值之間所選擇一個隨機數(shù).

如果Frodo身后的那些山峰是令人難忘的,那么，他周圍的村木和植物就更是令人難忘。它們既逼真又奇特.之所以逼真，是因為它們有與真實植物一樣的分枝，而之所以奇特是因為它們不是常見的物種.大概是圖形設(shè)計者有太多的參數(shù)可以任他使用,因此他禁不住要創(chuàng)造一些新的植物種類。

這些新的植物種類被叫做“嫁接”（graftal)植物，因為它們是在圖形（graph）的基礎(chǔ)上形成的，且有內(nèi)在的的分數(shù)維性質(zhì)。這里所謂的“內(nèi)在分數(shù)維性質(zhì)”，指的是用于生成植物圖案的基本拓撲特征的規(guī)規(guī)則可以(但實際上沒有）應(yīng)用于屏幕分辨率的極限。簡言之，植物的細枝條不會無限地回歸成更小的枝條。一旦作為植物的基礎(chǔ)的圖形發(fā)展起來，計算機就能用大小、顏色、厚度、質(zhì)地等解釋植物的圖形，從而把它變換成無數(shù)的令人信服的植物種類。

某一給定植物所據(jù)以形成的圖形是由L系統(tǒng)產(chǎn)生，這種系統(tǒng)是丹麥生物學家和數(shù)學家AristidLindenmeyer在1968年提出的一種語法類別。一個L系統(tǒng)實際就是一套用于從舊的字符串中推導新的字符串的規(guī)則。例如，根據(jù)下列規(guī)則，用數(shù)字0和1以及符號[和]能夠生成一系列復(fù)雜的植物：

0→l[0］1[0]0

l→11

[→[

]→]

為了弄清如何應(yīng)用這些規(guī)則，我們從由單個的符號0組成的字符串開始。將箭頭左邊的每一個符號都用與其對應(yīng)的右邊的符號來代替，就可以一個接一個地得到下列的字符串：

01［0］1

[0］011[1[0]l［0］0]ll[1［0］1［0]0]1[0]l

［0］0

把每個數(shù)字(0或1)當作一條線段，每個括號當作一個分支點，就可把這樣的字符串變換成樹一樣的圖形。0和1所代表線段的長度相等，其區(qū)別在于0線段的外端上要加一片葉子，而1線段上則什么也不加。

例如字符串1[0］1[0］0的莖是由三個不在括號內(nèi)的符號組成的.最下面的是1線段,中間也是1線段，頂部則是0線段。兩根枝條（每根均是一條0線段）從莖上長出來。第一根枝條長在第一條1線段上，第二根枝條則長在第二條1線段上.讀者可以試畫一下樹莖最初幾次生成的圖案。為了使植物更逼真，對這個模型可以加上另外一些解釋性的規(guī)則；例如，對于任何給定的莖(不管它是否主莖)，都可以使枝條輪流地從左右兩側(cè)長出.

一個叫PLANT的由兩部分組成的程序產(chǎn)生上述序列中的第n個字符串，然后把它表示成一個線段圖。在該程序的第一階段，PLANT將它所生成的字符串保存在被稱為StringA及stringB的兩個符號數(shù)組中。每一代植物圖形輪流地占據(jù)兩個數(shù)組中的一個，即某一數(shù)組中所存貯的那一代是由另一數(shù)組中所存貯的上；代得來的。也不一定非要在數(shù)組中存貯符號。只要程序的代換過程是正確的，數(shù)字0，l，2和3也完全可以。

L系統(tǒng)規(guī)則在條件語句中體現(xiàn)出來；例如可以采用下面這段算法編碼把StringA的第i位上的1個0變成stringB中的九個新的符號:

如果stringA(i）＝0，那么

stringB(j）←1

stringB（j+1）←2

stringB（j+2)←0

stringB(j+3）←3

stringB（j+4)←1

stringB（j+5)←2

stringB(j+6）←0

stringB(j+7)←3

stringB(j+8）←0

j←j+9

這里0和1代表它們自己，而2和3分別代表［和]，如果stringA的第i個符號是0，那么,程序把序列l(wèi)，2，0，3，l,2,0，3，0插入數(shù)組stringB中以下標j(即數(shù)組stringB的尚未填入符號的第;個年置)開頭的九個連續(xù)位置上。程序PLANT的第一階段中的一個單循環(huán)就含有四個上述的條件語句，每個語句相應(yīng)于可能遇到的一個符號.循環(huán)用下標j來指出當前這一代中正被處理的那個符號.循環(huán)執(zhí)行的次數(shù)依用戶的愿望而定。在每一次生成后，程序PLANT會詢問用戶是否希望另一個更長的字符串。

PIANT的第二個階段(即繪圖階段）把第一個階段產(chǎn)生的字符串變換成一個圖形.它循環(huán)地執(zhí)行這一過程:只要左括號(或2）沒有出現(xiàn)，它就在一個給定方向上繪出一系列線段。當碰到某一對括號中的左括號時。程序就在一個新的方向(從前一個方向反時針轉(zhuǎn)45°）上繪出后面的線段。當對應(yīng)的右括號出現(xiàn)后,這一過程就終止。這時畫出一片葉子，它的形狀和顏色都留給讀者去想象。第二個左括號的出現(xiàn)使該程序又重復(fù)進行.只是現(xiàn)在的方向是順時針45°。其他的工作都是自動進行的。

PIANT用了一個隨被繪出的植物的復(fù)雜性而定的比例因數(shù)。例如,第n代植物的高度大約為2n條線段，如果屏幕的高是200個像元，那么每根線段就必須短于200／2n雄心勃勃的讀者們無疑會嘗試生成語法、枝條角度及葉片形狀等方面的新花樣。如果具有這些新花樣的圖案在同一屏幕上生成,植物和樹木的風景就會出現(xiàn)了（當然不是很逼真的）.

Pixar繪圖計算機的心臟是一個有24兆字節(jié)，2000×2000像元的存貯器，其分辨率對大多數(shù)應(yīng)用是足夠的。此外，每個像元由48個存貯位表示，足夠存貯色采和透明度方面的信息.Pixar繪圖計算機的大容量存貯器由四個高速并行完全可編程序的處理機操縱.它們每秒鐘能執(zhí)行約4000萬條指令,其速度比普通的計算機大幾個數(shù)量級。顯示裝置與存貯器問的數(shù)據(jù)交換速度可達每秒4．8億個字節(jié)。

Pixar繪圖計算機預(yù)定用于醫(yī)學成像、遙感、工程設(shè)計及動畫片制作這些領(lǐng)域中。也許還會用來制作我在本文開頭所描述的假想電影.第九講:蜂房中的數(shù)學蜜蜂是勤勞的,它們釀造出了最甜的蜜；蜜蜂是聰明的，它們會分工合作,還會用舞蹈的形式告訴同伴:哪里有花源，數(shù)量怎么樣.實際上,不僅如此，蜜蜂還是出色的建筑師.它們建筑的蜂房就是自然界諸多奇跡中的一個。

蜂房是正六棱柱的形狀，它的底是由三個全等的菱形組成的。達爾文稱贊蜜蜂的建筑藝術(shù)，說它是：天才的工程師。法國的學者馬拉爾狄曾經(jīng)觀察過蜂房的結(jié)構(gòu),在1712年,他寫出了一篇關(guān)于蜂房結(jié)構(gòu)的論文。他測量后發(fā)現(xiàn),每個蜂房的體積幾乎都是0.25立方厘米。底部菱形的銳角是70度32分，鈍角是109度28分，蜜蜂的工作竟然是這樣的精細。物理學家列奧繆拉也曾研究了這個問題,它想推導出:底部的菱形的兩個互補的角是多大時,才能使得蜂房的容量達到最大，他沒有把這項工作進行下去。蘇格蘭的數(shù)學家馬克勞林通過計算得出了與前面觀察完全吻合的數(shù)據(jù).

公元4世紀，數(shù)學家巴普士就告訴我們:正六棱柱的蜂房是一種最經(jīng)濟的形狀，在其他條件相同的情況下，這種結(jié)構(gòu)的容積最大,所用的材料最少。他給出了嚴格的證明.看來,我們不得不為蜜蜂的高超的建筑藝術(shù)所折服了.馬克思也高度地評價它：蜜蜂建筑蜂房的本領(lǐng)使人間的許多建筑師感到慚愧。現(xiàn)在，許多建筑師開始模仿蜂房的結(jié)構(gòu)，并把它們應(yīng)用到建筑的實踐中去。第十講：龜背上的學問傳說大禹治水時,在一次疏通河道中，挖出了一只大龜,人們很是驚訝，爭相觀看,只見龜背上清晰刻著圖1所示的一個數(shù)字方陣。

這個方陣，按《孫子算經(jīng)》中籌算記數(shù)的縱橫相間制:“凡算之法，先識其位。一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當.六不積算，五不單張。”可譯成現(xiàn)代的數(shù)字，如圖2所示。

方陣包括了九個數(shù)字,每一行一與列的數(shù)字和均為15，兩條對角線上的數(shù)也有相同的性質(zhì)。當時，人們以為是天神相助，治水有望了。后來，人們稱刻在龜背上的方陣為“幻方”（國外稱為“拉丁方”），屬于組合數(shù)學范疇。使用整數(shù)1—9構(gòu)成的3×3階“拉丁方”唯一可能的和數(shù)是15，這一點只要把這“拉丁方”中所有數(shù)加起來便可證明,1十2十3十4十5十6十7十8十9＝45,要把這幾個數(shù)分配到三行(或列)使得每行（或列）有同樣的和，那么,每行（或列)的和應(yīng)為45／3＝150

組合數(shù)學是數(shù)學中的一個分支,在實際生活中應(yīng)用很廣泛,請看下面的例子。

5名待業(yè)青年，有7項可供他們挑選的工作,他們是否能找到自己合適的工作呢？由于每個人的文化水平、興趣愛好及性別等原因，每個人只能從七項工作中挑選某些工種，也就是說每個人都有一張志愿表,最后根據(jù)需求和志愿找到一個合適的工作。

組合數(shù)學把每一種分配方案叫一種安排。當然第一個問題是考慮安排的存在性,這就是存在問題；第二個問題是有多少種安排方法,這就是計數(shù)問題.接下去要考慮在眾多的安排中選擇一種最好的方案，這就是所謂的“最優(yōu)化問題”。存在問題、構(gòu)造問題、計數(shù)問題和最優(yōu)化問題就構(gòu)成了全部組合數(shù)學的內(nèi)容.如果你想了解更多的組合數(shù)學問題，那就要博覽有關(guān)書籍，你會得到許多非常有趣的知識，會給你許多的啟發(fā)和教益。第十一講：Music與數(shù)學動人的音樂常給人以美妙的感受。古人云:余音繞梁，三日不絕，這說的是唱得好,也有的人五音不全，唱不成調(diào)，這就是唱得不好了.同樣是唱歌,甚至是唱同樣的歌,給人的感覺卻是迥然不同。其重要原因在于歌唱者發(fā)聲振動頻率不同。

人類很早就在實踐中對聲音是否和諧有了感受，但對諧和音的比較深入的了解只是在弦樂器出現(xiàn)以后,這是因為弦振動頻率和弦的長度存在著簡單的比例關(guān)系.近代數(shù)學已經(jīng)得出弦振動的頻率公式是W=，這里，P是弦的材料的線密度;T是弦的張力，也就是張緊程度;L是弦長;W是頻率,通常以每秒一次即赫茲為單位。

那么，決定音樂和諧的因素又是什么呢?人類經(jīng)過長期的研究,發(fā)現(xiàn)它決定于兩音的頻率之比。兩音頻率之比越簡單，兩音的感覺效果越純凈、愉快與和諧.

首先,最簡單之比是２：１.例如,一個音的頻率是160、7赫茲，那么，與它相鄰的協(xié)和音的頻率應(yīng)該是2×260、7赫茲，這就是高八度音.而與頻率為2×260、7赫茲的音和諧的次一個音是4×260、7赫茲。這樣推導下去，我們可以得到下面一列和諧的音樂：

260、7,2×260、7，22×260、7……

我們把它簡記為C0，C1，C2，……，稱為音名。

由于我們討論的是音的比較，可暫時不管音的絕對高度（頻率)，因此又可將音樂簡寫為:

C0C1C2C3……20212223……

需要說明的是，在上面的音列中，不僅相鄰的音是和諧的,而且C與C2，C與C3等等也都是和諧的.一般說來這些協(xié)和音頻率之比是2M。（其中M是自然數(shù)）

第十二講:e和銀行業(yè)

跟我們?nèi)粘５氖虑橛惺裁搓P(guān)系呢？事實上它在我們?nèi)粘Ｉ钪?，跟任何一個特定的整數(shù)一樣，盡管人們并不總能察覺到它的出現(xiàn)。只有人知道是一個實際的數(shù)，如果問大家,可能多數(shù)人會說是英語字母表里的第5個字母。大家知道它是一個奇怪的數(shù),這是我們通過數(shù)學課了解到的。只有少數(shù)人知道它是一個無理數(shù)和一個超越數(shù)。

在今天的銀行業(yè)里，是對銀行家最有幫助的一個數(shù).人們可能會問，像這樣的數(shù)是怎樣又以何種方式與銀行業(yè)發(fā)生關(guān)系呢？要知道后者是專門跟“元"和“分”打交道的！

假如沒有的發(fā)現(xiàn),銀行家要計算今天的利息就要花費極其大量的時間，無論是逐日逐日地算復(fù)利，還是持續(xù)地算復(fù)利都無法避免。有幸的是，的出現(xiàn)助了一臂之力。

的定義是作為數(shù)列的極限。我們通常寫為.在利息計算中怎樣借助于這個公式呢?實際的計算公式是：本利和,。

這里本金,年利率,一年之內(nèi)計算利息的次數(shù)，存錢的年數(shù)。

上述公式可以變形為對于的公式。當人們投資1美元年利率為100%時，一年的本利和可達美元。開頭可能會有人以為總計會是一個天文數(shù)字,但看了下面的估計后就會知道它接近于的值。

于是,我們看到：如果我們投資1美元,年利率為100%，那么收益決不會超過2。72美元。事實上的小數(shù)點后頭22位數(shù)是＝2。7182818284590452353602。

下一個問題是怎樣對進行工作。最好先通過嘗試來確定看。比如說我們從1000美元開始以年利8%存入銀行，讓我們看看當按一年期計算，然后按每半年期計算，再按每三個月期計算復(fù)利時會出現(xiàn)什么。

如果逐日計算復(fù)利,可用公式。這個公式如果用手算則要花好多時間，但今天用電子計算器和專門的計算機頃刻間便能得出結(jié)果。第十三講：幾何就在你的身邊初學幾何時，你往往會感到這門學科枯燥乏味，有的知識似曾相識，似懂非懂；有的知識則似乎很“玄”，離我們很遠!其實，日常生活中有幾何，幾何就在你的身邊。當你騎自行車時，想過自行車的輪子為什么是圓形的,而不能是“雞蛋形”的呢？因為“圓"形的特性可以使自行車平穩(wěn)地前進;自行車的輪于有大有小，可供人們選擇;兩個輪子裝的位置必須裝得恰當，騎時會感到方便.這說明:物體的形狀、大小、位置關(guān)系與日常生活有著緊密的聯(lián)系,這也正是幾何這門學科所要研究的。當你把一張長方形的紙裁成一個正方形時,你想過這里面有幾何知識嗎?圖1圖2圖3

何中叫“比較線段的大??；把陰影部分裁去，可以看成在“長"上截取一段，使它等于“寬”，這就是幾何中的“線段作圖"；長方形的長與寬相等時，就是正方形，這更是幾何中的一個重要結(jié)論。如果把正方形折成相等的兩部分，除了圖2中所示的四種折法外,你還能想到其他的折法嗎?不妨試試:過四條折痕相交的那個點“·”,任意地折一條線，看看這樣把正方形分成的兩部分也一樣嗎?當你走進用磚塊鋪地的房間時,你注意到這些磚塊的形狀嗎？有的是等邊三角形的，有的是長方形或正方形的.其實，任意形狀的四邊形磚塊也能把地面拼得沒有縫隙,請看圖3。這又將告訴我們幾何中的一個重要結(jié)論（四邊形的四個角的大小之和恰好等于360度)，這個結(jié)論,與小學數(shù)學里學過的“三角形的三個角之和等于180度°又有著緊密的聯(lián)系。如果有興趣的話，請你剪兩塊同樣的直角三角形紙片，然后把兩塊紙片拼合成一個圖形，你能拼出6種不同的圖形嗎？這里又包含了許許多多的幾何知識。比如，當你拼成一個等腰三角形時,就不難知道：等腰三角形可以分成兩個同樣的直角三角形，中間的那條線位置很特殊，今后研究等腰三角形時常常要用到它！第十四講：“壓歲錢"與“賑災(zāi)小銀行”在正月里，長輩們每年都會給我們壓歲錢.而大多數(shù)同學都把壓歲錢存入了銀行。為了能幫助失學獐，我建議我們景山中學辦一個“賑災(zāi)小銀行"，要求同學們有多少錢存多少錢，存入學校里“賑災(zāi)小銀行"，學校統(tǒng)一將同學們的壓歲錢存入銀行。畢業(yè)時本金還給同學們，利息捐給經(jīng)濟有困難的同學或災(zāi)區(qū)。從小到現(xiàn)在，我們收了十來年的壓歲錢大概有2000元，假如平均每年按照200元存入銀行，初中三年每個學生總共存入600元計算，我們景山中學高中不算,初中24個班級，初一、初二、初三各8個班，每班按60人計算，初三的存一年，初二的存兩年，初一的存三年，年利率分別按2.25%、2.40％、2.60％（人民銀行利率)計算，則：初一段學生存三年的利息和：（200×2。60％×3）×（60×8）=7488（元）;初二段學生存二年的利息和：（200×2。40％×2)×(60×8）=4688(元）；初二段學生存二年的利息和：（200×2。25%×1)×（60×8）=2700（元);

一年全校利息合計：7488+4608+2700=14796(元）。假設(shè)學校第年招生班級以及人數(shù)都不變，則學校每年都有14796元利息，溫州市有那么多所中學,假如每所中學都建立小銀行，或許他們利息和還會超過我校，假如小學也建立小銀行,那么,每個學生五六年下來,每年全校利息和將比中學利息和要高上好幾倍。所以在小學成立“賑災(zāi)小銀行"更有意義與必要。為了災(zāi)區(qū)兒童有良好的讀書環(huán)境，為了國家更繁榮，昌盛，同學們行動起來吧，拿出你們的壓歲錢，奉獻我們的一片愛心。第十五講：建議班級購買一臺飲水機在炎炎夏日里,同學們遇到的難事就是飲水問題,為了使同學們過一個衛(wèi)生清潔的夏季，班級決定出錢買一臺飲水機，而每人又應(yīng)出多少錢呢？即使買了飲水機,是否比過去每個學生每天買礦泉水更節(jié)省、更實惠？下面就來解答這個問題。

一、學生礦泉水費用支出溫州市景山中學共有37個班級，假設(shè)每班學生平均為60人，那么全校就有60×37=2220（人）。一年中，學生在校的時間(除去寒暑假雙休日)大約為240天，設(shè)春季、夏季、秋季、冬季、各為60天，在班級沒有購買飲水機時，學生解渴一般買礦泉水，設(shè)礦泉水每瓶為一元，學生春秋季每人二天1瓶礦泉水,則總共為60瓶。夏季每人每天1瓶，則總共也為60瓶,冬季每人每4天1瓶，總共為15瓶，則全年平均每名學生礦泉水費支出：

60+60+（60÷4）×1=135(元);全班學生礦泉水費用

135×60=8100（元)；全校學生礦泉水費用

8100×37=299700（元）；二、使用飲水機費用一臺冷熱飲水機的價格約為750元，1字牌大桶礦泉水為每桶10元，現(xiàn)每班都配備飲水機.設(shè)每班春、季兩季、每2天1桶，則需60桶，夏季每天2桶，則需120桶，冬季每6天1桶，則每班需20桶，則一學年每班需要“60+120+20=200（桶)，一學生每班水費為200×10=2000元。電費折合為每學年每班為300元。則一學年配置飲水機每班水電費2300元。所以，一學年每班飲水機等合計約為2300+750÷3=2550元;每個學生平均一學年的水電費為2500÷60=42.5元；景山中學全校全年飲水機等費用約為37×2550=94350元；顯然,通過計算，比較兩項開支費用，各班購買一臺飲水機要經(jīng)濟實惠得多，一學年每個學生可以節(jié)?。?35—42.5=92。5元；每個班一學年可節(jié)省：

92.5×60=5550元；全校一學年可節(jié)省:

5550×37=205350元。205350元，一個了不起的數(shù)據(jù)，而我們每天又可以喝上衛(wèi)生清潔、冷暖皆宜的飲水機的礦泉水，等我們畢業(yè)時還可以把飲水機贈給下屆同學，何樂而不為呢？我向溫州小學提出倡議:在每個教室里配一臺飲水機。第十六講：巧用數(shù)學看現(xiàn)實在現(xiàn)實生活中，人們的生活越來越趨向于經(jīng)濟化,合理化．但怎樣才能達到這樣的目的呢?

在數(shù)學活動組里，我就遇到了這樣一道實際生活中的問題：

某報紙上報道了兩則廣告，甲商廈實行有獎銷售：特等獎10000元1名,一等獎1000元2名，二等獎100元10名，三等獎5元200名，乙商廈則實行九五折優(yōu)惠銷售。請你想一想；哪一種銷售方式更吸引人？哪一家商廈提供給銷費者的實惠大？

面對問題我們并不能一目了然。于是我們首先作了一個隨機調(diào)查。把全組的16名學員作為調(diào)查對象，其中8人愿意去甲家，6人喜歡去乙家，還有兩人則認為去兩家都可以.調(diào)查結(jié)果表明：甲商廈的銷售方式更吸引人,但事實是否如此呢?

在實際問題中，甲商厚每組設(shè)獎銷售的營業(yè)額和參加抽獎的人數(shù)都沒有限制。所以我們認為這個問題應(yīng)該有幾種答案。

一、苦甲商廈確定每組設(shè)獎，當參加人數(shù)較少時，少于213（1十2＋10＋200=213人）人，人們會認為獲獎機率較大，則甲商廈的銷售方式更吸引顧客.

二、若甲商廈的每組營業(yè)額較多時,它給顧客的優(yōu)惠幅度就相應(yīng)的小。因為甲商廈提供的優(yōu)惠金額是固定的，共14000元（10000＋2000＋1000＋1000=14000）。假設(shè)兩商廈提供的優(yōu)惠都是14000元,則可求乙商廈的營業(yè)額為280000元(14000÷5％=280000）。

所以由此可得：

(l）當兩商廈的營業(yè)額都為280000元時，兩家商廈所提供的優(yōu)惠同樣多。

（2）當兩商廈的營業(yè)額都不足280000元時,乙商廈的優(yōu)惠則小于14000元，所以這時甲商廈提供的優(yōu)惠仍是14000元，優(yōu)惠較大。

（3)當兩家的營業(yè)額都超過280000元時，乙商廈的優(yōu)惠則大于14000元，而甲商廈的優(yōu)惠仍保持14000元時，乙商廈所提供的實惠大。

像這樣的問題，我們在日常生活中隨處可見。例如,有兩家液化氣站,已知每瓶液化氣的質(zhì)和量相同,開始定的價也相同。為了爭取更多的用戶，兩站分別推出優(yōu)惠政策.甲站的辦法是實行七五折錯售，乙站的辦法是對客戶自第二次換氣以后以7折銷售。兩站的優(yōu)惠期限都是一年.你作為用戶,應(yīng)該選哪家好？

這個問題與前面的問題有很大相同之處。只要通過你所需要的罐數(shù)來分析討論，這樣,問題便可迎刃而解了。

隨著市場經(jīng)濟的逐步完善，人們?nèi)粘Ｉ钪械慕?jīng)濟活動越來越豐富多彩.買與賣,存款與保險，股票與債券，……都已進入我們的生活．同時與這一系列經(jīng)濟活動相關(guān)的數(shù)學,利比和比例，利息與利率,統(tǒng)計與概率。運籌與優(yōu)化，以及系統(tǒng)分析和決策，都將成為數(shù)學課程中的“座上客”。

作為跨世紀的中學生，我們不僅要學會數(shù)學知識，而且要會應(yīng)用數(shù)學知識去分析、解決生活中遇到的問題．這樣才能更好地適應(yīng)社會的發(fā)展和需要.第十七講：商品調(diào)價中的數(shù)學問題若將某商品先漲價10％后再降價10％，所得的價格與原先的價格相比有無變化？不少同學會不加思索脫口而出：那還用問嗎？肯定不變.果真如此嗎？

比如設(shè)這種商品原價為100元，則漲價10%后價格為100＋10=110元，再降價10％就是110-11=99元,可見比原先的價格便宜了。所以很多事情不能想當然貿(mào)然下結(jié)論,還是動筆算一算為好，才能做到心中有“數(shù)”。請研