橫梁彎曲強(qiáng)度計算計算

設(shè)計技術(shù)主講：王龍黑龍江科技大學(xué)03機(jī)械設(shè)計學(xué)院機(jī)械設(shè)計1橫梁彎曲強(qiáng)度計算計算5/8/2024

直梁的彎曲技術(shù)§4-1平面彎曲概念梁的類型1、梁彎曲分析設(shè)計 常見彎曲變化變形構(gòu)件,如房屋支承梁，工廠中起重機(jī)橫梁及化工中的臥式容器等等。結(jié)構(gòu)簡圖如右側(cè)圖：2橫梁彎曲強(qiáng)度計算計算5/8/2024臥式化工容器：彎曲梁受力特點——在通過梁某一縱向平面 內(nèi)，受到垂直于軸線的 外力或力偶作用。受力如圖示意：3橫梁彎曲強(qiáng)度計算計算5/8/20244橫梁彎曲強(qiáng)度計算計算5/8/2024變形特點——任兩個截面繞垂直于梁軸線軸 相對轉(zhuǎn)動，梁軸線由直線變曲線。平面彎曲——所有外力或力偶作用在縱向?qū)ΨQ 面內(nèi)，梁軸線在對稱面內(nèi)彎曲成 平面曲線?？v向?qū)ΨQ面——在縱向可將梁分成對稱兩半。5橫梁彎曲強(qiáng)度計算計算5/8/20246橫梁彎曲強(qiáng)度計算計算5/8/20242、梁簡化對實際梁受力分析和強(qiáng)度計算，對梁進(jìn)行簡化，以軸線表示梁。

梁簡化成三種力學(xué)模型：（1）簡支梁如圖：一端固定簡支，另一端可動鉸支。（2）外伸梁如圖：梁一端或兩端伸出支座外。（3）懸臂梁如圖：梁一端固定約束，另一端自由。7橫梁彎曲強(qiáng)度計算計算5/8/2024各支座處力與位移邊界條件：①固定鉸支

支座處梁左、右，上、下均不可移動，但可繞約束點轉(zhuǎn)動。解除約束受力圖力的邊界條件位移邊界條件m=0Rx≠0Ry≠0x=0y=08橫梁彎曲強(qiáng)度計算計算5/8/2024②可動鉸支支座點左、右可移動，上、下不可動。解除約束受力圖力的邊界條件位移邊界條件Ry≠0Rx=0m=0x≠0y=0③固定端約束限制固定端既不能轉(zhuǎn)動，也不可移動。解除約束受力圖9橫梁彎曲強(qiáng)度計算計算5/8/2024力的邊界條件位移邊界條件Rx≠0Ry≠0m≠0x=0y=0各支座反力可根據(jù)平衡條件求出。

如果未知力數(shù)與所列出的獨立方程數(shù)相同，則可求出未知力——稱為靜定問題，屬于靜定梁；反之為靜不定，稱為不靜定梁或超靜定問題。10橫梁彎曲強(qiáng)度計算計算5/8/2024①集中力：作用力作用在很小面積上，可近似一點。如圖：②集中力偶：力偶兩力分布在很短一段梁上，可簡化為作用在梁的某一截面上。如圖：③分布載荷：載荷分布在較長范圍內(nèi)，以單位長度受力q表示。q單位N/m如圖：作用于梁上載荷有三種形式：11橫梁彎曲強(qiáng)度計算計算5/8/202412橫梁彎曲強(qiáng)度計算計算5/8/2024§4-2梁彎曲時的內(nèi)力一、內(nèi)力計算內(nèi)力計算方法如下：第一步——解除支座約束，計算約束反力。第二步——用截面法將梁分成兩部分。第三步——由平衡條件計算截面處內(nèi)力。13橫梁彎曲強(qiáng)度計算計算5/8/2024如圖：簡支梁，試計算m—n截面內(nèi)力。解:(1)解除約束，求約束反力列平衡方程RxA=0RyA+RyB=PRyB·(a+b)–Pa=014橫梁彎曲強(qiáng)度計算計算5/8/2024(2)用截面法求內(nèi)力截面處存在的內(nèi)力：①阻止RyA

作用下繞O轉(zhuǎn)動，截面必存在附加內(nèi)力矩M，阻止轉(zhuǎn)動。②平衡RyA力，截面上必有向下力Q附加內(nèi)力矩M——稱為截面彎矩。 截面內(nèi)力Q——稱為剪力，與外力平行，有使 梁沿m—n截面剪斷趨勢。分離體處于平衡，由平衡條件得：∑y=0RAy–Q=0∑M=0M–RAy·x=015橫梁彎曲強(qiáng)度計算計算5/8/2024結(jié)論：①受彎曲梁任一截面內(nèi)力有彎矩與剪力。②剪力等于截面之左（或右）所有外力代數(shù)和。③彎矩等于截面之左（或右）所有外力（力偶）對截面形心之矩代數(shù)和。剪力與彎矩對梁強(qiáng)度影響：由經(jīng)典力學(xué)分析彎矩對梁強(qiáng)度影響遠(yuǎn)大于剪力對梁強(qiáng)度。工程計算一般只考慮彎矩，忽略剪力。16橫梁彎曲強(qiáng)度計算計算5/8/2024二、彎矩符號規(guī)定規(guī)定如下：

所求彎矩的截面附近能形成上凹下凸的彎曲變形，該截面彎矩為正；反之為負(fù)。m—n截面附近彎曲形狀，如圖，彎矩M為正。反之發(fā)生如下圖彎曲形狀，彎矩為負(fù)。17橫梁彎曲強(qiáng)度計算計算5/8/2024由此得“左順右逆”彎矩為正規(guī)定：截面左側(cè)——所有對截面形心之矩為順時針 的外力及順時針的力偶，它們 在截面處產(chǎn)生彎矩為正，反之 為負(fù)。截面右側(cè)——所有對截面形心之矩為逆時針 的外力及逆時針的力偶，它們 在截面處產(chǎn)生彎矩為正，反之 為負(fù)。18橫梁彎曲強(qiáng)度計算計算5/8/2024§4-3彎矩圖由截面法計算出橫截面彎矩隨軸線x變化規(guī)律M=M(x)→稱為梁彎矩方程將彎矩大小與正負(fù)表示在圖上——彎矩圖畫彎矩圖的基本方法：(1)對雙支點梁解除約束，求支座反力，懸臂 梁不必求支座反力,從懸臂端開始計算。(2)在有集中力或集中力偶處分段，求出每一段彎矩方程。(3)選適當(dāng)比例，以橫截面位置x為橫坐標(biāo)，彎矩M為縱坐標(biāo)作彎矩圖。19橫梁彎曲強(qiáng)度計算計算5/8/2024例一，如圖：受集中載荷簡支梁。試畫出彎矩圖。解：①解除約束，求約束反力RAy·3a–P·2a+m=0RAy+RBy–P=020橫梁彎曲強(qiáng)度計算計算5/8/2024②分段求各段彎矩AC段，在AC段任取一截面0≤x≤aDC段，在DC段任取一截面a≤x＜2a21橫梁彎曲強(qiáng)度計算計算5/8/2024BD段，在BD段任取一截面0≤x＜a③畫彎矩圖22橫梁彎曲強(qiáng)度計算計算5/8/2024例二、有一懸臂梁長l，其上分布載荷q和集中力偶矩m.

試畫出彎矩圖。

解：懸臂梁可不必求約束反力分析直接分段AB與BC段①AB段在AB之間任取一截面彎矩B截面右側(cè)MB右=0≤x≤23橫梁彎曲強(qiáng)度計算計算5/8/2024②BC段在BC之間任取一截面B截面左側(cè)，MB左C點x=l，MC=024橫梁彎曲強(qiáng)度計算計算5/8/2024例三、有一梁受力如圖，試畫出彎矩圖。解:(1)解除約束，求約束反力RBx=0RBy+RAy–qa–qa=0RAy=1.75qaRBy=0.25qa25橫梁彎曲強(qiáng)度計算計算5/8/2024(2)分段求各段彎矩，分DA,AC,CB三段。0≤x≤aDA段，在之間任取一截面AC段，在之間任取一截面

a≤x≤2a26橫梁彎曲強(qiáng)度計算計算5/8/2024BC段，在之間任取一截面(3)畫彎矩圖0≤x≤a27橫梁彎曲強(qiáng)度計算計算5/8/2024§4-4純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力純彎曲——忽略掉剪應(yīng)力，梁變?yōu)橹挥袕澗? 而無剪力梁，此時彎曲為純彎曲。純彎曲梁——梁橫截面上只有彎矩而無剪力。兩端受到一對外力偶作用——典型純彎曲梁梁上既有彎矩又有剪力作用時的彎曲稱為剪切彎曲

28橫梁彎曲強(qiáng)度計算計算5/8/2024分析純彎曲梁橫截面正應(yīng)力方法分四步：一、實驗觀察與假設(shè)推論如圖一矩形截面梁，在側(cè)面分別畫上與梁軸線相垂直的線1—1，2—2，及與梁軸線平行線ab，cd1—1，2—2代表橫向截面ab，cd代表縱向截面29橫梁彎曲強(qiáng)度計算計算5/8/2024兩端施加外力偶，使梁產(chǎn)生純彎曲

變形如圖觀察現(xiàn)象如下：1、變形后，1—1，2—2仍為直線，但轉(zhuǎn)一定角度，仍與梁軸相垂直。2、縱向線ab，cd及軸線由直線變?yōu)閳A弧，ab縮短，cd伸長。3、梁橫截面高度不變，寬度變化，凹入頂部略增大，凸出底部略變小。30橫梁彎曲強(qiáng)度計算計算5/8/2024由觀察現(xiàn)象作兩點假設(shè)：1、平面假設(shè)——梁橫截面彎曲變形后均為 平面，仍垂直于軸線。橫 截面只繞某軸轉(zhuǎn)個角度。2、互不擠壓假設(shè)——假設(shè)梁由很多層纖維 組成，變形時各層纖 維只受軸向拉伸或壓 縮，各層纖維互不 擠壓。31橫梁彎曲強(qiáng)度計算計算5/8/2024由假設(shè)作如下推論：由觀察得知，橫截面只相對偏轉(zhuǎn)了一個角度，縱向纖維受到軸向拉伸或壓縮。1、純彎曲梁變形本質(zhì)是拉伸或壓縮變形，不是剪切變形。2、橫截面只有正應(yīng)力，無剪應(yīng)力。凹側(cè)受壓，有壓縮應(yīng)力，凸側(cè)受拉，存在拉應(yīng)力。3、中間存在一層既不受拉也不受壓的中性層，其上應(yīng)力為0。注意：中性層含義32橫梁彎曲強(qiáng)度計算計算5/8/2024二、應(yīng)變與幾何尺寸之間關(guān)系從受純彎曲梁取一段dx長。dx微段的兩橫截面變形后夾角dθ,中性層曲率半徑為ρ

OO1=OO2=ρ

O1O2=dx=ρdθ中性層變形前后長度不變。變形后c1d1=(ρ+y)dθc1d1的應(yīng)變⌒33橫梁彎曲強(qiáng)度計算計算5/8/2024三、物理關(guān)系——虎克定律由假設(shè)可得梁彎曲本質(zhì)是拉伸與壓縮

hook定律：上式顯示：梁截面上任一點應(yīng)力與該點到中性軸距離成正比，y=0的中性面上應(yīng)力σ為0，上、下邊緣正應(yīng)力最大。34橫梁彎曲強(qiáng)度計算計算5/8/2024四、靜力學(xué)關(guān)系尋找正應(yīng)力σ與彎矩M之間關(guān)系如圖：純彎曲梁橫截面應(yīng)力分布中性軸兩側(cè)一邊受拉一邊受壓可構(gòu)成力偶如圖在梁橫截面上取微面dA，距中性軸距離ydA上內(nèi)力dF

dF=σdA35橫梁彎曲強(qiáng)度計算計算5/8/2024dF對中性軸之矩dM，dM=σ·y·dAM=∫AdM=∫AσydA,M=∫Ay2dA令I(lǐng)Z=∫Ay2dA，IZ—橫截面對中性軸的軸慣性矩

y——為橫截面任一點到中性層的距離

EIZ——抗彎剛度36橫梁彎曲強(qiáng)度計算計算5/8/2024此式為純彎矩梁橫截面上任一點正應(yīng)力公式。y→橫截面上任一點距中性軸距離。①曲率與M成正比，M越大，梁彎曲越厲害。②曲率與EIZ成反比。37橫梁彎曲強(qiáng)度計算計算5/8/2024注意：①彎曲正應(yīng)力σ與M成正比，與距離y成反比，最大應(yīng)力存在于梁邊緣處

②當(dāng)截面對稱于中性面，最大拉、壓應(yīng)力相等。③當(dāng)中性面與上下邊緣距離不等時，要分別計算拉應(yīng)力與壓應(yīng)力。令WZ——橫截面對中性軸Z的抗彎截面模量。38橫梁彎曲強(qiáng)度計算計算5/8/2024五：彎曲正應(yīng)力公式適用范圍彎曲正應(yīng)力計算公式是在純彎曲下導(dǎo)出——梁截面只有彎距沒有剪力。實際梁受到橫向力作用——梁截面既有彎矩又有剪力。橫截面存在剪力互不擠壓假設(shè)不成立，梁發(fā)生翹曲。根據(jù)精確理論和實驗分析：當(dāng)梁跨度L與橫截面高度h之比L/h＞5時，存在剪應(yīng)力梁的正應(yīng)力分布與純彎曲很接近。公式適用范圍：①梁跨度l與橫截面高度h之比l/h＞5，可使用梁正應(yīng)力計算公式。39橫梁彎曲強(qiáng)度計算計算5/8/2024②梁正應(yīng)力計算公式由矩形截面梁導(dǎo)出，但未使用矩形的幾何特性。所以公式適用于有縱向?qū)ΨQ面的其它截面梁。如工字鋼、槽鋼及梯形截面梁等。③梁材料必須服從虎克定律，在彈性范圍內(nèi)，且材料的拉伸與壓縮彈性模量相同，公式才適用。40橫梁彎曲強(qiáng)度計算計算5/8/2024§4-5截面的軸慣性矩和抗彎截面模量1、矩形截面（中性軸與截面形心重合）梁上受載荷如圖(h＞b立放)軸慣性矩IZ抗彎截面模量WZIZ=∫

y2bdy=h/2-h/2IZ=∫Ay2dAdA=b﹒dy41橫梁彎曲強(qiáng)度計算計算5/8/2024Iy=∫

y2hdy=-b/2b/2將上圖矩形截面梁，如圖放置時（平放）Iy=∫Ay2dAdA=h﹒dy對相同的矩形截面梁不同放置方法,會有不同的軸慣性矩和不同的抗彎模量。工程上承受彎曲作用時,要選擇I與W大的放法,要立放42橫梁彎曲強(qiáng)度計算計算5/8/2024對中性軸與截面形心不重合如圖梯形截面

IZ=∫y2dA=∫y2dAy1-y2WZ1與WZ2不相等，正應(yīng)力計算時采用較小抗彎模量進(jìn)行計算。對中性軸與截面形心不重合的梁，IZ只有一個值，但抗彎模量有兩個，在設(shè)計與計算時必須注意。A43橫梁彎曲強(qiáng)度計算計算5/8/20242、圓形及圓環(huán)形截面①對實心圓截面對圓截面，通過形心任一軸的慣性矩相等。即Iz=Iy=∫y2dA=∫(Rsina)2

·dAdA=2Rcosa·dy,y=Rsinady=Rcosa·daAIz=Iy=2∫2R4sin2a·cos2a·da=截面抗彎模量Wz=Wy=π044橫梁彎曲強(qiáng)度計算計算5/8/2024②對圓環(huán)截面令d/D=α

Iy=Iz=Wz=Wy=對于口徑較大，壁厚較薄管

D-d=2SIz=Iy≈作業(yè):4-1(c、g、h），2，345橫梁彎曲強(qiáng)度計算計算5/8/2024§4-6彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度條件保證梁工作時最大應(yīng)力在許用應(yīng)力范圍內(nèi)，即滿足強(qiáng)度條件：可能存在最大應(yīng)力的位置：①彎矩最大截面②慣性矩IZ

最小截面46橫梁彎曲強(qiáng)度計算計算5/8/2024注：①彎矩有正負(fù)。計算時以絕對值代入， 計算應(yīng)力σmax總為正，是拉應(yīng)力。

②許用應(yīng)力[σ]由實驗確定。

③截面不對稱于中性軸時，存在兩個抗 彎截面模量WZ1，WZ2，計算取較小截 面模量代入。

④材料抗拉、抗壓強(qiáng)度不同時，分別求出梁的最大拉、壓應(yīng)力，保證：σmax拉=σmax壓=≤[σ]拉≤[σ]壓47橫梁彎曲強(qiáng)度計算計算5/8/2024例一、有一階梯圓柱截面梁，許用應(yīng)力[σ]=200MPa,結(jié)構(gòu)尺寸如圖d1=50mm，d2=80mm，d3=60mmP1=10kN，P2=5kN48橫梁彎曲強(qiáng)度計算計算5/8/2024解：①解除約束，求約束反力N1

·1500－P1

·750－P2

·250=0N1=5.83(kN)N2=9.17(kN)②畫彎矩圖分段求各段彎矩方程MAB=5.83x，0≤x≤0.75mMCD=9.17x，0≤x≤0.25m49橫梁彎曲強(qiáng)度計算計算5/8/2024③可能的危險截面

E，F(xiàn)，B截面可能成為危險截面。E截面彎矩ME=5.83×0.5=2.92kN·mB截面彎矩MB=5.83×0.75=4.37kN·mF截面彎矩MF=F在B、C中點④對B，E，F(xiàn)截面強(qiáng)度校核對B截面≈87MPa<[σ]=200MPa安全50橫梁彎曲強(qiáng)度計算計算5/8/2024對F截面=157MPa<[σ]安全對E截面=238.9MPa>[σ]危險51橫梁彎曲強(qiáng)度計算計算5/8/2024例二、有一梯形截面支承架，結(jié)構(gòu)尺寸如圖截面慣性矩IZ=100cm4，y1=100mm，y2=50mm材料許用拉應(yīng)力[σ]拉=200Mpa材料許用壓應(yīng)力[σ]壓=250Mpa試校核該梁強(qiáng)度。52橫梁彎曲強(qiáng)度計算計算5/8/2024解：①解除約束，求約束反力N1

·5－1×5×2.5=0N1=2.5kNN2=2.5kN②求彎矩0≤x≤5③畫彎矩圖53橫梁彎曲強(qiáng)度計算計算5/8/2024④強(qiáng)度校核σmax拉=σmax拉==156MPa<[σ]拉σmax壓=σmax壓==312.5MPa>[σ]壓梁不安全54橫梁彎曲強(qiáng)度計算計算5/8/2024§4-7梁截面合理形狀選擇工程常用的矩形截面梁如圖：h>b,

立放平放立放WZ1>平放WZ2

上、下表面應(yīng)力小，安全或可以承受更大載荷。55橫梁彎曲強(qiáng)度計算計算5/8/2024§4-8梁彎曲變形一、梁的彈性曲線，撓度和轉(zhuǎn)角如圖梁受力，中心軸線變形AB`的曲線為撓曲線撓度：梁任一截面形心位移量為該截面撓度，用y表示。用f表示最大撓度。y與坐標(biāo)軸y正方向相同為正，反之為負(fù)。56橫梁彎曲強(qiáng)度計算計算5/8/2024將梁彎曲形狀用曲線方程表示，該方程稱為撓曲線方程。位移量y隨截面位置變化，y=f(x)為撓曲線方程。截面轉(zhuǎn)角：梁截面繞自身中性軸轉(zhuǎn)角θ表示。θ逆時針為正，反之為負(fù)。由微分學(xué)得：θ很小時，tgθ≈θ,即θ≈f`(x)57橫梁彎曲強(qiáng)度計算計算5/8/2024二、撓曲線的近似微分方程梁軸上任一點曲率方程：由微分學(xué)方程可得：梁變形曲率方程：由于梁是微變形，截面轉(zhuǎn)角很小，dy/dx項極小可以忽略，由此簡化得到下式58橫梁彎曲強(qiáng)度計算計算5/8/2024稱為梁彈性曲線近似方程由于變形量y與彎矩符號始終一樣變形微分方程為：