江蘇省專轉(zhuǎn)本高數(shù)全部知識點極限洛比塔法則第五講利用導(dǎo)數(shù)證明不等式及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用省公開課一等獎全國示范課

第五講利用導(dǎo)數(shù)證實不等式證實不等式證實方程根個數(shù)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用1/21

(1)利用導(dǎo)數(shù)證實不等式利用導(dǎo)數(shù)證實不等式是?？碱}型.主要方法有:

1

利用微分中值定理;2

利用函數(shù)單調(diào)性;

3利用極值(或最值);2/21

10

利用微分中值定理若函數(shù)f(x)有一二階導(dǎo)數(shù),而要證不等式兩端含有f(x)

函數(shù)值,尤其是f(x)表示式不知道時,或不等式中含有f(x)導(dǎo)數(shù)時,慣用拉格朗日中值定理證.3/21例1證實不等式證實：把lna乘以各式,得到4/21區(qū)間[1/(n+1),1/n]上增量,能夠?qū)(x)使用拉格朗日中值定理,有f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a)

因為是函數(shù)f(x)=ax

在5/216/217/2120

利用函數(shù)單調(diào)性當(dāng)要證不等式兩端是給定兩個表示式,或不等式一端或兩端含f(x),且知道f’(x)>0(或f”(x)>0)則常需要用單調(diào)性證.解：:為證不等式,只要證例2當(dāng)x>0時,證實不等式8/21其輔助函數(shù)為9/21

所以當(dāng)x>0時,f(2)(x)嚴(yán)格單調(diào)增加,即f”(x)>f”(0)(x>0)從而f’(x)嚴(yán)格單調(diào)增加,于是當(dāng)x>0時f’(x)>f’(0)=010/2130

利用函數(shù)極值與最值例3對任意實數(shù)x,證實不等式11/21(2)證實一些等式利用導(dǎo)數(shù)證實等式慣用10羅爾定理(要證實某個函數(shù)或一個式子等于0或其導(dǎo)數(shù)等于0時).20拉格朗日定理.若函數(shù)f(x)有一二階導(dǎo)數(shù),而要證等式兩端含有f(x)函數(shù)值,尤其是f(x)表示式不知道時,或等式中含有f(x)導(dǎo)數(shù)時,慣用拉格朗日中值定理證.

12/21關(guān)鍵是建立輔助函數(shù):通慣用移項(把等式一端項全移到另一端)或把等式變形,或變形后再移項或變形后用逆推方法.13/21(3).證實方程根存在性與個數(shù)方程根能夠看成函數(shù)零點,為了利用函數(shù)連續(xù)性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)理論,通常把方程根討論轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點討論.關(guān)于方程根證實,主要有兩種情況(1)證實方程在某區(qū)間內(nèi)最少有一個或幾個根

1.利用介值定理證實方程根存在性14/21例4由介值定理可知道f(x)在(0,e)(e,+∞)內(nèi)各有一個根.xyY=lnx115/212.利用羅爾定理證實方程根存在性這個方法是作一個在指定區(qū)間上滿足羅爾定理條件輔助函數(shù),把根存在性轉(zhuǎn)化為該輔助函數(shù)導(dǎo)函數(shù)零點存在性.例12設(shè)實數(shù)a0,a1,a2,a3,…an,滿足關(guān)系式證實方程a0+a1x+a2x2+…+anxn=0在(0,1)內(nèi)最少有一個根.16/2117/21(2).證實方程在給定區(qū)間內(nèi)有唯一根或最多有幾個根證實步驟和方法以下:

方法有:㈠利用函數(shù)單調(diào)增減性;㈡用反證法,通?？衫昧_爾定理,拉格朗日定理導(dǎo)出矛盾.2.再證唯一性或最多有幾個根.方法有:㈠利用連續(xù)性函數(shù)介值定理;㈡利用羅爾定理.1.先證存在性18/21【解題回顧】1.求最大（?。┲祽?yīng)用問題普通方法：分析、聯(lián)絡(luò)、抽象、轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)方法數(shù)學(xué)結(jié)果實際結(jié)果回答下列問題實際問題

建立數(shù)學(xué)模型（列數(shù)學(xué)關(guān)系式）處理應(yīng)用性問題關(guān)鍵是讀題——懂題——建立數(shù)學(xué)關(guān)系式。2.在實際問題中，有時會碰到在區(qū)間內(nèi)只有一個點使導(dǎo)數(shù)為0情形，假如函數(shù)在這點有極大(小)值，那么不與端點值比較，也能夠知道這就是最大(小)值。這時所說也適合用于開區(qū)間或無窮區(qū)間。19/211、把長60cm鐵絲圍成矩形，長寬各為多少時矩形面積最大？x(60-2x)/2解：設(shè)寬為Xcm,則長為（60－2X）/2=(30-X)cm所以面積此時S’在x＞15時S’<0,x＜15時，S’＞0結(jié)論：周長為定值矩形中，正方形面積最大。答：長為15cm,寬為15cm時面積最大。20/212、把長為100cm鐵絲分為兩段，各圍成正方形，怎樣分法才能使兩個正方形面積之和最??？x解:設(shè)分成一段長為xcm,則第一個正方形面積為另一個面積為所以面積之和為所以4x-50=0得x=12.5,當(dāng)