2024年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：函數(shù)綜合-知識講解（提高）

2024年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)中考總復(fù)習(xí)：函數(shù)綜合—知識講解（提高）【考綱要求】1．平面直角坐標(biāo)系的有關(guān)知識平面直角坐標(biāo)系中各象限和坐標(biāo)軸上的點的坐標(biāo)的特征，求點關(guān)于坐標(biāo)軸、坐標(biāo)原點的對稱點的坐標(biāo)，求線段的長度，幾何圖形的面積，求某些點的坐標(biāo)等.2．函數(shù)的有關(guān)概念求函數(shù)自變量的取值范圍，求函數(shù)值、函數(shù)的圖象、函數(shù)的表示方法．3．函數(shù)的圖象和性質(zhì)常見的題目是確定圖象的位置，利用函數(shù)的圖象確定某些字母的取值，利用函數(shù)的性質(zhì)解決某些問題．利用數(shù)形結(jié)合思想來說明函數(shù)值的變化趨勢，又能反過來判定函數(shù)圖象的位置．4．函數(shù)的解析式求函數(shù)的解析式，求拋物線的頂點坐標(biāo)、對稱軸方程，利用函數(shù)的解析式來求某些字母或代數(shù)式的值．一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)常與一元一次方程、一元二次方程、三角形的面積、邊角關(guān)系、圓的切線、圓的有關(guān)線段組成綜合題．【知識網(wǎng)絡(luò)】【考點梳理】考點一、平面直角坐標(biāo)系1．相關(guān)概念（1）平面直角坐標(biāo)系（2）象限（3）點的坐標(biāo)2.各象限內(nèi)點的坐標(biāo)的符號特征3.特殊位置點的坐標(biāo)（1）坐標(biāo)軸上的點（2）一三或二四象限角平分線上的點的坐標(biāo)（3）平行于坐標(biāo)軸的直線上的點的坐標(biāo)（4）關(guān)于x軸、y軸、原點對稱的點的坐標(biāo)4.距離（1）平面上一點到x軸、y軸、原點的距離（2）坐標(biāo)軸或平行于坐標(biāo)軸的直線上兩點間的距離（3）平面上任意兩點間的距離5.坐標(biāo)方法的簡單應(yīng)用（1）利用坐標(biāo)表示地理位置（2）利用坐標(biāo)表示平移要點詮釋：點P(x,y)到坐標(biāo)軸及原點的距離：（1）點P(x,y)到x軸的距離等于；（2）點P(x,y)到y(tǒng)軸的距離等于；（3）點P(x,y)到原點的距離等于.考點二、函數(shù)及其圖象1.變量與常量2.函數(shù)的概念3.函數(shù)的自變量的取值范圍4.函數(shù)值5.函數(shù)的表示方法（解析法、列表法、圖象法）6.函數(shù)圖象要點詮釋：由函數(shù)解析式畫其圖像的一般步驟：（1）列表：列表給出自變量與函數(shù)的一些對應(yīng)值；（2）描點：以表中每對對應(yīng)值為坐標(biāo)，在坐標(biāo)平面內(nèi)描出相應(yīng)的點；（3）連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點用平滑的曲線連接起來.考點三、一次函數(shù)1.正比例函數(shù)的意義2.一次函數(shù)的意義3.正比例函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)4.一次函數(shù)的圖象與二元一次方程組的關(guān)系5.利用一次函數(shù)解決實際問題要點詮釋：確定一個正比例函數(shù)，就是要確定正比例函數(shù)定義式（k0）中的常數(shù)k；確定一個一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式（k0）中的常數(shù)k和b.解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法.考點四、反比例函數(shù)1.反比例函數(shù)的概念2.反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)3.利用反比例函數(shù)解決實際問題要點詮釋：反比例函數(shù)中反比例系數(shù)的幾何意義，如下圖，過反比例函數(shù)圖像上任一點作x軸、y軸的垂線PM，PN，垂足為M、N，則所得的矩形PMON的面積S=PMPN=.∴.考點五、二次函數(shù)1.二次函數(shù)的概念2.二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)3.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系4.利用二次函數(shù)解決實際問題要點詮釋：1、兩點間距離公式（當(dāng)遇到?jīng)]有思路的問題時，可用此方法拓展思路，以尋求解題方法）如圖：點A坐標(biāo)為（x1，y1），點B坐標(biāo)為（x2，y2），則AB間的距離，即線段AB的長度為.2、函數(shù)平移規(guī)律：左加右減、上加下減.3、二次函數(shù)的最值如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值（或最小值），即當(dāng)時，.如果自變量的取值范圍是，那么，首先要看是否在自變量取值范圍內(nèi)，若在此范圍內(nèi)，則當(dāng)x=時，；若不在此范圍內(nèi)，則需要考慮函數(shù)在范圍內(nèi)的增減性，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大，則當(dāng)時，，當(dāng)時，；如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而減小，則當(dāng)時，，當(dāng)時，.4、拋物線的對稱變換①關(guān)于軸對稱關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是；關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是.②關(guān)于軸對稱關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是；關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是.③關(guān)于原點對稱關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是；關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是.④關(guān)于頂點對稱關(guān)于頂點對稱后，得到的解析式是；關(guān)于頂點對稱后，得到的解析式是．⑤關(guān)于點對稱關(guān)于點對稱后，得到的解析式是.根據(jù)對稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化，因此永遠(yuǎn)不變．求拋物線的對稱圖象的表達(dá)式時，可以依據(jù)題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線（或表達(dá)式已知的拋物線）的頂點坐標(biāo)及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標(biāo)及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達(dá)式．考點六、函數(shù)的應(yīng)用1.一次函數(shù)的實際應(yīng)用2.反比例函數(shù)的實際應(yīng)用3.二次函數(shù)的實際應(yīng)用要點詮釋：分段函數(shù)是指自變量在不同的取值范圍內(nèi)，其關(guān)系式（或圖象）也不同的函數(shù)，分段函數(shù)的應(yīng)用題多設(shè)計成兩種情況以上，解答時需分段討論.在現(xiàn)實生活中存在著很多需分段計費的實際問題，因此，分段計算的應(yīng)用題成了近幾年中考應(yīng)用題的一種重要題型.【典型例題】類型一、用函數(shù)的概念與性質(zhì)解題 1．在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)是（4，0），點P是第一象限內(nèi)的直線y=6－x上的點，O是坐標(biāo)原點（如圖所示）：

（1）P點坐標(biāo)設(shè)為(x,y)，寫出ΔOPA的面積S的關(guān)系式；

（2）S與y具有怎樣的函數(shù)關(guān)系，寫出這函數(shù)中自變量y的取值范圍；

（3）S與x具有怎樣的函數(shù)關(guān)系？寫出自變量x的取值范圍；

（4）如果把x看作S的函數(shù)時，求這個函數(shù)解析式，并寫出這函數(shù)中自變量取值范圍；

（5）當(dāng)S=10時，求P的坐標(biāo)；

（6）在直線y=6－x上，求一點P，使ΔPOA是以O(shè)A為底的等腰三角形.【思路點撥】本例的第（1）問是“SΔOPA”與“y”的對應(yīng)關(guān)系，呈現(xiàn)正比例函數(shù)關(guān)系，y是自變量；第（3）問是“S”與“x”的對應(yīng)關(guān)系，呈現(xiàn)一次函數(shù)關(guān)系，x是自變量；第（4）問是“x”與“S”的對應(yīng)關(guān)系，呈現(xiàn)一次函數(shù)關(guān)系，S是自變量，不要被是什么字母所迷惑，而是要從“對應(yīng)關(guān)系”這個本質(zhì)去考慮，分清哪個是函數(shù)，哪個是自變量.【答案與解析】解：（1）過P點作x軸的垂線，交于Q，

SΔOPA=|OA|·|PQ|=×4×y=2y.（2）S與y成正比例函數(shù)，即S=2y，自變量y的取值范圍是0＜y＜6.（3）∵y=6-x,∴S=2y=2(6-x)=12-2x,∴S=-2x+12成為一次函數(shù)關(guān)系，自變量x的取值范圍是0＜x＜6.（4）∵把x看作S的函數(shù)，∴將S=-2x+12變形為：x=,即這個函數(shù)的解析式為：x=-+6.自變量S的取值范圍是：0＜S＜12.（5）當(dāng)S=10時，代入（3）、（4）得：x=-+6=-+6=1,S=2y,10=2y,∴y=5,∴P點的坐標(biāo)為（1，5）.（6）以O(shè)A為底的等腰ΔOPA中，∵OA=4，∴OA的中點為2，∴x=2,

∵y=6-x,∴y=4.即P點坐標(biāo)為（2，4）.【總結(jié)升華】數(shù)學(xué)從對運動的研究中引出了基本的函數(shù)概念，函數(shù)的本質(zhì)就是對應(yīng)，函數(shù)關(guān)系就是變量之間的對應(yīng)關(guān)系，是一種特殊的對應(yīng)關(guān)系.函數(shù)的概念中，有兩個變量，要分清對應(yīng)關(guān)系，哪一個字母是函數(shù)，哪一個是自變量.比如“把x看作S的函數(shù)”時，對應(yīng)關(guān)系為用S表示x,其中S是自變量，x是函數(shù).舉一反三：【高清課程名稱：函數(shù)綜合2高清ID號：36911\o"查看資源信息"2關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點名稱）：經(jīng)典例題1】【變式】已知關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根，k為正整數(shù).（1）求k的值；（2）當(dāng)此方程有兩個非零的整數(shù)根時，將關(guān)于x的二次函數(shù)的圖象向下平移8個單位，求平移后的圖象的解析式；（3）在（2）的條件下，將平移后的二次函數(shù)的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象，請你結(jié)合這個新的圖象回答：當(dāng)直線與此圖象有兩公共點時，b的取值范圍.【答案】解：（1）由題意得，≥0．≤3．為正整數(shù)，1，2，3．（2）當(dāng)時，方程有一個根為零；當(dāng)時，方程無整數(shù)根；當(dāng)時，方程有兩個非零的整數(shù)根．綜上所述，和不合題意，舍去；符合題意．當(dāng)時，二次函數(shù)為，把它的圖象向下平移8個單位得到的圖象的解析式為．（3）設(shè)二次函數(shù)的圖象與軸交于、兩點，則．依題意翻折后的圖象如圖所示．當(dāng)直線經(jīng)過A點時，可得；當(dāng)直線經(jīng)過B點時，可得．由圖象可知，符合題意的b的取值范圍為．2．如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點P在BC邊上運動，連結(jié)DP，過點A作AE⊥DP，垂足為E，設(shè)DP=x，AE=y，則能反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的大致圖象是()

(A)(B)(C)(D)

【思路點撥】本題應(yīng)利用△APD的面積的不同表示方法求得y與x的函數(shù)關(guān)系；或由△ADE∽△DPC得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系．【答案】C；【解析】這是一個動點問題.很容易由△ADE∽△DPC得到，從而得出表達(dá)式；也可連結(jié)PA，由得到表達(dá)式，排除(A)、(B).因為點P在BC邊上運動，當(dāng)點P與點C重合時，DP與邊DC重合，此時DP最短，x=3；當(dāng)點P與點B重合時，DP與對角線BD重合，此時DP最長，x=5，即x的臨界值是3和5.又因為當(dāng)x取3和5時，線段AE的長可具體求出，因此x的取值范圍是3≤x≤5.正確答案選(C).【總結(jié)升華】解決動點問題的常用策略是“以靜制動，動靜結(jié)合”.找準(zhǔn)特殊點，是求出臨界值的關(guān)鍵.動態(tài)問題也是中考試題中的常見題型，要引起重視.

舉一反三：【變式】小明騎自行車上學(xué)，開始以正常速度勻速行駛，但行至中途自行車出了故障，只好停下來修車.車修好后，因怕耽誤上課，他比修車前加快騎車速度繼續(xù)勻速行駛，下面是行駛路程s(m)關(guān)于時間t(min)的函數(shù)圖象，那么符合這個同學(xué)行駛情況的圖象大致是().

【答案】A表示小明一直在停下來修車，而沒繼續(xù)向前走，B表示沒有停下來修車，相反速度騎的比原來更慢，D表示修車時又向回走了一段路才修好后又加快速度去學(xué)校.選項C符合題意.

類型二、函數(shù)的綜合題3．如圖，把Rt△ABC放在直角坐標(biāo)系內(nèi)，其中∠CAB=90°，BC=5，點A、B的坐標(biāo)分別為（1，0）、（4，0），將△ABC沿x軸向右平移，當(dāng)點C落在直線y=2x－6上時，線段BC掃過的面積為（）A．4 B．8 C．16 D．

ABCOyx【思路點撥】此題涉及運用勾股定理；已知一次函數(shù)解析式中的y值，解函數(shù)轉(zhuǎn)化的一元一次方程求出x值，利用橫坐標(biāo)之差計算平移的距離；以及平行四邊形面積公式.【答案】C；【解析】將△ABC沿x軸向右平移，當(dāng)點C落在直線y=2x－6上時即當(dāng)y=4時，解得x=5，所以平移的距離為5-1=4，又知BC掃過的圖形為平行四邊形，高不變?yōu)椋?，所以平行四邊形面積=底×高=4×4=16.【總結(jié)升華】運用數(shù)形結(jié)合、平移變換、動靜變化的數(shù)學(xué)思想方法是解此題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng).舉一反三：【高清課程名稱：函數(shù)綜合2高清ID號：36911\o"查看資源信息"2關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點名稱）：經(jīng)典例題2】【變式】在坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C.（1）求點A的坐標(biāo)；（2）當(dāng)時，求m的值；（3）已知一次函數(shù)，點P（n，0）是x軸上的一個動點，在（2）的條件下，過點P垂直于x軸的直線交這個一次函數(shù)的圖象于點M，交二次函數(shù)的圖象于N.若只有當(dāng)時，點M位于點N的上方，求這個一次函數(shù)的解析式.【答案】（1）∵點A、B是二次函數(shù)（）的圖象與軸交點，∴令，即.解得：，.又∵點A在點B左側(cè)且，∴點A的坐標(biāo)為（-1，0）.ABABC（2）由（1）可知點B的坐標(biāo)為（，0）∵二次函數(shù)與軸交于點C，∴點C的坐標(biāo)為（0，-3）.∵∠ABC=45°，∴=3.∴m=1.（3）由（2）得，二次函數(shù)解析式為.依題意并結(jié)合圖象可知，一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象交點的橫坐標(biāo)分別為-2和2，由此可得交點坐標(biāo)為（-2，5）和（2，-3）.將交點坐標(biāo)分別代入一次函數(shù)解析式中，得得解得解得∴一次函數(shù)的解析式為.AABCPMN4．（2015?湖北模擬）函數(shù)y=和y=在第一象限內(nèi)的圖象如圖，點P是y=的圖象上一動點，PC⊥x軸于點C，交y=的圖象于點B．給出如下結(jié)論：①△ODB與△OCA的面積相等；②PA與PB始終相等；③四邊形PAOB的面積大小不會發(fā)生變化；④CA=AP．其中所有正確結(jié)論的序號是（） A．①②③ B． ②③④ C． ①③④ D． ①②④【思路點撥】由于A、B是反比函數(shù)y=上的點，可得出S△OBD=S△OAC=，故①正確；當(dāng)P的橫縱坐標(biāo)相等時PA=PB，故②錯誤；根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義可求出四邊形PAOB的面積為定值，故③正確；連接PO，根據(jù)底面相同的三角形面積的比等于高的比即可得出結(jié)論．【答案】C.【解析】解：∵A、B是反比函數(shù)y=上的點，∴S△OBD=S△OAC=，故①正確；當(dāng)P的橫縱坐標(biāo)相等時PA=PB，故②錯誤；∵P是y=的圖象上一動點，∴S矩形PDOC=4，∴S四邊形PAOB=S矩形PDOC﹣S△ODB﹣﹣S△OAC=4﹣﹣=3，故③正確；連接OP，===4，∴AC=PC，PA=PC，∴=3，∴AC=AP；故④正確；綜上所述，正確的結(jié)論有①③④．故選C．【總結(jié)升華】本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，熟知反比例函數(shù)中系數(shù)k的幾何意義是解答此題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=BC=4，DE⊥BC于點E，且E是BC中點；動點P從點E出發(fā)沿路徑ED→DA→AB以每秒1個單位長度的速度向終點B運動；設(shè)點P的運動時間為t秒，△PBC的面積為S，則下列能反映S與t的函數(shù)關(guān)系的圖象是（）A．B．C．D．【答案】B解：根據(jù)題意得：當(dāng)點P在ED上運動時，S=BC?PE=2t；當(dāng)點P在DA上運動時，此時S=8；當(dāng)點P在線段AB上運動時，S=BC（AB+AD+DE﹣t）=5﹣t；結(jié)合選項所給的函數(shù)圖象，可得B選項符合．故選B．類型三、函數(shù)與幾何綜合題5．如圖，將—矩形OABC放在直角坐際系中，O為坐標(biāo)原點．點A在y軸正半軸上．點E是邊AB上的—個動點(不與點A、B重合)，過點E的反比例函數(shù)的圖象與邊BC交于點F.（1）若△OAE、△OCF的而積分別為S1、S2．且S1＋S2=2，求的值；（2）若OA=2．0C=4．問當(dāng)點E運動到什么位置時，四邊形OAEF的面積最大．其最大值為多少?【思路點撥】（1）設(shè)E（，），F(xiàn)（，），＞0，＞0，根據(jù)三角形的面積公式得到S1=S2=，利用S1＋S2=2即可求出.（2）設(shè)E(，2)，F(xiàn)(4，)，利用S四邊形OAEF=S矩形OABC－S△BEF－S△OCF=，根據(jù)二次函數(shù)的最值即可得到當(dāng)點E運動到AB的中點時，四邊形OAEF的面積最大，最大值是5.【答案與解析】解：（1）∵點E、F在函數(shù)的圖象上，∴設(shè)E（，），F(xiàn)（，），＞0，＞0，∴S1=，S2=.∵S1＋S2=2，∴.∴.

（2）∵四邊形OABC為矩形，OA=2，OC=4，∴設(shè)E(，2)，F(xiàn)(4，).∴BE=4－，BF=2－.∴S△BEF=，S△OCF=，S矩形OABC=2×4=8，∴S四邊形OAEF=S矩形OABC－S△BEF－S△OCF=8－()－=.∴當(dāng)=4時，S四邊形OAEF=5.∴AE=2.∴當(dāng)點E運動到AB的中點時，四邊形OAEF的面積最大，最大值是5.【總結(jié)升華】本題屬于反比例函數(shù)綜合題，考查曲線圖上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，二次函數(shù)的最值.6．（2015?宿遷）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A（8，1），B（0，﹣3），反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象經(jīng)過點A，動直線x=t（0＜t＜8）與反比例函數(shù)的圖象交于點M，與直線AB交于點N．（1）求k的值；（2）求△BMN面積的最大值；（3）若MA⊥AB，求t的值．【思路點撥】（1）把點A坐標(biāo)代入y=（x＞0），即可求出k的值；（2）先求出直線AB的解析式，設(shè)M（t，），N（t，t﹣3），則MN=﹣t+3，由三角形的面積公式得出△BMN的面積是t的二次函數(shù)，即可得出面積的最大值；（3）求出直線AM的解析式，由反比例函數(shù)解析式和直線AM的解析式組成方程組，解方程組求出M的坐標(biāo)，即可得出結(jié)果．【答案與解析】解：（1）把點A（8，1）代入反比例函數(shù)y=（x＞0）得：k=1×8=8，y=，∴k=8；（2）設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b，根據(jù)題意得：，解得：k=，b=﹣3，∴直線AB的解析式為：y=x﹣3；設(shè)M（t，），N（t，t﹣3），則MN=﹣t+3，∴△BMN的面積S=（﹣t+3）t=﹣t2+t+4=﹣（t﹣3）2+，∴△BMN的面積S是t的二次函數(shù)，∵﹣＜0，∴S有最大值，當(dāng)t=3時，△BMN的面積的最大值為；（3）∵M(jìn)A⊥AB，∴設(shè)直線MA的解析式為：y=﹣2x+c，把點A（8，1）代入得：c=17，∴直線AM的解析式為：y=﹣2x+17，解方程組得：或（舍去），∴M的坐標(biāo)為（，16），∴t=．【總結(jié)升華】本題是反比例函數(shù)綜合題目，考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的最值問題、垂線的性質(zhì)等知識；本題難度較大，綜合性強(qiáng)．7．如圖1，已知矩形ABCD的頂點A與點O重合，AD、AB分別在x軸、y軸上，且AD=2，AB=3；拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過坐標(biāo)原點O和x軸上另一點E（4，0）（1）當(dāng)x取何值時，該拋物線取最大值？該拋物線的最大值是多少？（2）將矩形ABCD以每秒1個單位長度的速度從圖1所示的位置沿x軸的正方向勻速平行移動，同時一動點P也以相同的速度從點A出發(fā)向B勻速移動．設(shè)它們運動的時間為t秒（0≤t≤3），直線AB與該拋物線的交點為N（如圖2所示）．①當(dāng)t=時，判斷點P是否在直線ME上，并說明理由；②以P、N、C、D為頂點的多邊形面積是否可能為5？若有可能，求出此時N點的坐標(biāo)；若無可能，請說明理由．【思路點撥】（1）根據(jù)O、E的坐標(biāo)即可確定拋物線的解析式，進(jìn)而求出其頂點坐標(biāo)，即可得出所求的結(jié)論；（2）①當(dāng)t=時，OA=AP=，由此可求出P點的坐標(biāo)，將其代入拋物線的解析式中進(jìn)行驗證即可；②此題要分成兩種情況討論：（i）PN=0時，即t=0或t=3時，以P、N、C、D為頂點的多邊形是△PCD，以CD為底AD長為高即可求出其面積；（ii）PN≠0時，即0＜t＜3時，以P、N、C、D為頂點的多邊形是梯形PNCD，根據(jù)拋物線的解析式可表示出N點的縱坐標(biāo)，從而得出PN的長，根據(jù)梯形的面積公式即可求出此時S、t的函數(shù)關(guān)系式，令S=5，可得到關(guān)于t的方程，若方程有解，根據(jù)求得的t值即可確定N點的坐標(biāo)，若方程無解，則說明以P、N、C、D為頂點的多邊形的面積不可能為5．【答案與解析】解：（1）因拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過坐標(biāo)原點O（0，0）和點E（4，0），故可得c=0，b=4，所以拋物線的解析式為y=﹣x2+4x，由y=﹣x2+4x，y=﹣（x﹣2）2+4，得當(dāng)x=2時，該拋物線的最大值是4；（2）①點P不在直線ME上；已知M點的坐標(biāo)為（2，4），E點的坐標(biāo)為（4，0），設(shè)直線ME的關(guān)系式為y=kx+b；于是得，解得所以直線ME的關(guān)系式為y=﹣2x+8；由已知條件易得，當(dāng)t=時，OA=AP=，P（，）∵P點的坐標(biāo)不滿足直線ME的關(guān)系式y(tǒng)=﹣2x+8；∴當(dāng)t=時，點P不在直線ME上；②以P、N、C、D為頂點的多邊形面積可能為5∵點A在x軸的非負(fù)半軸上，且N在拋物線上，∴OA=AP=t；∴點P、N的坐標(biāo)分別為（t，t）、（t，﹣t2+4t）∴AN=﹣t2+4t（0≤t≤3），∴AN﹣AP=（﹣t2+4t）﹣t=﹣t2+3t=t（3﹣t）≥0，∴PN=﹣t2+3t（?。┊?dāng)PN=0，即t=0或t=3時，以點P，N，C，D為頂點的多邊形是三角形，此三角形的高為AD，∴S=DC?AD=×3×2=3；（ⅱ）當(dāng)PN≠0時，以點P，N，C，D為頂點的多邊形是四邊形∵PN∥CD，AD⊥CD，∴S=（CD+PN）?AD=[3+（﹣t2+3t）]×2=﹣t2+3t+3當(dāng)﹣t2+3t+3=5時，解得t=1、2而1、2都在0≤t≤3范圍內(nèi)，故以P、N、C、D為頂點的多邊形面積為5綜上所述，當(dāng)t=1、2時，以點P，N，C，D為頂點的多邊形面積為5，當(dāng)t=1時，此時N點的坐標(biāo)（1，3）當(dāng)t=2時，此時N點的坐標(biāo)（2，4）．【總結(jié)升華】本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及的知識點有拋物線的頂點坐標(biāo)的求法、圖形的面積求法以及二次函數(shù)的應(yīng)用．在求有關(guān)動點問題時要注意分析題意分情況討論結(jié)果．說明：（ⅱ）中的關(guān)系式，當(dāng)t=0和t=3時也適合，（故在閱卷時沒有（?。?，只有（ⅱ）也可以，不扣分）中考總復(fù)習(xí)：幾何初步及三角形—鞏固練習(xí)（基礎(chǔ)）【鞏固練習(xí)】一、選擇題1．如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=3，點P是邊BC上的動點，則AP長不可能是().

A．2.5B．3C．4D．52．如圖所示，圖中線段和射線的條數(shù)為().A.三條，四條B.二條，六條C.三條，六條D.四條，四條

3．下列四個圖中，能用∠1、∠AOB、∠O三種方法表示同一個的是().

4．一個三角形的三個內(nèi)角中().

A.至少有一個鈍角B.至少有一個直角C.至多有一個銳角D.至少有兩個銳角5．（2014秋?上蔡縣校級期末）如果三角形的三邊長分別為a、a﹣1、a+1，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＞0 B．a(chǎn)＞2 C．a(chǎn)＜2 D．0＜a＜26.如圖，某人不小心把一塊三角形的玻璃打碎成三塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么正確的方法是().

A.帶①去B.帶②去C.帶③去D.帶①和②去二、填空題7．（2015秋?遷安市期中）鐘表在3點40分時，它的時針和分針?biāo)傻慕鞘牵?．一個角的余角比它的補角還多，則這個角等于_______°.9．兩個角，它們的比是3:2，其差為36°，則這兩個角的關(guān)系是________.10．直角三角形的兩個銳角的平分線所成的銳角為______.11．如圖所示，∠A=50°，∠B=40°，∠C=30°，則∠BDC=________.

12．若三角形的兩邊長分別是2和7,則第三邊長c的取值范圍是_______.三、解答題13．如圖，已知AB∥CD，∠B=65°，CM平分∠BCE，∠MCN=90°，求∠DCN的度數(shù).

14．如圖，線段AB上的點數(shù)與線段的總數(shù)有如下關(guān)系：如果線段上有3個點時，線段共有3條；如果上有4個點時，線段共有6條；如果線段上有5個點時，線段共有10條；⑴當(dāng)線段上有6個點時，線段共有多少條？⑵當(dāng)線段上有n個點時，線段共有多少條？(用含n的代數(shù)式表示)⑶當(dāng)n=100時，線段共有多少條？

15．如圖，AE、OB、OC平分∠BAC、∠ABC、∠ACB，OD⊥BC，求證：∠1=∠2.16.（2015?同安區(qū)一模）已知△ABC三邊長都是整數(shù)且互不相等，它的周長為12，當(dāng)BC為最大邊時，求∠A的度數(shù)．【答案與解析】一、選擇題1.【答案】A.【解析】點到直線的線段中垂線段最短.2.【答案】C.【解析】每個點為端點的射線有兩條.3.【答案】D.4.【答案】D.【解析】三角形內(nèi)角和180°.5.【答案】B.【解析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得a﹣1+a＞a+1，解得a＞2．故選B．6.【答案】D.二、填空題7．【答案】130.【解析】提示：3點40分時，它的時針和分針相距份，×30°=130°．故答案為：130．8．【答案】63°.【解析】設(shè)補角為x，則余角為x+1°，因為一個角的補角比余角多90°，所以x-（x+1°）=90°，即x=117°，即該角為63°.9．【答案】互補.【解析】設(shè)兩個角為3x，2x，即3x-2x=36°，x=36°，則3x+2x=180°.10．【答案】45°.11．【答案】120°.【解析】做射線AD，即∠BDC=∠1+∠2=∠3+∠B+∠4+∠C=∠B+∠A+∠C=120°.12．【答案】5＜c＜9．【解析】三角形的兩邊長分別是2和7,則第三邊長c的取值范圍是│2-7│＜c＜2+7,即

5＜c＜9．三、解答題13.【答案與解析】32.5°.提示：利用角分線和平行線的性質(zhì)可得.14.【答案與解析】(1)15，提示：n=3,3條；n=4,6條；n=5,10條；可推出n=6，有15條；(2)，提示：通過總結(jié)n=3,4,5,6等幾種特殊情況，可以歸納推得；(3)4950.提示：代入（2）中的公式可得.15.【答案與解析】∵AE、OB平分∠BAC、∠ABC，∴∠1=（∠ABC+∠CAB）=(180°-∠ACB)=90°-∠ACB，又∵OC平分∠ACB，OD⊥BC，∴∠2=90°-∠OCB=90°-∠ACB.即∠1=∠2.16.【答案與解析】解：根據(jù)題意，設(shè)BC、AC、AB邊的長度分別是a、b、c，則a+b+c=12；∵BC為最大邊，∴a最大，又∵b+c＞a，∴a＜6，∵△ABC三邊長都是整數(shù)，∴a=5，又∵△ABC三邊長互不相等，∴其他兩邊分別為3，4，∵32+42=52，∴△ABC是直角三角形，∴∠A=90°，即∠A的度數(shù)是90°．中考總復(fù)習(xí)：幾何初步及三角形—鞏固練習(xí)（提高）【鞏固練習(xí)】一、選擇題1．如圖所示，下列說法不正確的是().

A．點B到AC的垂線段是線段ABB．點C到AB的垂線段是線段AC

C．線段AD是點D到BC的垂線段D．線段BD是點B到AD的垂線段

2．如圖，標(biāo)有角號的7個角中共有____對內(nèi)錯角，____對同位角，____對同旁內(nèi)角.()

A.4、2、4B.4、3、4C.3、2、4D.4、2、33．把一張長方形的紙片按下圖所示的方式折疊，EM、FM為折痕，折疊后的C點落在B′M或B′M的延長線上，則∠EMF的度數(shù)是().

A.85°B.90°C.95°D.100°4．如圖，在△ABC中，已知點D，E，F(xiàn)分別為邊BC，AD，CE的中點，且S△ABC=4cm2，則陰影面積等于().

A.2cm2B.1cm2C.cm2D.cm25．（2014秋?金昌期末）鐘表4點30分時，時針與分針?biāo)傻慕堑亩葦?shù)為（）A．45° B．30° C．60° D．75°6.△ABC中，AB=AC=，BC=6，則腰長的取值范圍是（）.

A.B.C.D.

二、填空題7．如圖，AD∥BC，BD平分∠ABC，且∠A=110°，則∠D=________．

8.（2014春?興業(yè)縣期末）如圖，已知AB∥CD∥EF，則∠x、∠y、∠z三者之間的關(guān)系是．9．已知a、b、c是△ABC的三邊，化簡|a+b―c|+|b―a―c|―|c+b―a|=____________.10．已知在△ABC中，∠ABC和∠ACB三等分線分別交于點D、E，若∠A=n°，則∠BDC=___,∠BEC=___.

11．在△ABC中，若∠A+∠B=∠C，則此三角形為_____三角形；若∠A+∠B＜∠C，則此三角形是_____三角形.12．如圖所示，∠ABC與∠ACB的內(nèi)角平分線交于點O，∠ABC的內(nèi)角平分線與∠ACB的外角平分線交于點D，∠ABC與∠ACB的相鄰?fù)饨瞧椒志€交于點E，且∠A=60°，則∠BOC=______，∠D=______，∠E=_______.三、解答題13．（2015春?山亭區(qū)期末）如圖，AD∥BC，∠BAC=70°，DE⊥AC于點E，∠D=20°．（1）求∠B的度數(shù)，并判斷△ABC的形狀；（2）若延長線段DE恰好過點B，試說明DB是∠ABC的平分線．14．平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系.

（1）如圖a，若AB∥CD，點P在AB、CD外部，則有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠B-∠D．將點P移到AB、CD內(nèi)部，如圖b，以上結(jié)論是否成立？若成立，說明理由；若不成立，則∠BPD、∠B、∠D之間有何數(shù)量關(guān)系？請證明你的結(jié)論；

（2）在圖b中，將直線AB繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度交直線CD于點Q，如圖c，則∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之間有何數(shù)量關(guān)系？（不需證明）；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論求圖d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)．

15．已知：如圖，D、E是△ABC內(nèi)的兩點.求證：AB+AC＞BD+DE+EC.

16.如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù).

【答案與解析】一、選擇題1.【答案】C.【解析】重點考查垂線段的定義.2.【答案】A.3.【答案】B.【解析】因為折疊，所以∠1=∠2，∠3=∠4，又因為∠1=∠2+∠3+∠4=180°，所以∠EMF=∠2+∠3=90°.4.【答案】B.【解析】∵D，E分別為邊BC，AD的中點，∴S△ABD=S△ADC=2cm2,S△ABE=S△AEC=1cm2∴S△BEC=2cm2又因為F分別為邊CE的中點，所以S△BEF=S△BCF=1cm2.5.【答案】C.【解析】∵4點30分時，時針指向4與5之間，分針指向6，鐘表12個數(shù)字，每相鄰兩個數(shù)字之間的夾角為30°，∴4點30分時分針與時針的夾角是2×30°﹣15°=45度．故選A．6.【答案】B.【解析】∵2x>6,∴x>3.二、填空題7．【答案】35°.8．【答案】x=180°+z﹣y.【解析】∵CD∥EF，∴∠CEF=180°﹣y，∵AB∥EF，∴∠x=∠AEF=∠z+∠CEF，即x=180°+z﹣y．故答案為：x=180°+z﹣y．9．【答案】3a―b―c.【解析】∵a、b、c是△ABC的三邊,

∴a+b＞c，a+c＞b，c+b＞a。

即a+b－c＞0，b―a―c＜0，c+b－a＞0,

∴原式=a+b―c+(a+c―b)―(c+b―a)=a+b―c+a+c―b+a―c―b=3a―b―c.10．【答案】60°+n°;120°+n°.【解析】∠BDC=180°―（∠DBC+∠DCB）=180°―（∠ABC+∠ACB）=180°―（180°―∠A）=60°+n°同理∠BEC=120°+n°.11．【答案】直角三角形；鈍角三角形.12．【答案】120°；30°，60°.【解析】因為△ABC內(nèi)角和=180°，OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，∠A=60°∴∠OBC+∠OCB=(180°-60°)÷2=60°，∴∠BOC=120°,又因CD為∠ACB外角平分線，所以∠OCD=(∠ACB+∠ACF)=90°,∠BOC=∠OCD+∠D，所以∠D=30°,∠ABC與∠ACB的相鄰?fù)饨瞧椒志€交于點E,所以∠OBE=∠OCE=90°，在四邊形OBEC中，∠E+∠OBE+∠OCE+∠BOC=360°,∠E=60°.三、解答題13.【答案與解析】解：（1）∵DE⊥AC于點E，∠D=20°，∴∠CAD=70°，∵AD∥BC，∴∠C=∠CAD=70°，∵∠BAC=70°，∴∠B=40°，AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；（2）∵延長線段DE恰好過點B，DE⊥AC，∴BD⊥AC，∵△ABC是等腰三角形，∴DB是∠ABC的平分線．14.【答案與解析】（1）不成立，結(jié)論是∠BPD=∠B+∠D.

延長BP交CD于點E,

∵AB∥CD.∴∠B=∠BED.

又∠BPD=∠BED+∠D，

∴∠BPD=∠B+∠D.（2）結(jié)論：∠BPD=∠BQD+∠B+∠D.（3）由（2）的結(jié)論得：∠AGB=∠A+∠B+∠E.

又∵∠AGB=∠CGF,

∠CGF+∠C+∠D+∠F=360°,

∴∠A+∠B+∠C+∠D∠E+∠F=360°.15.【答案與解析】延長DE分別交AB、AC于F、G.∵FB+FD>BD，AF+AG>FG，EG+GC>EC，∴FB+FD+FA+AG+EG+GC>BD+FG+EC.即AB+AC+FD+EG>BD+FD+EG+DE+EC,∴AB+AC>BD+DE+EC即BD+DE+EC<AB+AC.16.【答案與解析】如下圖，連接AC，則有∠DFA=∠FAC+∠FCA=∠D+∠E，

所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠B+∠C+∠FAC+∠FCA=∠BAC+∠B+∠BCA=180°.

中考總復(fù)習(xí)：幾何初步及三角形—知識講解（基礎(chǔ)）【考綱要求】1.了解直線、射線、線段的概念和性質(zhì)以及表示方法，掌握三者之間的區(qū)別和聯(lián)系，會解決與線段有關(guān)的實際問題；2.了解角的概念和表示方法，會把角進(jìn)行分類以及進(jìn)行角的度量和計算；3.掌握相交線、平行線的定義，理解所形成的各種角的特點、性質(zhì)和判定；4.了解命題的定義、結(jié)構(gòu)、表達(dá)形式和分類，會簡單的證明有關(guān)命題；

5.了解三角形有關(guān)概念（內(nèi)角、外角、中線、高、角平分線），會畫出任意三角形的角平分線、中線

和高,了解三角形的穩(wěn)定性.【知識網(wǎng)絡(luò)】【考點梳理】考點一、直線、射線和線段

1．直線

代數(shù)中學(xué)習(xí)的數(shù)軸和一張紙對折后的折痕等都是直線，直線可以向兩方無限延伸.(直線的概念是一個描述性的定義，便于理解直線的意義).

要點詮釋：1）．直線的兩種表示方法：

(1)用表示直線上的任意兩點的大寫字母來表示這條直線，如直線AB，其中A、B是表示直線上兩點的字母；

(2)用一個小寫字母表示直線，如直線a.

2)．直線和點的兩種位置關(guān)系

(1)點在直線上(或說直線經(jīng)過某點)；

(2)點在直線外(或說直線不經(jīng)過某點).

3).直線的性質(zhì)：

過兩點有且只有一條直線(即兩點確定一條直線).2．射線

直線上一點和它一旁的部分叫做射線.射線只向一方無限延伸.

要點詮釋：(1)用表示射線的端點和射線上任意一點的大寫字母來表示這條射線，如射線OA，其中O是端點，A是射線上一點；

(2)用一個小寫字母表示射線，如射線a.

3.線段

直線上兩點和它們之間的部分叫做線段，兩個點叫做線段的端點.要點詮釋：

1)．線段的表示方法：

(1)用表示兩個端點的大寫字母表示，如線段AB，A、B是表示端點的字母；

(2)用一個小寫字母表示，如線段a.

2)．線段的性質(zhì)：

所有連接兩點的線中，線段最短(即兩點之間，線段最短).

3)．線段的中點：

線段上一點把線段分成相等的兩條線段，這個點叫做線段的中點.

4)．兩點的距離：

連接兩點間的線段的長度，叫做兩點的距離.

考點二、角

1．角的概念：

(1)定義一：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點叫做角的頂點，兩條射線分別叫做角的邊.

(2)定義二：一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形叫做角.射線旋轉(zhuǎn)時經(jīng)過的平面部分是角的內(nèi)部，射線的端點是角的頂點，射線旋轉(zhuǎn)的初始位置和終止位置分別是角的兩條邊.

要點詮釋：1）．角的表示方法：

(1)用三個大寫字母來表示，注意將頂點字母寫在中間，如∠AOB；

(2)用一個大寫字母來表示，注意頂點處只有一個角用此法，如∠A；

(3)用一個數(shù)字或希臘字母來表示，如∠1，∠.

2）．角的分類：

(1)按大小分類：

銳角----小于直角的角(0°＜＜90°);

直角----平角的一半或90°的角(=90°);

鈍角----大于直角而小于平角的角(90°＜＜180°);

(2)平角：一條射線繞著端點旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置與起始位置成一條直線時，所成的角叫做平角，平角等于180°.

(3)周角：一條射線繞著端點旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置又回到起始位置時，所成的角叫做周角，周角等于

360°.

(4)互為余角：如果兩個角的和是一個直角(90°)，那么這兩個角叫做互為余角.

(5)互為補角：如果兩個角的和是一個平角(180°)，那么這兩個角叫做互為補角.

3）．角的度量：

(1)度量單位：度、分、秒；

(2)角度單位間的換算：1°=60′，1′=60″(即：1度=60分，1分=60秒)；

(3)1平角=180°，1周角=360°，1直角=90°.

4）．角的性質(zhì)：

同角或等角的余角相等，同角或等角的補角相等.

2．角的平分線：

如果一條射線把一個角分成兩個相等的角，那么這條射線叫做這個角的平分線.

考點三、相交線

1．對頂角

(1)定義：如果兩個角有一個公共頂點，而且一個角的兩邊分別是另一角兩邊的反向延長線，那么這兩個角叫對頂角.

(2)性質(zhì)：對頂角相等.

2．鄰補角

(1)定義：有一條公共邊，而且另一邊互為反向延長線的兩個角叫做鄰補角.

(2)性質(zhì)：鄰補角互補.

3．垂線

（1）定義：當(dāng)兩條直線相交所得的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線是互相垂直的，它們的交點叫做垂足.垂直用符號“⊥”來表示.

要點詮釋：

①過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.②連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短.簡單說成：垂線段最短.

(2)點到直線的距離定義：直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離.

4．同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角

(1)基本概念：兩條直線(如a、b)被第三條直線(如c)所截，構(gòu)成八個角，簡稱三線八角，如圖所示：∠1和∠8、∠2和∠7、∠3和∠6、∠4和∠5是同位角；∠1和∠6、∠2和∠5是內(nèi)錯角；∠1和∠5、∠2和∠6是同旁內(nèi)角.

(2)特點：同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角都是由三條直線相交構(gòu)成的兩個角.兩個角的一條邊在同一直線(截線)上，另一條邊分別在兩條直線(被截線)上.

考點四、平行線

1．平行線定義：

在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線.平行用符號“∥”來表示，.如直線a與b平行，記作a∥b.在幾何證明中，“∥”的左、右兩邊也可能是射線或線段.

2．平行公理及推論：

(1)經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.

(2)平行公理推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.即：

如果b∥a，c∥a，那么b∥c.

3．性質(zhì)：

(1)平行線永遠(yuǎn)不相交；

(2)兩直線平行，同位角相等；

(3)兩直線平行，內(nèi)錯角相等；

(4)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；

(5)如果兩條平行線中的一條垂直于某直線，那么另一條也垂直于這條直線，可用符號表示為：

若b∥c，b⊥a，則c⊥a.

4．判定方法：

(1)定義；

(2)平行公理的的推論；

(3)同位角相等，兩直線平行；

(4)內(nèi)錯角相等，兩直線平行；

(5)同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；

(6)垂直于同一條直線的兩條直線平行.

考點五、命題、定理、證明

1．命題：

(1)定義：判斷一件事情的語句叫命題.

(2)命題的結(jié)構(gòu)：題設(shè)+結(jié)論=命題；

(3)命題的表達(dá)形式：如果……那么……；若……則……；

(4)命題的分類：真命題和假命題；

(5)逆命題：原命題的題設(shè)是逆命題的結(jié)論，原命題的結(jié)論是逆命題的題設(shè).

2．公理、定理：

(1)公理：人們在長期實踐中總結(jié)出來的能作為判斷其他命題真假依據(jù)的真命題叫做公理.

(2)定理：經(jīng)過推理證實的真命題叫做定理.

3．證明：

用推理的方法證實命題正確性的過程叫做證明.

考點六、三角形的概念及其性質(zhì)

1．三角形的概念

由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.

2．三角形的分類

(1)按邊分類：

(2)按角分類：

3．三角形的內(nèi)角和外角

(1)三角形的內(nèi)角和等于180°.

(2)三角形的任意一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角之和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角.

4．三角形三邊之間的關(guān)系

三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.

5．三角形內(nèi)角與對邊對應(yīng)關(guān)系

在同一個三角形內(nèi)，大邊對大角，大角對大邊；在同一三角形中，等邊對等角，等角對等邊.

6．三角形具有穩(wěn)定性.7.三角形中的四條特殊的線段是：高線、角平分線、中線、中位線.

要點詮釋：三角形的中位線：連結(jié)三角形兩邊中點的線段是三角形的中位線.

中位線定理：三角形的中位線平