2024年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：實(shí)數(shù)-鞏固練習(xí)（提高）

2024年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：實(shí)數(shù)—鞏固練習(xí)（提高）【鞏固練習(xí)】一、選擇題1.在實(shí)數(shù)π、、、sin30°,無理數(shù)的個(gè)數(shù)為()A.1B.2C.3D.42.對(duì)于實(shí)數(shù)、，給出以下三個(gè)判斷：①若，則．②若，則．③若，則．其中正確的判斷的個(gè)數(shù)是（）A．3B．2C．1D．03．據(jù)統(tǒng)計(jì)，2014年河南省機(jī)動(dòng)車保有量突破280萬輛，對(duì)數(shù)據(jù)“280萬”的理解錯(cuò)誤的是（）A．精確到萬位B．有三個(gè)有效數(shù)字C．這是一個(gè)精確數(shù)D．用科學(xué)記數(shù)法表示為2.80×1064．如圖，矩形OABC的邊OA長為2，邊AB長為1，OA在數(shù)軸上，以原點(diǎn)O為圓心，對(duì)角線OB的長為半徑畫弧，交正半軸于一點(diǎn)，則這個(gè)點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)是（）A．2.5B．2eq\r(,2)C．eq\r(,3)D．eq\r(,5)5．填在下面各正方形中的四個(gè)數(shù)之間都有相同的規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律，m的值是（）002842462246844m6A．38 B．52 C．66 D．746.若a、b兩數(shù)滿足3＝103，a103＝b，則之值為（）A．B．C．D．二、填空題7．（1）先找規(guī)律，再填數(shù)：（2）對(duì)實(shí)數(shù)a、b，定義運(yùn)算★如下：a★b=，例如2★3=2-3=.計(jì)算[2★（﹣4）]×[（﹣4）★（﹣2）]=.8．已知：,,觀察前面的計(jì)算過程，尋找計(jì)算規(guī)律計(jì)算（直接寫出計(jì)算結(jié)果），并比較（填“”或“”或“=”）9．右圖為手的示意圖，在各個(gè)手指間標(biāo)記字母A，B，C，D．請(qǐng)你按圖中箭頭所指方向(即A→B→C→D→C→B→A→B→C→…的方式)從A開始數(shù)連續(xù)的正整數(shù)1，2，3，4，…，當(dāng)數(shù)到12時(shí)，對(duì)應(yīng)的字母是；當(dāng)字母C第201次出現(xiàn)時(shí)，恰好數(shù)到的數(shù)是；當(dāng)字母C第2n+1次出現(xiàn)時(shí)(n為正整數(shù))，恰好數(shù)到的數(shù)是（用含n的代數(shù)式表示）．10．根據(jù)如圖所示的程序計(jì)算，若輸入x的值為1，則輸出y的值為___________.

11．已知，當(dāng)n=1時(shí)，a1=0；當(dāng)n=2時(shí)，a2=2；當(dāng)n=3時(shí)，a3=0；…則a1+a2+a3+a4+a5+a6的值為___________．12．觀察圖形：請(qǐng)用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律直接寫出圖4中y的值．三、解答題13．對(duì)于任何實(shí)數(shù)，我們規(guī)定符號(hào)的意義是：=．按照這個(gè)規(guī)定請(qǐng)你計(jì)算：當(dāng)時(shí)，的值．14.小彬在做數(shù)學(xué)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)下面有趣的結(jié)果：3﹣2=18+7﹣6﹣5=415+14+13﹣12﹣11﹣10=924+23+22+21﹣20﹣19﹣18﹣17=16…根據(jù)以上規(guī)律可知第99行左起第一個(gè)數(shù)是．15．根據(jù)以下10個(gè)乘積，回答問題：

11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；

16×24；17×23；18×22；19×21；20×20.

(1)試將以上各乘積分別寫成一個(gè)“□2-○2”(兩數(shù)平方差)的形式，并寫出其中一個(gè)的思考過程；

(2)將以上10個(gè)乘積按照從小到大的順序排列起來；

(3)試由(1)、(2)猜想一個(gè)一般性的結(jié)論.(不要求證明)

16.已知等邊△OAB的邊長為a，以AB邊上的高OA1為邊，按逆時(shí)針方向作等邊△OA1B1，A1B1與OB相交于點(diǎn)A2.

(1)求線段OA2的長；

(2)若再以O(shè)A2為邊按逆時(shí)針方向作等邊△OA2B2，A2B2與OB1相交于點(diǎn)A3，按此作法進(jìn)行下去，得到△OA3B3，△OA4B4，…，△OAnBn(如圖).求△OA6B6的周長.

【答案與解析】一、選擇題

1.【答案】B；【解析】π、是無理數(shù).2.【答案】C；【解析】通過舉反例說明①②是不對(duì)的，只有③是正確的.3.【答案】C；【解析】A、280萬精確到萬位是正確的，此選項(xiàng)不合題意；B、280萬有三個(gè)有效數(shù)字是正確的，此選項(xiàng)不合題意；C、280萬是一個(gè)近似數(shù)，不是精確數(shù)，此選項(xiàng)符合題意；D、280萬用科學(xué)記數(shù)法表示為2.80×106是正確的，此選項(xiàng)不合題意．故選：C．4.【答案】D；【解析】用勾股定理求得OB=eq\r(,5)即可.5.【答案】D；【解析】先分析出陰影方格的數(shù)，如圖，找出規(guī)律：m=左下角方格的數(shù)的平方加上右上角方格的數(shù).6.【答案】C；二、填空題7．【答案】（1）；（2）1；【解析】（1）規(guī)律為：（n為正整數(shù)）.（2）[2★（﹣4）]×[（﹣4）★（﹣2）]=2-4×（-4）2=1.8．【答案】42；.【解析】7×6=42；∵=9×8×7×6×5，=10×9×8，∴.9．【答案】B；603；6n＋3；【解析】字母C第“奇數(shù)”次出現(xiàn)時(shí)，恰好數(shù)到的數(shù)是這個(gè)“奇數(shù)”的3倍。10．【答案】4；【解析】第一次結(jié)果是-2，繼續(xù)輸入得到結(jié)果是4，符合題意.11．【答案】6；【解析】a1=a3=a5=…=0，a2=a4=a6=…=2，所以a1+a2+a3+a4+a5+a6=6.12．【答案】12.【解析】∵12=5×2﹣1×（﹣2），20=8×1﹣（﹣3）×4，﹣13=（﹣7）×4﹣5×（﹣3），∴y=3×0﹣6×（﹣2）=12．故答案為：12．三、解答題13.【答案與解析】14.【答案與解析】解：∵3=22﹣1，8=32﹣1，15=42﹣1，24=52﹣1，…∴第99行左起第一個(gè)數(shù)是：（99+1）2﹣1=9999．故答案為：9999．15.【答案與解析】

(1)11×29=202-92；12×28=202-82；

13×27=202-72；14×26=202-62；

15×25=202-52；16×24=202-42；

17×23=202-32；18×22=202-22；

19×21=202-12；20×20=202-02；

例如：11×29；假設(shè)11×29=□2-○2；

因?yàn)椤?-○2=(□+○)(□-○)

所以，可以令□-○=11，□+○=29

解得，□=20，○=9，故11×29=202-92

(或11×29=(20-9)(20+9)=202-92)

(2)這10個(gè)乘積按照從小到大的順序依次是：

11×29<12×28<13×27<14×26<15×25<16×24<17×23<18×22<19×21<20×20.

(3)①若a+b=40,a,b是自然數(shù)，則ab≤202=400.

②若a+b=40，則ab≤202=400.

③若a+b=m，a，b是自然數(shù)，則

④若a+b=m，則

⑤若a1+b1=a2+b2=a3+b3=…=an+bn=40，且|a1-b1|≥|a2-b2|≥|a3-b3|≥…≥|an-bn|，

則a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤anbn.

⑥若a1+b1=a2+b2=a3+b3=…=an+bn=m，且|a1-b1|≥|a2-b2|≥|a3-b3|≥…≥|an-bn|，

則a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤anbn.

16.【答案與解析】

(1)

(2)依題意，

以此類推，

，即△OA6B6的周長為中考總復(fù)習(xí)：實(shí)數(shù)—知識(shí)講解（基礎(chǔ)）【考綱要求】1.了解有理數(shù)、無理數(shù)、實(shí)數(shù)的概念；借助數(shù)軸理解相反數(shù)、絕對(duì)值的概念及意義，會(huì)比較實(shí)數(shù)的大??；2.知道實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，會(huì)用科學(xué)記數(shù)法表示有理數(shù)，會(huì)求近似數(shù)和有效數(shù)字；了解乘方與開方、平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念，并理解這兩種運(yùn)算之間的關(guān)系，了解整數(shù)指數(shù)冪的意義和基本性質(zhì)；3.掌握實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則，并能靈活運(yùn)用.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、實(shí)數(shù)的分類1.按定義分類：2.按性質(zhì)符號(hào)分類：有理數(shù)：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)或者“形如（m，n是整數(shù)n≠0）”的數(shù)叫有理數(shù)．無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)叫無理數(shù)．實(shí)數(shù)：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)．要點(diǎn)詮釋：常見的無理數(shù)有以下幾種形式：（1）字母型：如π是無理數(shù)，等都是無理數(shù)，而不是分?jǐn)?shù)；（2）構(gòu)造型：如2.10100100010000…（每兩個(gè)1之間依次多一個(gè)0）就是一個(gè)無限不循環(huán)的小數(shù)；（3）根式型：…都是一些開方開不盡的數(shù)；（4）三角函數(shù)型：sin35°、tan27°、cos29°等.考點(diǎn)二、實(shí)數(shù)的相關(guān)概念1.相反數(shù)（1)代數(shù)意義：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)，我們說其中一個(gè)是另一個(gè)的相反數(shù)．0的相反數(shù)是0；（2)幾何意義：在數(shù)軸上原點(diǎn)的兩側(cè)，與原點(diǎn)距離相等的兩個(gè)點(diǎn)表示的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)；（3)互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)之和等于0.a、b互為相反數(shù)a+b=0.2.絕對(duì)值（1)代數(shù)意義：正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0．可用式子表示為：（2)幾何意義：一個(gè)數(shù)a的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離．距離是一個(gè)非負(fù)數(shù)，所以絕對(duì)值的幾何意義本身就揭示了絕對(duì)值的本質(zhì)，即絕對(duì)值是一個(gè)非負(fù)數(shù)．用式子表示：若a是實(shí)數(shù)，則|a|≥0．要點(diǎn)詮釋：若則則表示的幾何意義就是在數(shù)軸上表示數(shù)a與數(shù)b的點(diǎn)之間的距離.3.倒數(shù)（1)實(shí)數(shù)的倒數(shù)是；0沒有倒數(shù)；（2)乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)．a(chǎn)、b互為倒數(shù).4.平方根（1)如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根．一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；0有一個(gè)平方根，它是0本身；負(fù)數(shù)沒有平方根．a(chǎn)（a≥0）的平方根記作．（2)一個(gè)正數(shù)a的正的平方根，叫做a的算術(shù)平方根．a(chǎn)（a≥0）的算術(shù)平方根記作．5.立方根如果x3=a，那么x叫做a的立方根．一個(gè)正數(shù)有一個(gè)正的立方根；一個(gè)負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根；0的立方根仍是0．考點(diǎn)三、實(shí)數(shù)與數(shù)軸規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸，數(shù)軸的三要素缺一不可．每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來表示，反過來，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù)．要點(diǎn)詮釋：（1）數(shù)軸的三要素：原點(diǎn)、正方向和單位長度.（2）實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的.考點(diǎn)四、實(shí)數(shù)大小的比較1.對(duì)于數(shù)軸上的任意兩個(gè)點(diǎn)，靠右邊的點(diǎn)所表示的數(shù)較大.2.正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)；絕對(duì)值大的反而小.3.對(duì)于實(shí)數(shù)a、b，若a-b>0a>b；a-b=0a=b；a-b<0a<b.4.對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，c，若a>b，b>c，則a>c.5.無理數(shù)的比較大小：利用平方轉(zhuǎn)化為有理數(shù)：如果a>b>0，a2>b2a>b；或利用倒數(shù)轉(zhuǎn)化：如比較與.要點(diǎn)詮釋：實(shí)數(shù)大小的比較方法：（1）直接比較法：正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小.（2）數(shù)軸法：在數(shù)軸上，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大.考點(diǎn)五、實(shí)數(shù)的運(yùn)算1.加法同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加；絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值；互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0；一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)．滿足運(yùn)算律：加法的交換律a+b=b+a，加法的結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c)．2.減法減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)．3.乘法兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘.幾個(gè)非零實(shí)數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正；當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)．幾個(gè)數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)為0，積就為0．乘法運(yùn)算的運(yùn)算律：（1）乘法交換律ab=ba；（2）乘法結(jié)合律(ab)c=a(bc)；（3）乘法對(duì)加法的分配律a(b+c)=ab+ac．4.除法（1）除以一個(gè)數(shù)，等于乘上這個(gè)數(shù)的倒數(shù)．（2）兩個(gè)數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除．0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)都得0．5.乘方與開方（1)求n個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算叫做乘方，a所表示的意義是n個(gè)a相乘.正數(shù)的任何次冪是正數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)，負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)．（2)正數(shù)和0可以開平方，負(fù)數(shù)不能開平方；正數(shù)、負(fù)數(shù)和0都可以開立方．（3)零指數(shù)與負(fù)指數(shù)要點(diǎn)詮釋：加和減是一級(jí)運(yùn)算，乘和除是二級(jí)運(yùn)算，乘方和開方是三級(jí)運(yùn)算．這三級(jí)運(yùn)算的順序是三、二、一．如果有括號(hào)，先算括號(hào)內(nèi)的；如果沒有括號(hào)，同一級(jí)運(yùn)算中要從左至右依次運(yùn)算．考點(diǎn)六、有效數(shù)字和科學(xué)記數(shù)法一個(gè)近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就說這個(gè)近似數(shù)精確到哪一位．一個(gè)近似數(shù)，從左邊第一個(gè)不是0的數(shù)字起，到精確到的數(shù)位為止，所有的數(shù)字，都叫做這個(gè)近似數(shù)的有效數(shù)字．精確度的形式有兩種：（1）精確到哪一位；（2）保留幾個(gè)有效數(shù)字.把一個(gè)數(shù)用±a×10（其中1≤＜10，n為整數(shù)）的形式記數(shù)的方法叫科學(xué)記數(shù)法．要點(diǎn)詮釋：（1）當(dāng)要表示的數(shù)的絕對(duì)值大于1時(shí)，用科學(xué)記數(shù)法寫成a×10，其中1≤＜10，n為正整數(shù)，其值等于原數(shù)中整數(shù)部分的數(shù)位減去1；（2）當(dāng)要表示的數(shù)的絕對(duì)值小于1時(shí)，用科學(xué)記數(shù)法寫成a×10，其中1≤＜10，n為負(fù)整數(shù)，其值等于原數(shù)中第一個(gè)非零數(shù)字前面所用零的個(gè)數(shù)的相反數(shù)（包括小數(shù)點(diǎn)前面的零）.【典型例題】類型一、實(shí)數(shù)的有關(guān)概念 1．（1）a的相反數(shù)是，則a的倒數(shù)是_______．（2）實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示:則化簡(jiǎn)=______．（3）去年泉州市林業(yè)用地面積約為10200000畝，用科學(xué)記數(shù)法表示為約____________．【答案】（1）5；（2）-a-b；（3）1.02×107畝.【解析】（1）注意相反數(shù)和倒數(shù)概念的區(qū)別，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)只有性質(zhì)符號(hào)不同，互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)要改變分子分母的位置；或者利用互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)之和等于0，互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)乘積等于1來計(jì)算.（2）此題考查絕對(duì)值的幾何意義，絕對(duì)值和二次根式的化簡(jiǎn).注意要去掉絕對(duì)值符號(hào)，要判別絕對(duì)值內(nèi)的數(shù)的性質(zhì)符號(hào).由圖知：（3）考查科學(xué)記數(shù)法的概念.【點(diǎn)評(píng)】本大題旨在通過幾個(gè)簡(jiǎn)單的填空，讓學(xué)生加強(qiáng)對(duì)實(shí)數(shù)有關(guān)概念的理解．舉一反三：【變式】據(jù)市旅游局統(tǒng)計(jì)，今年“五·一”小長假期間，我市旅游市場(chǎng)走勢(shì)良好，假期旅游總收入達(dá)到8.55億元，用科學(xué)記數(shù)法可以表示為（）A．8.55×106

B．8.55×107

C．8.55×108

D．8.55×109【答案】C.類型二、實(shí)數(shù)的分類與計(jì)算2．下列實(shí)數(shù)、sin60°、、、3.14159、-、、中無理數(shù)有（）個(gè)A．1B．2C．3D．4【答案】C.【解析】無理數(shù)有sin60°、、.【點(diǎn)評(píng)】對(duì)實(shí)數(shù)進(jìn)行分類不能只看表面形式，應(yīng)先化簡(jiǎn)，再根據(jù)結(jié)果去判斷．舉一反三：【變式】在中，哪些是有理數(shù)?哪些是無理數(shù)?【答案】都是有理數(shù)；都是無理數(shù).3．計(jì)算：+|2﹣3|﹣（）﹣1﹣（2015+）0．【答案與解析】解：原式=2+3﹣2﹣3﹣1=﹣1．【點(diǎn)評(píng)】該題是實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，包括絕對(duì)值，0指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪等．只要準(zhǔn)確把握各自的意義，就能正確的進(jìn)行運(yùn)算．舉一反三：【變式1】計(jì)算：計(jì)算：|﹣1|+20120﹣（﹣）﹣1﹣3tan30°．【答案】解：原式=﹣1+1﹣（﹣3）﹣3×=+3﹣=3．【變式2】計(jì)算：【答案】設(shè)n=2001，則原式=（把n2+3n看作一個(gè)整體）==n2+3n+1=n(n+3)+1=2001×2004+1=4010005.類型三、實(shí)數(shù)大小的比較4．比較下列每組數(shù)的大小：（1）與（2）a與（a≠0）【答案與解析】（1），，而與可以很容易進(jìn)行比較得到：，所以；（2）當(dāng)a<-1或O<a<1時(shí)，a<；當(dāng)-1<a<0或a>1時(shí)，a>；當(dāng)a=時(shí)，a=.【點(diǎn)評(píng)】（1）有時(shí)無理數(shù)比較大小，通過平方轉(zhuǎn)化以后也無法進(jìn)行比較，那么我們可以利用倒數(shù)關(guān)系比較；（2）這道題實(shí)際上是互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)之間的比較大小，我們可以利用數(shù)軸進(jìn)行比較，我們知道，0沒有倒數(shù)，±1的倒數(shù)等于它本身，這樣數(shù)軸就被這3個(gè)數(shù)分成了4部分，下面就可以分類討論每種情況.我們還可以利用函數(shù)圖象來解決這個(gè)問題，把的值看成是關(guān)于a的反比例函數(shù)，把a(bǔ)的值看成是關(guān)于a的正比例函數(shù)，在坐標(biāo)系中畫出它們的圖象，可以很直觀的比較出它們的大小.舉一反三：【變式】比較下列每組數(shù)的大小：（1）和（2）和【答案】（1）將其通分，轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)比較大小，，，，所以.（2）因?yàn)椋?類型四、平方根的應(yīng)用5．已知：x，y是實(shí)數(shù)，，若axy-3x=y，則實(shí)數(shù)a的值是_______.【答案】.【解析】，即兩個(gè)非負(fù)數(shù)相加和為0，則這兩個(gè)非負(fù)數(shù)必定同時(shí)為0，∴，(y-3)2=0，∴x=，y=3又∵axy-3x=y，∴a=.【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是非負(fù)數(shù)的性質(zhì).類型五、實(shí)數(shù)運(yùn)算中的規(guī)律探索6．細(xì)心觀察圖形，認(rèn)真分析各式，然后解答問題（1）請(qǐng)用含有n（n是正整數(shù)）的等式表示上述變化規(guī)律；（2）推算出OA10的長；（3）求出S12+S22+S32+…+S102的值.【答案與解析】（1）由題意可知，圖形滿足勾股定理，（2）因?yàn)镺A1=，OA2=，OA3=…，所以O(shè)A10=（3）S12+S22+S32+…+S102===.【點(diǎn)評(píng)】近幾年各地的中考題中越來越多的出現(xiàn)了一類探究問題規(guī)律的題目，這些問題素材的選擇、文字的表述、題型的設(shè)計(jì)不僅考察了數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，基本技能，更重點(diǎn)考察了創(chuàng)新意識(shí)和能力，還考察了認(rèn)真觀察、分析、歸納、由特殊到一般，由具體到抽象的能力.舉一反三：【變式】圖中是一幅“蘋果圖”，第一行有1個(gè)蘋果，第二行有2個(gè)，第三行有4個(gè)，第四行有8個(gè)，……你是否發(fā)現(xiàn)蘋果的排列規(guī)律？猜猜看，第十行有______個(gè)蘋果．【答案】2（512）.中考總復(fù)習(xí)：實(shí)數(shù)—知識(shí)講解（提高）【考綱要求】1.了解有理數(shù)、無理數(shù)、實(shí)數(shù)的概念；借助數(shù)軸理解相反數(shù)、絕對(duì)值的概念及意義，會(huì)比較實(shí)數(shù)的大小；2.知道實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，會(huì)用科學(xué)記數(shù)法表示有理數(shù)，會(huì)求近似數(shù)和有效數(shù)字；了解乘方與開方、平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念，并理解這兩種運(yùn)算之間的關(guān)系，了解整數(shù)指數(shù)冪的意義和基本性質(zhì)；3.掌握實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則，并能靈活運(yùn)用；4.逐步形成數(shù)形結(jié)合、分類討論、建模思想.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、實(shí)數(shù)的分類1.按定義分類：2.按性質(zhì)符號(hào)分類：有理數(shù)：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)或者“形如（m，n是整數(shù)n≠0）”的數(shù)叫有理數(shù)．無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)叫無理數(shù)．實(shí)數(shù)：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)．要點(diǎn)詮釋：常見的無理數(shù)有以下幾種形式：（1）字母型：如π是無理數(shù)，等都是無理數(shù)，而不是分?jǐn)?shù)；（2）構(gòu)造型：如2.10100100010000…（每兩個(gè)1之間依次多一個(gè)0）就是一個(gè)無限不循環(huán)的小數(shù)；（3）根式型：…都是一些開方開不盡的數(shù)；（4）三角函數(shù)型：sin35°、tan27°、cos29°等.考點(diǎn)二、實(shí)數(shù)的相關(guān)概念1.相反數(shù)（1)代數(shù)意義：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)，我們說其中一個(gè)是另一個(gè)的相反數(shù)．0的相反數(shù)是0；（2)幾何意義：在數(shù)軸上原點(diǎn)的兩側(cè)，與原點(diǎn)距離相等的兩個(gè)點(diǎn)表示的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)；（3)互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)之和等于0.a、b互為相反數(shù)a+b=0.2.絕對(duì)值（1)代數(shù)意義：正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0．可用式子表示為：（2)幾何意義：一個(gè)數(shù)a的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離．距離是一個(gè)非負(fù)數(shù)，所以絕對(duì)值的幾何意義本身就揭示了絕對(duì)值的本質(zhì)，即絕對(duì)值是一個(gè)非負(fù)數(shù)．用式子表示：若a是實(shí)數(shù)，則|a|≥0．3.倒數(shù)（1)實(shí)數(shù)的倒數(shù)是；0沒有倒數(shù)；（2)乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)．a(chǎn)、b互為倒數(shù).4.平方根（1)如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根．一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；0有一個(gè)平方根，它是0本身；負(fù)數(shù)沒有平方根．a(chǎn)（a≥0）的平方根記作．（2)一個(gè)正數(shù)a的正的平方根，叫做a的算術(shù)平方根．a(chǎn)（a≥0）的算術(shù)平方根記作．5.立方根如果x3=a，那么x叫做a的立方根．一個(gè)正數(shù)有一個(gè)正的立方根；一個(gè)負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根；0的立方根仍是0．要點(diǎn)詮釋：若則則表示的幾何意義就是在數(shù)軸上表示數(shù)a與數(shù)b的點(diǎn)之間的距離.考點(diǎn)三、實(shí)數(shù)與數(shù)軸規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸，數(shù)軸的三要素缺一不可．每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來表示，反過來，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù)．要點(diǎn)詮釋：（1）數(shù)軸的三要素：原點(diǎn)、正方向和單位長度.（2）實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的.考點(diǎn)四、實(shí)數(shù)大小的比較1.對(duì)于數(shù)軸上的任意兩個(gè)點(diǎn)，靠右邊的點(diǎn)所表示的數(shù)較大.2.正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)；絕對(duì)值大的反而小.3.對(duì)于實(shí)數(shù)a、b，若a-b>0a>b；a-b=0a=b；a-b<0a<b.4.對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，c，若a>b，b>c，則a>c.5.無理數(shù)的比較大?。豪闷椒睫D(zhuǎn)化為有理數(shù)：如果a>b>0，a2>b2a>b；或利用倒數(shù)轉(zhuǎn)化：如比較與.要點(diǎn)詮釋：實(shí)數(shù)大小的比較方法：（1）直接比較法：正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小.（2）數(shù)軸法：在數(shù)軸上，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大.考點(diǎn)五、實(shí)數(shù)的運(yùn)算1.加法同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加；絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值；互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0；一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)．滿足運(yùn)算律：加法的交換律a+b=b+a，加法的結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c)．2.減法減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)．3.乘法兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘.幾個(gè)非零實(shí)數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正；當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)．幾個(gè)數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)為0，積就為0．乘法運(yùn)算的運(yùn)算律：（1）乘法交換律ab=ba；（2）乘法結(jié)合律(ab)c=a(bc)；（3）乘法對(duì)加法的分配律a(b+c)=ab+ac．4.除法（1）除以一個(gè)數(shù)，等于乘上這個(gè)數(shù)的倒數(shù)．（2）兩個(gè)數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除．0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)都得0．5.乘方與開方（1)求n個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算叫做乘方，a所表示的意義是n個(gè)a相乘.正數(shù)的任何次冪是正數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)，負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)．（2)正數(shù)和0可以開平方，負(fù)數(shù)不能開平方；正數(shù)、負(fù)數(shù)和0都可以開立方．（3)零指數(shù)與負(fù)指數(shù)要點(diǎn)詮釋：（1）加和減是一級(jí)運(yùn)算，乘和除是二級(jí)運(yùn)算，乘方和開方是三級(jí)運(yùn)算．這三級(jí)運(yùn)算的順序是三、二、一．如果有括號(hào)，先算括號(hào)內(nèi)的；如果沒有括號(hào)，同一級(jí)運(yùn)算中要從左至右依次運(yùn)算．（2）實(shí)數(shù)的運(yùn)算律

加法交換律：a+b=b+a

加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)

乘法交換律：ab=ba

乘法結(jié)合律：(ab)c=a(bc)

乘法分配律：(a+b)c=ac+bc考點(diǎn)六、有效數(shù)字和科學(xué)記數(shù)法1.近似數(shù)

一個(gè)近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就說這個(gè)近似數(shù)精確到哪一位．精確度的形式有兩種：（1）精確到哪一位；（2）保留幾個(gè)有效數(shù)字.2.有效數(shù)字

一個(gè)近似數(shù)，從左邊第一個(gè)不是0的數(shù)字起，到精確到的數(shù)位為止，所有的數(shù)字，都叫做這個(gè)近似數(shù)的有效數(shù)字．3.科學(xué)記數(shù)法把一個(gè)數(shù)用±a×10（其中1≤＜10，n為整數(shù)）的形式記數(shù)的方法叫科學(xué)記數(shù)法．要點(diǎn)詮釋：（1）當(dāng)要表示的數(shù)的絕對(duì)值大于1時(shí)，用科學(xué)記數(shù)法寫成a×10，其中1≤＜10，n為正整數(shù)，其值等于原數(shù)中整數(shù)部分的數(shù)位減去1；（2）當(dāng)要表示的數(shù)的絕對(duì)值小于1時(shí)，用科學(xué)記數(shù)法寫成a×10，其中1≤＜10，n為負(fù)整數(shù)，其值等于原數(shù)中第一個(gè)非零數(shù)字前面所用零的個(gè)數(shù)的相反數(shù)（包括小數(shù)點(diǎn)前面的零）.考點(diǎn)七、數(shù)形結(jié)合、分類討論、建模思想1.數(shù)形結(jié)合思想

實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，絕對(duì)值的幾何意義等，數(shù)軸在很多時(shí)候可以幫助我們更直觀地分析題目，從而找到解決問題的突破口；2.分類討論思想（算術(shù)）平方根，絕對(duì)值的化簡(jiǎn)都需要有分類討論的思想，考慮問題要全面，做到既不重復(fù)又不遺漏；3.從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型以現(xiàn)實(shí)生活為背景的題目，我們要抓住問題的實(shí)質(zhì)，明確該用哪一個(gè)考點(diǎn)來解決問題，然后有的放矢.

【典型例題】類型一、實(shí)數(shù)的有關(guān)概念 1．在下列各數(shù)中，無理數(shù)有（）.，，，﹣π，﹣，，，0，0.5757757775…（相鄰兩個(gè)5之間的7的個(gè)數(shù)逐次加1）．A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)【答案】D；【解析】無理數(shù)有：，，﹣π，，0.5757757775…（相鄰兩個(gè)5之間的7的個(gè)數(shù)逐次加1）共有5個(gè)．故答案是：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了無理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有：π，2π等；開方開不盡的數(shù)；以及像0.1010010001…，等有這樣規(guī)律的數(shù)．舉一反三：【變式】與1+最接近的整數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B.∵4＜5＜9，∴2＜＜3．又5和4比較接近，∴最接近的整數(shù)是2，∴與1+最接近的整數(shù)是3，故選：B．類型二、實(shí)數(shù)有關(guān)的計(jì)算2．(1)有一列數(shù)，…，那么依此規(guī)律，第7個(gè)數(shù)是______；（2）已知依據(jù)上述規(guī)律，則．【答案】(1)；（2）.【解析】(1)符號(hào)：?jiǎn)螖?shù)為負(fù)，雙數(shù)為正，所以第7個(gè)為負(fù).分子規(guī)律：第幾個(gè)數(shù)就是幾，即第7個(gè)數(shù)分子就是7，分母規(guī)律：分子的平方加1，第7個(gè)數(shù)分母就是50.所以第7個(gè)數(shù)是.（2）【點(diǎn)評(píng)】(1)規(guī)律：（n為正整數(shù)）；（2）規(guī)律：（n為正整數(shù)）.舉一反三：【變式】a是不為1的有理數(shù)，我們把稱為a的差倒數(shù)．如：2的差倒數(shù)是，的差倒數(shù)是．已知，是的差倒數(shù)，是的差倒數(shù)，是的差倒數(shù)，…，依此類推，則．【答案】因?yàn)?，…?.三個(gè)一循環(huán)，因此類型三、實(shí)數(shù)大小的比較3．若，，試不用將分?jǐn)?shù)化小數(shù)的方法比較a、b的大?。敬鸢概c解析】a=，b，，∴a<b．【點(diǎn)評(píng)】通過通分進(jìn)行比較.舉一反三：【變式】當(dāng)時(shí)，比較1＋b與1的大小.【答案】（1）∵b≠0時(shí)，∴b＞0或b＜0．當(dāng)b＞0時(shí)，1＋b＞1，當(dāng)b＜0時(shí)，1＋b＜1.類型四、平方根的應(yīng)用4．已知，求的值.【答案與解析】∵≥0，≥0，≥0，.∴解得則.【點(diǎn)評(píng)】利用≥0，≥0，≥0（為自然數(shù)）等常見的三種非負(fù)數(shù)及其性質(zhì)，分別令它們?yōu)榱?，得一個(gè)三元一次方程組，解得、、的值，代入后本題得以解決。舉一反三：【變式】已知x、y是實(shí)數(shù)，且+（y2－6y+9）=0，若axy－3x=y，則實(shí)數(shù)a的值是（）A．B．－C．D．－【答案】A.∵+（y－3）2=0，∴3x+4=0，y－3=0，∴x=－，y=3．∵axy－3x=y，∴－×3a－3×（－）=3，∴a=∴答案選A.類型五、實(shí)數(shù)運(yùn)算中的規(guī)律探索5．在快速計(jì)算法中，法國的“小九九”從“一一得一”到“五五二十五”和我國的“小九九”是一樣的，后面的就改用手勢(shì)了．下面兩個(gè)圖框是用法國“小九九”計(jì)算8×9和6×7的兩個(gè)示例．

（1）用法國“小九九”計(jì)算7×8，左、右手依次伸出手指的個(gè)數(shù)是多少？

（2）設(shè)a、b都是大于5且小于10的整數(shù)，請(qǐng)你說明用題中給出的規(guī)則計(jì)算a×b的正確性？【答案與解析】（1）按照題中示例可知：要計(jì)算7×8，左手應(yīng)伸出7-5=2個(gè)手指，右手應(yīng)伸出8-5=3個(gè)手指；

（2）按照題中示例可知：要計(jì)算a×b，左手應(yīng)伸出（a-5）個(gè)手指，未伸出的手指數(shù)為5-（a-5）=10-a；右手應(yīng)伸出（b-5）個(gè)手指，未伸出的手指數(shù)為5-（b-5）=10-b

兩手伸出的手指數(shù)的和為（a-5）+（b-5）=a+b-10，

未伸出的手指數(shù)的積為（10-a）×（10-b）=100-10a-10b+a×b

根據(jù)題中的規(guī)則，a×b的結(jié)果為10×（a+b-10）+（100-10a-10b+a×b）

而10×（a+b-10）+（100-10a-10b+a×b）=10a+10b-100+100-10a-10b+a×b=a×b

所以用題中給出的規(guī)則計(jì)算a×b是正確的．【點(diǎn)評(píng)】此題是定義新運(yùn)算題型．通過閱讀規(guī)則，得出一般結(jié)論．解題關(guān)鍵是對(duì)號(hào)入座不要找錯(cuò)對(duì)應(yīng)關(guān)系．6．探究數(shù)字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天體，它的體積小，密度大，吸引力強(qiáng)，任何物體到它那里都別想再“爬出來”，無獨(dú)有偶，數(shù)字中也有類似的“黑洞”，滿足某種條件的所有數(shù)，通過一種運(yùn)算，都能被它“吸”進(jìn)去，無一能逃脫它的魔掌．譬如：任意找一個(gè)3的倍數(shù)的數(shù)，先把這個(gè)數(shù)的每個(gè)數(shù)位上的數(shù)字都立方，再相加，得到一個(gè)新的數(shù)，然后把這個(gè)新數(shù)每個(gè)數(shù)位上的數(shù)字再立方，求和…，重復(fù)運(yùn)算下去，就能得到一個(gè)固定的數(shù)T=_________，我們稱它為數(shù)字“黑洞”，T為何具有如此魔力通過認(rèn)真的觀察、分析，你一定能發(fā)現(xiàn)它的奧秘！此短文中的T是（）A．363B．153C．159D．456【答案】B；【解析】把6代入計(jì)算，第一次立方后得到216；第二次得到225；第三次得到141；第四次得到66；第五次得到432；第六次得到99；第七次得到1458；第八次得到702；第九次得到351；第十次得到153；開始重復(fù)，則T=153．故選B．【點(diǎn)評(píng)】此題只需根據(jù)題意，任意找一個(gè)符合條件的數(shù)進(jìn)行計(jì)算，直至計(jì)算得到重復(fù)的數(shù)值，即是所求的黑洞數(shù)．可以任意找一個(gè)3的倍數(shù)，如6．第一次立方后得到216；第二次得到225；…；第十次得到153；開始重復(fù)，則可知T=153．舉一反三：【變式1】下面由火柴棒拼出的一系列圖形中，第個(gè)圖形是由個(gè)正方形組成的，通過觀察可以發(fā)現(xiàn)：（1）第四個(gè)圖形中火柴棒的根數(shù)是；（2）第個(gè)圖形中火柴棒的根數(shù)是.【答案】（1）13；（2）.【變式2】有一列數(shù)1、2、3、4、5、6、…，當(dāng)按順序從第2個(gè)數(shù)到第6個(gè)數(shù)時(shí)，共數(shù)了個(gè)數(shù)；當(dāng)按順序從第個(gè)數(shù)到第個(gè)數(shù)（＜）時(shí)，共數(shù)了個(gè)數(shù)。【答案】5；.中考總復(fù)習(xí)：數(shù)與式綜合復(fù)習(xí)—知識(shí)講解（基礎(chǔ)）【考綱要求】(1)借助數(shù)軸理解相反數(shù)和絕對(duì)值的意義，會(huì)求有理數(shù)的倒數(shù)、相反數(shù)與絕對(duì)值．理解有理數(shù)的運(yùn)算律，并能運(yùn)用運(yùn)算律簡(jiǎn)化運(yùn)算；（2）了解平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念，了解無理數(shù)和實(shí)數(shù)的概念，知道實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)；會(huì)用根號(hào)表示數(shù)的平方根、立方根．了解二次根式的概念及其加、減、乘、除運(yùn)算法則，會(huì)用它們進(jìn)行有關(guān)實(shí)數(shù)的簡(jiǎn)單四則運(yùn)算；（3）了解整式、分式的概念，會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的整式加、減運(yùn)算；會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的整式乘法運(yùn)算．會(huì)利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行約分和通分，會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的分式加、減、乘、除運(yùn)算．【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、實(shí)數(shù)的有關(guān)概念、性質(zhì)1．實(shí)數(shù)及其分類實(shí)數(shù)可以按照下面的方法分類：實(shí)數(shù)還可以按照下面的方法分類：要點(diǎn)詮釋：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)．無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)．有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實(shí)數(shù)．2．?dāng)?shù)軸規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸．每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來表示；反過來，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù)．實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系．要點(diǎn)詮釋：實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)的這種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系是數(shù)學(xué)中把數(shù)和形結(jié)合起來的重要基礎(chǔ)．3．相反數(shù)實(shí)數(shù)a和-a叫做互為相反數(shù)．零的相反數(shù)是零．一般地，數(shù)軸上表示互為相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)，分別在原點(diǎn)的兩旁，并且離原點(diǎn)的距離相等．要點(diǎn)詮釋：兩個(gè)互為相反數(shù)的數(shù)的運(yùn)算特征是它們的和等于零，即如果a和b互為相反數(shù)，那么a+b＝0；反過來，如果a+b＝0，那么a和b互為相反數(shù)．4．絕對(duì)值一個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離．一個(gè)正實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；零的絕對(duì)值是零，即如果a＞0，那么|a|＝a；如果a＜0，那么|a|＝-a；如果a＝0，那么|a|＝0．要點(diǎn)詮釋：從絕對(duì)值的定義可以知道，一個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是一個(gè)非負(fù)數(shù)．5．實(shí)數(shù)大小的比較在數(shù)軸上表示兩個(gè)數(shù)的點(diǎn)，右邊的點(diǎn)所表示的數(shù)較大．6．有理數(shù)的運(yùn)算(1)運(yùn)算法則(略)．(2)運(yùn)算律：加法交換律a+b＝b+a；加法結(jié)合律(a+b)+c＝a+(b+c)；乘法交換律ab＝ba；乘法結(jié)合律(ab)c＝a(bc)；分配律a(b+c)＝ab+ac．(3)運(yùn)算順序：在加、減、乘、除、乘方、開方這六種運(yùn)算中，加、減是第一級(jí)運(yùn)算，乘、除是第二級(jí)運(yùn)算，乘方、開方是第三級(jí)運(yùn)算．在沒有括號(hào)的算式中，首先進(jìn)行第三級(jí)運(yùn)算，然后進(jìn)行第二級(jí)運(yùn)算，最后進(jìn)行第一級(jí)運(yùn)算，也就是先算乘方、開方，再算乘、除，最后算加、減．算式里如果有括號(hào)，先進(jìn)行括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算．如果只有同一級(jí)運(yùn)算，從左到右依次運(yùn)算．7．平方根如果x2＝a，那么x就叫做a的平方根(也叫做二次方根)．要點(diǎn)詮釋：正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負(fù)數(shù)沒有平方根．8．算術(shù)平方根正數(shù)a的正的平方根，叫做a的算術(shù)平方根．零的算術(shù)平方根是零．要點(diǎn)詮釋：從算術(shù)平方根的概念可以知道，算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)．9．近似數(shù)及有效數(shù)字近似地表示某一個(gè)量準(zhǔn)確值的數(shù)，叫做這個(gè)量準(zhǔn)確值的近似數(shù)．一個(gè)近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就說這個(gè)近似數(shù)精確到哪一位．這時(shí)，從左邊第一個(gè)不是0的數(shù)字起，到精確到的數(shù)位止，所有的數(shù)字都叫這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字．10．科學(xué)記數(shù)法把一個(gè)數(shù)記成±a×的形式(其中n是整數(shù)，a是大于或等于1而小于10的數(shù))，稱為用科學(xué)記數(shù)法表示這個(gè)數(shù)．考點(diǎn)二、二次根式、分式的相關(guān)概念及性質(zhì)1．二次根式的概念形如(a≥0)的式子叫做二次根式．2．最簡(jiǎn)二次根式和同類二次根式的概念最簡(jiǎn)二次根式是指滿足下列條件的二次根式：(1)被開方數(shù)不含分母；(2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式就叫做同類二次根式．要點(diǎn)詮釋：把分母中的根號(hào)化去，分式的值不變，叫做分母有理化.兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，若它們的積不含二次根式，則這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式.常用的二次根式的有理化因式：（1）互為有理化因式；（2）互為有理化因式；一般地互為有理化因式；（3）互為有理化因式；一般地互為有理化因式.3．二次根式的主要性質(zhì)（1）；（2）；（3）；（4）積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：；（5）商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：.4．二次根式的運(yùn)算(1)二次根式的加減二次根式相加減，先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再把同類二次根式分別合并．(2)二次根式的乘除二次根式相乘除，把被開方數(shù)相乘除，根指數(shù)不變．要點(diǎn)詮釋：二次根式的混合運(yùn)算：1.明確運(yùn)算順序，先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)先算括號(hào)里面的；2.在二次根式的混合運(yùn)算中，原來學(xué)過的運(yùn)算律、運(yùn)算法則及乘法公式仍然適用；3.在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能收到事半功倍的效果.5．代數(shù)式的有關(guān)概念(1)代數(shù)式：用運(yùn)算符號(hào)(加、減、乘、除、乘方、開方)把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子，叫做代數(shù)式．用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，計(jì)算后所得的結(jié)果，叫做代數(shù)式的值．代數(shù)式的分類：(2)有理式：只含有加、減、乘、除、乘方運(yùn)算(包含數(shù)字開方運(yùn)算)的代數(shù)式，叫做有理式．(3)整式：沒有除法運(yùn)算或者雖有除法運(yùn)算但除式里不含字母的有理式叫做整式．整式包括單項(xiàng)式和多項(xiàng)式．(4)分式：除式中含有字母的有理式，叫做分式．分式的分母取值如果為零，分式?jīng)]有意義．6．整式的運(yùn)算(1)整式的加減：整式的加減運(yùn)算，實(shí)際上就是合并同類項(xiàng)．在運(yùn)算時(shí)，如果遇到括號(hào)，根據(jù)去括號(hào)法則，先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)．(2)整式的乘法：①正整數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：；；；(a≠0，m＞n)．其中m、n都是正整數(shù)．②整式的乘法：?jiǎn)雾?xiàng)式乘單項(xiàng)式，用它們的系數(shù)的積作為積的系數(shù)，對(duì)于相同字母，用它們的指數(shù)的和作為積里這個(gè)字母的指數(shù)，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式．單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．③乘法公式：；．④零和負(fù)整數(shù)指數(shù)：在(a≠0，m，n都是正整數(shù))中，當(dāng)m＝n時(shí)，規(guī)定；當(dāng)m＜n時(shí)，如m-n＝-p(p是正整數(shù))，規(guī)定．7．因式分解（1）因式分解的概念把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，叫做多項(xiàng)式的因式分解．在因式分解時(shí)，應(yīng)注意：①在指定數(shù)(有理數(shù)、實(shí)數(shù))的范圍內(nèi)進(jìn)行因式分解，一定要分解到不能再分解為止，題目中沒有指定數(shù)的范圍，一般是指在有理數(shù)范圍內(nèi)分解．②因式分解以后，如果有相同的因式，應(yīng)寫成冪的形式，并且要把各個(gè)因式化簡(jiǎn)．（2）因式分解的方法①提公因式法：ma+mb+mc＝m(a+b+c)．②運(yùn)用公式法：；；③十字相乘法：．（3）因式分解的步驟①多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式時(shí)，應(yīng)先提取公因式；②考慮所給多項(xiàng)式是否能用公式法分解．要點(diǎn)詮釋：因式分解時(shí)應(yīng)注意:①在指定數(shù)（有理數(shù)、實(shí)數(shù)）的范圍內(nèi)進(jìn)行因式分解，一定要分解到不能再分解為止，若題目中沒有指定數(shù)的范圍，一般是指在有理數(shù)范圍內(nèi)因式分解；②因式分解后，如果有相同因式，應(yīng)寫成冪的形式，并且要把各個(gè)因式化簡(jiǎn)，同時(shí)每個(gè)因式的首項(xiàng)不含負(fù)號(hào)；③多項(xiàng)式的因式分解是多項(xiàng)式乘法的逆變形.8．分式（1）分式的概念形如的式子叫做分式，其中A和B均為整式，B中含有字母，注意B的值不能為零．（2）分式的基本性質(zhì)分式的分子與分母都乘(或除以)同一個(gè)不等于零的整式，分式的值不變．，．(其中M是不等于零的整式)（3）分式的運(yùn)算①加減法：，．②乘法：．③除法：．④乘方：（n為正整數(shù)）．要點(diǎn)詮釋：

解分式方程的注意事項(xiàng)：（1）去分母化成整式方程時(shí)不要與通分運(yùn)算混淆；（2）解完分式方程必須進(jìn)行檢驗(yàn)，驗(yàn)根的方法是將所得的根帶入到最簡(jiǎn)公分母中，看它是否為0，如果為0，即為增根，不為0，就是原方程的解．列分式方程解應(yīng)用題的基本步驟：

(1)審——仔細(xì)審題，找出等量關(guān)系；

(2)設(shè)——合理設(shè)未知數(shù)；

(3)列——根據(jù)等量關(guān)系列出方程；

(4)解——解出方程；

(5)驗(yàn)——檢驗(yàn)增根；

(6)答——答題．【典型例題】類型一、實(shí)數(shù)的有關(guān)概念及運(yùn)算1．實(shí)數(shù)，，，，中，無理數(shù)的個(gè)數(shù)是（）A．2B．3C．4D．5【思路點(diǎn)撥】常見的無理數(shù)有以下幾種形式：（1）字母型：如π是無理數(shù)，等都是無理數(shù)，而不是分?jǐn)?shù)；（2）構(gòu)造型：如2.10100100010000…（每兩個(gè)1之間依次多一個(gè)0）就是一個(gè)無限不循環(huán)的小數(shù)；（3）根式型：…都是一些開方開不盡的數(shù)；（4）三角函數(shù)型：sin35°、tan27°、cos29°等.【答案】A；【解析】本題主要考查無理數(shù)的概念.無理數(shù)是指無限不循環(huán)小數(shù)，，都是無限不循環(huán)小數(shù)，故共有2個(gè)無理數(shù).【總結(jié)升華】無理數(shù)通常有以下幾類：①開方開不盡的數(shù)；②含的數(shù)；③看似循環(huán)但實(shí)際不循環(huán)的小數(shù)；④三角函數(shù)型：sin35°、tan27°、cos29°等.抓住這幾類無理數(shù)特征，則可以輕松解決有關(guān)無理數(shù)的相關(guān)試題.舉一反三：【變式】如圖，數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)表示的數(shù)分別為－1和，點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為C，則點(diǎn)C所表示的數(shù)為()．A． B．－C． D．【答案】A. 2．計(jì)算：(1)；(2)．【思路點(diǎn)撥】注意在第（1）題中，與的不同運(yùn)算順序和的運(yùn)算順序.【答案與解析】(1)．(2)．【總結(jié)升華】在進(jìn)行有理數(shù)運(yùn)算時(shí)，要注意運(yùn)算的順序，要有靈活運(yùn)用運(yùn)算律、運(yùn)算法則和相反數(shù)、倒數(shù)、0、1的運(yùn)算特性的意識(shí)，尋求簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑．舉一反三：【變式】；【答案】．3．若，計(jì)算.【思路點(diǎn)撥】幾個(gè)非負(fù)數(shù)相加和為0，則這幾個(gè)非負(fù)數(shù)必定同時(shí)為0，進(jìn)而求出x、y的值.【答案與解析】依題意得解得∴【總結(jié)升華】這三個(gè)非負(fù)數(shù)中任意幾個(gè)相加得0，則每一個(gè)都得0.舉一反三：【變式】已知，則．【答案】本題考查絕對(duì)值與算數(shù)平方根的非負(fù)性，兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，所以這兩數(shù)都為0.因?yàn)?，所以a=-1,b=8.﹣9.類型二、分式的有關(guān)運(yùn)算4．對(duì)于分式，當(dāng)x取何值時(shí)，(1)分式有意義?(2)分式的值等于零?【思路點(diǎn)撥】當(dāng)分母等于零時(shí)，分式?jīng)]有意義，此外，分式都有意義；當(dāng)分子等于零，并且分母不等于零時(shí)，分式的值等于零.【答案與解析】(1)由分母x+1＝0，得x＝-1．∴當(dāng)x≠-1時(shí)，分式有意義．(2)由分子，得或．而當(dāng)x＝-1時(shí)，分母x+1＝0；當(dāng)x＝1時(shí)，分母．∴當(dāng)x＝l時(shí)，分式的值等于零．【總結(jié)升華】討論分式有無意義時(shí)，一定要對(duì)原分式進(jìn)行討論，而不能討論化簡(jiǎn)后的分式．類型三、二次根式的運(yùn)算5．已知a=，求﹣的值．【思路點(diǎn)撥】先利用因式分解原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再進(jìn)行約分和利用二次根式的性質(zhì)計(jì)算，由于a==4﹣2，則a﹣4＜0，所以原式可化簡(jiǎn)為a﹣3+，然后把a(bǔ)的值代入計(jì)算即可．【答案與解析】解：原式=﹣=a﹣3﹣，∵a==4﹣2，∴a﹣4＜0，∴原式=a﹣3+=a﹣3+，=4﹣2﹣3+=2﹣．【總結(jié)升華】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值：一定要先化簡(jiǎn)再代入求值．二次根式運(yùn)算的最后，注意結(jié)果要化到最簡(jiǎn)二次根式，二次根式的乘除運(yùn)算要與加減運(yùn)算區(qū)分，避免互相干擾．也考查了分式的混合運(yùn)算．舉一反三：【變式】計(jì)算：；【答案】．6．當(dāng)x為何值時(shí)，下列式子有意義？（1）；（2）．【思路點(diǎn)撥】第（1）題中，根號(hào)外的負(fù)號(hào)與根號(hào)是否有意義無關(guān)；第（2）題中，因?yàn)榕c分式有關(guān)，因此要綜合考慮x的取值范圍．【答案與解析】（1），即．∴當(dāng)時(shí)，有意義．（2），且x+5≠0，∴當(dāng)，且x≠-5時(shí)，有意義．【總結(jié)升華】要使偶次根式有意義，被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)；分式有意義分母不為0.舉一反三：【變式】下列說法中，正確的是()A．3的平方根是B．5的算術(shù)平方根是C．－7的平方根是D．a(chǎn)的算術(shù)平方根是【答案】B.類型四、數(shù)與式的綜合運(yùn)用7．用同樣規(guī)格的黑白兩種顏色的正方形瓷磚，按下圖的方式鋪地面：（1）觀察圖形，填寫下表：圖形（1）（2）（3）…黑色瓷磚的塊數(shù)47…黑白兩種瓷磚的總塊數(shù)1525…（2）依上推測(cè)，第n個(gè)圖形中黑色瓷磚的塊數(shù)為；黑白兩種瓷磚的總塊數(shù)為（都用含n的代數(shù)式表示）（3）白色瓷磚的塊數(shù)可能比黑色瓷磚的塊數(shù)多2015塊嗎？若能，求出是第幾個(gè)圖形；若不能，請(qǐng)說明理由．【思路點(diǎn)撥】找規(guī)律題至少要推算出三個(gè)式子的值，再去尋求規(guī)律，考察了認(rèn)真觀察、分析、歸納、由特殊到一般，由具體到抽象的能力.【答案與解析】解：（1）填表如下：圖形（1）（2）（3）…黑色瓷磚的塊數(shù)4710…黑白兩種瓷磚的總塊數(shù)152535…（2）第n個(gè)圖形中黑色瓷磚的塊數(shù)為3n+1；黑白兩種瓷磚的總塊數(shù)為10n+5；（3）能，理由如下：10n+5﹣（3n+1）﹣（3n+1）=2015，解得：n=503答：第503個(gè)圖形．【總結(jié)升華】本題考查數(shù)形結(jié)合、整理信息，將圖形轉(zhuǎn)化為數(shù)據(jù)，猜想規(guī)律、探求結(jié)論．抓住其中的黑色瓷磚數(shù)目的變化規(guī)律，結(jié)合圖形，觀察其變化規(guī)律．舉一反三：【變式】如圖所示的是一塊長、寬、高分別為7cm，5cm和3cm的長方體木塊，一只螞蟻要從長方體木塊的一個(gè)頂點(diǎn)A處，沿著長方體的表面爬到和頂點(diǎn)A相對(duì)的頂點(diǎn)B處吃食物，那么它要爬行的最短路徑的長是多少？【答案】路徑①的長為(cm).路徑②的長為(cm).路徑③的長為(cm).所以它要爬行的最短路徑長為cm.中考總復(fù)習(xí)：數(shù)與式綜合復(fù)習(xí)—鞏固練習(xí)（基礎(chǔ)）【鞏固練習(xí)】一、選擇題1．下列運(yùn)算中，計(jì)算結(jié)果正確的是（）A.B.C.D.2．＝（）A．1B．－1C．2D．－23．已知，化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A．6B．2m－8C．2mD．