第04講 一元一次不等式（組）的實際應用（知識解讀+真題演練+課后鞏固）（解析版）

第04講一元一次不等式（組）的實際應用能夠用一元一次不等式解決一些簡單的實際問題熟能能夠用一元一次不等式組解決實際問題知識點一：根據(jù)實際問題列出一元一次不等式；知識點二：積分、分配和行程問題積分問題分類問題行程問題，常用等量關系：路程=速度×時間知識點三：經濟與方案問題1.經濟問題：常見等量關系：利潤=售價-成本.利潤率=（售價-成本）/成本X100%.售價=成本X（1+利潤率）2.方案問題【題型1：根據(jù)實際問題列一元一次不等式】【典例1】（2023春?西安月考）“x的3倍與2的差是正數(shù)”用不等式可以表示為（）A．3x﹣2＞0 B．（3+2）x＞0 C．3x﹣2≥0 D．3x+2＜0【答案】A【解答】解：根據(jù)題意得：3x﹣2＞0．故選：A．【變式1-1】（2023春?定遠縣校級月考）根據(jù)“x的2倍與5的和小于3”列出的不等式是（）A．2x+5≥3 B．2x+5≤3 C．2x+5＞3 D．2x+5＜3【答案】D【解答】解：根據(jù)題意可得：2x+5＜3．故選：D．【變式1-2】（2023?邯山區(qū)校級一模）語句“x的與x的差不超過3”可以表示為（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：“x的與x的差不超過3”，用不等式表示為x﹣x≤3．故選：B．【變式1-3】（2023春?桐柏縣校級月考）“m的2倍與8的和不大于2與m的差”用不等式表示為．【答案】2m+8≤2+m．【解答】解：由題意可列不等式為：2m+8≤2+m．故答案為：2m+8≤2+m．【題型2：積分問題】【典例2】（2022秋?洪江市期末）我校舉行數(shù)學競賽，一共有25道題，滿分100分，每答對一題得4分，答錯扣一分，不答記0分．（1）某同學只有一道題未作答，最后滿分86分，則該生一共答對多少題？（2）若規(guī)定參賽者每題必須作答，得分大于或等于90分，才可以評為一等獎，則參賽者至少答對多少題才能獲評一等獎？【答案】（1）該生一共答對了22道題；（2）參賽者至少需答對23道題才能獲評一等獎．【解答】解：（1）設該生一共答對了x道題，則答錯了25﹣x﹣1＝（24﹣x）道題，由題意可得：4x﹣（24﹣x）×1＝86，解得x＝22，答：該生一共答對了22道題；（2）設參賽者需答對a道題才能獲評一等獎，由題意可得：4a﹣（25﹣a）≥90，解得a≥23，答：參賽者至少需答對23道題才能獲評一等獎．【變式2-1】（2023春?定遠縣校級月考）某大學舉辦“學習強國”知識競賽，規(guī)定答對一題得20分，答錯一題扣10分，在8道必答題中，得分不低于100分即可進入下一輪，冉冉進入了下一輪，則冉冉答錯題數(shù)最多為2道．【答案】2道．【解答】解：設冉冉答錯了x道題，則答對了（8﹣x）道題，根據(jù)題意得：20（8﹣x）﹣10x≥100，解得：x≤2，∴x的最大值為2，∴冉冉答錯題數(shù)最多為2道．故答案為：2道．【變式2-2】（2022春?唐河縣期中）為了慶祝中國共產黨的生日，增進廣大師生對中國共產黨發(fā)展歷程的了解，加強同學們愛國愛黨的意識，某校開展了題為“學黨史，慶黨生，銘黨恩，跟黨走”的知識競賽，本次知識競賽共25題，答對一題得10分，答錯一題或不答題扣5分，設小凌同學在這次競賽中答對了x道題．（1）根據(jù)所給的條件，補全表格：答題情況題數(shù)（題）每題得分（分）得分（分）答對x1010x答錯或不答（25﹣x）﹣5﹣5（25﹣x）（2）若小凌同學的競賽成績不低于150分，則小凌至少要答對幾道題？【答案】（1）10x，（25﹣x），﹣5，﹣5（25﹣x）；（2）小凌至少要答對19道題．【解答】解：（1）∵本次知識競賽共25題，且小凌同學在這次競賽中答對了x道題，∴答錯或不答（25﹣x）道題；又∵答對一題得10分，答錯一題或不答題扣5分，∴答對題目的得分為10x分，答錯或不答題目的得分為﹣5（25﹣x）分．故答案為：10x，（25﹣x），﹣5，﹣5（25﹣x）；（2）根據(jù)題意得：10x﹣5（25﹣x）≥150，解得：x≥，又∵x為整數(shù)，∴x的最小值為19．答：小凌至少要答對19道題．【變式2-3】（2022秋?雨花區(qū)期中）為了慶祝中共二十大勝利召開，雅禮某初中舉行了以“二十大知多少”為主題的知識競賽，一共有25道題，滿分100分，每一題答對得4分，答錯扣1分，不答得0分．（1）若某參賽同學有2道題沒有作答，最后他的總得分為82分，則該參賽同學一共答對了多少道題？（2）若規(guī)定參賽者每道題都必須作答且總得分大于或等于92分才可以被評為“二十大知識小達人”，則參賽者至少需答對多少道題才能被評為“二十大知識小達人”？【答案】（1）21道；（2）24道．【解答】解：（1）設該參賽同學一共答對了x道題，則答錯了（25﹣2﹣x）道題，依題意得：4x﹣（25﹣2﹣x）＝82，解得：x＝21．答：該參賽同學一共答對了21道題．（2）設參賽者需答對y道題才能被評為“二十大知識小達人”，則答錯了（25﹣y）道題，依題意得：4y﹣（25﹣y）≥92，解得：y≥，又∵y為正整數(shù)，∴y的最小值為24．答：參賽者至少需答對24道題才能被評為“二十大知識小達人”．【題型3：分配問題】【典例3】（2022春?番禺區(qū)期末）把一部分書分給幾名同學，如果每人分3本，則余8本；如果前面的每名同學分5本，那么最后一人就分不到3本（包含分不到書的情況），這些書有多少本？共有多少人？【答案】這些書有26本，共有6人．【解答】解：設共有x人，則這些書有（3x+8）本，依題意得：，解得：5＜x≤．又∵x為正整數(shù)，∴x＝6，∴3x+8＝3×6+8＝26．答：這些書有26本，共有6人．【變式3-1】（2021春?高明區(qū)校級期末）現(xiàn)在有住宿生若干名，分住若干間宿舍，若每間住4人，則還有19人無宿舍?。蝗裘块g住6人，則有一間宿舍不空也不滿．若設宿舍間數(shù)為x，則可以列得不等式組為．【答案】【解答】解：∵若每間住4人，則還有19人無宿舍住，∴學生總人數(shù)為（4x+19）人，∵一間宿舍不空也不滿，∴學生總人數(shù)﹣（x﹣1）間宿舍的人數(shù)在1和5之間，∴列的不等式組為：，故答案為：．【變式3-2】（2022春?嘉定區(qū)校級期中）某校學生志愿服務小組在“學雷鋒”活動中購買了一批牛奶到敬老院慰問老人．如果分給每位老人4盒牛奶，那么剩下28盒牛奶；如果分給每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒．問該敬老院的老人至少有多少人？【答案】30人．【解答】解：設該敬老院的老人有x人，依題意，得：，解得：29＜x≤32，又∵x為正整數(shù)，∴x可以取的最小值為30．答：該敬老院的老人至少有30人．【變式3-3】（2020春?崇川區(qū)校級期中）啟秀中學初一年級組計劃將m本書獎勵給本次期中考試取得優(yōu)異成績的n名同學，如果每人分4本，那么還剩下78本；如果每人分8本，那么最后一人分得的書不足8本，但不少于4本，最終，年級組經討論后決定，給這n名同學每人發(fā)6本書，那么將剩余多少本書？【答案】38本．【解答】解：依題意，得：，解得：＜n≤．又∵n為正整數(shù)，∴n＝20，∴m＝4n+78＝158，∴m﹣6n＝158﹣6×20＝38．答：將剩余38本書【題型4：行程問題】【典例4】（2019春?番禺區(qū)期末）張翔上午7：30出發(fā)，從學校騎自行車去縣城，路程全長20km，中途因道路施工步行一段路他步行的平均速度是5km/h．（1）若張翔騎車的平均速度是15km/h，當天上午9：00到達縣城，則他騎車與步行各用多少時間？（2）若張翔必須在當天上午9：00之前趕到縣城，他的步行平均速度不變，則他騎車的平均速度應在什么范圍內？【答案】（1）騎車用了1.25小時，步行用了0.25小時（2）的平均速度大于15km/h【解答】解：（1）設他騎車用了x小時，步行用了y小時，依題意得：，解得，答：他騎車用了1.25小時，步行用了0.25小時，（2）設騎車的平均速度為vkm/h，依題意得：1.25v+5×0.25＞20，解得：v＞15，答：騎車的平均速度大于15km/h【變式4-1】（2020春?嘉祥縣期末）某人要完成2.1千米的路程，并要在18分鐘內到達，已知他每分鐘走90米．若跑步每分鐘可跑210米，問這人完成這段路程，至少要跑（）A．3分鐘 B．4分鐘 C．4.5分鐘 D．5分鐘【答案】B【解答】解：設這人跑了x分鐘，則走了（18﹣x）分鐘，根據(jù)題意得：210x+90（18﹣x）≥2100，解得：x≥4，答：這人完成這段路程，至少要跑4分鐘．故選：B．【變式4-2】（2021春?市南區(qū)校級期中）甲、乙兩地相距45km，小李要從甲地到乙地辦事，若他以7km/h的速度可按時到達，現(xiàn)在小李走了4h后因有事停留了0.5h，為了不遲到，小李后來的速度至少是多少？【解答】解：設小李后來的速度為xkm/h，由題意得：4×7+（﹣4﹣0.5）x≥45，解得：x≥8，答：為了不遲到，小李后來的速度至少是8km/h【題型5：經濟問題】【典例5】（2022秋?碑林區(qū)校級期末）新年到來之際，百貨商場進行促銷活動，某種商品進價1000元，出售時標價為1400元，本次打折銷售要保證利潤不低于5%，則最多可打（）A．六折 B．七折 C．七五折 D．八折【答案】C【解答】解：設該商品打x折銷售，依題意得：1400×﹣1000≥1000×5%，解得：x≥7.5，∴該商品最多可打七五折．故選：C．【變式5-1】21.（2022?牡丹江一模）某種商品每件的進價為120元，商場按進價提高50%標價，為增加銷量，準備打折銷售，但要保證利潤率不低于5%，則至多可以打_______折（）A．7 B．7.5 C．8 D．8.5【答案】A【解答】解：設打x折，由題意可得：120（1+50%）×﹣120≥120×5%，解得x≥7，即至多打7折，故選：A．【變式5-2】（2022春?上蔡縣期中）某種商品進價為20元，標價為30元出售，商場規(guī)定可以打折銷售，但其利潤率不能少于5%這種商品最多可以按幾折銷售？設這種商品打x折銷售，則下列符合題意的不等式是（）A．30x﹣20≥20×5% B．30x﹣20≤20×5% C．30×﹣20≥20×5% D．30×﹣20≤20×5%【答案】C【解答】解：設這種商品可以按x折銷售，則售價為30×，那么利潤為：30×﹣20，根據(jù)題意可得：30×﹣20≥20×5%，故選：C．【典例6】（2023?大連模擬）學校為了獎勵在“詩詞大賽”中獲獎同學，準備購買甲、乙兩種獎品，已知購買1件甲獎品、4件乙獎品，共需240元；購買2件甲獎品、1件乙獎品，共需165元．（1）求每件甲獎品和每件乙獎品各多少元？（2）如果學校準備購買甲、乙兩種獎品共40件，總費用不超過2140元，那么至少購買多少件乙獎品？【答案】（1）每件甲獎品的價格是60元，每件乙獎品的價格是45元；（2）至少購買18件乙獎品．【解答】解：（1）設每件甲獎品的價格是x元，每件乙獎品的價格是y元，根據(jù)題意得：，解得：．答：每件甲獎品的價格是60元，每件乙獎品的價格是45元；（2）設購買m件乙獎品，則購買（40﹣m）件甲獎品，根據(jù)題意得：60（40﹣m）+45m≤2140，解得：m≥，又∵m為正整數(shù)，∴m的最小值為18．答：至少購買18件乙獎品．【變式6-1】（2023?高新區(qū)模擬）某文具店經銷甲、乙兩種筆記本，每次購買同一種筆記本的單價相同，購進筆記本的具體信息如表：進貨批次甲種筆記本數(shù)量（單位：本）乙種筆記本數(shù)量（單位：本）購買總費用（單位：元）第一次1520640第二次3025980（1）求甲、乙兩種筆記本的購買單價；（2）若第三次計劃用不超過920元購買甲、乙兩種筆記本共50本，求至少購買甲種筆記本多少本？【答案】（1）甲種筆記本的購買單價為16元/本，乙種筆記本的購買單價為20元/本；（2）至少購買甲種筆記本20本．【解答】解：（1）設甲種筆記本的購買單價為x元/本，乙種筆記本的購買單價為y元/本，根據(jù)題意得：，解得：．答：甲種筆記本的購買單價為16元/本，乙種筆記本的購買單價為20元/本；（2）設購買甲種筆記本m本，則購買乙種筆記本（50﹣m）本，根據(jù)題意得：16m+20（50﹣m）≤920，解得：m≥20，∴m的最小值為20．答：至少購買甲種筆記本20本．【變式6-2】（2023?蜀山區(qū)校級模擬）某超市現(xiàn)有甲、乙兩種商品，已知一個甲商品比一個乙商品貴20元，購買甲、乙兩種型號各10個共需1760元．（1）求甲、乙兩種商品的單價各是多少元？（2）為吸引顧客，該超市準備對甲商品進行打折促銷活動．已知甲商品的進價為49元/個，為保證打折后利潤率不低于20%，至多可打幾折．【答案】（1）甲種商品的單價是98元，乙種商品的單價是78元；（2）至多可打6折．【解答】解：（1）設乙種商品的單價是x元，則甲種商品的單價是（x+20）元，由題意得：10（x+20）+10x＝1760，解得：x＝78，∴x+20＝78+20＝98，答：甲種商品的單價是98元，乙種商品的單價是78元；（2）設甲商品可打a折，由題意得：98×0.1a﹣49≥49×20%，解得：a≥6，答：至多可打6折【題型6：方案問題】【典例7】（2023?林州市模擬）某初級中學為了提高教職工的身體素質，舉辦了“堅持鍛煉，活力無限”的健身活動，并準備購買一些體育器材為活動做準備．已知購買2副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需要350元，購買6副乒乓球拍和3副羽毛球拍共需要420元．（1）購買一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？（2）已知該中學需要購買兩種球拍共80副，羽毛球拍的數(shù)量不超過40副．現(xiàn)商店推出兩種購買方案，方案A：購買一副羽毛球拍贈送一副乒乓球拍；方案B：按總價的八折付款．試說明選擇哪種購買方案更實惠．【答案】（1）購買一副乒乓球拍需35元，一副羽毛球需70元；（2）當購買羽毛球拍的數(shù)量少于20副時，選項方案B更實惠；當當購買羽毛球拍的數(shù)量等于20副時，選項兩種購買方案所需總費用相同；當購買羽毛球拍的數(shù)量大于20副且不超過40副時，選項方案A更實惠．【解答】解：（1）設購買一副乒乓球拍需x元，一副羽毛球需y元，依題意得：，解得：．答：購買一副乒乓球拍需35元，一副羽毛球需70元．（2）設購買m（0＜m≤20且m為整數(shù)）副羽毛球拍，則選擇方案A所需總費用為70m+35（80﹣m）＝2800（元），選項方案B所需總費用為80%×[70m+35（80﹣m）]＝（28m+2240）（元）．當2800＞28m+2240時，m＜20，∵m＞0，∴0＜m＜20；當2800＝28m+2240時，m＝20；當2800＜28m+2240時，m＞20，∵m≤40，∴20＜m≤40．答：當購買羽毛球拍的數(shù)量少于20副時，選項方案B更實惠；當當購買羽毛球拍的數(shù)量等于20副時，選項兩種購買方案所需總費用相同；當購買羽毛球拍的數(shù)量大于20副且不超過40副時，選項方案A更實惠．【變式7】（2022?長垣市一模）書法是中華民族的文化瑰寶，是人類文明的寶貴財富，是我國基礎教育的重要內容．某學校準備為學生的書法課購買一批毛筆和宣紙，已知購買40支毛筆和100張宣紙需要280元；購買30支毛筆和200張宣紙需要260元．（1）求毛筆和宣紙的單價；（2）某超市給出以下兩種優(yōu)惠方案：方案A：購買一支毛筆，贈送一張宣紙；方案B：購買200張宣紙以上，超出的部分按原價打八折，毛筆不打折．學校準備購買毛筆50支，宣紙若干張（超過200張）．選擇哪種方案更劃算？請說明理由．【答案】（1）毛筆的單價為6元，宣紙的單價為0.4元；（2）當購買的宣紙數(shù)量超過200張不足450張時，選擇方案A更劃算；當購買的宣紙數(shù)量等于450張時，選擇兩方案所需費用相同；當購買的宣紙數(shù)量超過450張時，選擇方案B更劃算．【解答】解：（1）設毛筆的單價為x元，宣紙的單價為y元，依題意得：，解得：．答：毛筆的單價為6元，宣紙的單價為0.4元．（2）設購買宣紙m（m＞200）張．選擇方案A所需費用為50×6+0.4×（m﹣50）＝0.4m+280（元）；選擇方案B所需費用為50×6+0.4×200+0.4×0.8×（m﹣200）＝0.32m+316．當0.4m+280＜0.32m+316時，解得：m＜450，∴當200＜m＜450時，選擇方案A更劃算；當0.4m+280＝0.32m+316時，解得：m＝450，∴當m＝450時，選擇方案A和方案B所需費用一樣；當0.4m+280＞0.32m+316時，解得：m＞450，∴當m＞450時，選擇方案B更劃算．答：當購買的宣紙數(shù)量超過200張不足450張時，選擇方案A更劃算；當購買的宣紙數(shù)量等于450張時，選擇兩方案所需費用相同；當購買的宣紙數(shù)量超過450張時，選擇方案B更劃算．【典例8】（2023春?新城區(qū)校級月考）學校準備購進一批甲、乙兩種辦公桌若干張．若學校購進20張甲種辦公桌和15張乙種辦公桌共花費17000元，購買10張甲種辦公桌比購買5張乙種辦公桌多花費1000元．（1）求甲、乙兩種辦公桌每張各多少元；（2）若學校購買甲、乙兩種辦公桌共40張，甲種辦公桌數(shù)量不多于乙種辦公桌數(shù)量的3倍，且總費用不超過18400元，那么有幾種購買方案？【答案】（1）甲種辦公桌每張400元，乙種辦公桌每張600元；（2）3種方案．【解答】解：（1）設甲種辦公桌每張x元，乙種辦公桌每張y元，由題意可得，解得，∴甲種辦公桌每張400元，乙種辦公桌每張600元；（2）設購買甲種辦公桌m(xù)張，由題意可得，解得28≤m≤30，∵m取整數(shù)，∴m的取值為28或29或30，∴共有3種方案．【變式8-1】（2023春?長沙月考）某商店從批發(fā)商處購進甲、乙兩種產品，購進5件甲產品和8件乙產品需要成本170元，購進2件甲產品和4件乙產品需要成本80元．銷售時，每件甲產品售價為20元，每件乙產品售價為35元．（1）求每件甲產品和每件乙產品的成本價；（2）若商店從批發(fā)商處購進甲、乙兩種產品共100件，購進時總成本不超過1300元，且全部銷售完以后利潤不低于1580元，請問有幾種購進方案？【答案】（1）每件甲產品的成本價為10元，每件乙產品的成本價為15元；（2）有3種購進方案．【解答】解：（1）設每件甲產品的成本價為x元，每件乙產品的成本價為y元，，解之得：，答：每件甲產品的成本價為10元，每件乙產品的成本價為15元；（2）設商店從批發(fā)商處購進甲產品a件，則購進乙產品（100﹣a）件，，解之得：40≤a≤42，∵a為整數(shù)，∴a＝40，41，42，答：有3種購進方案．【變式8-2】（2022秋?長沙期中）我市在創(chuàng)建全國文明城市過程中，決定購買A，B兩種樹苗對某路段道路進行綠化改造，已知購買A種樹苗8棵，B種樹苗2棵，需要900元；購買A種樹苗5棵，B種樹苗4棵，需要700元．（1）求購買A，B兩種樹苗每棵各需多少元？（2）考慮到綠化效果和資金周轉，購進A種樹苗不能少于32棵，且用于購買這兩種樹苗的資金不能超過5750元，若購進這兩種樹苗共80棵，則有哪幾種購買方案？【解答】解：（1）設購買A種樹苗每棵需x元，購買B種樹苗每棵需y元，根據(jù)題意得：，解得，答：購買A種樹苗每棵需100元，購買B種樹苗每棵需50元；（2）設購買A種樹苗m棵，則購買B種樹苗（80﹣m）棵，∵購進A種樹苗不能少于32棵，且用于購買這兩種樹苗的資金不能超過5750元，∴，解得32≤m≤35，∵m是正整數(shù)，∴m可取32，33，34，35，∴有4種購買方案：①購買A種樹苗32棵，購買B種樹苗48棵，②購買A種樹苗33棵，購買B種樹苗47棵，③購買A種樹苗34棵，購買B種樹苗46棵，④購買A種樹苗35棵，購買B種樹苗45棵．1．（2021?攀枝花）某學校準備購進單價分別為5元和7元的A、B兩種筆記本共50本作為獎品發(fā)放給學生，要求A種筆記本的數(shù)量不多于B種筆記本數(shù)量的3倍，不少于B種筆記本數(shù)量的2倍，則不同的購買方案種數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解答】解：設購進A種筆記本為x本，則購進B種筆記本為（50﹣x）本，由題意得：，解得：33≤x≤37，∵x為正整數(shù)，∴x的取值為34，、35、36、37，則不同的購買方案種數(shù)為4種，故選：D．2．（2021?臺灣）美美和小儀到超市購物，且超市正在舉辦摸彩活動，單次消費金額每滿100元可以拿到1張摸彩券．已知美美一次購買5盒餅干拿到3張摸彩券；小儀一次購買5盒餅干與1個蛋糕拿到4張摸彩券．若每盒餅干的售價為x元，每個蛋糕的售價為150元，則x的范圍為下列何者？（）A．50≤x＜60 B．60≤x＜70 C．70≤x＜80 D．80≤x＜90【答案】B【解答】解：美美拿到3張彩券說明消費金額達到了300元，但是不足400元，小儀拿到了4張彩券說明消費金額達到了400元，但是不足500元，由此可得，，解得，60≤x＜70，故選：B．3．（2023?懷化）某中學組織學生研學，原計劃租用可坐乘客45人的A種客車若干輛，則有30人沒有座位；若租用可坐乘客60人的B種客車，則可少租6輛，且恰好坐滿．（1）求原計劃租用A種客車多少輛？這次研學去了多少人？（2）若該校計劃租用A、B兩種客車共25輛，要求B種客車不超過7輛，且每人都有座位，則有哪幾種租車方案？（3）在（2）的條件下，若A種客車租金為每輛220元，B種客車租金每輛300元，應該怎樣租車才最合算？【答案】（1）原計劃租用A種客車26輛，這次研學去了1200人；（2）該學校共有3種租車方案，方案1：租用5輛B種客車，20輛A種客車；方案2：租用6輛B種客車，19輛A種客車；方案3：租用7輛B種客車，18輛A種客車；（3）租用5輛B種客車，20輛A種客車最合算．【解答】解：（1）設原計劃租用A種客車x輛，則這次研學去了（45x+30）人，根據(jù)題意得：45x+30＝60（x﹣6），解得：x＝26，∴45x+30＝45×26+30＝1200．答：原計劃租用A種客車26輛，這次研學去了1200人；（2）設租用B種客車y輛，則租用A種客車（25﹣y）輛，根據(jù)題意得：，解得：5≤y≤7，又∵y為正整數(shù)，∴y可以為5，6，7，∴該學校共有3種租車方案，方案1：租用5輛B種客車，20輛A種客車；方案2：租用6輛B種客車，19輛A種客車；方案3：租用7輛B種客車，18輛A種客車；（3）選擇方案1的總租金為300×5+220×20＝5900（元）；選擇方案2的總租金為300×6+220×19＝5980（元）；選擇方案3的總租金為300×7+220×18＝6060（元）．∵5900＜5980＜6060，∴租用5輛B種客車，20輛A種客車最合算．4．（2022?內江）為貫徹執(zhí)行“德、智、體、美、勞”五育并舉的教育方針，內江市某中學組織全體學生前往某勞動實踐基地開展勞動實踐活動．在此次活動中，若每位老師帶隊30名學生，則還剩7名學生沒老師帶；若每位老師帶隊31名學生，就有一位老師少帶1名學生．現(xiàn)有甲、乙兩型客車，它們的載客量和租金如表所示：甲型客車乙型客車載客量（人/輛）3530租金（元/輛）400320學校計劃此次勞動實踐活動的租金總費用不超過3000元．（1）參加此次勞動實踐活動的老師和學生各有多少人？（2）每位老師負責一輛車的組織工作，請問有哪幾種租車方案？（3）學校租車總費用最少是多少元？【答案】（1）參加此次勞動實踐活動的老師有8人，參加此次勞動實踐活動的學生有247人；（2）一共有3種租車方案：租甲型客車3輛，租乙型客車5輛或租甲型客車4輛，租乙型客車4輛或租甲型客車5輛，租乙型客車3輛；（3）學校租車總費用最少是2800元．【解答】解：（1）設參加此次勞動實踐活動的老師有x人，參加此次勞動實踐活動的學生有（30x+7）人，根據(jù)題意得：30x+7＝31x﹣1，解得x＝8，∴30x+7＝30×8+7＝247，答：參加此次勞動實踐活動的老師有8人，參加此次勞動實踐活動的學生有247人；（2）師生總數(shù)為247+8＝255（人），∵每位老師負責一輛車的組織工作，∴一共租8輛車，設租甲型客車m輛，則租乙型客車（8﹣m）輛，根據(jù)題意得：，解得3≤m≤5.5，∵m為整數(shù)，∴m可取3、4、5，∴一共有3種租車方案：租甲型客車3輛，租乙型客車5輛或租甲型客車4輛，租乙型客車4輛或租甲型客車5輛，租乙型客車3輛；（3）∵7×35＝245＜255，8×35＝280＞255，∴租車總費用最少時，至少租8輛車，設租甲型客車m輛，則租乙型客車（8﹣m）輛，由（2）知：3≤m≤5.5，設學校租車總費用是w元，w＝400m+320（8﹣m）＝80m+2560，∵80＞0，∴w隨m的增大而增大，∴m＝3時，w取最小值，最小值為80×3+2560＝2800（元），答：學校租車總費用最少是2800元．5．（2022?遂寧）某中學為落實《教育部辦公廳關于進一步加強中小學生體質管理的通知》文件要求，決定增設籃球、足球兩門選修課程，需要購進一批籃球和足球．已知購買2個籃球和3個足球共需費用510元；購買3個籃球和5個足球共需費用810元．（1）求籃球和足球的單價分別是多少元；（2）學校計劃采購籃球、足球共50個，并要求籃球不少于30個，且總費用不超過5500元．那么有哪幾種購買方案？【答案】（1）籃球的單價為120元，足球的單價為90元；（2）方案一：采購籃球30個，采購足球20個；方案二：采購籃球31個，采購足球19個；方案三：采購籃球32個，采購足球18個；方案四：采購籃球33個，采購足球17個．【解答】解：（1）設籃球的單價為a元，足球的單價為b元，由題意可得：，解得，答：籃球的單價為120元，足球的單價為90元；（2）設采購籃球x個，則采購足球為（50﹣x）個，∵要求籃球不少于30個，且總費用不超過5500元，∴，解得30≤x≤33，∵x為整數(shù)，∴x的值可為30，31，32，33，∴共有四種購買方案，方案一：采購籃球30個，采購足球20個；方案二：采購籃球31個，采購足球19個；方案三：采購籃球32個，采購足球18個；方案四：采購籃球33個，采購足球17個．1．（2023?濱江區(qū)一模）如圖，用40m長的籬笆圍成一邊靠墻（墻足夠長）的矩形ABCD菜園，若6m≤AB≤10m，則BC的取值范圍為20m≤BC≤28m．【答案】20m≤BC≤28m．【解答】解：根據(jù)題意可得：2AB+BC＝40m，∴，∵6m≤AB≤10m，∴，解得：20m≤BC≤28m，∴BC的取值范圍為：20m≤BC≤28m，故答案為：20m≤BC≤28m．2．（2023春?河西區(qū)期末）把一些書分給幾名同學，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同學分5本，那么最后一人就分不到3本，那么這些書共有26本．【答案】見試題解答內容【解答】解：設共有x名學生，則圖書共有（3x+8）本，由題意得：，解得：5＜x≤6.5，∵x為非負整數(shù)，∴x＝6．∴這些書共有：3×6+8＝26（本）．故答案為：26．3．（2023春?正陽縣期末）在我市中小學標準化建設工程中，某學校計劃購進一批電腦和電子白板，經過市場考察得知，購買1臺電腦和2臺電子白板需要3.5萬元，購買2臺電腦和1臺電子白板需要2.5萬元．（1）求每臺電腦、每臺電子白板各多少萬元？（2）根據(jù)學校實際，需購進電腦和電子白板共30臺，總費用不超過30萬元，但不低于28萬元，該校有幾種購買方案？（3）上面的哪種方案費用最低？按費用最低方案購買需要多少錢？【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）設每臺電腦x萬元，每臺電子白板y萬元，根據(jù)題意得：解得：，答：每臺電腦0.5萬元，每臺電子白板1.5萬元．（2）設需購進電腦a臺，則購進電子白板（30﹣a）臺，則，解得：15≤a≤17，即a＝15、16、17．故共有三種方案：方案一：購進電腦15臺，電子白板15臺；方案二：購進電腦16臺，電子白板14臺；方案三：購進電腦17臺，電子白板13臺．（3）方案一：總費用為15×0.5+1.5×15＝30（萬元）；方案二：總費用為16×0.5+1.5×14＝29（萬元），方案三：17×0.5+1.5×13＝28（萬元），∵28＜29＜30，∴選擇方案三最省錢，即購買電腦17臺，電子白板13臺最省錢．需要28萬元．4．（2023?安化縣二模）某禮品店準備購進A，B兩種紀念品，每個A種紀念品比每個B種紀念品的進價少20元，購買9個A種紀念品所需的費用和購買7個B種紀念品所需的費用一樣，請解答下列問題：（1）A，B兩種紀念品每個進價各是多少元？（2）若該禮品店購進B種紀念品的個數(shù)比購進A種紀念品的個數(shù)的2倍還多5個，且A種紀念品不少于18個，購進A，B兩種紀念品的總費用不超過5450元，則該禮品店有哪幾種進貨方案？【答案】（1）A種紀念品每個的進價是70元，B種紀念品每個的進價是90元；（2）該禮品店共有3種進貨方案，方案1：購進A種紀念品18個，B種紀念品41個；方案2：購進A種紀念品19個，B種紀念品43個；方案3：購進A種紀念品20個，B種紀念品45個．【解答】解：（1）設A種紀念品每個的進價是x元，B種紀念品每個的進價是y元，依題意得：，解得：．答：A種紀念品每個的進價是70元，B種紀念品每個的進價是90元．（2）設購進A種紀念品m個，則購進B種紀念品（2m+5）個，依題意得：，解得：18≤m≤20．又∵m為正整數(shù)，∴m可以為18，19，20，∴該禮品店共有3種進貨方案，方案1：購進A種紀念品18個，B種紀念品41個；方案2：購進A種紀念品19個，B種紀念品43個；方案3：購進A種紀念品20個，B種紀念品45個．5．（2023春?臨高縣期末）接種新冠病毒疫苗，建立全民免疫屏障，是戰(zhàn)勝病毒的重要手段．北京科興中維需運輸一批疫苗到我市疾控中心，據(jù)調查得知，2輛A型冷鏈運輸車與3輛B型冷鏈運輸車一次可以運輸600盒；5輛A型冷鏈運輸車與6輛B型冷鏈運輸車一次可以運輸1350盒．（1）求每輛A型車和每輛B型車一次可以分別運輸多少盒疫苗．（2）計劃用兩種冷鏈運輸車共12輛運輸這批疫苗，A型車一次需費用5000元，B型車一次需費用3000元．若運輸物資不少于1500盒，且總費用小于54000元．請你列出所有運輸方案，并指出哪種方案所需費用最少，最少費用是多少？【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）設每輛A型車和每輛B型車一次可以分別運輸x盒疫苗、y盒疫苗，由題意可得，，解得，答：每輛A型車和每輛B型車一次可以分別運輸150盒疫苗、100盒疫苗；（2）設A型車a輛，則B型車（12﹣a）輛，由題意可得，，解得6≤a＜9，∵a為正整數(shù)，∴a＝6，7，8，∴共有三種運輸方案，方案一：A型車6輛，B型車6輛，方案二：A型車7輛，B型車5輛，方案三：A型車8輛，B型車4輛，∵A型車一次需費用5000元，B型車一次需費用3000元，計劃用兩種冷鏈運輸車共12輛運輸這批疫苗，∴A型車輛數(shù)越少，費用越低，∴方案一所需費用最少，此時的費用為5000×6+3000×6＝48000（元），答：方案一：A型車6輛，B型車6輛，方案二：A型車7輛，B型車5輛，方案三：A型車8輛，B型車4輛，其中方案一所需費用最少，最少費用是48000元．6．（2023春?紅安縣期末）某市教育局對某鎮(zhèn)實施“教育精準扶貧”，為某鎮(zhèn)建了中、小兩種圖書館．若建立3個中型圖書館和5個小型圖書館需要30萬元，建立2個中型圖書館和3個小型圖書館需要19萬元．（1）建立一個中型圖書館和一個小型圖書館各需要多少萬元？（2）現(xiàn)要建立中型圖書館和小型圖書館共10個，小型圖書館的數(shù)量不多于中型圖書館的數(shù)量，且總費用不超過45萬元，請問有幾種方案？哪種方案所需費用最少？【答案】（1）建立一個中型圖書館需要5萬元，一個小型圖書館需要3萬元；（2）有3種建立方案，方案1所需費用最少．【解答】解：（1）設建立一個中型圖書館需要x萬元，一個小型圖書館需要y萬元，依題意得：，解得：．答：建立一個中型圖書館需要5萬元，一個小型圖書館需要3萬元．（2）設建立m個中型圖書館，則建立（10﹣m）個小型圖書館，依題意得：，解得：5≤m≤．又∵m為整數(shù)，∴m可以取5，6，7，∴共有3種建立方案，方案1：建立5個中型圖書館，5個小型圖書館，該方案所需費用為5×5+3×5＝40（萬元）；方案2：建立6個中型圖書館，4個小型圖書館，該方案所需費用為5×6+3×4＝42（萬元）；方案3：建立7個中型圖書館，3個小型圖書館，該方案所需費用為5×7+3×3＝44（萬元）．∵40＜42＜44，∴有3種建立方案，方案1所需費用最少．7．（2023春?東湖區(qū)校級期末）“文房四寶”是中國獨有的書法繪畫工具，即筆、墨、紙、硯，文房四寶之名，起源于南北朝時期．基本中學為了落實雙減政策，豐富學生的課后服務活動，開設了書法社團，計劃為學生購買甲、乙兩種型號“文房四寶”，經過調查得知：每套甲型號“文房四寶”的價格比每套乙型號的價格貴40元，買5套甲型號和10套乙型號共用1100元．（1）求每套甲、乙型號“文房四寶”的價格分別是多少？（2）若學校需購進甲、乙兩種型號“文房四寶”共120套，總費用不超過8600元，并且根據(jù)學生需求，要求購進乙型號“文房四寶”的數(shù)量必須低于甲型號“文房四寶”數(shù)量的3倍，問有幾種購買方案？最低費用是多少？【答案】（1）每套甲型號“文房四寶”的價格是100元，則每套乙型號“文房四寶”的價格是60元；（2）有5種購買方案；8440元．【解答】解：（1）設每套甲型號“文房四寶”的價格是x元，則每套乙型號“文房四寶”的價格是（x﹣40）元，由題意可得5x+10（x﹣40）＝1100，解得x＝100，x﹣40＝60．答：每套甲型號“文房四寶”的價格是100元，則每套乙型號“文房四寶”的價格是60元；（2）設需購進乙種型號“文房四寶”m套，則需購進甲種型號“文房四寶”（120﹣m）套，由題意可得：，解得85≤m＜90，又∵m為正整數(shù)，∴m可以取85，86，87，88，89；∴共有5種購買方案，方案1：購進35套甲型號“文房四寶”，85套乙型號“文房四寶”；方案2：購進34套甲型號“文房四寶”，86套乙型號“文房四寶”；方案3：購進33套甲型號“文房四寶”，87套乙型號“文房四寶”；方案4：購進32套甲型號“文房四寶”，88套乙型號“文房四寶”；方案5：購進31套甲型號“文房四寶”，89套乙型號“文房四寶”；∵每套甲型號“文房四寶”的價格比每套乙型號的價格貴40元，∴甲型號“文房四寶”的套數(shù)越少，總費用就越低，∴最低費用是31×100+60×89＝8440（元）．8．（2023春?廣陽區(qū)期末）學校準備購進一批甲、乙兩種辦公桌若干張．若學校購進20張甲種辦公桌和15張乙種辦公桌共花費17000元，購買10張甲種辦公桌比購買5張乙種辦公桌多花費1000元．（1）求甲、乙兩種辦公桌每張各多少元；（2）若學校購買甲、乙兩種辦公桌共40張，甲種辦公桌數(shù)量不多于乙種辦公桌數(shù)量的3倍，且總費用不超過18400元，那么有幾種購買方案？【答案】（1）甲種辦公桌每張400元，乙種辦公桌每張600元；（2）3種方案．【解答】解：（1）設甲種辦公桌每張x元，乙種辦公桌每張y元，由題意可得，解得，∴甲種辦公桌每張400元，乙種辦公桌每張600元；（2）設購買甲種辦公桌m(xù)張，由題意可得，解得28≤m≤30，∵m取整數(shù)，∴m的取值為28或29或30，∴共有3種方案．9．（2023春?涇陽縣期中）某城市自來水收費實行階梯水價，收費標準如下表所示：月用水量不超過12噸的部分超過12噸不超過18噸的部分超過18噸的部分收費標準（元/噸）2.002.503.00（1）某戶5月份交水費45元，則該用戶5月份的用水量是多少？（2）要使月所繳水費控制在20元至30元之間，則該戶的月用水量應該控制在什么范圍內？【答案】見試題解答內容【解答】（1）設該用戶5月份的用水量為x噸，根據(jù)題意得：12×2+6×2.5+3（x﹣18）＝45，解得x＝20，答：該用戶5月份的用水量為20噸．（2）設該用戶月用水量為x噸，若x＞18時，12×2+2.5×6＝39＞30（元），所以只能x＜18．若x＜12，則由2x＝20，得x＝10；若12＜x＜18，則由24+2.5（x﹣12）＜30，得x＜14.4，所以10＜x＜14.4，答：該戶的月用水量應該控制在10噸到14.4噸之間．10．（2023?浠水縣一模）某超市計劃同時購進一批甲、乙兩種商品，若購進甲商品10件和乙商品8件，共需要資金880元；若購進甲商品2件和乙商品5件，共需要資金380元．（1）求甲、