專題4.5因式分解的應(yīng)用與閱讀分析大題專練（重難點培優(yōu)30題）-【拔尖特訓】2022-2023學年七年級數(shù)學下冊尖子生培優(yōu)必刷題【浙教版】（解析版）

【拔尖特訓】2022-2023學年七年級數(shù)學下冊尖子生培優(yōu)必刷題【浙教版】專題4.5因式分解的應(yīng)用與閱讀分析大題專練（重難點培優(yōu)30題）班級：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事項：本試卷試題解答30道，共分成三個層組：基礎(chǔ)過關(guān)題（第1-10題）、能力提升題（第11-20題）、培優(yōu)壓軸題（第21-30題），每個題組各10題，可以靈活選用．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一．解答題（共30小題）1．（2022春?江干區(qū)校級期中）【方法呈現(xiàn)】我們把多項式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式．在運用完全平方公式進行因式分解時，關(guān)鍵是判斷這個多項式是不是一個完全平方式，同樣地，把一個多項式進行局部因式分解可以來解決代數(shù)式值的最?。ɑ蜃畲螅﹩栴}．例如：x2+4x+5＝（x2+4x+4）﹣4+5＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1．當（x+2）2＝0時，（x+2）2+1的值最小，最小值是1．∴x2+4x+5的最小值是1．【嘗試應(yīng)用】（1）直接寫出（x﹣1）2+3的最小值為3；（2）求代數(shù)式x2+10x+32的最小（或最大）值，并寫出相應(yīng)的x的值．【拓展提高】（3）用長12m的一根鐵絲圍成長方形，能圍成的長方形的最大面積是多少？請說明理由．【分析】（1）由（x﹣1）2≥0，即可得出答案；（2）把x2+10x+32化為（x+5）2+7，即可得到答案；（3）設(shè)長方形的長為xm，則寬為（6﹣x）m，圍成的長方形的面積是x（6﹣x）＝﹣x2+6x，通過上面的方法即可求出．【解答】解：（1）∵（x﹣1）2≥0，∴（x﹣1）2+3≥3，當（x﹣1）2＝0時，（x﹣1）2+3有最小值3．故答案為：3．（2）x2+10x+32＝（x2+10x+25）﹣25+32＝（x+5）2+7，∵（x+5）2≥0，∴（x+5）2+7≥7，∴當（x+5）2＝0即x＝﹣5時，（x+5）2+7的值最小，最小值是7．（3）設(shè)長方形的長為xm，則寬為（6﹣x）m，圍成的長方形的面積是x（6﹣x）＝﹣x2+6x，∵﹣x2+6x＝﹣（x2﹣6x+9）+9＝﹣（x﹣3）2+9，又∵﹣（x﹣3）2≤0，∴﹣（x﹣3）2+9≤9，∴當﹣（x﹣3）2＝0即x＝3時，﹣（x﹣3）2+9的值最大，最大值是9，答：當圍成邊長為3m的正方形時面積最大，最大面積是9m2．2．（2021春?奉化區(qū)校級期末）因為（x+3）（x﹣2）＝x2+x﹣6，所以（x2+x﹣6）÷（x﹣2）＝x+3，這說明x2+x﹣6能被x﹣2整除，同時也說明x2+x﹣6有一個因式是x﹣2時，因式x﹣2為0，那么多項式x2+x﹣6的值也為0，利用上面的結(jié)果求解：（1）多項式A能被x+4整除，商為2x﹣1，求多項式A；（2）已知x﹣2能整除x2+kx﹣14，求k的值．【分析】（1）根據(jù)被除式、除式、商的關(guān)系，可得算式（x+4）（2x﹣1），然后計算即可得到答案；（2）根據(jù)上面得出的結(jié)論，當x＝2時，x2+kx﹣14＝0，再求出k的值即可．【解答】解：（1）由題意，得，A＝（x+4）（2x﹣1）＝2x2﹣x+8x﹣4＝2x2+7x﹣4；（2）∵x﹣2能整除x2+kx﹣14，∴當x﹣2＝0時，x2+kx﹣14＝0，當x＝2時，x2+kx﹣14＝4+2k﹣14＝0，解得：k＝5．3．（2022春?婺城區(qū)期末）在當今“互聯(lián)網(wǎng)+”的時代，密碼與我們生活已經(jīng)緊密聯(lián)系在一起．有一種用“因式分解”法產(chǎn)生的密碼，其原理是：先將一個多項式分解因式，再計算各因式所得的值，最后將各因式的值進行組合．如：將多項式x（x2﹣9）+2（x2﹣9）因式分解的結(jié)果為（x+2）（x+3）（x﹣3），當x＝15時，x+2＝17，x+3＝18，x﹣3＝12，此時，可獲得密碼171812或171218或181712等．根據(jù)上述方法，解答以下問題：（1）對于因式分解結(jié)果為（x+2）（x﹣1）的多項式，當x＝21時，用“因式分解”法獲得的密碼為2320，2023．（2）當x＝20，y＝2時，對于多項式x3﹣xy2，用“因式分解”法可以產(chǎn)生哪些數(shù)字密碼（求出四個即可）？（3）已知多項式x3+ax2+bx+3因式分解成三個一次式，當x＝23時，用“因式分解”法可以得到密碼202224，求a，b的值．【分析】（1）把x＝21直接代入x+2和x﹣1，將兩個數(shù)排序，從而獲得密碼．（2）先提公因式，然后用平方差公式將多項式因式分解，然后把x和y的值代入求得3個因式的值，然后把這3個數(shù)進行組合得出密碼．（3）由密碼得出三個一次因式的值分別為20，22，24，它們分別可以看成x﹣3，x﹣1，x+1，然后計算這3個因式的乘積，其結(jié)果與x3+ax2+bx+3相同，其多項式的二次項系數(shù)＝a，一次項系數(shù)＝b．【解答】解：（1）當x＝21時，x+2＝23，x﹣1＝20，此時，可獲得密碼2320，2023．故答案為：2320，2023．（2）x3﹣xy2＝x（x2﹣y2）＝x（x+y）（x﹣y），當x＝20，y＝2時，x+y＝22，x﹣y＝18，此時，可獲得密碼202218，201822，182022，182220，222018，221820．（3）當x＝23時，用“因式分解”法可以得到密碼202224，∴x3+ax2+bx+3用“因式分解”法可以分解出的三個一次因式分別位（x﹣3），（x﹣1），（x+1），（x﹣1）（x+1）（x﹣3）＝（x2﹣1）（x﹣3）＝x3﹣3x2﹣x+3，∴a＝﹣3，b＝﹣1．4．（2022春?西湖區(qū)期末）（1）化簡：（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2．（2）利用（1）中的結(jié)果，計算a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值，其中a＝98，b＝100，c＝102．（3）若a﹣b＝1，b﹣c＝2，a2+b2+c2＝7，求ab+bc+ac的值．【分析】（1）根據(jù)完全平方公式化簡即可；（2）根據(jù)題意可得a﹣b＝﹣2，b﹣c＝﹣2，a﹣c＝﹣4，代入（1）中的等式，求值即可；（3）根據(jù)a﹣b＝1，b﹣c＝2，可得a﹣c的值，再運用（1）中的等式求值即可．【解答】解：（1）（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2+a2﹣2ac+c2＝2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc；（2）∵a＝98，b＝100，c＝102，∴a﹣b＝﹣2，b﹣c＝﹣2，a﹣c＝﹣4，∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝4+4+16＝24，∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝12；（3）∵a﹣b＝1，b﹣c＝2，∴a﹣c＝3，∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝1+4+9＝14，∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝7，∵a2+b2+c2＝7，∴ab+bc+ac＝0．5．（2022春?西湖區(qū)校級期中）配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學方法，不僅可以將一個看似不能分解的多項式分解因式，還能解決一些與非負數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式最大值，最小值等．請用配方法解決以下問題．（1）試說明：x，y取任何實數(shù)時，多項式x2+y2﹣4x+2y+6的值總為正數(shù)；（2）分解因式：a4+a2+1；（3）已知實數(shù)a，b滿足﹣a2+5a+b﹣3＝0，求a+b的最小值．【分析】（1）先用配方法把原式化成完全平方式與常數(shù)的和的形式，再利用非負數(shù)的性質(zhì)進行解答；（2）先利用配方法再利用平方差公式進行因式分解即可；（3）先表示出b＝a2﹣5a+3，再表示出a+b＝a2﹣4a+3，再利用配方法求解即可．【解答】解：（1）x2+y2﹣4x+2y+6＝x2﹣4x+4+y2+2y+1+1＝（x﹣2）2+（y+1）2+1，∵（x﹣2）2≥0，（y+1）2≥0，∴x，y取任何實數(shù)時，多項式x2+y2﹣4x+2y+6的值總為正數(shù)；（2）a4+a2+1＝a4+2a2+1﹣a2＝（a2+1）2﹣a2＝（a2+a+1）（a2﹣a+1）；（3）∵﹣a2+5a+b﹣3＝0，∴b＝a2﹣5a+3，∴a+b＝a2﹣4a+3＝（a﹣2）2﹣1，∴當a＝2時，a+b有最小值為﹣1，∴a+b的最小值為﹣1．6．（2022春?拱墅區(qū)校級期中）如果一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么我們稱這個正整數(shù)為“和諧數(shù)”，如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20這三個數(shù)都是“和諧數(shù)”．（1）36和2020這兩個數(shù)是“和諧數(shù)”嗎？為什么？（2）設(shè)兩個連續(xù)偶數(shù)為2k+2和2k（其中取非負整數(shù)），由這兩個連續(xù)偶數(shù)構(gòu)成的“和諧數(shù)”是4的倍數(shù)嗎？為什么？【分析】（1）按照新概念的定義，進行驗證即可；（2）應(yīng)用因式分解，把（2k+2）2﹣（2k）2化成4與整數(shù)的積的形式．【解答】解：（1）∵36＝102﹣82，2020＝5062﹣5042，∴36和2020是“和諧數(shù)”；（2）這兩個連續(xù)偶數(shù)構(gòu)成的“和諧數(shù)”是4的倍數(shù)．理由如下：∵（2k+2）2﹣（2k）2＝4（2k+1），∴兩個連續(xù)偶數(shù)構(gòu)成的“和諧數(shù)”是4的倍數(shù)．7．（2021春?浦江縣校級期末）配方法在初中數(shù)學中運用非常廣泛，可以求值，因式分解，求最值等．如：求代數(shù)式的最值：x2+2x+2＝（x+1）2+1，在x＝﹣1時，取最小值1．（1）求代數(shù)式x2﹣4x的最小值．（2）﹣2x2﹣4x+5有最大還最小值，求出其最值．（3）求x2+的最小值．【分析】（1）直接用配方法即可；（2）二次項系數(shù)化1，然后用配方法；（3）注意＝1即可．【解答】解：（1）x2﹣4x＝x2﹣4x+4﹣4＝（x﹣2）2﹣4，在x＝2時，取最小值﹣4．（2）﹣2x2﹣4x+5＝﹣2（x2+2x+1﹣1）+5＝﹣2（x+1）2+7，在x＝﹣1時，取最大值7．（3）x2+＝x2+﹣2+2＝（x﹣）2+2．當時，取最小值2．8．（2021春?婺城區(qū)校級期中）閱讀理解：對于任意一個三位數(shù)n，如果n滿足各個數(shù)位上的數(shù)字互不相同，且都不為0，那么這個數(shù)為“相異數(shù)”．將一個“相異數(shù)”任意兩個數(shù)位上的數(shù)字對調(diào)后可以得到三個不同的新三位數(shù)，把這個新三位數(shù)的和與111的商記為F（n）．例如：n＝123，對調(diào)百位與十位上的數(shù)字得到213，對調(diào)百位與個位上的數(shù)字得到321，對調(diào)十位與個位上的數(shù)字則得到132，這三個新三位數(shù)的和為213+321+132，值等于666，而666÷111＝6，所以F（123）＝6．（1）F（256）＝13；（2）若F（n）＝9，且300＜n＜330，求n的值；（3）若s，t都是“相異數(shù)”，其中s＝100x+43，t＝150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整數(shù)），規(guī)定：k＝，當F（s）+F（t）＝20時，求k的最小值．【分析】（1）根據(jù)F（n）的定義計算即可；（2）設(shè)n＝100a+10b+c，根據(jù)F（n）的定義得a+b+c＝9，再根據(jù)“相異數(shù)”定義與n的取值范圍，即可求出n的值；（3）先表示F（s）和F（t），根據(jù)F（s）+F（t）＝20，列方程，即可求出x和y的值，進一步求出k的值即可．【解答】解：（1）F（256）＝（526+265+652）÷111＝13，故答案為：13．（2）設(shè)n＝100a+10b+c，則F（n）＝（110c+10b+a+100b+10a+c＝100a+10c+b）÷111＝a+b+c＝9，∵300＜n＜330，∴a＝3，∴b+c＝6，根據(jù)“相異數(shù)”定義，∴b＝1，c＝5或b＝2，c＝4，∴n＝315或324．（3））∵s，t都是“相異數(shù)”，其中s＝100x+43，t＝150+y，∴F（s）＝（403+10x+340+x+100x+34）÷111＝x+7，F(xiàn)（t）＝（510+y+100y+51+105+10y）÷111＝y(tǒng)+6，∵F（s）+F（t）＝20，∴x+7+y+6＝20，得x+y＝7，根據(jù)“相異數(shù)”定義，x≠4，x≠3，y≠1，y≠5，∴x＝1，y＝6或x＝5，y＝2，∴F（s）＝1+7＝8，F(xiàn)（t）＝6+6＝12，或F（s）＝5+7＝12，F(xiàn)（t0＝2+6＝8，∴k＝＝或，∴k的最小值為．9．（2021春?吳興區(qū)期中）實驗材料：現(xiàn)有若干塊如圖①所示的正方形和長方形硬紙片．實驗?zāi)康模河萌舾蓧K這樣的正方形和長方形硬紙片拼成一個新的長方形，通過不同的方法計算面積，得到相應(yīng)的等式，從而探求出多項式乘法或分解因式的新途徑．例如，選取正方形、長方形硬紙片共6塊，拼出一個如圖②的長方形，計算它的面積寫出相應(yīng)的等式有a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）或（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．探索問題：（1）選取圖①所示的正方形、長方形硬紙片共8塊可以拼出一個如圖②的長方形，計算圖②的面積，并寫出相應(yīng)的等式；（2）試借助拼圖的方法，把二次三項式2a2+5ab+2b2分解因式，并把所拼的圖形畫在方框內(nèi)．（3）小明同學又用了x張邊長為a的正方形，y張邊長為b的正方形，z張邊長為a，b的長方形紙片拼出了一個面積為（25a+7b）（18a+45b）的長方形，那么x+y+z的值為2016．【分析】（2）正方形、長方形硬紙片共8塊的面積等于長為a+3b，寬為a+b的矩形面積，所以a2+4ab+3b2＝（a+3b）（a+b）；（2）正方形、長方形硬紙片共9塊的面積等于長為a+2b，寬為2a+b的矩形面積，則2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）；（3）利用多項式的乘法將該式展開，再對應(yīng)找x，y和z的值，相加即可．【解答】解：（1）正方形、長方形硬紙片共8塊的面積等于長為a+3b，寬為a+b的矩形面積，∴a2+4ab+3b2＝（a+3b）（a+b）或（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2；（2）如圖，2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）．（3）∵（25a+7b）（18a+45b）＝450a2+1251ab+315b2，∴用了450張邊長為a的正方形，1251張邊長為b的正方形，315張邊長為a，b的長方形，∴x＝450，y＝1251，z＝315，∴x+y+z＝2016．故答案為：2016．10．（2021春?寧波期末）閱讀理解并解答：【方法呈現(xiàn)】（1）我們把多項式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式．在運用完全平方公式進行因式分解時，關(guān)鍵是判斷這個多項式是不是一個完全平方式，同樣地，把一個多項式進行局部因式分解可以來解決代數(shù)式值的最小（或最大）問題．例如：x2+2x+3＝（x2+2x+1）+2＝（x+1）2+2，∵（x+1）2≥0，∴（x+1）2+2≥2．則這個代數(shù)式x2+2x+3的最小值是2，這時相應(yīng)的x的值是﹣1．【嘗試應(yīng)用】（2）求代數(shù)式﹣x2+14x+10的最?。ɑ蜃畲螅┲担懗鱿鄳?yīng)的x的值．【拓展提高】（3）將一根長300cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長各做成一個正方形，則這兩個正方形面積之和有最?。ɑ蜃畲螅┲?？若有，求此時這根鐵絲剪成兩段后的長度及這兩個正方形面積的和；若沒有，請說明理由．【分析】（1）由題意不難看出其最小值為2，相應(yīng)的x的值為﹣1；（2）根據(jù)（1）中的方法，不難求得結(jié)果；（3）可設(shè)一段鐵絲長為xcm，則另一段長為（300﹣x）cm，然后列出式子進行求解即可．【解答】解：（1）∵x2+2x+3＝（x+1）2+2≥2，∴其最小值為2，這時相應(yīng)的x的值為﹣1．故答案為：2，﹣1；（2）﹣x2+14x+10＝﹣（x2﹣14x+49﹣49）+10＝﹣（x﹣7）2+59，∵﹣（x﹣7）2≤0，∴﹣（x﹣7）2+59≤59，故代數(shù)式﹣x2+14x+10的最大值為59，相應(yīng)的x的值為7，（3）有最小值，設(shè)一段鐵絲長為xcm，則另一段長為（300﹣x）cm，由題意得：，當x＝150，兩個正方形的面積之和有最小值．則另一段鐵絲的長度為300﹣150＝150（cm）．11．（2021春?拱墅區(qū)校級期中）如果一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為“奇特數(shù)”，例如：8＝32﹣12，16＝52﹣32，24＝72﹣52；則8、16、24這三個數(shù)都是奇特數(shù)．（1）填空：32是奇特數(shù)，2018不是奇特數(shù)．（填“是”或者“不是”）（2）設(shè)兩個連續(xù)奇數(shù)是2n﹣1和2n+1（其中n取正整數(shù)），由這兩個連續(xù)奇數(shù)構(gòu)造的奇特數(shù)是8的倍數(shù)嗎？為什么？（3）如圖所示，拼疊的正方形邊長是從1開始的連續(xù)奇數(shù)…，按此規(guī)律拼疊到正方形ABCD，其邊長為99，求陰影部分的面積．【分析】（1）根據(jù)32＝92﹣72，以及8、16、24這三個數(shù)都是奇特數(shù)，他們都是8的倍數(shù)，而2018＝2×1009，不是8的整數(shù)倍，進行判斷．（2）利用平方差公式計算（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n?2＝8n，得到兩個連續(xù)奇數(shù)構(gòu)造的奇特數(shù)是8的倍數(shù)；（3）利用陰影部分面積為：S陰影部分＝992﹣972+952﹣932+912﹣892+…+72﹣52+32﹣12，進而求出即可．【解答】解：（1）∵32＝8×4＝92﹣72，∴32是奇特數(shù)，∵因為2018不能表示為兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差，∴2018不是奇特數(shù)，故答案為：是，不是；（2）由這兩個連續(xù)奇數(shù)構(gòu)造的奇特數(shù)是8的倍數(shù)，理由：∵（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n?2＝8n，∴由這兩個連續(xù)奇數(shù)構(gòu)造的奇特數(shù)是8的倍數(shù)．（3）S陰影部分＝992﹣972+952﹣932+912﹣892+…+72﹣52+32﹣12＝（99+97）（99﹣97）+（95+93）（95﹣93）+（91+89）（91﹣89）+…+（7+5）（7﹣5）+（3+1）（3﹣1）＝（99+97+95+…+3+1）×2＝×2＝5000．12．（2021春?鎮(zhèn)海區(qū)期末）我們知道，多項式的乘法公式可以利用圖形中面積的等量關(guān)系來驗證其正確性，如（a+b）2＝a2+2ab+b2就能利用圖1的面積進行驗證．（1）寫出圖2中所表示的數(shù)學等式：（a+b）（3a+b）＝3a2+4ab+b2．（2）請你寫出圖3所能驗證的數(shù)學等式，并利用你所學的多項式的乘法寫出驗證過程．（3）利用（2）得到的結(jié)論，解決下面的問題：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值．【分析】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)表示出矩形的長與寬，再根據(jù)矩形的面積公式寫出等式的左邊，再表示出每一小部分的矩形的面積，然后根據(jù)面積相等即可寫出等式；（2）利用多項式法則即可求解；（3）根據(jù)利用（1）中所得到的結(jié)論，將a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38作為整式代入即可求出．【解答】解：（1）根據(jù)題意，大矩形的面積為：（a+b）（3a+b），各小矩形部分的面積之和＝3a2+4ab+b2，故答案為：（a+b）（3a+b）＝3a2+4ab+b2；（2）等式為（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（a+b+c）2＝（a+b+c）?（a+b+c）＝a2+ab+ac+ba+bc+ca+cb＝b2+c2+2ab+2ac+2bc＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（3）由（2）得（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，故a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝112﹣2×38＝45．13．（2022春?鄞州區(qū)期中）數(shù)學活動課上，老師準備了若干張如圖1所示的三種紙片，A種紙片是邊長為a的正方形，B種紙片是邊長為b的正方形，C種紙片是長為b、寬為a的長方形．現(xiàn)在用A種紙片一張，B種紙片一張，C種紙片兩張拼成如圖2所示的大正方形．觀察圖形并解答下列問題．（1）由圖1到圖2的過程可得到的因式分解等式為a2+2ab+b2＝（a+b）2（用含a，b的代數(shù)式表示）；（2）小敏用圖1中的A、B、C三種紙片拼出一個面積為（2a+b）（a+2b）的大長方形，求需要A、B、C三種紙片各多少張；（3）如圖3，C為線段AB上的動點，分別以AC，BC為邊在AB的兩側(cè)作正方形ACDE和正方形BCFG．若AB＝6，記正方形ACDE和正方形BCFG的面積分別為S1，S2，且S1+S2＝20，利用（1）中的結(jié)論求圖中三角形ACF的面積．【分析】（1）圖②的正方形的邊長為（a+b），是由1張A卡片，1張B卡片，2張C卡片拼成的，根據(jù)面積法可得答案；（2）計算（2a+b）（a+2b）的結(jié)果可得答案；（3）設(shè)AC＝a，BC＝b，可得出a+b＝6，a2+b2＝20，由（1）的結(jié)論可求出ab，進而求出三角形的面積．【解答】解：（1）根據(jù)題意得，a2+2ab+b2＝（a+b）2，故答案為：a2+2ab+b2＝（a+b）2；（2）∵（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2，∴所需A、B兩種紙片各2張，C種紙片5張；（3）設(shè)AC＝a，BC＝CF＝b則a+b＝6，∵S1+S2＝20，∴a2+b2＝20，∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，∴20＝62﹣2ab，∴ab＝8，∴S陰影＝ab＝4．14．（2022春?東陽市期末）教材中的探究：通過用不同的方法計算同一圖形面積，得到相應(yīng)的等式，從而探求出多項式乘法或分解因式的新途徑．例如，選取圖①中的正方形、長方形硬紙片共6塊，拼出一個如圖②的長方形，計算它的面積寫出相應(yīng)的等式：a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）或（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）請根據(jù)圖③寫出代數(shù)恒等式，并根據(jù)所寫恒等式計算（x﹣2y﹣3）2；（2）若x2+y2+z2＝1，xy+yz+xz＝3，求x+y+z的值．（3）試借助圖①的硬紙片，利用拼圖的方法把二次三項式3a2+7ab+2b2分解因式，并把所拼的圖形畫在虛線方框內(nèi)．【分析】（1）利用大正方形的面積＝3個小正方形的面積+6個矩形的面積可列出代數(shù)恒等式，再根據(jù)所寫恒等式計算（x﹣2y﹣3）2；（2）將x2+y2+z2＝1，xy+yz+xz＝3代入（1）中所得結(jié)論．計算即可求得x+y+z的值；（3）畫出圖形，再分解即可．【解答】解：（1）由題意可得：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，則（x﹣2y﹣3）2＝x2+4y2+9﹣4xy﹣6x+12y；（2）由（1）得：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，把x2+y2+z2＝1，xy+yz+xz＝3代入上式，得：（x+y+z）2＝1+2×3＝7，∴x+y+z＝±；（3）如圖所示：3a2+7ab+2b2＝（3a+b）（a+2b）．15．（2022?柯城區(qū)校級開學）把幾個圖形拼成一個新的圖形，再通過兩種不同的方法計算同一個圖形的面積，可以得到一個等式，也可以求出一些不規(guī)則圖形的面積．例如，由圖①，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）如圖②，將幾個面積不等的小正方形與小長方形拼成一個邊長為a+b+c的正方形，試用不同的形式表示這個大正方形的面積，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？請用等式表示出來．（2）利用（1）中所得到的結(jié)論，解決下面的問題：已知a+b+c＝10，a2+b2+c2＝38，求ab+bc+ac的值．（3）如圖③，將兩個邊長分別為a和b的正方形拼在一起，B，C，G三點在同一條直線上，連結(jié)BD和BF．若這兩個正方形的邊長滿足a+b＝10，ab＝20，請求出陰影部分的面積．【分析】（1）圖2大正方形的面積通過兩種不同的方法計算，即可解答；（2）利用（1）的結(jié)論，進行計算即可解答；（3）根據(jù)題意可得陰影部分的面積＝△BCD的面積+正方形ECGF的面積﹣△BGF的面積，進行計算即可解答．【解答】解：（1）圖2大正方形的面積＝（a+b+c）2，圖2大正方形的面積＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）由（1）可得：ab+bc+ac＝[（a+b+c）2﹣（a2+b2+c2）]∵a+b+c＝10，a2+b2+c2＝38，∴ab+bc+ac＝×（102﹣38）＝×62＝31；（3）∵a+b＝10，ab＝20，∴陰影部分的面積＝a2+b2﹣b（a+b）＝a2+b2﹣ab﹣b2＝a2+b2﹣ab＝（a2+b2）﹣ab＝[（a+b）2﹣2ab]﹣ab＝×（102﹣2×20）﹣×20＝×60﹣10＝30﹣10＝20．16．（2022秋?鄞州區(qū)月考）學習材料：對任意一個三位數(shù)n，如果n滿足各個數(shù)位上的數(shù)字互不相同，且都不為零，那么稱這個數(shù)為“異位數(shù)”，將一個“異位數(shù)”任意兩個數(shù)位上的數(shù)字對調(diào)后可以得到三個不同的新三位數(shù)，把這三個新三位數(shù)的和與111的商記為F（n）．例如n＝123，對調(diào)百位與十位上的數(shù)字得到213，對調(diào)百位與個位上的數(shù)字得到321，對調(diào)十位與個位上的數(shù)字得到132，這三個新三位數(shù)的和為213+321+132＝666，666÷111＝6，所以F（123）＝6．問題解決：（1）計算：F（243）＝9；F（617）＝14；（2）若n為“異位數(shù)”，則F（n）的最大值與最小值的差為18；（3）若m＝為“異位數(shù)”，且滿足a＜b＜c，若F（m）＝8，則m＝125或134；（4）若s，t都是“異位數(shù)”，其中s＝100x+32，t＝150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是整數(shù)），規(guī)定：k＝，當F（s）+F（t）＝16時，k的值為．【分析】（1）根據(jù)定義進行計算即可；（2）當n的三位數(shù)字分別是9.8，7時，F(xiàn)（n）的值最大，當n的三位數(shù)字分別是1，2，3時，F(xiàn)（n）的值最小，分別求出相應(yīng)的值即可求解；（3）根據(jù)題意可得a+b+c＝8，再由a＜b＜c，確定a、b、c的具體值即可；（4）由題意可得F（s）＝5+x，F(xiàn)（t）＝6+y，再由已知條件可得x+y＝5，根據(jù)x、y的取值范圍確定具體的值后即可求解．【解答】解：（1）F（243）＝（234+423+342）÷111＝999÷111＝9，F(xiàn)（617）＝（671+716+167）÷111＝1554÷111＝14，故答案為：9，14；（2）當n的三位數(shù)字分別是9.8，7時，F(xiàn)（n）的值最大，此時F（n）＝7+8+9＝24，當n的三位數(shù)字分別是1，2，3時，F(xiàn)（n）的值最小，此時F（n）＝6，∴24﹣6＝18，∴F（n）的最大值與最小值的差為18，故答案為：18；（3）∵F（m）＝8，∴a+b+c＝8，∵a＜b＜c，∴a＝1，b＝2，c＝5或a＝1，b＝3，c＝4，∴m＝125或，mm＝134，故答案為：125或134；（4）∵s＝100x+32，∴F（s）＝x+3+2＝5+x，∵t＝150+y，∴F（t）＝1+5+y＝6+y，∵F（s）+F（t）＝16，∴11+x+y＝16，∴x+y＝5，∵x≠2，x≠3，y≠1，∴x＝1或x＝4，y＝2或y＝3或y＝4，∴x＝1，y＝4，∴s＝132，t＝154，∴F（s）＝6，F(xiàn)（t）＝10，∴k＝，故答案為：．17．（2021春?奉化區(qū)校級期末）現(xiàn)有足夠多的甲、乙、丙三種卡片，如圖1所示．（1）選用其中若干張卡片拼成一個長方形（圖2）．①請用兩種不同的方法表示長方形（圖2）的面積（用含有a，b的代數(shù)式表示）．②若b＝a，且長方形（圖2）的面積是35，求一張乙卡片的面積．（2）若從中取若干張卡片拼成一個面積為4a2+4ab+b2的正方形，求出拼成的正方形的邊長．【分析】（1）①用大長方形的長乘以寬表示或用圖中6個圖形的面積和表示．②根據(jù)題意得（2a+b）（a+b）＝35，再代入b＝a，求得ab便可．（2）根據(jù)完全平方公式分解因式便可求得結(jié)果．【解答】解：（1）①大長方形的長是（2a+b），寬是（a+b），面積為（2a+b）（a+b）；大長方形面積等于圖中6個圖形的面積和為2a2+3ab+b2；②根據(jù)題意得，（2a+b）（a+b）＝35，∵b＝a，∴a（a+a）＝35，∴a＝2或﹣2（舍棄）∴b＝3，∴ab＝6，∴一張乙卡片的面積為6；（2）∵4a2+4ab+b2＝（2a+b）2，∴拼成的正方形的邊長為2a+b．18．（2021春?奉化區(qū)校級期末）如圖，將幾個小正方形與小長方形拼成一個邊長為（a+b+c）的正方形．（1）若用不同的方法計算這個邊長為（a+b+c）的正方形面積，就可以得到一個等式，這個等式可以為（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc（只要寫出一個即可）；（2）請利用（1）中的等式解答下列問題：①若三個實數(shù)a，b，c滿足a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；②若三個實數(shù)x，y，z滿足2x×4y×8z＝，x2+4y2+9z2＝40，求2xy+3xz+6yz的值．【分析】（1）根據(jù)圖形，由面積的不同表示方法得出等式即可；（2）①先根據(jù)公式進行變形，再代入求出即可；②先求出x+2y+3z＝﹣4，再根據(jù)（x+2y+3z）2＝x2+4y2+9z2+2（2xy+3xz+6yz）求出即可．【解答】解：（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）①∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣（2ab+2ac+2bc）＝112﹣2×38＝45；②∵2x×4y×8z＝，∴2x×22y×23z＝，∴2x+2y+3z＝2﹣4，∴x+2y+3z＝﹣4，∵（x+2y+3z）2＝x2+4y2+9z2+2（2xy+3xz+6yz），x2+4y2+9z2＝40，∴（﹣4）2＝40+2（2xy+3xz+6yz），∴2xy+3xz+6yz＝﹣12．故答案為：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．19．（2021春?奉化區(qū)校級期末）我們知道對于一個圖形，通過不同的方法計算圖形的面積可以得到一個數(shù)學等式．例如：由圖1可得到（a+b）2＝a2+2ab+b2（1）寫出由圖2所表示的數(shù)學等式；（2）寫出由圖3所表示的數(shù)學等式；（3）已知實數(shù)a，b，c滿足a+b+c＝1，a2+b2+c2＝1．求①ab+bc+ca的值；②a3+b3+c3﹣3abc的值．【分析】（1）大正方形的面積等于9個長方形的面積和；（2）圖中陰影部分面積為正方形等于陰影部分面積等于大正方形面積減去8個長方形面積；（3）①將（1）式子變形ab+bc+ca＝[（a+b+c）2﹣（a2+b2+c2）]，代入已知即可求解；②先求出（a+b+c）3＝a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3b2a+3b2c+3c2a+3bc2+6abc，再結(jié)合已知條件，將式子逐步代入，得到1＝3（a+b+c）﹣2（a3+b3+c3）+6abc，即可求解．【解答】解：（1）大正方形的面積為（a+b+c）2，9個長方形的面積和為a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）圖中陰影部分面積為正方形，則有（a﹣c﹣b）（a﹣b﹣c）＝（a﹣b﹣c）2，陰影部分面積等于大正方形面積減去8個長方形面積，即a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac+2bc，∴（a﹣b﹣c）2＝a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac+2bc；（3）①由（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，可得ab+bc+ca＝[（a+b+c）2﹣（a2+b2+c2）]，∵a+b+c＝1，a2+b2+c2＝1，∴ab+bc+ca＝0；②∵（a+b+c）3＝a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3b2a+3b2c+3c2a+3bc2+6abc，∵a+b+c＝1，a2+b2+c2＝1，∴1＝a3+b3+c3+3[b（a2+c2）+a（b2+c2）+c（a2+b2）]+6abc＝a3+b3+c3+3[b（1﹣b2）+a（1﹣a2）+c（1﹣c2）]+6abc1＝3（a+b+c）﹣2（a3+b3+c3）+6abc，∴1＝3﹣2（a3+b3+c3）+6abc，∴a3+b3+c3﹣3abc＝1．20．（2020秋?鎮(zhèn)海區(qū)校級期中）如果把一個自然數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字從最高位到個位依次排出的一串數(shù)字，與從個位到最高位依次排出的一串數(shù)字完全相同，那么我們把這樣的自然數(shù)稱為“和諧數(shù)”．例如自然數(shù)12321，從最高位到個位依次排出的一串數(shù)字是：1，2，3，2，1，從個位到最高位依次排出的一串數(shù)字仍是：1，2，3，2，1，因此12321是一個“和諧數(shù)”．再如22，545，3883，345543，…，都是“和諧數(shù)”．（1）請你直接寫出2個四位“和諧數(shù)”，并猜想任意一個四位“和諧數(shù)”能否被11整除？并說明理由．（2）已知一個能被11整除的三位“和諧數(shù)”，設(shè)其個位上的數(shù)字是x（1≤x≤4，x為自然數(shù)），十位上的數(shù)字是y，用含x的代數(shù)式表示y．【分析】（1）根據(jù)“和諧數(shù)”的定義（把一個自然數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字從最高位到個位依次排出的一串數(shù)字，與從個位到最高位依次排出的一串數(shù)字完全相同）寫出四個“和諧數(shù)”，設(shè)任意四位“和諧數(shù)”形式為：，根據(jù)和諧數(shù)的定義得到a＝d，b＝c，則＝91a+10b為正整數(shù)，易證得任意四位“和諧數(shù)”都可以被11整除；（2）設(shè)能被11整除的三位“和諧數(shù)”為：，則＝9x+y+為正整數(shù)．故y＝2x（1≤x≤4，x為自然數(shù)）．【解答】解：（1）四位“和諧數(shù)”：1221，1331，1111，6666…（答案不唯一），任意一個四位“和諧數(shù)”都能被11整除，理由如下：設(shè)任意四位“和諧數(shù)”形式為：，則滿足：最高位到個位排列：a，b，c，d．個位到最高位排列：d，c，b，a．由題意，可得兩組數(shù)據(jù)相同，則：a＝d，b＝c，則＝91a+10b為正整數(shù)．∴四位“和諧數(shù)”能被11整數(shù)，（2）設(shè)能被11整除的三位“和諧數(shù)”為：，則滿足：個位到最高位排列：z，y，x．最高位到個位排列：x，y，z．由題意，兩組數(shù)據(jù)相同，則：x＝z，故，故為正整數(shù)．故y＝2x（1≤x≤4，x為自然數(shù)）．21．（2022秋?金鳳區(qū)校級月考）閱讀理解并解答：【方法呈現(xiàn)】（1）我們把多項式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式．在運用完全平方公式進行因式分解時，關(guān)鍵是判斷這個多項式是不是一個完全平方式，同樣地，把一個多項式進行局部因式分解可以來解決代數(shù)式值的最?。ɑ蜃畲螅﹩栴}．例如：x2+2x+3＝（x2+2x+1）+2＝（x+1）2+2，∵（x+1）2≥0，∴（x+1）2+2≥2．則這個代數(shù)式x2+2x+3的最小值是2，這時相應(yīng)的x的值是﹣1．【嘗試應(yīng)用】（2）求代數(shù)式﹣x2+14x+10的最?。ɑ蜃畲螅┲?，并寫出相應(yīng)的x的值．【拓展提高】（3）已知a，b，c是△ABC的三邊長，滿足a2+b2＝10a+8b﹣41，且c是△ABC中最長的邊，求c的取值范圍．【分析】（1）利用非負數(shù)的性質(zhì)確定代數(shù)式的最值；（2）先提出負號，再變形，最后確定最值；（3）變形等式，利用非負數(shù)的性質(zhì)，求出a、b的值，再利用三角形的三邊關(guān)系確定c邊長的取值范圍．【解答】解：（1）代數(shù)式x2+2x+3的最小值是2，這時相應(yīng)的x的值是﹣1，故答案為：2，﹣1；（2）﹣x2+14x+10＝﹣（x2﹣14x﹣10）＝﹣[（x﹣7）2﹣49﹣10]＝﹣[（x﹣7）2﹣59]＝﹣（x﹣7）2+59，∵﹣（x﹣7）2≤0，∴﹣（x﹣7）2+59≤59，∴代數(shù)式﹣x2+14x+10有最大值59，相應(yīng)的x的值為7；（3）∵a，b，c是△ABC的三邊長，滿足a2+b2＝10a+8b﹣41，∴a2+b2﹣10a﹣8b＝﹣41，∴（a﹣5）2+（b﹣4）2﹣25﹣16＝﹣41，∴（a﹣5）2+（b﹣4）2＝﹣41+41，∴（a﹣5）2+（b﹣4）2＝0，∴a﹣5＝0，b﹣4＝0，∴a＝5，b＝4，∵a﹣b＜c＜a+b，∴1＜c＜9，∵c是△ABC中最長的邊，∴5＜c＜9．答：c的取值范圍為5＜c＜9．22．（2022秋?九龍坡區(qū)校級期中）閱讀下面材料：能被7整除的數(shù)的特征為：數(shù)字去掉個位數(shù)，減去原個位數(shù)的2倍，計算得到的差能被7整除；如126，因為12﹣6×2＝0，0能被7整除，所以126能被7整除：又如1001，因為100﹣1×2＝98，9﹣8×2＝﹣7，﹣7能被7整除，所以1001能被7整除；根據(jù)閱讀材料的方法，解答下列問題：（1）如何判斷364能否被7整除？（2）一個三位數(shù)的百位數(shù)字是2，個位數(shù)字是7，如果這個三位數(shù)能被7整除，那么這個三位數(shù)是多少？（3）說明為什么滿足材料中特征的三位數(shù)可以被7整除．【分析】（1）根據(jù)能被7整除的數(shù)的特征即可求解；（2）設(shè)三位數(shù)的十位數(shù)字是x，可得方程20+x﹣7×2＝6+x，解方程即可求解；（3）設(shè)三位數(shù)為100a+10b+c，可得10a+b﹣2c＝7d（d為素數(shù)），得到100a+10b+c＝70d+21c＝7（10d+3c），從而求解．【解答】解：（1）因為36﹣4×2＝28，28能被7整除，所以364能被7整除；（2）設(shè)三位數(shù)的十位數(shù)字是x，∵20+x﹣7×2＝6+x，而這個三位數(shù)能被7整除，∴6+x＝7，或6+x＝14，解得x＝1，或x＝8，故這個三位數(shù)是217或287；（3）設(shè)三位數(shù)為100a+10b+c，依題意有10a+b﹣2c＝7d（d為素數(shù)），則100a+10b﹣20c＝70d，100a+10b+c＝70d+21c＝7（10d+3c），則100a+10b+c能被7整除．23．（2021秋?桐柏縣月考）如圖，將一張長方形紙板按圖中虛線裁剪成九塊，其中有兩塊是邊長都為m的大正方形，兩塊是邊長都為n的小正方形，五塊是長為m，寬為n的全等小長方形，且m＞n（以上長度單位：cm）．（1）觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)代數(shù)式2m2+5mn+2n2可以因式分解為（2m+n）（m+2n）；（2）若每塊小長方形的面積為20cm2，四個正方形的面積和為162cm2．①試求圖中所有裁剪線（虛線部分）長度之和；②求（m﹣n）2的值．【分析】（1）運用十字相乘即可．（2）①能夠看懂圖，數(shù)清楚虛線個數(shù)即可．②明白完全平方和與完全平方差的關(guān)系即可．【解答】解：（1）由圖可知2m2+5mn+2n2＝（2m+n）（m+2n），故答案為：（2m+n）（m+2n）；（2）①由題意知mn＝20，2m2+2n2＝162，解得：m2+n2＝81，nm＝20，∴（m+n）2＝m2+n2+2mn＝121，∴m+n＝11，圖中所有裁剪線（虛線部分）長度之和為6（m+n）＝66（cm）；②（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn＝81﹣40＝41．24．（2021秋?隆昌市校級月考）（閱讀材料）把形如ax2+bx+c的二次三項式（或其一部分）經(jīng)過適當變形配成完全平方式的方法叫配方法，配方法在因式分解、證明恒等式．利用a2≥0求代數(shù)式最值等問題中都有廣泛應(yīng)用．例如：利用配方法將x2﹣6x+8變形為a（x+m）2+n的形式，并把二次三項式分解因式．配方：x2﹣6x+8＝x2﹣6x+32﹣32+8＝（x﹣3）2﹣1．分解因式：x2﹣6x+8＝（x﹣3）2﹣1＝（x﹣3+1）（x﹣3﹣1）＝（x﹣2）（x﹣4）．（解決問題）根據(jù)以上材料，解答下列問題：（1）利用配方法將多項式x2﹣4x﹣5化成a（x+m）2+n的形式；（2）利用配方法把二次三項式x2﹣2x﹣35分解因式；（3）若a、b、c分別是△ABC的三邊，且a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；（4）求證：無論x，y取任何實數(shù)，代數(shù)式x2+y2+4x﹣6y+15的值恒為正數(shù)．【分析】（1）仿照題中例題進行配方求解；（2）仿照題中例題進行配方分解因式；（3）先仿照題中例題進行配方，再根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)求出a，b，c的值進行判斷；（4）先仿照題中例題進行配方，再根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)進行判斷．【解答】解：（1）x2﹣4x﹣5＝x2﹣4x+22﹣22﹣5＝（x﹣2）2﹣9；（2）原式＝x2﹣2x+1﹣1﹣35＝（x﹣1）2﹣62＝（x﹣1+6）（x﹣1﹣6）＝（x+5）（x﹣7）；（3）△ABC為等邊三角形，理由如下：∵a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0，∴（a2﹣2ab+b2）+b2﹣2b+1+3（c2﹣2c+1）＝0，∴（a﹣b）2+（b﹣1）2+3（c﹣1）2＝0，∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0，3（c﹣1）2≥0，∴a﹣b＝0，b﹣1＝0，c﹣1＝0，∴a＝b，b＝1，c＝1，∴a＝b＝c，△ABC為等邊三角形；（4）證明：x2+y2+4x﹣6y+15＝x2+4x+4+y2﹣6y+9+2＝（x+2）2+（y﹣3）2+2，∵（x+2）2≥0，（y﹣3）2≥0∴（x+2）2+（y﹣3）2+2≥2∴代數(shù)式x2+y2+4x﹣6y+15的值恒為正數(shù)．25．（2021春?蕭山區(qū)校級月考）對于一個圖形，通過不同的方法計算圖形的面積，可以得到一個數(shù)學等式．例如由圖1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．請解答下列問題：（1）寫出圖2中所表示的數(shù)學等式（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）利用（1）中所得到的結(jié)論，解決下面的問題：已知a+b+c＝10，ab+bc+ac＝27，求a2+b2+c2的值；（3）如圖3，有足夠多的邊長為a的大正方形紙片、邊長為b的小正方形紙片以及長為a寬為b的長方形紙片，取若干張（三種圖形都要取到）拼成一個長方形．①若面積為（2a+b）（a+3b），則取了邊長為b的小正方形紙片3張；②若用6張邊長為a的大正方形紙片，3張邊長為b的小正方形紙片，11張長為a寬為b的長方形紙片恰好拼成一個正方形，求實數(shù)a，b滿足的關(guān)系式．【分析】（1）本題結(jié)合給出的圖形，利用長方形的面積公式和因式分解即可．（2）結(jié)合（1）中的結(jié)論，代入數(shù)據(jù)即可．（3）①求邊長為b的小正方形的張數(shù)即求b2的系數(shù)．②將面積和利用十字相乘法進行分解因式，讓兩個括號內(nèi)的值相等即可．【解答】解：（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，故答案為：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）由（1）可知，a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣（2ab+2ac+2bc），又∵a+b+c＝10，ab+bc+ac＝27，∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣（2ab+2ac+2bc）＝102﹣2（ab+ac+bc）＝100﹣2×27＝46；（3）①（2a+b）（a+3b）＝2a2+6ab+ab+3b2＝2a2+7ab+3b2，∴取了邊長為b的小正方形紙片3張，故答案為：3；②由題意可知，6a2+11ab+3b2＝（3a+b）（2a+3b），∵拼成的是正方形，∴3a+b＝2a+3b，∴a＝2b．26．（2021春?鼓樓區(qū)期末）對任意一個三位數(shù)n，如果n滿足各數(shù)位上的數(shù)字互不相同，且都不為零，那么稱這個數(shù)為“相異數(shù)”．將一個“相異數(shù)”任意兩個數(shù)位上的數(shù)字對調(diào)后可以得到三個不同的新三位數(shù)，把這三個新三位數(shù)的和與111的商記為F（n）．例如n＝123，對調(diào)百位與十位上的數(shù)字得到213，對調(diào)百位與個位上的數(shù)字得到321，對調(diào)十位與個位上的數(shù)字得到132，這三個新三位數(shù)的和為213+321+132＝666，666÷111＝6，所以，F(xiàn)（123）＝6．（1）計算：F（243），F(xiàn)（761）的值；（2）已知一個相異數(shù)p，且p＝100a+10b+c，（其中a，b，c均為小于10的正整數(shù)），則F（p）＝a+b+c，（3）若m，n都是“相異數(shù)”，其中m＝100x+23，n＝150+y（1≤x≤9，1≤y≤9且x，y都是正整數(shù)），若k＝，當F（m）+F（n）＝16時，求k的值．【分析】（1）利用已知條件及方法代數(shù)求解（2）百位數(shù)的表示方法（3）利用前兩問的方法表示F（m），F(xiàn)（n）．利用F（m）+F（n）＝16，求解不定等式中x與y的值．進而求出F（m），F(xiàn)（n）的值．【解答】解：（1）F（243）＝（423+342+234）÷111＝9，F(xiàn)（761）＝（671+167+716）÷111＝14．（2）∵相異數(shù)p＝100a+10b+c，（其中a，b，c均為小于10的正整數(shù)），∴F（p）＝[100（a+b+c）+10（a+b+c）+（a+b+c）]÷111＝a+b+c故答案為：a+b+c（3）∵m，n都是“相異數(shù)”，且m＝100x+23，n＝150+y（1≤x≤9，1≤y≤9且x，y都是正整數(shù)），∴F（m）＝[100（x+2+3）+10（x+2+3）+（x+2+3）]÷111＝x+5，F(xiàn)（n）＝（51y+y51+1y5）＝[100（1+5+y）+10（1+5+y）+（1+5+y）]÷111＝6+y又∵F（m）+F（n）＝16∴x+y＝5．又∵1≤x≤9，1≤y≤9∴當x＝1，y＝4當x＝2，y＝3當x＝3，y＝2當x＝4，y＝1．又∵m，n都是“相異數(shù)”，∴x≠2，x≠3，y≠1∴x＝1，y＝4∴F（m）＝6，F(xiàn)（n）＝10∴k＝6÷10＝0.6故k＝0.627．（2020秋?天元區(qū)期中）教科書中這樣寫道：“我們把多項式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一個多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當?shù)捻?，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學方法，不僅可以將一個看似不能分解的多項式分解因式，還能解決一些與非負數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式最大值，最小值等．例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；例如求代數(shù)式2x2+4x﹣6的最小值.2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知當x＝﹣1時，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根據(jù)閱讀材料用配方法解決下列問題：（1）分解因式：m2﹣4m﹣5＝（m+1）（m﹣5）．（2）當a，b為何值時，多項式2a2+3b2﹣4a+12b+18有最小值，并求出這個最小值．（3）當a，b為何值時，多項式a2﹣4ab+5b2﹣4a+4b+27有最小值，并求出這個最小值．【分析】（1）根據(jù)閱讀材料，先將m2﹣4m﹣5變形為m2﹣4m+4﹣9，再根據(jù)完全平方公式寫成（m﹣2）2﹣9，然后利用平方差公式分解即可；（2）利用配方法將多項式轉(zhuǎn)化為完全平方式，然后利用非負數(shù)的性質(zhì)進行解答；（3）利用配方法將多項式轉(zhuǎn)化為完全平方式，然后利用非負數(shù)的性質(zhì)進行解答．【解答】解：（1）m2﹣4m﹣5＝m2﹣4m+4﹣9＝（m﹣2）2﹣9＝（m﹣2+3）（m﹣2﹣3）＝（m+1）（m﹣5）．故答案為（m+1）（m﹣5）；（2）2a2+3b2﹣4a+12b+18＝2（a2﹣2a）+3（b2+4b）+18＝2（a2﹣2a+1）+3（b2+4b+4）+4＝2（a﹣1）2+3（b+2）2+4，當a＝1，b＝﹣2時，2a2+3b2﹣4a+12b+18有最小值，最小值為4；（3）∵a2﹣4ab+5b2﹣4a+4b+27＝a2﹣4a（b+1）+4（b+1）2+（b﹣2）2+19＝（a﹣2b﹣2）2+（b﹣2）2+19，∴當a＝6，b＝2時，多項式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+27有最小值19．28．（2022秋?密云區(qū)期末）閱讀材料，解決問題．數(shù)學活動課上，曉文同學提出一個猜想：一個兩位數(shù)，其十位數(shù)字大于個位數(shù)字，且個位數(shù)字不為0．將它的十位數(shù)字和個位數(shù)字交換位置之后，得到一個新的兩位數(shù)．那么原數(shù)與新數(shù)的差