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重慶市涪陵高級中學2024屆高三開學考試數(shù)學試卷考試時間:120分鐘總分:150分一、單選題1.已知集合,集合,則()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式求出集合,再求交集即可.【詳解】由得,故,所以,又,所以.故選:B.2.下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在上不單調(diào)的是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的概念判斷即可.【詳解】對于A,定義域,但,為奇函數(shù),且在上單調(diào)遞減,故A錯誤;對于C,為偶函數(shù),且在上既有增區(qū)間,也有減區(qū)間,所以在上不單調(diào),故B正確;對于C,在單調(diào)遞減,不符合題意,故C錯誤;對于D,在單調(diào)遞增,不符合題意,故D錯誤.故選:B3.設,則的大小關(guān)系為()A. B. C. D.4.已知曲線且過定點,若且,則的最小值為()A.9 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定的曲線,求出,再利用“1”的妙用求出最小值作答.【詳解】曲線且中,由,得,因此該曲線過定點,即,于是,又,因此,當且僅當,即時取等號,所以的最小值為16.故選:C5.已知關(guān)于x的不等式的解集為或,則下列結(jié)論正確的是()A. B.C. D.的解集是6.已知是上的單調(diào)遞減函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍為()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由分段函數(shù)兩段都是減函數(shù),以及端點處函數(shù)值的關(guān)系可得答案.【詳解】因為是上的單調(diào)遞減函數(shù),所以,解得.故選:C.7.設函數(shù),若是奇函數(shù),則()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性求出,得到函數(shù)的解析式,根據(jù)解析式求函數(shù)值即可.【詳解】由已知可得,則.因為是奇函數(shù),所以,因為,解得,所以,所以.故選:D.8.已知函數(shù)是定義在區(qū)間上的偶函數(shù),且當時,,則方程根的個數(shù)為()A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為與的交點個數(shù),由解析式畫出在上的圖象,再結(jié)合偶函數(shù)的對稱性即可知定義域上的交點個數(shù).【詳解】要求方程根的個數(shù),即為求與的交點個數(shù),由題設知,在上的圖象如下圖示,∴由圖知:有3個交點,又由在上是偶函數(shù),∴在上也有3個交點,故一共有6個交點.故選:D.【點睛】關(guān)鍵點點睛:將問題轉(zhuǎn)化為與的交點個數(shù),利用數(shù)形結(jié)合思想及偶函數(shù)的對稱性求交點的個數(shù).二、多選題9.當時,冪函數(shù)的圖像在直線的下方,則的值可能為()A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】轉(zhuǎn)化為當時,恒成立,可得,由此可得解.【詳解】根據(jù)題意得當時,,可知,故選:AB10.已知函數(shù)為上的奇函數(shù),為偶函數(shù),下列說法正確的有()A.圖象關(guān)于直線對稱 B.C.的最小正周期為4 D.對任意都有【答案】ABD【解析】【分析】由奇偶性知的對稱中心為、對稱軸為,進而推得,即可判斷各選項的正誤.【詳解】由的對稱中心為,對稱軸為,則也關(guān)于直線對稱且,A、D正確,由A分析知:,故,所以,所以的周期為4,則,B正確;但不能說明最小正周期為4,C錯誤;故選:ABD11.下列說法正確的是()A.若函數(shù)的定義域為,則函數(shù)的定義域為B.的最大值為C.的圖象關(guān)于成中心對稱D.函數(shù)的減區(qū)間是【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)抽象函數(shù)定義域可判斷A,根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)判斷B,根據(jù)函數(shù)圖象的平移變換判斷C,根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)判斷出D即可.【詳解】選項A,函數(shù)的定義域為,由,解得,所以函數(shù)的定義域為,故選項A正確選項B,,因為,所以由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得,所以當時函數(shù)取得的最小值為,故選項B不正確選項C,因為的對稱中心為,將函數(shù)的圖象向左平移個單位,再向上平移個單位得到,對稱中心為,故選項C正確;選項D,為開口向上的二次函數(shù),且時,解得或,所以當時,單調(diào)遞減,當時,單調(diào)遞增,結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)的減區(qū)間是,故選項D錯誤;故選:AC12.已知,,且,則()A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用基本不等式和不等式的性質(zhì)對選項進行分析,從而確定正確答案.【詳解】根據(jù)基本不等式可知,則,當且僅當,時,等號成立,故A正確;因,,變形得,所以當且僅當,即,時,等號成立,所以,故B錯誤;由,,,所以,即,故C正確;由,可得,根據(jù)前面分析得,即,所以,即,故D正確.故選:ACD三、填空題13.若命題“”為假命題,則實數(shù)a的取值范圍是__________.【解題思路】由原命題是假命題知它的否定命題是真命題,由此求出實數(shù)a的取值范圍.【解答過程】“?x0∈[?1,2]則它的否定命題:“?x∈[?1,2],x?a≤0”是真命題;所以x∈[?1,2],a≥x恒成立,所以a≥2,即實數(shù)a的取值范圍是2,+∞.故答案為:2,+∞.14.若函數(shù)滿足,則__________.【答案】1【解析】【分析】根據(jù),分別令,求解.【詳解】因為,令可得:,①令可得:,②聯(lián)立①②可得:,故答案為:1.15.已知函數(shù)是定義在[-5,5]上的偶函數(shù),且在區(qū)間是減函數(shù),若,則實數(shù)a的取值范圍是_______.【答案】【解析】【分析】利用奇偶性及單調(diào)性將原命題等價轉(zhuǎn)化為,從而解該不等式組即可求得正解.【詳解】由已知可得原不等式等價于,結(jié)合單調(diào)性可得.故答案為:已知函數(shù),的最大值為M,最小值為m,則______.解答題17.(本題滿分10分)計算:(1)(2)【答案】4,,11/2(1).(2)原式.18.(本題滿分12分)已知集合,.(1)若,求m的取值范圍;(2)若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要條件,求m的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)先求出,由得到,得到不等式組,求出m的取值范圍;(2)根據(jù)充分不必要條件得到是的真子集,分與兩種情況進行求解,求得m的取值范圍.【小問1詳解】,解得:,故,因為,所以,故,解得:,所以m的取值范圍是.小問2詳解】若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要條件,則是的真子集,當時,,解得:,當時,需要滿足:或,解得:綜上:m的取值范圍是19.(本題滿分12分)已知函數(shù)(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增,求的最小值;(2)若函數(shù)的圖象與有且只有一個交點,求的取值范圍.【解析】(1),,因函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以在恒成立,即,的最小值為.(2)與有且只有一個交點,即只有一個根,只有一個根,20.(本小題滿分12分)新能源汽車是指除汽油、柴油發(fā)動機之外的所有其他能源汽車,被認為能減少空氣污染和緩解能源短缺的壓力.在當今提倡全球環(huán)保的前提下,新能源汽車越來越受到消費者的青睞,新能源汽車產(chǎn)業(yè)也必將成為未來汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展的導向與目標.某機構(gòu)從某地區(qū)抽取了500名近期購買新能源汽車的車主,調(diào)查他們的年齡情況,其中購買甲車型的有200人.(1)將年齡不低于45歲的人稱為中年,低于45歲的人稱為青年,購買其他車型的車主青年人數(shù)與中年人數(shù)之比為.完成下列列聯(lián)表,依據(jù)的獨立性檢驗,能否認為購買甲車型新能源汽車與年齡有關(guān)?青年中年合計甲車型其他車型合計(2)用分層抽樣的方法從購買甲車型的樣本中抽取8人,再從中隨機抽取4人,記青年有人,求的分布列和數(shù)學期望.附:.2.7063.8416.6357.879【答案】(1)有的把握認為購買甲車型新能源汽車與年齡有關(guān).(2)分布列見解析,.【解析】【分析】(1)根據(jù)分布列和已知條件求出購買甲車型和其他車型的青年、中年人數(shù),可得列聯(lián)表,然后計算卡方,查表可作出判斷;(2)先計算各層所抽取人數(shù),然后由超幾何分布概率公式求概率可得分布列,再根據(jù)期望公式可解.【小問1詳解】由直方圖可知,購買甲車型的青年人數(shù)為人,中年人數(shù)為人,購買其他車型的青年人數(shù)為人,中年人數(shù)為人,于是的列聯(lián)表:青年中年合計甲車型12575200其他車型22575300合計350150500因為,所以,有的把握認為購買甲車型新能源汽車與年齡有關(guān).【小問2詳解】用分層抽樣的方法從購買甲車型的樣本中抽取8人,則青年有人,中年有人,所以的可能取值為1,2,3,4.,,,,所以的分布列為:X1234P所以.21.(本題滿分12分)已知函數(shù).(1)判斷函數(shù)在R上的單調(diào)性,并用單調(diào)性的定義證明;(2)若,①判斷函數(shù)的奇偶性,并證明;②若恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.【答案】(1)函數(shù)是上的增函數(shù),證明見詳解;(2)①函數(shù)為奇函數(shù),證明見詳解;②【解析】【分析】(1)利用單調(diào)性的定義證明,任取,設,然后,再分析判斷其符號即可.(2)當時,①,直接利用函數(shù)奇偶性的定義判斷;②利用函數(shù)是奇函數(shù),將,轉(zhuǎn)化為,再利用是上的單調(diào)增函數(shù)求解.【小問1詳解】函數(shù)是增函數(shù),定義域:,任取,不妨設,,,∵,∴.又,∴,即,∴函數(shù)是上的增函數(shù).【小問2詳解】當時,①,定義域為,關(guān)于原點對稱,,∴函數(shù)是定義域內(nèi)的奇函數(shù).②等價于,∵是上的單調(diào)增函數(shù),∴,即恒成立,∴,解得.22.(本題12分)已知函數(shù),.(1)若在點處的切線與在點處的切線互相平行,求實數(shù)a的值;(2)若對,恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)2(2)[,+∞)【解析】【分析】(1)分別求得和,根據(jù),列出方程,即可求解;(2)將不等式變形轉(zhuǎn)化為,構(gòu)造函數(shù),,利用導數(shù)求得函數(shù)單調(diào)性和最值,即可求出實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】依題意,,,則,,因為在點,處的切線與在點,處的切線互相平行,所以,又因為,所以【小問2詳解】由,得,即,即,設,則,,由,設,可得,所以時,,單調(diào)遞減;當時,,單調(diào)遞增,所以,所以在上單調(diào)遞增,所以對恒成立,即對恒成立,設,則,當時
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