2022年北京西城區(qū)高三一模數(shù)學(xué)試題和答案

2022北京西城高三一模數(shù)學(xué)20224本試卷共7頁(yè)，分?？荚嚂r(shí)長(zhǎng)分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共分）一、選擇題共小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。（1A=2，=Bxx0，則AB=（知集合）0,22??2（D）（A）（）（）221+i（2）復(fù)數(shù)z=（A）1?iz=的共軛復(fù)數(shù)（）1111（）1+i（）?i（D）+i2222（3a=og0.4，b=log0.3，c=0.33，則（）33（A）acb（）bca（）abc（D）bac61x?2x的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（（4）（A）?120（）120（）?160（D）x22y22（5）若雙曲線?=1的焦點(diǎn)F0)5到其漸近線的距離為，則雙曲線的方程為（）abx2y2x2y2x2y2x2y2（A）?=1（）?=1（）?=1（D）?=145543663（6）已知向量a,b滿足a=5，b=4)，b=0a-b=（）（A）5（）52（）10D102（）（7）已知點(diǎn)A為圓C:(x?m)2+(y?m?2=2上一點(diǎn)，點(diǎn)B0)，當(dāng)m變化時(shí)，線AB長(zhǎng)度的最小值為（）（A）1（）2（）2D22（）y=sin(2x+)（8）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位所得函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，向左平移個(gè)單位所得函數(shù)圖aa象關(guān)于y軸對(duì)稱，其中0，a0，則=（）2（A）（）（）（D）6384mN*++==ada123ama1(kN)的（）*（9）在無窮等差數(shù)列中，公差為，則“，使得”是n（A）充分而不必要條件（）必要而不充分條件（）充分必要條件（10）如圖，曲線C為函數(shù)y=sinx0x（D）既不充分也不必要條件的圖象，甲粒子沿曲線C從A點(diǎn)向目的地B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，乙粒子沿2曲線C從B點(diǎn)向目的地A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。兩個(gè)粒子同時(shí)出發(fā)，且乙的水平速率為甲的2倍，當(dāng)其中一個(gè)粒子先到達(dá)目的地時(shí)，另一個(gè)粒子隨之停止運(yùn)動(dòng)。在運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)甲粒子的坐標(biāo)為(,n)，乙粒子的坐標(biāo)為(u,v)，若記n?v=f(m)，則下列說法正確的是（）2（A）f(m)在區(qū)間,上是增函數(shù)（）（）f(m)f(m)恰有個(gè)零點(diǎn)2的最小值為-26（D）f(m)的圖象關(guān)于點(diǎn),0中心對(duì)稱第二部分（非選擇題共分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。（11）若拋物線（12）已知數(shù)列y=2px上任意一點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線x=?1的距離相等，則p=_________．2nn11a=()=S=_________．5滿足n*，S為其前項(xiàng)和。若na54，則nn2（13）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?ABCD中，點(diǎn)E為棱CD的中點(diǎn)，點(diǎn)1111F為底面ABCD內(nèi)一點(diǎn)，給出下列三個(gè)論斷：①1F⊥②1F=3S△=2△③以其中的一個(gè)論斷作為條件，另一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題：_______．（14）調(diào)查顯示，垃圾分類投放可以帶來約0.34元千克的經(jīng)濟(jì)效益，為激勵(lì)居民垃圾分類，某市準(zhǔn)備給每個(gè)家庭發(fā)放一張積分卡，每分類投放積分1分，若一個(gè)家庭一個(gè)月內(nèi)垃圾分類投放總量不低于100kg，則額外獎(jiǎng)勵(lì)x分（x為正整數(shù)）。月底積分會(huì)按照1元分進(jìn)行自動(dòng)兌換．x=10①當(dāng)時(shí)，若某家庭某月產(chǎn)生120kg生活垃圾，該家庭該月積分卡能兌換________②為了保證每個(gè)家庭每月積分卡兌換的金額均不超過當(dāng)月垃圾分類投放帶來的收益的40%x的最大值為________．（15）已知函數(shù)f(x)=2x?a??3，給出下列四個(gè)結(jié)論：①若a=1，則函數(shù)fx至少有一個(gè)零點(diǎn)；()()fx②存在實(shí)數(shù)a,k，使得函數(shù)無零點(diǎn)；③若a0，則不存在實(shí)數(shù)k，使得函數(shù)fx()有三個(gè)零點(diǎn)；()fx有兩個(gè)零點(diǎn)．④對(duì)任意實(shí)數(shù)a，總存在實(shí)數(shù)k使得函數(shù)其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是________．三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（16）（本小題3在△ABC中，aB+（Ⅰ）求A的大??；b=c．2（Ⅱ）再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得△ABC存在且唯一確定、求BC邊上高線的長(zhǎng)．321條件①：B=，b=1；14條件②：a=2，c=23；c=3條件③：b=3，．注：如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答給分．（17）（本小題如圖，四邊形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，AB=DE=1，AD=PA=2，點(diǎn)F在棱PA上．（I）求證：BF//平面CDE；（Ⅱ）求二面角C?PE?A的余弦值；1（Ⅲ）若點(diǎn)F到平面PCE的距離為，求線段AF的長(zhǎng)．3（18）（本小題2021年是北京城市軌道交通新線開通的大年，開通線路的條、段數(shù)為歷年最多．12月日首班車起，地鐵號(hào)線一期開通試運(yùn)營(yíng)。地鐵19號(hào)線一期全長(zhǎng)約22公里，共設(shè)座車站，此次開通牡丹園、積水潭、牛街、草橋、新發(fā)地、新宮共6座車站。在試運(yùn)營(yíng)期間，地鐵公司隨機(jī)選取了乘坐號(hào)線一期的名乘客，記錄了他們的乘車情況，得到下表（單位：人）：下車站牡丹園積水潭牛街草橋新發(fā)地新宮合計(jì)上車站牡丹園125576413327782460積水潭牛街208124草橋1349916521638新發(fā)地新宮1053335242519合計(jì)3636562621200（Ⅰ）在試運(yùn)營(yíng)期間，從在積水潭站上車的乘客中任選一人，估計(jì)該乘客在牛街站下車的概率；（Ⅱ）在試運(yùn)營(yíng)期間，從在積水潭站上車的所乘客中隨機(jī)選取三人，設(shè)其中在牛街站下車的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列以及數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）為了研究各站客流量的相關(guān)情況，用表示所有在積水潭站上下車的乘客的上、下車情況，“=1”表示上11車，“=0”表示下車。相應(yīng)地，用,分別表示在牛街，草橋站上、下車情況，直接寫出方差，，123123大小關(guān)系。（19）（本小題x22y223已知橢圓C:+=ab0)的離心率為，以橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形周長(zhǎng)為45．a(chǎn)b2（Ⅰ）求橢圓C的方程；y=+m(0)與橢圓C,ByPABAB的垂直平分線與交于點(diǎn)（Ⅱ）直線交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，線段MyN,O為坐標(biāo)原點(diǎn)。如果=MNP成立，求的值．k，與軸交于點(diǎn)（20）（本小題e+ax已知函數(shù)f(x)=?1，a0．（I）當(dāng)a=1時(shí)，①求曲線y=()x=0fx處的切線方程；在()fx(0+)上有唯一極大值點(diǎn)；②求證：在()fx（Ⅱ沒有零點(diǎn)，求的取值范圍．a(chǎn)（21）（本小題a如果無窮數(shù)列是等差數(shù)列，且滿足：n①i,jN*,kN*，使得aa=a；ijk②kN,i,jN*，使得aa=a，*ijka是“H數(shù)列”．則稱數(shù)列n（I）下列無窮等差數(shù)列中，是“H數(shù)列的為______；（直接寫出結(jié)論）a：，，，1nb024：，，，ncn000：，，，d：-1，，，na1且公差dNaHZ（Ⅱ）證明：若數(shù)列是“數(shù)列”；ndN*a為常數(shù)，求的所有通項(xiàng)公式．naH（Ⅲ）若數(shù)列是“數(shù)列且其公差n參考答案一、選擇題（共小題，每小題4分，共（1A（6B（2B（7C（3D（8D（4C（9B（5A（10B二、填空題（共5小題，每小題5分，共（11）2（12）（131F⊥BE，則△=2△；若△=2△，則1F⊥.（14）①13②36（15）①②④三、解答題（共6小題，共（16解：（）在△ABC中，3因?yàn)閍cosB+b=c,23所以由正弦定理可得sinAB+sinB=sinC.2因?yàn)锳+B+C=，所以sinC=sin(A+B)=sinAB+AsinB.3sinB=AsinB.所以2在△中，sinB0，3所以A=，所以A=.┄┄┄┄┄┄分26（Ⅱ）選條件①：32114因?yàn)樵凇髦校珺=，7所以sinB=1?cos2B=因?yàn)锳+B+C=，.1412321143721所以sinCsin(AB)sinABAsinB=+=+=+=.2147設(shè)邊上高線的長(zhǎng)為h，則217217h=bsinC=1=.┄┄┄┄┄┄分選條件②：△ABC不唯一.選條件③：由余弦定理得a2=b2+c2?bcA=9+3?233cos=3，6所以a=3.所以△ABC為等腰三角形，C=A=.6設(shè)邊上高線的長(zhǎng)為h，則1232h=bsinC=3=.┄┄┄┄┄┄分（17解：（）證明：在矩形ABCD中，AB//CD.因?yàn)锳B平面，CD平面，所以AB//平面.⊥平面ABCD，⊥平面ABCD，因?yàn)樗訮A//DE因?yàn)镻A平面，所以PA//平面.平面，平面，平面，又因?yàn)樗云矫鍼AB//平面.平面，.因?yàn)樗訠F//平面.⊥平面ABCD，平面ABCD，ABCD，┄┄┄┄┄┄4分（Ⅱ）因?yàn)椤?，?所以又因?yàn)锳BCD是矩形，⊥，所以AD,AB,PA兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)?，則C0)，P(0,2)，E(0,，所以CE=(，=.設(shè)平面PEC的一個(gè)法向量為n=(x,y,z)，則nCE?x+=z即2y?z=0.n=令x=2，則y=1，z=2.于是n=2).取平面的法向量為mnm=0)2.23則cosm,===.|m||n|14+1+4由圖可知二面角CPEA為銳角，??2所以二面角CPEA的余弦值是??.┄┄┄┄┄┄分3（Ⅲ）令線段的長(zhǎng)為t，則F(0,t)，t[0,2].CF=(t)，所以CFn??+22tt?4因?yàn)辄c(diǎn)F到平面的距離d===.|n|4+1+43t?413所以=，即t?4=1.335解得t=或t=（舍）.2232所以線段的長(zhǎng)為.┄┄┄┄┄┄分（18解：（）設(shè)選取的乘客在積水潭站上車、在牛街站下車為事件A，由已知，在積水潭站上車的乘客有60人，其中在牛街站下車的乘客有20人，206013所以P(A)==.┄┄┄┄┄┄3分（Ⅱ）由題意可知，X2,3.=313827P(X=0)=1?=；21212P(X==C1=；3332712323627P(X=2)=C2=；3313127P(X===.隨機(jī)變量X的分布列為XP01238271227627127所以隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為8271227627127EX=0+1+2+3=1.┄┄┄┄┄┄分┄┄┄┄┄┄分（Ⅲ）D.321（19解：（Ⅰ）由題設(shè)，e=ca32=4a2+b2=45，，解得a2，=b=1，x2所以橢圓C的方程為+y2=1.┄┄┄┄┄┄4分4x2+y2=（Ⅱ4得(4k2+x2+8kmx+4m2?4=0，y=kx+m由=(8km)2?4(4k2+1)(4m2?4)0，得4k2m2?+10.8km設(shè)A(x,y)，B(x,y)，則x+x=?，1122124k2+12m4k+18k2my+y=k(x+x)+2m=?+2m=.12124k2+121+x24km所以點(diǎn)M的橫坐標(biāo)xM==?，24k+121+y2m縱坐標(biāo)yM==.24k2+1m1=?x+k4km.所以直線MN的方程為y?4k2+14k+123m4k+1令x0，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)=NyN=?23m.所以N0,?4k2+1因?yàn)镻(0,m)，所以點(diǎn)N、點(diǎn)P在原點(diǎn)兩側(cè).=MNO=OMN因?yàn)镸OP2MNP，所以，所以O(shè)M=ON.4km2m216km2+m22222=?+=又因?yàn)镺M，4k2+14k2+1(4k+23m9m22=?=ON，4k2+1(4k2+216k2m22+m29m2所以=，(4k+2(4k2+2解得16k2+1=9，22所以k=.┄┄┄┄┄┄分（20xex+1?xex(ex+2解：（Ⅰa1，則=f(x)=?1，f(x)=.ex+11+1+212①在x0處，=f(0)==，f(0)=?1.1y=x?1.所以曲線y=f(x)在x0處的切線方程為=┄┄┄┄┄┄4分2②令g(x)=ex+1?xex，g(x)=?xex，在區(qū)間(0,+)上，g(x)0，則g(x)在區(qū)間(0,+)上是減函數(shù).又g=10,g(2)=?e2+10,，所以g(x)在(0,+)上有唯一零點(diǎn)x0.f(x)與f(x)的情況如下：x(0,x0)x0(x0,+)f(x)f(x)＋0－極大值所以f(x)在(0,+)上有唯一極大值點(diǎn)x0.ax?e?a┄┄┄┄┄┄9分x（Ⅱ）f(x)=，ex+a令h(x)=ex+a?ax，則h(x)exa.=?①若a0，則h(x)0，h(x)在R上是增函數(shù).11因?yàn)閔=(ea?+a0，h=e0，a所以h(x)恰有一個(gè)零點(diǎn)x0.x=ln(?a).令e0代入h(x0)=0，得?a+a?aln(?a)=0，=?1.+a=0，得0解得a所以當(dāng)a=?1時(shí)，h(x)f(x)無零點(diǎn)，符合題意.的唯一零點(diǎn)為0，此時(shí)②若a0，此時(shí)f(x)的定義域?yàn)镽.當(dāng)xlna時(shí)，h(x)0，h(x)在區(qū)間(?,lna)上是減函數(shù)；當(dāng)xlna時(shí)，h(x)0，h(x)在區(qū)間a,+)上是增函數(shù).所以h(x)min=h(lna)=2a?alna.又h(0)=1+a0，由題意，當(dāng)2aalna0，即?0ae2時(shí)，無零點(diǎn)，符合題意.f(x)綜上，a的取值范圍是{?（21.┄┄┄┄┄┄分┄┄┄┄┄┄5分解：（）a}，{c}.nn（Ⅱd=0，則由①可知a2=a，所以a=0Z或a=1Z，且公差d=0N.1111以下設(shè)d0.由①，k,lN*,aa=a,aa=a，12k13l兩式作差得l?k)d=a?a=a(a?a)=ad，lk1321因?yàn)閐0，所以1=l?kZ.m,nN*,aa=a,aa=a，由①，23m24n兩式作差得(n?m)d=a?a=a(a?a)=ad，nm2432因?yàn)閐0，所以2=n?mZ.因此，d=a?aZ.21若d0，則等差數(shù)列{a}是遞減數(shù)列，由①a為21a}中的項(xiàng)，因此，a21≤a，1nn解得0≤1≤1，由1Z且公差dZ，所以1=0或1，d?1，a=a+d≤1+3(?=?2，≤4124a}中的項(xiàng)，且，≥a2(2)2=4a41由①，a為n這與等差數(shù)列{n}遞減矛盾，因此，d0不成立.綜上，1Z且公差dN.┄┄┄┄┄┄分（Ⅲ）因?yàn)楣頳N*，所以d≥1，即{n}