廣西壯族自治區(qū)百色市樂業(yè)縣中學(xué)高二數(shù)學(xué)文期末試題含解析

廣西壯族自治區(qū)百色市樂業(yè)縣中學(xué)高二數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.電子鐘一天顯示的時(shí)間是從到，每一時(shí)刻都由四個(gè)數(shù)字組成，則一天中任一時(shí)刻顯示的四數(shù)字之和為的概率為、

、

、

、參考答案：C2.已知雙曲線的焦點(diǎn)、實(shí)軸端點(diǎn)分別恰好是橢圓的長軸端點(diǎn)、焦點(diǎn)，則雙

曲線的漸近線方程為

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略3.一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示，則它的體積為（A）

（B）

（C）20

（D）40參考答案：B4.若，且，則下列不等式中，恒成立的是A.

B.

C.

D.參考答案：C5.設(shè)函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且有，則不等式的解集為()A．

B．

C．D．參考答案：C略6.某校共有高一、高二、高三學(xué)生共有1290人，其中高一480人，高二比高三多30人.為了解該校學(xué)生健康狀況，現(xiàn)采用分層抽樣方法進(jìn)行調(diào)查，在抽取的樣本中有高一學(xué)生96人，則該樣本中的高三學(xué)生人數(shù)為

（

）A.84

B.78

C.81

D.96參考答案：B7.焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的離心率為，則m的值為(

)A.

B．2

C.D．4參考答案：C略8.以下三個(gè)命題：①分別在兩個(gè)平面內(nèi)的直線一定是異面直線；②過平面的一條斜線有且只有一個(gè)平面與垂直；③垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行．其中真命題的個(gè)數(shù)是A．0

B．1

C．2

D．3參考答案：B9.對(duì)下列三種圖像，正確的表述為（

）A．它們都是流程圖

B．它們都是結(jié)構(gòu)圖

C.（1）、（2）是流程圖，（3）是結(jié)構(gòu)圖

D．（1）是流程圖，（2）、（3）是結(jié)構(gòu)圖參考答案：C10.已知的三邊長成公差為的等差數(shù)列，且最大角的正弦值為，則這個(gè)三角形的周長是

A.

B.

C.

D.參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)在處有極值，則該函數(shù)的極小值為

▲

.參考答案：3略12.等比數(shù)列中，公比，且，則_____________．參考答案：．13.某地區(qū)有小學(xué)150所，中學(xué)75所，大學(xué)25所．現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些學(xué)校中抽取30所學(xué)校對(duì)學(xué)生進(jìn)行視力調(diào)查，應(yīng)從小學(xué)中抽取________所學(xué)校。參考答案：1814.已知,則不等式的解集___

_____.參考答案：15.若存在兩條直線都是曲線的切線則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）參考答案：（4,+∞）【分析】先令，由題意，將問題轉(zhuǎn)化為至少有兩個(gè)不等式的正實(shí)根，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)果.【詳解】令，由存在兩條直線都是曲線的切線，可得至少有兩個(gè)不等式的正實(shí)根，即有兩個(gè)不等式的正實(shí)根，且兩根記作，所以有，解得，又當(dāng)時(shí)，曲線在點(diǎn)，處的切線分別為，，令，由得（不妨設(shè)），且當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，所以，所以直線，是曲線的兩條不同的切線，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查由曲線的切線方程求參數(shù)的問題，熟記導(dǎo)數(shù)的幾何意義、靈活掌握用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的方法即可，屬于常考題型.16.已知F為拋物線的焦點(diǎn)，E為其標(biāo)準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，過F的直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn)，且，則

．參考答案：8F（1，0）為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，

E（-1，0）為其準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，

設(shè)過F的直線為y=k（x-1），

代入拋物線方程y2=4x，可得

k2x2-（2k2+4）x+k2=0，

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則中點(diǎn)解得k2=1，則x1+x2=6，由拋物線的定義可得|AB|=x1+x2+2=8.

17.函數(shù)在處的切線方程是

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.．已知函數(shù)f（x）=|x+2|﹣|x+a|（1）當(dāng)a=3時(shí)，解不等式f（x）≤；（2）若關(guān)于x的不等式f（x）≤a解集為R，求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】絕對(duì)值不等式的解法；絕對(duì)值三角不等式．【分析】（1）將a=1代入f（x），得到關(guān)于f（x）的分段函數(shù)，求出不等式的解集即可；（2）求出f（x）的最大值，得到|a﹣2|≤a，解出即可．【解答】解：（1）當(dāng)a=3時(shí)，f（x）=|x+2|﹣|x+3|，或或，即或或φ或或x≥﹣2，故不等式的解集為：；（2）由x的不等式f（x）≤a解集為R，得函數(shù)f（x）max≤a，∵||x+2|﹣|x+a||≤|（x+2）﹣（x+a）|=|2﹣a|=|a﹣2|（當(dāng)且僅當(dāng)（x+2）（x+a）≥0取“=”）∴|a﹣2|≤a，∴或，解得：a≥1．19.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=2，Sn=n2+n． （1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； （2）設(shè){}的前n項(xiàng)和為Tn，求證Tn＜1． 參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列與不等式的綜合；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和． 【專題】計(jì)算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列． 【分析】（1）利用公式an=Sn﹣Sn﹣1（n≥2），得當(dāng)n≥2時(shí)an=2n，再驗(yàn)證n=1時(shí)，a1=2×1=2也適合，即可得到數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． （2）裂項(xiàng)得=﹣，由此可得前n項(xiàng)和為Tn=1﹣＜1，再結(jié)合∈（0，1），不難得到Tn＜1對(duì)于一切正整數(shù)n均成立． 【解答】解：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=n2+n﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）]=2n． ∵n=1時(shí)，a1=2×1=2，也適合 ∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=2n． （2）==﹣ ∴{}的前n項(xiàng)和為Tn=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1﹣= ∵0＜＜1 ∴1﹣∈（0，1），即Tn＜1對(duì)于一切正整數(shù)n均成立． 【點(diǎn)評(píng)】本題給出等差數(shù)列模型，求數(shù)列的通項(xiàng)并求前n項(xiàng)和對(duì)應(yīng)數(shù)列的倒數(shù)和，著重考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和、數(shù)列與不等式的綜合等知識(shí)，屬于中檔題． 20.已知橢圓C：（a＞b＞0）的離心率，原點(diǎn)到過點(diǎn)A（﹣a，0），B（0，b）的直線的距離是．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)動(dòng)直線l與兩定直線l1：x﹣2y=0和l2：x+2y=0分別交于P，Q兩點(diǎn)．若直線l總與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，試探究：△OPQ的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【專題】方程思想；分類法；直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（1）運(yùn)用橢圓的離心率公式和點(diǎn)到直線的距離公式，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）討論直線l的斜率是否存在，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運(yùn)用判別式為0，再聯(lián)立直線方程組，求得P，Q的坐標(biāo)，求得PQ的長，求出OPQ的面積，化簡整理，可得最小值．【解答】解：（1）因?yàn)椋琣2﹣b2=c2，所以a=2b．因?yàn)樵c(diǎn)到直線AB：的距離，解得a=4，b=2．故所求橢圓C的方程為+=1．（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l為x=4或x=﹣4，都有．當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，由消去y，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16=0．因?yàn)橹本€l總與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以△=64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣16）=0，即m2=16k2+4．①又由可得；同理可得．由原點(diǎn)O到直線PQ的距離為和，可得．②將①代入②得，．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．因，則0＜1﹣4k2≤1，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)k=0時(shí)取等號(hào)．所以當(dāng)k=0時(shí)，S△OPQ的最小值為8．綜上可知，當(dāng)直線l與橢圓C在四個(gè)頂點(diǎn)處相切時(shí)，△OPQ的面積取得最小值8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用橢圓的性質(zhì)：離心率公式和點(diǎn)到直線的距離，考查三角形的面積的最小值，注意討論直線的斜率是否存在，注意聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，屬于中檔題．21.某班級(jí)共派出n+1個(gè)男生和n個(gè)女生參加學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)的入場儀式，其中男生甲為領(lǐng)隊(duì)．入場時(shí)，領(lǐng)隊(duì)男生甲必須排第一個(gè)，然后女生整體在男生的前面，排成一路縱隊(duì)入場，共有En種排法；入場后，又需從男生（含男生甲）和女生中各選一名代表到主席臺(tái)服務(wù)，共有Fn種選法．（1）試求En和Fn；（2）判斷l(xiāng)nEn和Fn的大?。╪∈N+），并用數(shù)學(xué)歸納法證明．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)學(xué)歸納法．【分析】（1）根據(jù)領(lǐng)隊(duì)男生甲必須排第一個(gè)，然后女生整體在男生的前面，排成一路縱隊(duì)入場，可得En；根據(jù)從男生（含男生甲）和女生中各選一名代表到主席臺(tái)服務(wù)，可得Fn；（2）lnEn=2lnn!，F(xiàn)n=n（n+1），猜想2lnn!＜n（n+1），再用數(shù)學(xué)歸納法證明，第2步的證明，利用分析法進(jìn)行證明．【解答】解：（1）根據(jù)領(lǐng)隊(duì)男生甲必須排第一個(gè)，然后女生整體在男生的前面，排成一路縱隊(duì)入場，可得；根據(jù)從男生（含男生甲）和女生中各選一名代表到主席臺(tái)服務(wù)，可得…4分（2）因?yàn)閘nEn=2lnn!，F(xiàn)n=n（n+1），所以lnE1=0＜F1=2，lnE2=ln4＜F2=6，lnE3=ln36＜F3=12，…，由此猜想：當(dāng)n∈N*時(shí)，都有l(wèi)nEn＜Fn，即2lnn!＜n（n+1）…6分下用數(shù)學(xué)歸納法證明2lnn!＜n（n+1）（n∈N*）．①當(dāng)n=1時(shí)，該不等式顯然成立．②假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N*）時(shí)，不等式成立，即2lnk!＜k（k+1），則當(dāng)n=k+1時(shí)，2ln（k+1）!=2ln（k+1）+2lnk!＜2ln（k+1）+k（k+1），要證當(dāng)n=k+1時(shí)不等式成立，只要證：2ln（k+1）+k（k+1）≤（k+1）（k+2），只要證：ln（k+1）≤k+1…8分令f（x）=lnx﹣x，x∈（1，+∞）