重慶市西南大學(xué)附屬中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)開學(xué)考試試題【含答案】

重慶市西南大學(xué)附屬中學(xué)2023－2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)開學(xué)考試同步練習(xí)（滿分150分，考試120分鐘）一．選擇題（共10小題，滿分40分，每小題4分）1.下列各圖是選自歷屆世界大運(yùn)會(huì)的會(huì)徽?qǐng)D案，其中是軸對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念求解．如果一個(gè)圖形沿一條直線對(duì)折，直線兩旁部分重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形．【詳解】A、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；B、是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；C、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；D、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，對(duì)稱軸兩側(cè)部分能重合．2.如圖，△ABC與△DEF位似，點(diǎn)O為位似中心，已知OA：OD=1：3，且△ABC的周長(zhǎng)為4，則△DEF的周長(zhǎng)為（）A.8 B.12 C.16 D.36【答案】B【解析】【分析】根據(jù)OA：OD=1：3可得相似比為1：3，即可求解．【詳解】解：∵△ABC與△DEF位似，OA：OD=1：3，∴△ABC與△DEF位似比為1：3，∴△ABC與△DEF相似比為1：3，∴△ABC與△DEF周長(zhǎng)比為1：3，∴△DEF的周長(zhǎng)為12，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是位似圖形的概念、相似三角形的性質(zhì)，掌握位似的兩個(gè)三角形是相似三角形、相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．3.對(duì)于二次函數(shù)，其圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)頂點(diǎn)式，直接可得頂點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】解：二次函數(shù)，其圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了通過二次函數(shù)頂點(diǎn)式寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)，熟練掌握二次函數(shù)頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵．4.估計(jì)的運(yùn)算結(jié)果在哪兩個(gè)整數(shù)之間（）A.3和4 B.4和5 C.5和6 D.6和7【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二次根式的運(yùn)算可進(jìn)行求解．【詳解】解：，∵，∴，∴的運(yùn)算結(jié)果在4和5之間；故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的運(yùn)算及無(wú)理數(shù)的估算，熟練掌握二次根式的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．5.如圖，是由一些小棒搭成的圖案，按照這種方式擺下去，擺第9個(gè)圖案所用小棒的數(shù)量為（）A.33 B.36 C.37 D.41【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題目中的圖形，可以發(fā)現(xiàn)火柴根數(shù)的變化規(guī)律，從而可以得到擺第9個(gè)圖案用多少根火柴棒．【詳解】解：由圖可得，圖①中火柴的根數(shù)為：，圖②中火柴的根數(shù)為：，圖③中火柴的根數(shù)為：，，則擺第9個(gè)圖案中火柴的根數(shù)為：，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查圖形的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)題目中火柴根數(shù)的變化規(guī)律，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．6.我市某家快遞公司，今年8月份與10月份完成投遞的快遞總件數(shù)分別為2萬(wàn)件和2.88萬(wàn)件．若設(shè)該快遞公司由8月份到10月份投遞總件數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為x，則以下所列方程正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意列出等量關(guān)系：10月份投遞總件數(shù)=8月份投遞總件數(shù)月平均增長(zhǎng)率月平均增長(zhǎng)率，即可解出此題．【詳解】解：根據(jù)10月份投遞總件數(shù)=8月份投遞總件數(shù)月平均增長(zhǎng)率月平均增長(zhǎng)率，可得方程：故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．7.如圖，在中，，，，垂足為，的平分線交于點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件得出，根據(jù)含度角的直角三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∵是的平分線，∴，∴，，∴∴∴,∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的兩個(gè)銳角互余，等角對(duì)等邊，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，求得是解題的關(guān)鍵．8.二次函數(shù)的圖象的一部分如圖所示．已知圖象經(jīng)過點(diǎn)，其對(duì)稱軸為直線，下列結(jié)論：①；②；③；④不等式的解集是；⑤若拋物線經(jīng)過點(diǎn)，則關(guān)于x的一元二次方程的兩根分別為，上述結(jié)論中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】D【解析】【分析】由已知條件得出：，，利用上述條件進(jìn)行適當(dāng)變形，再結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)對(duì)每個(gè)結(jié)論進(jìn)行逐一分析，得出正確選項(xiàng)．【詳解】解：∵圖象開口向下，∴，∵對(duì)稱軸為直線，∴，∴，∵圖象與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方，∴，∴，故①正確；由圖象可知，當(dāng)時(shí)，，∴，故②正確；∵對(duì)稱軸為直線，∴，即，故③正確；∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，其對(duì)稱軸為直線，∴拋物線與x軸另一交點(diǎn)為，∴不等式的解集是，故④正確；∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，∴是的一個(gè)根，∵對(duì)稱軸是直線，∴另一個(gè)根為，故⑤錯(cuò)誤∴正確的有①②③④，共4個(gè)，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，關(guān)鍵是要牢記圖象與各系數(shù)之間的關(guān)系．9.如圖，在矩形ABCD中，，，連接BD，將繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)N，連接，當(dāng)時(shí)，則的面積為（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先證明∽，求得，過點(diǎn)D作DG⊥B′A并交B′A的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，先后求得GD、AG、B′G和B′A的長(zhǎng)，再利用三角形面積公式即可求解．【詳解】解：∵矩形ABCD中，∠ABD=60°，BC=4，∴∠CBD=∠ADB=30°，∴BD=2CD，由勾股定理得：CD=4，BD=8，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知B′D=BD，C′D=CD，，∴，∴∽，∴，∴，過點(diǎn)D作DG⊥B′A并交B′A延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，又∵，，，∴∠GAD=30°，∴GD=AD=2，AG=6，B′G=2，∴B′A=2-6，∵∠B′AB=∠ABD=60°，∴B′A∥BD，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．10.已知，（為正整數(shù)），下列說法：①；②；③；④若，則的最小值為3．其中正確選項(xiàng)的個(gè)數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)新定義得出，，進(jìn)而判斷①②；根據(jù)新定義得出，進(jìn)而根據(jù)分式的性質(zhì)化簡(jiǎn)判斷③，根據(jù)已知條件化簡(jiǎn)，得出，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，故①正確；∵，∴∴，故②不正確；∵，∴，故③不正確；若即∴的最大值為，沒有最小值，故④不正確，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義運(yùn)算，分式的混合運(yùn)算，二次函數(shù)的性質(zhì)求最值，熟練掌握分式的化簡(jiǎn)求值，理解新定義是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共8小題，滿分32分，每小題4分）11.計(jì)算：_______．【答案】【解析】【分析】先計(jì)算零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，再作加減法，即可求解．【詳解】解：，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確零指數(shù)冪和負(fù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則．12.有四張正面寫有數(shù)字，，，卡片，卡片除數(shù)字外其余完全相同，將其背面向上并洗勻，隨機(jī)抽取張后，不放回，再隨機(jī)抽取張，那么兩張卡片的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)列表法求概率即可求解．【詳解】解：列表如圖，共有12種等可能結(jié)果，其中符合題意的有4種，∴兩張卡片的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是根據(jù)概率公式求概率，用列表法求概率．解題時(shí)要注意此題是放回試驗(yàn)還是不放回試驗(yàn)．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．13.小穎在地面E處放一面鏡子，當(dāng)他垂直于地面AC站立于點(diǎn)C處時(shí)，剛好能從鏡子中看到教學(xué)樓的頂端B，F(xiàn)E⊥AC，根據(jù)光的反射定律有∠FEB=∠FED，此時(shí)EA=20米，CE=2.5米．已知眼睛距離地面的高度DC=1.6米，則教學(xué)樓的高度為_____________米．【答案】12.8【解析】【分析】根據(jù)反射角等于入射角可得∠AEB=∠CED，則可判斷Rt△AEB∽R(shí)t△CED，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求出AB．【詳解】解：根據(jù)題意得∠AEB=∠CED，∠BAE=∠DCE=90°，∴△AEB∽△CED，∴，即，解得：AB=12.8（米）．答：教學(xué)樓AB的高度為12.8米．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，利用入射與反射構(gòu)造相似三角形是解決問題的關(guān)鍵．14.已知實(shí)數(shù)m，n滿足等式m2+2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0，那么求的值是_____．【答案】2或﹣6【解析】【分析】分兩種情況討論：①當(dāng)m≠n時(shí)，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案；②當(dāng)m=n時(shí)，直接得出答案．【詳解】由題意可知：m、n是方程x2+2x﹣1=0的兩根，分兩種情況討論：①當(dāng)m≠n時(shí)，由根與系數(shù)的關(guān)系得：m+n=﹣2，mn=﹣1，∴原式6，②當(dāng)m=n時(shí)，原式=1+1=2．綜上所述：的值是2或﹣6．故答案為：2或﹣6．【點(diǎn)睛】本題考查了構(gòu)造一元二次方程求代數(shù)式的值，解答本題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系，本題屬于中等題型．15.如圖，在中，，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，連接，將沿直線翻折得到，連接．若，則線段的長(zhǎng)為_______．【答案】####【解析】【分析】連接，延長(zhǎng)交與點(diǎn)H，作，垂足為F．首先證明垂直平分線段，是直角三角形，利用三角形的面積求出，得到的長(zhǎng)，在中，利用勾股定理即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接，延長(zhǎng)交與點(diǎn)H，作，垂足為F．∵在中，，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，，∴．∵，∴．∵，∴，解得．∵將沿直線翻折得到，∴，∴．∵，∴為直角三角形，，∴，∴，∵，∴．∴．∵，∴．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換（折疊問題），直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用面積法求高．16.若關(guān)于x的一元一次不等式組無(wú)解，且使關(guān)于y的分式方程有整數(shù)解，則所有符合題意的整數(shù)a的值之和是______．【答案】【解析】【分析】不等式組變形后，根據(jù)無(wú)解確定出的范圍，再表示出分式方程的解，由分式方程有非負(fù)整數(shù)解，確定出滿足條件的值，進(jìn)而求出之和．【詳解】解∶解不等式得：，解不等式得，∵一元一次不等式組無(wú)解，∴，解得，解分式方程，得，∵關(guān)于的分式方程有整數(shù)解，∴或∴或或或，時(shí)，，原分式方程無(wú)解，故將舍去，∴符合條件的所有整數(shù)的和是，故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，解一元一次不等式組，熟練掌握解分式方程和一元一次不等式組的方法是解題的關(guān)鍵．17.如圖，平行四邊形ABCD的BC邊過原點(diǎn)O，頂點(diǎn)D在x軸上，反比例函數(shù)的圖象過AD邊上的A，E兩點(diǎn)，已知平行四邊形ABCD的面積為8，，則k的值為______．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征，利用平行線分線段成比例，及三角形的面積列出方程求解．【詳解】解：過點(diǎn)A作AF⊥x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作EH⊥x軸于點(diǎn)H，則AFEH，則：，△DEH∽△DAF，∴，設(shè)A（x，y），則E（3x，y），則AF＝y(tǒng)，OF＝x，OH＝3x，EH＝y(tǒng)，∴FH＝2x，DH＝x，OD＝4x，∵平行四邊形ABCD的面積為8m，則△AOD的面積是4，則△ODE的面積是，∴×y×4x＝，∴xy＝2，∴k＝xy＝2．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查看反比例函數(shù)的k的意義，結(jié)合平行線分線段成比例列方程是解題的關(guān)鍵．18.對(duì)任意一個(gè)四位數(shù)m，如果m各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字都不為零且互不相同，滿足個(gè)位與千位上的數(shù)字的和等于十位與百位上的數(shù)字和，那么稱這個(gè)數(shù)為“同和數(shù)”，將一個(gè)“同和數(shù)”m的個(gè)位與千位兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字對(duì)調(diào)后得到一個(gè)新的四位數(shù)，將m的十位與百位兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字對(duì)調(diào)后得到另一個(gè)新四位數(shù)，記．若s，t都是“同和數(shù)”，其中，（，y，e，），且x，y，e，f都是正整數(shù)，規(guī)定：，用含“x，f”的代數(shù)式表示______，當(dāng)能被20整除時(shí)，k的所有取值之積為______．【答案】①②.【解析】【分析】由題意可知，，求得，，，由，，可知，根據(jù)能被20整除，可得，可得，，當(dāng)，6，7，8時(shí)：，，，，即可求出k的所有取值之積．【詳解】解：∵若s，t都是“同和數(shù)”，其中，（，y，e，），且x，y，e，f都是正整數(shù)，∴，，∴，，∴，∵，，∴，∵能被20整除，∴，則，即：∴，，∵各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字都不為零且互不相同，∴，∴當(dāng)，6，7，8時(shí)：，，，，∴k的所有取值之積為：，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，閱讀理解題目是本題的關(guān)鍵．三．解答題（共8小題，滿分78分）19.解方程：（1）（x+3）2＝9；（2）2x2﹣4x+1＝0【答案】（1）x＝0或x＝﹣6；（2）x＝1±.【解析】【分析】（1）用直接開平方法求解即可；（2）用配方法求解即可.【詳解】解：（1）∵（x+3）2＝9，∴x+3＝±3，∴x＝0或x＝﹣6；（2）∵2x2﹣4x+1＝0，∴x2﹣2x＝，∴x2﹣2x+1＝，∴（x﹣1）2＝，∴x﹣1＝±，∴x＝1±；【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解法，常用的方法由直接開平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，靈活選擇合適的方法是解答本題的關(guān)鍵.20.如圖，是平行四邊形的對(duì)角線，平分，交于點(diǎn)E．（1）請(qǐng)用尺規(guī)作的角平分線，交于點(diǎn)F（只保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）根據(jù)圖形證明四邊形為平行四邊形．請(qǐng)完成下面的填空．證明：∵四邊形是平行四邊形．∴∴．（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．又∵平分，平分，∴，．∴．∴．又∵四邊形是平行四邊形．∴．∴四邊形為平行四邊形（）（填推理的依據(jù)）．【答案】（1）見解析（2）；，，．，兩組對(duì)邊平行的四邊形為平行四邊形．【解析】【分析】（1）利用基本作圖，作的平分線即可；

（2）先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，，則根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，再根據(jù)角平分線的定義得到，，所以．于是可判斷．然后利用可判斷四邊形為平行四邊形．【小問1詳解】如圖，為所作；

【小問2詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形．∴∴．（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．又∵平分，平分，∴，．∴．∴．又∵四邊形是平行四邊形．∴．∴四邊形為平行四邊形（兩組對(duì)邊平行的四邊形為平行四邊形）．故答案為：；，，．，兩組對(duì)邊平行四邊形為平行四邊形.【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關(guān)鍵．也考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)．21.4月，某校初2021級(jí)800名學(xué)生進(jìn)行了一次政治測(cè)試（滿分：50分）．測(cè)試完成后，在甲乙兩班各抽取了20名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理分析，并給出了下列信息：甲班20名同學(xué)的測(cè)試成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下：41，47，43，45，50，49，48，50，50，49，48，47，44，50，43，50，50，50，49，47．乙班20名同學(xué)的測(cè)試成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下：組別頻數(shù)1169其中，乙班20名同學(xué)的測(cè)試成績(jī)高于46，但不超過48分的成績(jī)?nèi)缦拢?7，48，48，47，48，48．甲乙兩班抽取的學(xué)生的測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如表所示：班級(jí)平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)甲班47.548.5乙班47.549（1）根據(jù)以上信息可以求出：_____，_____，_____；（2）你認(rèn)為甲乙兩個(gè)班哪個(gè)班的學(xué)生政治測(cè)試成績(jī)較好，請(qǐng)說明理由（理由寫出一條即可）；（3）若規(guī)定49分及以上為優(yōu)秀，請(qǐng)估計(jì)該校初2021級(jí)參加此次測(cè)試的學(xué)生中優(yōu)秀的學(xué)生有多少人？【答案】（1）3，48，50（2）甲班的成績(jī)較好，理由：甲乙兩班的平均數(shù)相等、甲班的中位數(shù)、眾數(shù)都比乙班的大（3）估計(jì)該校初2021級(jí)參加此次測(cè)試的學(xué)生中優(yōu)秀的學(xué)生有380人【解析】【分析】（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)和中位數(shù)、眾數(shù)的定義求解即可；（2）根據(jù)甲乙兩班的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)分析決策即可；（3）用總?cè)藬?shù)乘以樣本中優(yōu)秀人數(shù)所占的比例求解即可．【小問1詳解】解：；乙班成績(jī)第10、11個(gè)數(shù)為成績(jī)高于46，但不超過48分的成績(jī)的較大的兩個(gè)，為48，48．∴；將甲班20名同學(xué)的測(cè)試成績(jī)按從小到大的順序排列：41，43，43，44，45，47，47，47，48，48，49，49，49，50，50，50，50，50，50，50，甲班的測(cè)試成績(jī)出現(xiàn)次數(shù)最多的是50，因此眾數(shù)是50，∴c＝50，故答案為：3，48，50；【小問2詳解】解：甲班成績(jī)較好，理由：甲乙兩班的平均數(shù)相等、甲班的中位數(shù)、眾數(shù)都比乙班的大；【小問3詳解】解：（人），答：估計(jì)該校初2021級(jí)參加此次測(cè)試的學(xué)生中優(yōu)秀的學(xué)生有380人．【點(diǎn)睛】本題考查頻數(shù)分布表、中位數(shù)、眾數(shù)、用樣本估計(jì)總體，理解中位數(shù)和眾數(shù)的定義，并會(huì)利用這些統(tǒng)計(jì)量作決策是解答的關(guān)鍵．22.如圖所示，在長(zhǎng)方形中，，的平分線交邊于點(diǎn)E，于點(diǎn)H，連接并延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)F，連接交于點(diǎn)O．（1）求證：；（2）試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）若，求的面積．【答案】（1）證明見解析（2），證明見解析（3）【解析】【分析】（1）由平分知．依據(jù)得，據(jù)此知．再證即可得．（2）由，知，據(jù)此得從而得出答案；（3）先證，從而求得，證知兩三角形面積相等，再進(jìn)一步求的面積即可．【小問1詳解】解：在矩形中，，，．∵平分，∴．∵，∴．而，∴，∴．又∵，在和中，∵，，∴．∴．【小問2詳解】；理由是：∵，，∴，∵，，∴，∵，，∴，∴，∴；【小問3詳解】∵，，∴，又∵，∴．∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，在和中，∵，，，∴．如圖，過點(diǎn)H作于點(diǎn)G，∴為等腰直角三角形，而，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合問題，解題的關(guān)鍵是掌握矩形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，二次根式的混合運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn)，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解本題的關(guān)鍵．23.某鎮(zhèn)道路改造工程，由甲、乙兩工程隊(duì)合作完成．甲工程隊(duì)單獨(dú)施工比乙工程隊(duì)單獨(dú)施工多用30天完成此項(xiàng)工程,甲工程隊(duì)30天完成的工程與甲、乙兩工程隊(duì)10天完成的工程相等．（1）求甲、乙兩工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程各需要多少天？（2）如果甲工程隊(duì)施工每天需付施工費(fèi)1萬(wàn)元，乙工程隊(duì)施工每天需付施工費(fèi)2.5萬(wàn)元，甲工程隊(duì)至少要單獨(dú)施工多少天后，再由甲、乙兩工程隊(duì)合作施工完成剩下的工程，才能使施工費(fèi)不超過64萬(wàn)元？【答案】（1）甲、乙兩工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程各需要60天和30天；（2）甲工程隊(duì)至少單獨(dú)施工36天.【解析】【分析】（1）設(shè)乙工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程各需要的天數(shù)為x，則甲單獨(dú)完成需要（x+30）天，根據(jù)題意即可列出分式方程進(jìn)行求解；（2）設(shè)甲單獨(dú)施工y天，根據(jù)題意列出不等式進(jìn)行求解.【詳解】（1）設(shè)乙工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程各需要的天數(shù)為x，則甲單獨(dú)完成需要（x+30）天，根據(jù)題意得，解得x=30，經(jīng)檢驗(yàn)，x=30是原方程的解，故甲、乙兩工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程各需要60天和30天；（2）設(shè)甲單獨(dú)施工y天，根據(jù)題意得解得y≥36，故甲工程隊(duì)至少單獨(dú)施工36天.【點(diǎn)睛】此題主要考查分式方程與不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等量關(guān)系或不等關(guān)系進(jìn)行求解.24.如圖，在中，，，，，點(diǎn)E在BD上且，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿B→A→C運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路程為x，的面積為．（1）求關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；（2）在坐標(biāo)系中畫出的函數(shù)圖象；（3）觀察函數(shù)圖象，請(qǐng)寫出一條該函數(shù)的性質(zhì)____________________；（4）在坐標(biāo)系中畫出的函數(shù)圖象，并結(jié)合圖象直接寫出時(shí)x的取值范圍．【答案】（1）；（2）如圖所示：；（3）當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；（4）如圖所示：．【解析】【分析】（1）分兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)點(diǎn)P在AB邊上時(shí)，作，此時(shí)；當(dāng)點(diǎn)P在AC邊上時(shí)，作，此時(shí)；分別用含x的代數(shù)式表示線段長(zhǎng)度，計(jì)算得出答案；（2）根據(jù)第1問求出的函數(shù)解析式，在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)繪制函數(shù)圖象；（3）直接觀察函數(shù)圖象可得；（4）在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)繪制函數(shù)圖象，觀察函數(shù)圖象可知有兩個(gè)交點(diǎn)，計(jì)算求出交點(diǎn)橫坐標(biāo)，當(dāng)時(shí)，圖象在圖象上方，得到x的取值范圍．【小問1詳解】動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿B→A→C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P在AB邊上時(shí)，如圖所示：作，垂足為點(diǎn)M，，，，，；當(dāng)點(diǎn)P在AC邊上時(shí)，如圖所示：作，垂足為點(diǎn)N，，，，，,，，，，，，；綜上，，故答案是．【小問2詳解】由（1）得，，在平面直角坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的點(diǎn)，畫出的函數(shù)圖象，故答案如圖所示：【小問3詳解】由圖可得，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小；故答案是：當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大．【小問4詳解】在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)畫出的函數(shù)圖象，如圖所示：當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，令，解得或（不符合題意舍），時(shí)，，故答案是．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象、反比例函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．25.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求線段的長(zhǎng)度；（2）點(diǎn)P為直線下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱軸左側(cè)，過點(diǎn)P作軸，交于點(diǎn)D，作軸，交拋物線于點(diǎn)E．求的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（2）中取得最大值的條件下，將該拋物線沿著射線方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到一條新拋物線，M為射線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作軸交新拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)F，點(diǎn)N為直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出所有使得以點(diǎn)P，F(xiàn)，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形的點(diǎn)N的坐標(biāo)，并寫出求解點(diǎn)N的坐標(biāo)的其中一種情況的過程．【答案】（1）（2）最大值6，P的坐標(biāo)為（3）N的坐標(biāo)為或或或【解析】【分析】（1）在中，得，即可得線段的長(zhǎng)度為；（2）由，得拋物線的對(duì)稱軸是直線，設(shè)，可得，故，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得答案；（3）將拋物線沿著射線方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度相當(dāng)于先向左平移3個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，故新拋物線解析式為，新拋物線的對(duì)稱軸為直線；設(shè)，，分三種情況：①若為對(duì)角線，則的中點(diǎn)重合，且，②若為對(duì)角線，則的中點(diǎn)重合，且，③若為對(duì)角線，則的中點(diǎn)重合，且，分別列方程組即可解得答案．【小問1詳解】在中，令，得；∴；令得：，解得，或，∴，∴，∴線段的長(zhǎng)度為；【小問2詳解】∵，∴拋物線的對(duì)稱軸是直線，設(shè)，設(shè)直線的解析式為，把代入，得：，解得，∴直線的解析式為，∵軸，∴，∴,∵關(guān)于直線對(duì)稱，∴,∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，取最大值6，此時(shí)P的坐標(biāo)為；【小問3詳解】∵，∴將拋物線沿著射線方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度相當(dāng)于先向左平移3個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，∴新拋物線解析式為，∴新拋物線的對(duì)稱軸為直線；設(shè)，則，而，①若為對(duì)角線，則的中點(diǎn)重合，且，∴，解得：或（此時(shí)M不在射線上，舍去）；∴；②若為對(duì)角線，則的中點(diǎn)重合，且，∴，解得：（此時(shí)N，P重合，舍去）或，∴；③若為對(duì)角線，則的中點(diǎn)重合，且，∴，解得：或，∴或；綜上所述，N的坐標(biāo)為或或或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)坐標(biāo)的特征，菱形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是用含字母的式子表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)和相關(guān)線段的長(zhǎng)度．26.在△ABC中，90°＜∠BAC＜120°，將線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到線段AD，連接CD．（1）如圖1，若AB＝8，∠ABC＝45°，BA⊥CD，延長(zhǎng)BA，CD交于點(diǎn)K，求四邊形ABCD的面積；（2）如圖2，點(diǎn)E是CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)G是AE的中點(diǎn)，連接BE，BG，點(diǎn)F在線段AC上，點(diǎn)H在線段BG上，連接HF，若BG＝GF，HF＝BE，GA＝GH，2∠ACB＝∠EBG+∠ABC，求證：BC+CD＝AC；（3）如圖3，在（1）的條件下，點(diǎn)P是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DP，將線段DP繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到線段DP'，連接AP'，BP'，點(diǎn)M是△ABP'內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，AM+BM+P'M是否存在最小值；若存在，請(qǐng)直接寫出：AM+BM+P'M的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）S四邊形ABCD＝72﹣8（2）證明見解析（3）AM+BM+P'M的最小值為：8+6﹣2【解析】【分析】（1）解直角三角形ADK，求得AK和DK，進(jìn)一步求得結(jié)果；（2）證明△BGE≌△FGH，從而得出GH⊥AE，進(jìn)而得出AB＝BE，從而得出∠ABG＝∠EBG，進(jìn)而得出∠ACB＝30°，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至△ADC′，連接CC′，作AN⊥