北京澳華學(xué)校高三數(shù)學(xué)理摸底試卷含解析

北京澳華學(xué)校高三數(shù)學(xué)理摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.某綜藝節(jié)目為比較甲、乙兩名選手的各項能力(指標(biāo)值滿分為5分，分值高者為優(yōu))，繪制了如圖所示的六維能力雷達(dá)圖，圖中點A表示甲的創(chuàng)造力指標(biāo)值為4，點B表示乙的空間能力指標(biāo)值為3，則下面敘述正確的是A．乙的記憶能力優(yōu)于甲的記憶能力B．乙的創(chuàng)造力優(yōu)于觀察能力C．甲的六大能力整體水平優(yōu)于乙D．甲的六大能力中記憶能力最差參考答案：C由圖示易知甲的記憶能力指標(biāo)值為，乙的記憶能力指標(biāo)值為4，所以甲的記憶能力優(yōu)于乙，故排除；同理，乙的觀察能力優(yōu)于創(chuàng)造力，故排除；甲的六大能力中推理能力最差，故排除；又甲的六大能力指標(biāo)值的平均值為，乙的六大能力指標(biāo)值的平均值為，所以甲的六大能力整體水平優(yōu)于乙，故選.2.某人向東方向走了x千米，然后向右轉(zhuǎn)，再朝新方向走了3千米，結(jié)果他離出發(fā)點恰好千米，那么x的值是

．

參考答案：4

根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，如圖所示：在△ABC中，AB=x千米，BC=3千米，AC=千米，∠ABC=180°-120°=60°，由余弦定理得：，即（x-4）（x+1）=0，解得：x=4或x=-1（舍去），因此x的值為4千米．3.若的最小值為，則二項式的展開式中的常數(shù)項是

A．第10項

B．第9項

C．第8項

D．第7項參考答案：B4.

函數(shù)的圖象過原點，且它的導(dǎo)函數(shù)的圖象是如圖所示的一條直線，則的圖象的頂點在（

）A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

參考答案：答案：A5.一個圓錐過軸的截面為等邊三角形，它的頂點和底面圓周在球O的球面上，則該圓錐的表面積與球O的表面積的比值為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D略6.歐拉公式為虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)明的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占用非常重要的地位，被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”，根據(jù)歐拉公式可知，表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限參考答案：B【分析】由歐拉公式,可得=cos2+isin2，表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中的象限.【詳解】解：由歐拉公式，可得=cos2+isin2，此復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對應(yīng)的點為（cos2，sin2），易得cos2＜0，sin2＞0，可得此點位于第二象限，故選B.7.從拋物線y2=4x上一點P引拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為M，且|PM|=5，設(shè)拋物線的焦點為F，則△MPF的面積為（）A．5 B．10 C．20 D．參考答案：B【考點】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】先設(shè)處P點坐標(biāo)，進(jìn)而求得拋物線的準(zhǔn)線方程，進(jìn)而求得P點橫坐標(biāo)，代入拋物線方程求得P的縱坐標(biāo)，進(jìn)而利用三角形面積公式求得答案．【解答】解：設(shè)P（x0，y0）依題意可知拋物線準(zhǔn)線x=﹣1，∴x0=5﹣1=4∴|y0|==4，∴△MPF的面積為×5×4=10故選：B【點評】本題主要考查了拋物線的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是靈活利用了拋物線的定義．8.已知，若對任意實數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍是A．

B．

C．

D．參考答案：【知識點】一般形式的柯西不等式．N4【答案解析】B解析：由柯西不等式得,,即,即的最大值為3，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；所以對任意實數(shù)恒成立等價于對任意實數(shù)恒成立，又因為對任意恒成立，因此有即，解得，故選B.【思路點撥】由柯西不等式求得，可得對任意實數(shù)x恒成立．再根據(jù)|x﹣1|+|x+m|≥|m+1|，可得，由此求得m的范圍．9.“”是“函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：C若，則當(dāng)時，，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，對稱軸，故在上單調(diào)遞增.所以“”是“在上單調(diào)遞增”的充分條件.若在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，符合；當(dāng)時，對稱軸，故在上單調(diào)遞增，符合；當(dāng)時，，當(dāng)時，為減函數(shù)，舍去.故“”是“在上單調(diào)遞增”的必要條件所以“”是“在上單調(diào)遞增”的充分必要條件.選C.

10.已知α，β，γ是三個不同的平面，命題“α∥β，且α⊥γβ⊥γ”是真命題．如果把α，β，γ中的任意兩個換成直線，另一個保持不變，在所得的所有新命題中，真命題有（

）A．0個

B．1個

C．2個

D．3個參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在一個不透明的盒子中裝有2個白球，n個黃球，它們除顏色不同外，其余均相同．若從中隨機摸出一個球，它是白球的概率為，則__________

參考答案：112.已知向量，若向量與向量平行，則實數(shù)=

.參考答案：13.已知橢圓的左、右兩個焦點分別為、，若經(jīng)過的直線與橢圓相交于、兩點，則△的周長等于

.參考答案：8略14.中，，則的最大值為

參考答案：15.定義函數(shù)，，，若存在實數(shù)b使得方程無實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是

．參考答案：（－∞，－5）∪（4，＋∞）16.函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分圖象如圖所示，則f（x）=參考答案：2sin（2x﹣）．【考點】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．【分析】由圖可求A，T，由周期公式可求ω，再由﹣2=2sin[2×（﹣）+φ]求得φ即可得解函數(shù)解析式．【解答】解：由圖知A=2，又=﹣（﹣）=，故T=π，∴ω=2；又∵點（﹣，﹣2）在函數(shù)圖象上，可得：﹣2=2sin[2×（﹣）+φ]，∴可得：﹣×2+φ=2kπ﹣（k∈Z），∴φ=2kπ﹣，（k∈Z），又∵|φ|＜，∴φ=﹣，∴f（x）=2sin（2x﹣）．故答案為：2sin（2x﹣）．17.已知雙曲線（）的左、右焦點分別為，，是右支上的一點，與軸交于點，的內(nèi)切圓在邊上的切點為．若，則的離心率是

▲▲

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分14分)如圖，在正方體中，分別為的中點.

（1）求證：平面；

（2）求證：平面平面.參考答案：證明（1）：連接，設(shè)，連接，………2分因為O，F(xiàn)分別是與的中點，所以，且，又E為AB中點，所以，且，從而，即四邊形OEBF是平行四邊形，所以，

……………6分又面，面，所以面.

……………8分（2）因為面，面，所以，

…………10分又，且面，，所以面，…………12分而，所以面，又面，所以面面.

………14分19.目前，中國有三分之二的城市面臨“垃圾圍城”的窘境.我國的垃圾處理多采用填埋的方式，占用上萬畝土地，并且嚴(yán)重污染環(huán)境.垃圾分類把不易降解的物質(zhì)分出來，減輕了土地的嚴(yán)重侵蝕，減少了土地流失.2020年5月1日起，北京市將實行生活垃圾分類，分類標(biāo)準(zhǔn)為廚余垃圾、可回收物、有害垃圾和其它垃圾四類.生活垃圾中有30%~40%可以回收利用，分出可回收垃圾既環(huán)保，又節(jié)約資源.如：回收利用1噸廢紙可再造出0.8噸好紙，可以挽救17棵大樹，少用純堿240千克，降低造紙的污染排放75％，節(jié)省造紙能源消耗40％～50％.現(xiàn)調(diào)查了北京市5個小區(qū)12月份的生活垃圾投放情況，其中可回收物中廢紙和塑料品的投放量如下表：

A小區(qū)B小區(qū)C小區(qū)D小區(qū)E小區(qū)廢紙投放量（噸）55.15.24.84.9塑料品投放量（噸）3.53.63.73.43.3（Ⅰ）從A、B、C、D、E這5個小區(qū)中任取1個小區(qū)，求該小區(qū)12月份的可回收物中，廢紙投放量超過5噸且塑料品投放量超過3.5噸的概率；（Ⅱ）從A、B、C、D、E這5個小區(qū)中任取2個小區(qū)，記X為12月份投放的廢紙可再造好紙超過4噸的小區(qū)個數(shù)，求X的分布列及期望．參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.【分析】（Ⅰ）基本事件的總數(shù)為5，隨機事件中含有的基本事件的個數(shù)為2，從而可得隨機事件的概率.（Ⅱ）利用超幾何分布可求X的分布列及期望．【詳解】解：（Ⅰ）記“該小區(qū)12月份的可回收物中廢紙投放量超過5噸且塑料品投放量超過3.5噸”為事件.由題意，有兩個小區(qū)12月份的可回收物中廢紙投放量超過5噸且塑料品投放量超過3.5噸，所以.

（Ⅱ）因為回收利用1噸廢紙可再造出0.8噸好紙，所以12月份投放的廢紙可再造好紙超過4噸的小區(qū)有，共2個小區(qū).的所有可能取值為0，1，2.；；.所以的分布列為:012

．【點睛】本題考查古典概型的概率的計算，關(guān)鍵是基本事件的總數(shù)和隨機事件中基本事件的個數(shù)的計算，計算時應(yīng)利用排列組合的方法來考慮，另外，隨機變量的分布列可借助于常見分布來計算概率.20.在△ABC中，角A，B，C，所對的邊分別為a，b，c．已知sinA+sinC=psinB（p∈R）．且ac=b2．（Ⅰ）當(dāng)p=，b=1時，求a，c的值；（Ⅱ）若角B為銳角，求p的取值范圍．參考答案：考點：解三角形．專題：解三角形．分析：（Ⅰ）利用正弦定理把題設(shè)等式中的角的正弦轉(zhuǎn)化成邊，解方程組求得a和c的值．（Ⅱ）先利用余弦定理求得a，b和c的關(guān)系，把題設(shè)等式代入表示出p2，進(jìn)而利用cosB的范圍確定p2的范圍，進(jìn)而確定pd范圍．解答：（Ⅰ）解：由題設(shè)并利用正弦定理得故可知a，c為方程x2﹣x+=0的兩根，進(jìn)而求得a=1，c=或a=，c=1（Ⅱ）解：由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣2accosB=p2b2﹣b2cosB﹣，即p2=+cosB，因為0＜cosB＜1，所以p2∈（，2），由題設(shè)知p∈R，所以＜p＜或﹣＜p＜﹣又由sinA+sinC=psinB知，p是正數(shù)故＜p＜即為所求點評：本題主要考查了解三角形問題．學(xué)生能對正弦定理和余弦定理的公式及變形公式熟練應(yīng)用．21.（本題滿分12分）已知向量，，對任意都有.（1）求的最小值；（2）求正整數(shù),使參考答案：(1)設(shè)=（xn,yn）,由=+得

∴{xn}、{yn}都是公差為1的等差數(shù)列……….3分∵=（1，－7）∴xn=n,yn=n－8,=(n,n－8)||的最小值為4…………..6分（2）由（1）可設(shè)=（m,m－8）

=(n,n－8)由已知得：·=0mn+(m－8)(n－8)=0(m－4)(n－4)=－16……..8分∵m,n∈N+∴或

……..12分22.已知函數(shù).（1）求函數(shù)在點處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）若存在，使得是自然對數(shù)的底數(shù)），求實數(shù)的取值范圍.參考答案：⑴因為函數(shù)，所以，，…