2020年全國(guó)大學(xué)高數(shù)考試試題及解析

2020年全國(guó)大學(xué)高等數(shù)學(xué)考試試題一、填空題(本題共6小題,每小題4分,滿分24分.把答案填在題中橫線上)(1)曲線上與直線垂直的切線方程為_(kāi)_________.(2)已知,且,則=__________.(3)設(shè)為正向圓周在第一象限中的部分,則曲線積分的值為_(kāi)_________.(4)設(shè)是由錐面與半球面圍成的空間區(qū)域,是的整個(gè)邊界的外側(cè),則_________.(5)設(shè)均為3維列向量,記矩陣,,如果,那么.(6)從數(shù)1,2,3,4中任取一個(gè)數(shù),記為,再?gòu)闹腥稳∫粋€(gè)數(shù),記為,則=____________.二、選擇題(本題共8小題,每小題4分,滿分32分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))(1)設(shè)函數(shù),則在內(nèi)( )(A)處處可導(dǎo) (B)恰有一個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)(C)恰有兩個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn) (D)至少有三個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)(2)設(shè)是連續(xù)函數(shù)的一個(gè)原函數(shù),表示的充分必要條件是則必有( )(A)是偶函數(shù)是奇函數(shù)(B)是奇函數(shù)是偶函數(shù)(C)是周期函數(shù)是周期函數(shù)(D)是單調(diào)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)(3)設(shè)函數(shù),其中函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù),具有一階導(dǎo)數(shù),則必有( )(A) (B) (C) (D)(4)設(shè)有三元方程,根據(jù)隱函數(shù)存在定理,存在點(diǎn)的一個(gè)鄰域,在此鄰域內(nèi)該方程( )(A)只能確定一個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)(B)可確定兩個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)和(C)可確定兩個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)和(D)可確定兩個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)和(5)設(shè)是3階方陣,將的第1列與第2列交換得,再把的第2列加到第3列得,則滿足的可逆矩陣為( )(A) (B) (C) (D)(6)設(shè)為滿足的任意兩個(gè)非零矩陣,則必有( )(A)的列向量組線性相關(guān)的行向量組線性相關(guān)(B)的列向量組線性相關(guān)的列向量組線性相關(guān)(C)的行向量組線性相關(guān)的行向量組線性相關(guān)(D)的行向量組線性相關(guān)的列向量組線性相關(guān)(7)設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布對(duì)給定的,數(shù)滿足,若,則等于( )(A) (B)(C) (D)(8)設(shè)隨機(jī)變量獨(dú)立同分布,且其方差為令,則( )(A) (B)(C) (D)三、解答題(本題共9小題,滿分94分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)1、(本題滿分12分)設(shè),證明.2、(本題滿分11分)某種飛機(jī)在機(jī)場(chǎng)降落時(shí),為了減少滑行距離,在觸地的瞬間,飛機(jī)尾部張開(kāi)減速傘,以增大阻力,使飛機(jī)迅速減速并停下.現(xiàn)有一質(zhì)量為9000kg的飛機(jī),著陸時(shí)的水平速度為700km/h經(jīng)測(cè)試,減速傘打開(kāi)后,飛機(jī)所受的總阻力與飛機(jī)的速度成正比(比例系數(shù)為問(wèn)從著陸點(diǎn)算起,飛機(jī)滑行的最長(zhǎng)距離是多少?(注:kg表示千克,km/h表示千米/小時(shí))3、(本題滿分12分)計(jì)算曲面積分其中是曲面的上側(cè).4、(本題滿分12分)已知函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且.證明:A存在使得.B存在兩個(gè)不同的點(diǎn),使得5、(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),在圍繞原點(diǎn)的任意分段光滑簡(jiǎn)單閉曲線上,曲線積分的值恒為同一常數(shù).(=1\*ROMAN1)證明:對(duì)右半平面內(nèi)的任意分段光滑簡(jiǎn)單閉曲線有.(2)求函數(shù)的表達(dá)式.6、(本題滿分9分)已知二次型的秩為2.(=1\*ROMAN1)求的值；(2)求正交變換,把化成標(biāo)準(zhǔn)形.(3)求方程=0的解.7、(本題滿分9分)設(shè)矩陣的特征方程有一個(gè)二重根,求的值,并討論是否可相似對(duì)角化.8、(本題滿分9分)設(shè)為隨機(jī)事件,且,令求:(1)二維隨機(jī)變量的概率分布.(2)和的相關(guān)系數(shù)9、(本題滿分9分)設(shè)為來(lái)自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,為樣本均值,記求:(=1\*ROMAN1)的方差.(2)與的協(xié)方差2020年全國(guó)大學(xué)高等數(shù)學(xué)考試試題解析填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線）（1）曲線y=lnx上與直線垂直的切線方程為.【分析】本題為基礎(chǔ)題型，相當(dāng)于已知切線的斜率為1，由曲線y=lnx的導(dǎo)數(shù)為1可確定切點(diǎn)的坐標(biāo)。【詳解】由，得x=1,可見(jiàn)切點(diǎn)為，于是所求的切線方程為，即.【評(píng)注】本題也可先設(shè)切點(diǎn)為，曲線y=lnx過(guò)此切點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為，得，由此可知所求切線方程為，即.本題比較簡(jiǎn)單，類似例題在一般教科書(shū)上均可找到.（2）已知，且f(1)=0,則f(x)=.【分析】先求出的表達(dá)式，再積分即可?！驹斀狻苛睿瑒t，于是有，即積分得.利用初始條件f(1)=0,得C=0，故所求函數(shù)為f(x)=.【評(píng)注】本題屬基礎(chǔ)題型，已知導(dǎo)函數(shù)求原函數(shù)一般用不定積分。完全類似的例題見(jiàn)《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》P89第8題,P90第11題.（3）設(shè)為正向圓周在第一象限中的部分，則曲線積分的值為.【分析】利用極坐標(biāo)將曲線用參數(shù)方程表示，相應(yīng)曲線積分可化為定積分。【詳解】正向圓周在第一象限中的部分，可表示為于是=【評(píng)注】本題也可添加直線段，使之成為封閉曲線，然后用格林公式計(jì)算，而在添加的線段上用參數(shù)法化為定積分計(jì)算即可.完全類似例題見(jiàn)《數(shù)學(xué)題型集粹與練習(xí)題集》P143例10.11，《考研數(shù)學(xué)大串講》P122例5、例7.（4）設(shè)是由錐面與半球面圍成的空間區(qū)域，是的整個(gè)邊界的外側(cè)，則.【分析】本題是封閉曲面且取外側(cè)，自然想到用高斯公式轉(zhuǎn)化為三重積分，再用球面（或柱面）坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】=（5）設(shè)均為3維列向量，記矩陣，，如果，那么2.【分析】將B寫(xiě)成用A右乘另一矩陣的形式，再用方陣相乘的行列式性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】由題設(shè)，有=，于是有（6）從數(shù)1,2,3,4中任取一個(gè)數(shù)，記為X,再?gòu)闹腥稳∫粋€(gè)數(shù)，記為Y,則=.【分析】本題涉及到兩次隨機(jī)試驗(yàn)，想到用全概率公式,且第一次試驗(yàn)的各種兩兩互不相容的結(jié)果即為完備事件組或樣本空間的劃分.【詳解】=+++=二、選擇題（本題共8小題，每小題4分，滿分32分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）（1）設(shè)函數(shù)，則f(x)在內(nèi)(A)處處可導(dǎo).(B)恰有一個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn).(C)恰有兩個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn).(D)至少有三個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn).[C]【分析】先求出f(x)的表達(dá)式，再討論其可導(dǎo)情形.【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即可見(jiàn)f(x)僅在x=時(shí)不可導(dǎo)，故應(yīng)選(C).（2）設(shè)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)，表示“M的充分必要條件是N”，則必有F(x)是偶函數(shù)f(x)是奇函數(shù).（B）F(x)是奇函數(shù)f(x)是偶函數(shù).(C)F(x)是周期函數(shù)f(x)是周期函數(shù).(D)F(x)是單調(diào)函數(shù)f(x)是單調(diào)函數(shù).[A]【分析】本題可直接推證，但最簡(jiǎn)便的方法還是通過(guò)反例用排除法找到答案.【詳解】方法一：任一原函數(shù)可表示為，且當(dāng)F(x)為偶函數(shù)時(shí)，有，于是，即，也即，可見(jiàn)f(x)為奇函數(shù)；反過(guò)來(lái)，若f(x)為奇函數(shù)，則為偶函數(shù)，從而為偶函數(shù)，可見(jiàn)(A)為正確選項(xiàng).方法二：令f(x)=1,則取F(x)=x+1,排除(B)、(C);令f(x)=x,則取F(x)=,排除(D);故應(yīng)選(A).（3）設(shè)函數(shù),其中函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，具有一階導(dǎo)數(shù)，則必有(A).（B）.(C).(D).[B]【分析】先分別求出、、，再比較答案即可.【詳解】因?yàn)椋?，于?，，，可見(jiàn)有，應(yīng)選(B).（4）設(shè)有三元方程，根據(jù)隱函數(shù)存在定理，存在點(diǎn)(0,1,1)的一個(gè)鄰域，在此鄰域內(nèi)該方程只能確定一個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)z=z(x,y).可確定兩個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)x=x(y,z)和z=z(x,y).可確定兩個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)y=y(x,z)和z=z(x,y).可確定兩個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)x=x(y,z)和y=y(x,z).[D]【分析】本題考查隱函數(shù)存在定理，只需令F(x,y,z)=,分別求出三個(gè)偏導(dǎo)數(shù)，再考慮在點(diǎn)(0,1,1)處哪個(gè)偏導(dǎo)數(shù)不為0，則可確定相應(yīng)的隱函數(shù).【詳解】令F(x,y,z)=,則，，，且，，.由此可確定相應(yīng)的隱函數(shù)x=x(y,z)和y=y(x,z).故應(yīng)選(D).（5）設(shè)A是3階方陣，將A的第1列與第2列交換得B,再把B的第2列加到第3列得C,則滿足AQ=C的可逆矩陣Q為(A).(B).(C).(D).(D)【分析】本題考查初等矩陣的的概念與性質(zhì)，對(duì)A作兩次初等列變換，相當(dāng)于右乘兩個(gè)相應(yīng)的初等矩陣，而Q即為此兩個(gè)初等矩陣的乘積?！驹斀狻坑深}設(shè)，有，，于是，可見(jiàn)，應(yīng)選(D).【評(píng)注】涉及到初等變換的問(wèn)題，應(yīng)掌握初等矩陣的定義、初等矩陣的性質(zhì)以及與初等變換的關(guān)系。完全類似例題見(jiàn)《數(shù)學(xué)題型集粹與練習(xí)題集》P196例2.2（6）設(shè)A,B為滿足AB=O的任意兩個(gè)非零矩陣，則必有A的列向量組線性相關(guān)，B的行向量組線性相關(guān).A的列向量組線性相關(guān)，B的列向量組線性相關(guān).A的行向量組線性相關(guān)，B的行向量組線性相關(guān).(D)A的行向量組線性相關(guān)，B的列向量組線性相關(guān).[A]【分析】A,B的行列向量組是否線性相關(guān)，可從A,B是否行（或列）滿秩或Ax=0（Bx=0）是否有非零解進(jìn)行分析討論.【詳解1】設(shè)A為矩陣，B為矩陣，則由AB=O知，.又A,B為非零矩陣，必有r(A)>0,r(B)>0.可見(jiàn)r(A)<n,r(B)<n,即A的列向量組線性相關(guān)，B的行向量組線性相關(guān)，故應(yīng)選(A).【詳解2】由AB=O知，B的每一列均為Ax=0的解，而B(niǎo)為非零矩陣，即Ax=0存在非零解，可見(jiàn)A的列向量組線性相關(guān)。同理，由AB=O知，，于是有的列向量組，從而B(niǎo)的行向量組線性相關(guān)，故應(yīng)選(A).【評(píng)注】AB=O是常考關(guān)系式，一般來(lái)說(shuō)，與此相關(guān)的兩個(gè)結(jié)論是應(yīng)記住的：AB=O;AB=OB的每列均為Ax=0的解。完全類似例題見(jiàn)《數(shù)學(xué)最后沖刺》P110例10-11，《數(shù)學(xué)一臨考演習(xí)》P79第4題,〈考研數(shù)學(xué)大串講〉P173例8,P184例27。（7）設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(0,1)，對(duì)給定的，數(shù)滿足，若，則等于(A).(B).(C).(D).[C]【分析】此類問(wèn)題的求解，可通過(guò)的定義進(jìn)行分析，也可通過(guò)畫(huà)出草圖，直觀地得到結(jié)論?！驹斀狻坑蓸?biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率密度函數(shù)的對(duì)稱性知，，于是即有，可見(jiàn)根據(jù)定義有，故應(yīng)選(C).【評(píng)注】本題相當(dāng)于分位數(shù)，直觀地有o此類問(wèn)題在文登學(xué)校的輔導(dǎo)班上作為正態(tài)分布的一般結(jié)論總結(jié)過(guò).（8）設(shè)隨機(jī)變量獨(dú)立同分布，且其方差為令，則(A)Cov((B).(C).(D).[A]【分析】本題用方差和協(xié)方差的運(yùn)算性質(zhì)直接計(jì)算即可，注意利用獨(dú)立性有：【詳解】Cov(=【評(píng)注】本題(C),(D)兩個(gè)選項(xiàng)的方差也可直接計(jì)算得到：如=，=完全類似的例題見(jiàn)《數(shù)學(xué)一臨考演習(xí)》P78第23題（本題是第23題的特殊情況）.三、解答題1、（本題滿分12分）設(shè),證明.【分析】根據(jù)要證不等式的形式，可考慮用拉格朗日中值定理或轉(zhuǎn)化為函數(shù)不等式用單調(diào)性證明.【證法1】對(duì)函數(shù)在[a,b]上應(yīng)用拉格朗日中值定理，得設(shè)，則，當(dāng)t>e時(shí)，所以單調(diào)減少，從而，即，故.【證法2】設(shè)，則，,所以當(dāng)x>e時(shí)，故單調(diào)減少，從而當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，單調(diào)增加.因此當(dāng)時(shí)，，即，故.【評(píng)注】本題也可設(shè)輔助函數(shù)為或，再用單調(diào)性進(jìn)行證明即可。完全類似的例題見(jiàn)《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》P347例13.31及P344的[解題提示],《考研數(shù)學(xué)大串講》P65例13.2、（本題滿分11分）某種飛機(jī)在機(jī)場(chǎng)降落時(shí)，為了減少滑行距離，在觸地的瞬間，飛機(jī)尾部張開(kāi)減速傘，以增大阻力，使飛機(jī)迅速減速并停下.現(xiàn)有一質(zhì)量為9000kg的飛機(jī)，著陸時(shí)的水平速度為700km/h.經(jīng)測(cè)試，減速傘打開(kāi)后，飛機(jī)所受的總阻力與飛機(jī)的速度成正比（比例系數(shù)為問(wèn)從著陸點(diǎn)算起，飛機(jī)滑行的最長(zhǎng)距離是多少？注kg表示千克，km/h表示千米/小時(shí).【分析】本題是標(biāo)準(zhǔn)的牛頓第二定理的應(yīng)用，列出關(guān)系式后再解微分方程即可?！驹斀?】由題設(shè)，飛機(jī)的質(zhì)量m=9000kg，著陸時(shí)的水平速度.從飛機(jī)接觸跑道開(kāi)始記時(shí)，設(shè)t時(shí)刻飛機(jī)的滑行距離為x(t)，速度為v(t).根據(jù)牛頓第二定律，得.又，由以上兩式得，積分得由于，故得，從而當(dāng)時(shí)，所以，飛機(jī)滑行的最長(zhǎng)距離為1.05km.【詳解2】根據(jù)牛頓第二定律，得,所以兩端積分得通解，代入初始條件解得，故飛機(jī)滑行的最長(zhǎng)距離為或由，知，故最長(zhǎng)距離為當(dāng)時(shí)，【詳解3】根據(jù)牛頓第二定律，得,，其特征方程為，解之得，故由，得于是當(dāng)時(shí)，所以，飛機(jī)滑行的最長(zhǎng)距離為1.05km.【評(píng)注】本題求飛機(jī)滑行的最長(zhǎng)距離，可理解為或的極限值，這種條件應(yīng)引起注意.完全類似的例題見(jiàn)《數(shù)學(xué)最后沖刺》P98-99例10-11.3、（本題滿分12分）計(jì)算曲面積分其中是曲面的上側(cè).【分析】先添加一曲面使之與原曲面圍成一封閉曲面，應(yīng)用高斯公式求解，而在添加的曲面上應(yīng)用直接投影法求解即可.【詳解】取為xoy平面上被圓所圍部分的下側(cè)，記為由與圍成的空間閉區(qū)域，則由高斯公式知==而，故【評(píng)注】本題選擇時(shí)應(yīng)注意其側(cè)與圍成封閉曲面后同為外側(cè)（或內(nèi)側(cè)），再就是在上直接投影積分時(shí)，應(yīng)注意符號(hào)(取下側(cè)，與z軸正向相反，所以取負(fù)號(hào)).完全類似的例題見(jiàn)《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》P325例12.21，《數(shù)學(xué)題型集粹與練習(xí)題集》P148例10.17（2）,《數(shù)學(xué)一臨考演習(xí)》P38第19題.4、（本題滿分12分）已知函數(shù)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=0,f(1)=1.證明：（=1\*ROMANI）存在使得；（=2\*ROMANII）存在兩個(gè)不同的點(diǎn)，使得【分析】第一部分顯然用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理；第二部分為雙介值問(wèn)題，可考慮用拉格朗日中值定理，但應(yīng)注意利用第一部分已得結(jié)論.【詳解】（=1\*ROMANI）令，則F(x)在[0，1]上連續(xù)，且F(0)=-1<0,F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在使得，即.（=2\*ROMANII）在和上對(duì)f(x)分別應(yīng)用拉格朗日中值定理，知存在兩個(gè)不同的點(diǎn)，使得，于是5、（本題滿分12分）設(shè)函數(shù)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在圍繞原點(diǎn)的任意分段光滑簡(jiǎn)單閉曲線L上，曲線積分的值恒為同一常數(shù).（=1\*ROMANI）證明：對(duì)右半平面x>0內(nèi)的任意分段光滑簡(jiǎn)單閉曲線C，有；（=2\*ROMANII）求函數(shù)的表達(dá)式.【分析】證明（=1\*ROMANI）的關(guān)鍵是如何將封閉曲線C與圍繞原點(diǎn)的任意分段光滑簡(jiǎn)單閉曲線相聯(lián)系，這可利用曲線積分的可加性將C進(jìn)行分解討論；而（=2\*ROMANII）中求的表達(dá)式，顯然應(yīng)用積分與路徑無(wú)關(guān)即可.Y【詳解】（=1\*ROMANI）Yl2CoXl3如圖，將C分解為：，另作一條曲線圍繞原點(diǎn)且與C相接，則.（=2\*ROMANII）設(shè)，在單連通區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，由（Ⅰ）知，曲線積分在該區(qū)域內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)，故當(dāng)時(shí)，總有.①②比較①、②兩式的右端，得④③④③由③得，將代入④得所以，從而6、（本題滿分9分）已知二次型的秩為2.（=1\*ROMANI）求a的值；（=2\*ROMANII）求正交變換，把化成標(biāo)準(zhǔn)形；（=3\*ROMANIII）求方程=0的解.【分析】（=1\*ROMANI）根據(jù)二次型的秩為2，可知對(duì)應(yīng)矩陣的行列式為0，從而可求a的值；（=2\*ROMANII）是常規(guī)問(wèn)題，先求出特征值、特征向量，再正交化、單位化即可找到所需正交變換；（=3\*ROMANIII）利用第二步的結(jié)果，通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)形求解即可.【詳解】（=1\*ROMANI）二次型對(duì)應(yīng)矩陣為，由二次型的秩為2，知，得a=0.（=2\*ROMANII）這里，可求出其特征值為.解，得特征向量為：，解，得特征向量為：由于已經(jīng)正交，直接將，單位化，得：令，即為所求的正交變換矩陣，由x=Qy，可化原二次型為標(biāo)準(zhǔn)形：=（=3\*ROMANIII）由=0，得（k為任意常數(shù)）.從而所求解為：x=Qy=，其中c為任意常數(shù).7、（本題滿分9分）已知3階矩陣A的第一行是不全為零，矩陣（k為常數(shù)），且AB=O,求線性方程組Ax=0的通解.【分析】AB=O,相當(dāng)于告之B的每一列均為Ax=0的解，關(guān)鍵問(wèn)題是Ax=0的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)為多少，而這又轉(zhuǎn)化為確定系數(shù)矩陣A的秩.【詳解】由AB=O知，B的每一列均為Ax=0的解，且（1）若k,則r(B)=2,于是r(A),顯然r(A),故r(A)=1.可見(jiàn)此時(shí)Ax=0的基礎(chǔ)解系