浙江省杭州市臨安昌北中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

浙江省杭州市臨安昌北中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知F1，F(xiàn)2是雙曲線的兩個焦點(diǎn)，過F1作垂直于x軸的直線與雙曲線相交，一個交點(diǎn)為P，則｜PF2｜＝

A．6

B．4

C．2

D．1參考答案：A略2.命題：“”，則命題的否定是（

）A.

B.C.

D.參考答案：C3.已知集合A={x|x2﹣x≤0}，x∈R，集合B={x|log2x≤0}，則A、B滿足（）A．A?B B．B?A C．A=B D．A?B且B?A參考答案：B【考點(diǎn)】集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用．【專題】計算題．【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法，對集合A進(jìn)行化簡得{x|0≤x≤1}，根據(jù)利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性對集合B進(jìn)行化簡得{x|0＜x≤1}，從而得到A，B之間的關(guān)系．【解答】解：集合A={x|x2﹣x≤0}={x|0≤x≤1}，集合B={x|log2x≤0}={x|0＜x≤1}，∴B?A．故選B．【點(diǎn)評】此題是基礎(chǔ)題．考查一元二次不等式的解法和對數(shù)不等式的解法，注意對數(shù)函數(shù)的定義域，以及集合的包含關(guān)系的判斷及應(yīng)用．4.設(shè)奇函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為單調(diào)遞減函數(shù)，且f(1)＝0，則不等式的解集為A．(－∞，－1]∪(0,1]

B．[－1,0]∪[1，＋∞)C．(－∞，－1]∪[1，＋∞)

D．[－1,0)∪(0,1]參考答案：C5.已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若對于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，則稱集合M是“Ω集合”．給出下列4個集合：①②M={（x，y）|y=ex﹣2}③M={（x，y）|y=cosx}④M={（x，y）|y=lnx}其中所有“Ω集合”的序號是（）A．②③B．③④C．①②④D．①③④參考答案：A考點(diǎn)：元素與集合關(guān)系的判斷．專題：新定義．分析：對于①，利用漸近線互相垂直，判斷其正誤即可．對于②，畫出圖象，說明滿足Ω集合的定義，即可判斷正誤；對于③，畫出函數(shù)圖象，說明滿足Ω集合的定義，即可判斷正誤；對于④，畫出函數(shù)圖象，取一個特殊點(diǎn)即能說明不滿足Ω集合定義．解答：解：對于①y=是以x，y軸為漸近線的雙曲線，漸近線的夾角是90°，所以在同一支上，任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，滿足Ω集合的定義；在另一支上對任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，所以不滿足Ω集合的定義，不是Ω集合．對于②M={（x，y）|y=ex﹣2}，如圖（2）如圖紅線的直角始終存在，對于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，例如取M（0，﹣1），則N（ln2，0），滿足Ω集合的定義，所以是Ω集合；正確．對于③M={（x，y）|y=cosx}，如圖（3），對于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，例如（0，1）、（π，0），滿足Ω集合的定義，所以M是Ω集合；正確．對于④M={（x，y）|y=lnx}，如圖（4）取點(diǎn)（1，0），曲線上不存在另外的點(diǎn)，使得兩點(diǎn)與原點(diǎn)的連線互相垂直，所以不是Ω集合．

所以②③正確．故選A．點(diǎn)評：本題考查了命題真假的判斷與應(yīng)用，考查了元素與集合的關(guān)系，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，解答的關(guān)鍵是對新定義的理解，是中檔題．6.已知點(diǎn)P在以為左右焦點(diǎn)的橢圓上，橢圓內(nèi)一點(diǎn)Q在的延長線上，滿足，若，則該橢圓離心率取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A7.若（，i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（

）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限參考答案：A【分析】化簡可得，根據(jù)兩復(fù)數(shù)相等的原則，解出a，b，即可得結(jié)果【詳解】由題意得，所以，所以，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為（3，-2）在第四象限【點(diǎn)睛】本題考查兩復(fù)數(shù)相等的概念，即兩復(fù)數(shù)實部與實部相等，虛部與虛部相等，屬基礎(chǔ)題。

8.若復(fù)數(shù)z滿足（3+4i）z=5，則z的虛部為（）A．﹣4 B． C． D．4參考答案：B【考點(diǎn)】A5：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】由（3+4i）z=5，得，然后利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)z得答案．【解答】解：由（3+4i）z=5，得=，則z的虛部為：．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．9.三次函數(shù)y＝ax3－x在(－∞，＋∞)內(nèi)是減函數(shù)，則()A．a(chǎn)≤0

B．a(chǎn)＝1

C．a(chǎn)＝2

D．a(chǎn)＝參考答案：A10.已知，則下列結(jié)論錯誤的是

（

）A．a(chǎn)2<b2

B.

C.ab>b2．

D.參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)兩個非零向量a，b滿足，則向量的夾角是

。參考答案：12.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若acosB＋bcosA＝csinC，b2＋c2－a2＝bc，則角B＝________.參考答案：60°略13.若數(shù)列的通項公式，記，試通過計算、、的值，推測出

．參考答案：略14.在二項式的展開式中，含的項的系數(shù)是

（用數(shù)字作答）.

參考答案：略15.設(shè)A（0,0）,B（4,0）,C（t+4,3），D（t,3）（tR）.記N（t）為平行四邊形ABCD內(nèi)部（不含邊界）的整點(diǎn)的個數(shù)，其中整點(diǎn)是指橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)，則N（0）=

N（t）的所有可能取值為

參考答案：6；6，7，8本題考查格點(diǎn)問題，需要一定的動手能力和探索精神，難度較大.顯然四邊形ABCD內(nèi)部（不包括邊界）的整點(diǎn)都在直線落在四邊形ABCD內(nèi)部的線段上，由于這樣的線段長等于4，所以每條線段上的整點(diǎn)有3個或4個，所以.當(dāng)四邊形ABCD的邊AD上有4個整點(diǎn)時，；當(dāng)四邊形ABCD的邊AD上有1或2個整點(diǎn)時，或.所以的所有可能取值為6，7，8.16.已知,，若同時滿足條件：①對于任意，或成立；②存在，使得成立．則的取值范圍是.參考答案：解：由Tx<1，要使對于任意x?R，或成立，則x≥1時，<0恒成立，故m<0，且兩根2m與-m-3均比1小，得-4<m<0①.

∵x?(-￥,-4)時，，故應(yīng)存在x0?(-￥,-4)，使f(x0)>0，只要-4>2m或-4>-m-3Tm<-2或m>1②，由①、②求交，得-4<m<-2.17.已知向量夾角為60°，且，，則

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）如圖，在多面體中，,,是邊長為的等邊三角形，，與平面所成角的正弦值為.（1）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面，若存在，求線段的長度，若不存在，說明理由；（2）求二面角的平面角的余弦值.參考答案：解：（1）取的中點(diǎn)，連結(jié)，則，又，可得,所以，所以，CG=,故CD=…………2分取的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為,因為，，所以為平行四邊形，得，

平面

∴存在為中點(diǎn)，DF=時，使得

……5分（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則、、

、，從而，

，。

………7分設(shè)為平面的法向量，則可以取

…9分設(shè)為平面的法向量，則取

……11分因此，故二面角的余弦值為

……………12分19.（本小題滿分12分，附加題滿分4分）（I）給出兩塊相同的正三角形紙片（如圖1，圖2），要求用其中一塊剪拼成一個三棱錐模型，另一塊剪拼成一個正三棱柱模型，使它們的全面積都與原三角形的面積相等，請設(shè)計一種剪拼方法，分別用虛線標(biāo)示在圖1、圖2中，并作簡要說明；（II）試比較你剪拼的正三棱錐與正三棱柱的體積的大?。唬↖II）（本小題為附加題，如果解答正確，加4分，但全卷總分不超過150分）如果給出的是一塊任意三角形的紙片（如圖3），要求剪栟成一個直三棱柱，使它的全面積與給出的三角形的面積相等。請設(shè)計一種剪拼方法，用虛線標(biāo)示在圖3中，并作簡要說明。

參考答案：解析：（I）如圖1，沿正三角形三邊中點(diǎn)連線折起，可拼得一個正三棱錐．如圖2，正三角形三個角上剪出三個相同的四邊形，其較長的一組鄰邊邊長為三角形邊長的，有一組對角為直角，余下部分按虛線折起，可成一個缺上底的正三棱柱，而剪出的三個相同的四邊形恰好拼成這個正三棱錐的上底．（II）依上面剪拼方法，有．推理如下：設(shè)給出正三角形紙片的邊長為2，那么，正三棱錐與正三棱柱的底面都是邊長為1的正三角形，其面積為．現(xiàn)在計算它們的高：，．所以．（III）如圖3，分別連結(jié)三角形的內(nèi)心與各頂點(diǎn)，得三條線段，再以這三條線段的中點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形．以新作的三角形為直棱柱的底面，過新三角形的三個頂點(diǎn)向原三角形三邊作垂線，沿六條垂線剪下三個四邊形，可心拼成直三棱柱的上底，余下部分按虛線折起，成為一個缺上底的直三棱柱，即可得到直三棱柱．

20.本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講

已知函數(shù)f(x)=｜3x+2｜

（I）解不等式，

（B）已知m+n=1(m,n>0)，若恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：(Ⅰ);（Ⅱ）【知識點(diǎn)】絕對值不等式的解法N4解析：（I）不等式，即，當(dāng)時，即

解得當(dāng)時，即

解得當(dāng)時，即無解，綜上所述

.………5分（Ⅱ），令時，，要使不等式恒成立，只需即.

………10分【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）把要解的不等式等價轉(zhuǎn)化為與之等價的三個不等式組，求出每個不等式組的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由條件利用基本不等式求得，結(jié)合題意可得|x-a|-|3x+2|≤4恒成立．令g（x）=|x-a|-|3x+2|，利用單調(diào)性求得它的最大值，再由此最大值小于或等于4，求得a的范圍．21.已知橢圓T：+=1，直線l經(jīng)過點(diǎn)P（m，0）與T相交于A、B兩點(diǎn)．（1）若C（0，﹣）且|PC|=2，求證：P必為Γ的焦點(diǎn)；（2）設(shè)m＞0，若點(diǎn)D在Γ上，且|PD|的最大值為3，求m的值；（3）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若m=，直線l的一個法向量為=（1，k），求△AOB面積的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】K4：橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】（1）利用兩點(diǎn)之間距離公式，即可求得m的值，由橢圓的方程，即可求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，即可求證P必為Γ的焦點(diǎn)；（2）利用兩點(diǎn)之間的距離公式，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)x0=﹣2時，取最大值，代入即可求得m的值；（3）求得直線AB的方程，代入方程，由韋達(dá)定理，弦長公式及點(diǎn)到直線的距離公式，利用基本不等式的性質(zhì)，即可求得△AOB面積的最大值．【解答】解：（1）證明：由橢圓焦點(diǎn)F（±1，0），由|PC|==2，解得：m=±1，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（±1，0），∴P必為Γ的焦點(diǎn)；（2）設(shè)D（x0，y0），y02=3（1﹣），|PD|2=（x0﹣m）2+y02=﹣2mx0+m2+3，﹣2≤x0≤2，有函數(shù)的對稱軸x0=4m＞0，則當(dāng)x0=﹣2時，取最大值，則|PD|2=1+4m+m2+3=9，m2+4m﹣5=0，解得：m=1或m=﹣5（舍去），∴m的值1；（3）直線l的一個法向量為=（1，k），則直線l的斜率﹣，則直線l方程：y﹣0=﹣（x﹣），整理得：ky+x﹣=0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），，整理得：（3k2+4）y2﹣6ky﹣3=0，則y1+y2=，y1y2=﹣，丨AB丨=?=，則O到直線AB的距離d=，則△AOB面積S=×丨AB丨×d=××==≤=，當(dāng)且僅當(dāng)=，即k2=，取等號，∴△AOB面積的最大值．【點(diǎn)評】本題考查橢圓的簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，弦長公式，基本不等式的性質(zhì)，考查計算能力，屬于中檔題．22.某租賃公司擁有汽車100輛．當(dāng)每輛車的月租金為3000元時，可全部租出．當(dāng)每輛車的月租金每增加50元時，未租出的車將會增加一輛．租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)150元，未租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)50元．(1)當(dāng)每輛車的月租金定為3