河北省邯鄲市武安徘徊鎮(zhèn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期摸底試題含解析

河北省邯鄲市武安徘徊鎮(zhèn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.對(duì)于函數(shù)，，“的圖象關(guān)于軸對(duì)稱”是“是奇函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件

B.充要條件

C.必要不充分條件

D.即不充分也不必要條件參考答案：C2.設(shè)集合，則＝（

）A．

B．

C．

D．R參考答案：B略3.已知函數(shù)為非零常數(shù)，則的圖像滿足（

）A．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

B．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

D．關(guān)于直線軸對(duì)稱參考答案：A4.命題“”的否定是（）A．

B．C．成立

D．成立參考答案：D5.一條光線沿直線照射到軸后反射，則反射光線所在的直線方程為（

）． A． B． C． D．參考答案：A直線與，軸分別相交于點(diǎn)，，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)．∴光線沿直線照射到軸后反射，則反射光線所在的直線即為所在的直線，直線方程為，即，故選．6.若實(shí)數(shù)x、y滿足，則的取值范圍是

A.

B.

C.

D.參考答案：D略7.某四面體的三視圖如圖所示，正視圖、側(cè)視圖、俯視圖都是邊長為1的正方形，則此四面體的外接球的體積為A． B． C．

D．參考答案：D8.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都有（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），且f(0)=1，若關(guān)于x的不等式的解集中恰唯一一個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

A.

B.

C．

D．參考答案：B9.若存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y，使得等式2x+a（y﹣2ex）（lny﹣lnx）=0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】特稱命題．【分析】根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系將方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用換元法轉(zhuǎn)化為方程有解，構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)極值和單調(diào)性的關(guān)系進(jìn)行求解即可．【解答】解：由2x+a（y﹣2ex）（lny﹣lnx）=0得2x+a（y﹣2ex）ln=0，即2+a（﹣2e）ln=0，即設(shè)t=，則t＞0，則條件等價(jià)為2+a（t﹣2e）lnt=0，即（t﹣2e）lnt=﹣有解，設(shè)g（t）=（t﹣2e）lnt，g′（t）=lnt+1﹣為增函數(shù)，∵g′（e）=lne+1﹣=1+1﹣2=0，∴當(dāng)t＞e時(shí)，g′（t）＞0，當(dāng)0＜t＜e時(shí)，g′（t）＜0，即當(dāng)t=e時(shí)，函數(shù)g（t）取得極小值，為g（e）=（e﹣2e）lne=﹣e，即g（t）≥g（e）=﹣e，若（t﹣2e）lnt=﹣有解，則﹣≥﹣e，即≤e，則a＜0或a≥，故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查不等式恒成立問題，根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)相交問題，利用構(gòu)造法和導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)的極值和最值是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)．10.有3位男生，3位女生和1位老師站在一起照相，要求老師必須站中間，與老師相鄰的不能同時(shí)為男生或女生，則這樣的排法種數(shù)是A．144

B．216

C．288

D．432參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.6本不同的書，平均分成三份，所有不同的分法有

種（用數(shù)字回答）。參考答案：1512.已知兩定點(diǎn)和，動(dòng)點(diǎn)在直線l：上移動(dòng)，橢圓C以A，B為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)P，則橢圓C的離心率的最大值為

．參考答案：由題意知c=1，離心率e=，橢圓C以A，B為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)P，則c=1，∵P在直線l：y=x+2上移動(dòng)，∴2a=|PA|+|PB|．過A作直線y=x+2的對(duì)稱點(diǎn)C，設(shè)C（m，n），則由，解得，即有C（﹣2，1），則此時(shí)2a=|PA|+|PB|≥|CD|+|DB|=|BC|=，此時(shí)a有最小值，對(duì)應(yīng)的離心率e有最大值．故答案為：

13.不等式ex≥kx對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)k的最大值為．參考答案：e【考點(diǎn)】3R：函數(shù)恒成立問題．【分析】由題意可得f（x）=ex﹣kx≥0恒成立，即有f（x）min≥0，求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，討論k，可得最小值，解不等式可得k的最大值．【解答】解：不等式ex≥kx對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，即為f（x）=ex﹣kx≥0恒成立，即有f（x）min≥0，由f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=ex﹣k，當(dāng)k≤0，ex＞0，可得f′（x）＞0恒成立，f（x）遞增，無最大值；當(dāng)k＞0時(shí)，x＞lnk時(shí)f′（x）＞0，f（x）遞增；x＜lnk時(shí)f′（x）＜0，f（x）遞減．即有x=lnk處取得最小值，且為k﹣klnk，由k﹣klnk≥0，解得k≤e，即k的最大值為e，故答案為：e．14.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為。過的直線L交C于兩點(diǎn)，且△ABF2的周長為16，那么的方程為

。參考答案：15.半徑為的球的內(nèi)接圓柱的最大側(cè)面積為

．參考答案：

略16.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且.請(qǐng)寫出一個(gè)滿足條件的數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=________．參考答案：（答案不唯一）【分析】首先由題意確定數(shù)列的特征，然后結(jié)合數(shù)列的特征給出滿足題意的數(shù)列的通項(xiàng)公式即可.【詳解】，則數(shù)列是遞增的，，即最小，只要前6項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，或前5項(xiàng)為負(fù)數(shù)，第6項(xiàng)為0，即可，所以，滿足條件的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式（答案不唯一）【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)，數(shù)列的通項(xiàng)公式的確定等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.17.設(shè)p：f（x）=ex+lnx+2x2+mx+1在（0，+∞）上單調(diào)遞增，q：m≥﹣5，則p是q的條件．參考答案：必要不充分【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系求出m的范圍．結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【解答】解：由題意得f′（x）=ex++4x+m，∵f（x）=ex+lnx+2x2+mx+1在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，∴f′（x）≥0，即ex++4x+m≥0在定義域內(nèi)恒成立，由于+4x≥4，當(dāng)且僅當(dāng)=4x，即x=時(shí)等號(hào)成立，故對(duì)任意的x∈（0，+∞），必有ex++4x＞5∴m≥﹣ex﹣﹣4x不能得出m≥﹣5但當(dāng)m≥﹣5時(shí)，必有ex++4x+m≥0成立，即f′（x）≥0在x∈（0，+∞）上成立∴p不是q的充分條件，p是q的必要條件，即p是q的必要不充分條件故答案為：必要不充分三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分13分）已知函數(shù)f（x）=.（Ⅰ）若a=1，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程；（Ⅱ）若對(duì)，函數(shù)的值恒大于零，求的取值范圍．參考答案：解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=，f（2）=3；f’(x)=,f’(2)=6.所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為y-3=6（x-2），即y=6x-9.（Ⅱ）把原函數(shù)看成是關(guān)于的一次函數(shù)，令，則原問題轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立問題。若，恒成立，若，則問題轉(zhuǎn)化為，解得所以的取值范圍是。略19.如圖一，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，M為測棱PD上一點(diǎn)，且該四棱錐的俯視圖和側(cè)視圖如圖二所示.（1）證明：平面PBC⊥平面PBD；（2）求二面角A-BM-C的余弦值.

參考答案：(Ⅰ)證：由俯視圖可得

∴BC⊥BD 1分

又PD⊥平面ABCD，∴BC⊥PD 2分

而PD∩BD＝D，故BC⊥平面PBD 3分

∵BC?平面PBC

∴平面PBC⊥平面PBD． 4分(Ⅱ)解：由側(cè)視圖可得MD=3

由俯視圖及ABCD是直角梯形得：

5分

∴ 6分

以為x軸、y軸、z軸建立的空間直角坐標(biāo)系D－xyz，則D(0，0，0)，A(，0，0)，B(，1，0)，C(0，4，0)，M(0，0，3)

設(shè)平面AMB的法向量為n1=(x1，y1，z1)，則，即

令，則，∴是平面AMB的一個(gè)法向量 8分

設(shè)平面BMC的法向量為n2=(x2，y2，z2)，則，即

令x2=3，則，∴是平面BMC的一個(gè)法向量 10分

又由圖可知，二面角A－BM－C為鈍二面角

∴二面角A－BM－C的余弦值為． 12分

20.某醫(yī)院將一專家門診已診的1000例病人的病情及診斷所用時(shí)間（單位：分鐘）進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，如下表．若視頻率為概率，請(qǐng)用有關(guān)知識(shí)解決下列問題．病癥及代號(hào)普通病癥復(fù)診病癥常見病癥疑難病癥特殊病癥人數(shù)100300200300100每人就診時(shí)間（單位：分鐘）34567（1）用表示某病人診斷所需時(shí)間，求的數(shù)學(xué)期望．并以此估計(jì)專家一上午（按3小時(shí)計(jì)算）可診斷多少病人；（2）某病人按序號(hào)排在第三號(hào)就診，設(shè)他等待的時(shí)間為，求；（3）求專家診斷完三個(gè)病人恰好用了一刻鐘的概率．參考答案：略21.已知函數(shù)f（x）=（x﹣1）ex﹣ax2（a∈R）．（Ⅰ）當(dāng)a≤1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，y=f′（x）的圖象恒在y=ax3+x﹣（a﹣1）x的圖象上方，求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．【分析】（1）首先求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，分類討論a的大小來判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）利用轉(zhuǎn)化思想：當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，y=f'（x）的圖象恒在y=ax3+x2﹣（a﹣1）x的圖象上方，即xex﹣ax＞ax3+x2﹣（a﹣1）x對(duì)x∈（0，+∞）恒成立；即ex﹣ax2﹣x﹣1＞0對(duì)x∈（0，+∞）恒成立；【解答】解：（I）f'（x）=xex﹣ax=x（ex﹣a）當(dāng)a≤0時(shí)，ex﹣a＞0，∴x∈（﹣∞，0）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；x∈（0，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)0＜a≤1時(shí)，令f'（x）=0得x=0或x=lna．（i）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，lna＜0，故：x∈（﹣∞，lna）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，x∈（lna，0）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，x∈（0，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；

（ii）當(dāng)a=1時(shí)，lna=0，f'（x）=xex﹣ax=x（ex﹣1）≥0恒成立，f（x）在（﹣∞，+∞）上單調(diào)遞增，無減區(qū)間；

綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（﹣∞，0）；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（﹣∞，lna）和（0，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（lna，0）；當(dāng)a=1時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（﹣∞，+∞），無減區(qū)間．（II）由（I）知f'（x）=xex﹣ax當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，y=f'（x）的圖象恒在y=ax3+x2﹣（a﹣1）x的圖象上方；即xex﹣ax＞ax3+x2﹣（a﹣1）x對(duì)x∈（0，+∞）恒成立；即ex﹣ax2﹣x﹣1＞0對(duì)x∈（0，+∞）恒成立；

記g（x）=ex﹣ax2﹣x﹣1（x＞0），∴g'（x）=ex﹣2ax﹣1=h（x）；∴h'（x）=ex﹣2a；（i）當(dāng)時(shí)，h'（x）=ex﹣2a＞0恒成立，g'（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，∴g'（x）＞g'（0）=0；∴g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；∴g（x）＞g（0）=0，符合題意；

（ii）當(dāng)時(shí)，令h'（x）=0得x=ln（2a）；∴x∈（0，ln（2a））時(shí)，h'（x）＜0，∴g'（x）在（0，ln（2a））上單調(diào)遞減；∴x∈（0，ln（2a））時(shí)，g'（x）＜g'（0）=0；∴g（x）在（0，ln（2a））上單調(diào)遞減，∴x∈（0，ln（2a））時(shí)，g（x）＜g（0）=0，不符合題意；

綜上可得a的取值范圍是．22.對(duì)甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員分別在場比賽中的得分情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，做出甲的得分頻率分布直方圖如右，列出乙的得分統(tǒng)計(jì)表如下：

(Ⅰ)估計(jì)甲在一場比賽中得分不低于分的概率；（Ⅱ）判斷甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員哪個(gè)成績更穩(wěn)定；（結(jié)論不要求證明）（Ⅲ）在甲所進(jìn)行的100場比