考點40拋物線-高考全攻略之2019年高考數學（理）考點一遍過含解析

考點40拋物線

考輛摩攵

(1)了解拋物線的實際背景，了解拋物線在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用.

(2)掌握拋物線的定義、幾何圖形、標準方程及簡單性質.

二知識整合

一、拋物線的定義和標準方程

1.拋物線的定義

平面內與一個定點廠和一條定直線7(2不經過點n距離相等的點的軌跡叫做拋物線.

點尸叫做拋物線的焦點，直線/叫做拋物線的準線.拋物線關于過焦點廠與準線垂直的直線對稱，這條

直線叫拋物線的對稱軸，簡稱拋物線的軸.

注意：直線/不經過點凡若/經過尸點，則軌跡為過定點尸且垂直于定直線/的一條直線.

2.拋物線的標準方程

(1)頂點在坐標原點，焦點在x軸正半軸上的拋物線的標準方程為y2=2px(〃>0)；

(2)頂點在坐標原點，焦點在x軸負半軸上的拋物線的標準方程為丁=—2px(〃>0)；

(3)頂點在坐標原點，焦點在y軸正半軸上的拋物線的標準方程為/=2刀(〃>0)；

(4)頂點在坐標原點，焦點在y軸負半軸上的拋物線的標準方程為/=—2〃y(〃>0).

注意：拋物線標準方程中參數。的幾何意義是拋物線的焦點到準線的距離，所以0的值永遠大于0,當

拋物線標準方程中一次項的系數為負值時，不要出現°<0的錯誤.

二、拋物線的幾何性質

1.拋物線的幾何性質

標準方程y2=2px(p>0)y1=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)

圖形IV-

Trh十

范圍x>0,yeRx<0,yGRy>0,xeRy<0,xGR

對稱性關于X軸對稱關于X軸對稱關于y軸對稱關于y軸對稱

幾

焦點嗚,0)尸(《0)F%)m-y)

何

性

準線方程x=—TT

質2

頂點坐標原點(0,0)

離心率e-\

2.拋物線的焦半徑

拋物線上任意一點P(x0,%)與拋物線焦點廠的連線段，叫做拋物線的焦半徑.

根據拋物線的定義可得焦半徑公式如下表:

拋物線方程V=2px(p>0)y2=-2px(〃>0)x2=2〃y(p>0)x2=—2py(p>0)

焦半徑公式|P3+/IPB專X。IP尸得+為IM號為

3.拋物線的焦點弦

拋物線的焦點弦即過焦點廠的直線與拋物線所成的相交弦.

焦點弦公式既可以運用兩次焦半徑公式得到，也可以由數形結合的方法求出直線與拋物線的兩交點坐標,

再利用兩點間的距離公式得到，設4?為焦點弦，A(X，y),B(x2,y2),則

拋物線方程y2=2px(p>0)y2=-2/?%(/?>0)x2=2py(p>0)x2=—2〃y(p>0)

焦點弦公式|AB|=p+（X]+々）\AB\=p-（xt+x2）\AB\=p+（y}+y2）\AB\=p-(y]+y2)

其中，通過拋物線的焦點作垂直于對稱軸而交拋物線于46兩點的線段/反稱為拋物線的通徑.

對于拋物線y2=2px（p>0）,由A（日，p）,B（g,-p）,可得|AB|=2p,故拋物線的通徑長為2P.

4.必記結論

直線力夕過拋物線y2=2px（p>0）的焦點，交拋物線于力（小，力），夕（尼，必）兩點，如圖：

/1、2P

（1）y\y2=-p,x\X2=~^.

（2）\AB\=x\+x2-Vp,t+x2川=P，即當汨=生時，弦長最短為2R

112

（3）訴[+]^可為定值3

（4）弦長協(xié)=肅]（。為的傾斜角）.

（5）以47為直徑的圓與準線相切.

（6）焦點廠對48在準線上射影的張角為90°.

考向一拋物線的定義和標準方程

1.拋物線定義的實質可歸結為“一動三定”：一個動點M一個定點尸（拋物線的焦點），一條定直線/（拋

物線的準線），一個定值1（拋物線的離心率）.

2.拋物線的離心率。=1,體現了拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，因此，涉及拋物線的焦半

徑、焦點弦的問題，可以優(yōu)先考慮利用拋物線的定義將點到焦點的距離轉化為點到準線的距離，即

附=卜碼或附=3+勺使問題簡化.

典例引領

典例1平面內動點P到點尸(0,2)的距離和到直線/：y=-2的距離相等，則動點P的軌跡方程為是

【答案】d=8y

【解析】由題意知，該點軌跡是以尸(0,2)為焦點，y=-2為準線的拋物線，其中〃=4,所以方程為

x2=8^.

【名師點睛】本題主要考查了拋物線的定義，拋物線的標準方程，屬于中檔題.

典例2拋物線V=2px(p>0)上的動點Q到其焦點的距離的最小值為1，則p=

A.—B.1

2

C.2D.4

【答案】c

【解析】拋物線/=2RP>0)上的動點。到其焦點的距離的最小值即到準線的最小值，

很明顯滿足最小值的點為拋物線的頂點，據此可知：j=L..P=2.

本題選擇C選項.

【名師點睛】本題主要考查拋物線的定義及其應用，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.由題意結合

拋物線的定義確定點的位置，然后求解〃的值即可.

變式拓展

1.已知F是拋物線y2=4x的焦點，是該拋物線上兩點，|例耳+|Nq=6,則MN的中點到準線的

距離為

3

A.-B.2

2

C.3D.4

考向二求拋物線的標準方程

1.求拋物線標準方程的常用方法是待定系數法，其關健是判斷焦點的位置、開口方向，在方程的類型已經

確定的前提下，由于標準方程只有一個參數P,只需一個條件就可以確定拋物線的標準方程.

2.用待定系數法求拋物線標準方程的步驟：

若無法確定拋物線的位置，則需分類討論.特別地，已知拋物線上一點的坐標，一般有兩種標準方程.

典例引領

典例3若點A,8在拋物線上2Px(p>0)上,0是坐標原點,若正三角形的6的面積為4遍則該拋物線的方程

是

A."=xB.

3

C.D.y-^-x

3

【答案】A

【解析沖艮據對稱性.可知Mix軸,由于正三角形OAB的面積是4、@故吟故用T正三角形OAB

的高為2#,故可設點/的坐標為(20Z：代入拋物線方程得I、■，解得尸孝，故所求拋物線的方程為產

雪.

3

典例4求滿足下列條件的拋物線的標準方程，并求出對應拋物線的準線方程.

(1)過點(—3,2)；

(2)焦點在直線x-2y—4=0上.

【解析】(D設所求拋物線的方程為丁=-2/或/=2水p>0).

2Q

二.過點(一3,2),「.4二一2P父(-3)或9=2px2,=三或p=二.

34

4.01Q

故所求拋物線的方程為丁=一］%或/=］如對應的準線方程分別是4=?=-孑

(2)令％=0得y=-2；令y=0得%=4,.?.拋物線的焦點為(4>0)或(0,-2).

當焦點為(40)時，與=4,「.p=8,此時拋物線的方程為/=i6x；

當焦點為(0，-2)時，§=2,.?.p=4,此時拋物線的方程為

故所求拋物線的方程為丁=16x或，=Ty,對應的準線方程分別是乂=>4,y=2.

變式拓展

2.頂點在原點，且過點(T,4)的拋物線的標準方程是

A.y2--^xB.x2-4y

C.=-Axx2=4yD.)2=4%或/=與曠

考向三拋物線的簡單幾何性質及其應用

確定及應用拋物線性質的關鍵與技巧：

(1)關鍵：利用拋物線方程確定及應用其焦點、準線等性質時，關鍵是將拋物線方程化成標準方程.

(2)技巧：要結合圖形分析，靈活運用平面幾何的性質以圖助解.

典例引領

典例5已知等腰三角形“徹中，0PLMP,〃為拋物線尸=2以(或0)的頂點，點材在拋物線的對稱軸上，點

戶在拋物線上，則點。與拋物線的焦點廠之間的距離是

A.2^2pB.—p

2

C.2PD.V2p

【答案】B

2

【解析】由題意得=%.-.xp=2沖.=2〃,因此點尸與拋物線的焦點下之間的距離為

x+—―—―,選B.

p「22

【名師點睛】（1）凡涉及拋物線上的點到焦點距離時，一般運用定義轉化為到準線距離處理.（2）解答本

題的關鍵是畫出圖形，利用拋物線的簡單幾何性質轉化求解即可.

變式拓展

3.已知拋物線C:x2=2〃y（〃>0）的焦點為F,拋物線C的準線與y軸交于點A,點M0,%）在拋物線

C上，|MF|=半，則tan/必M=

25

2

45

54

考向四焦點弦問題

與拋物線的焦點弦長有關的問題，可直接應用公式求解.解題時，需依據拋物線的標準方程，確定弦長公式

是由交點橫坐標定還是由交點縱坐標定，是p與交點橫（縱）坐標的和還是與交點橫（縱）坐標的差，這

是正確解題的關鍵.

典例引領

典例6過拋物線六4x的焦點作直線交拋物線于點力（為,%），8（如④，若［加=7,求四的中點"到拋物

線準線的距離.

【解析】拋物線的焦點為旗1,0?隹線方程為x=-l.

由拋物線的定義知=MF|+|B曰=%+與+如+與=%+孫+以即乙+必+2=7得乙+3=5.

于是弦數的中點〃的橫坐標為I.

因此點〃到拋物線準線的距離為?+1=（?

典例1已知過拋物線/=2px（p>0）的焦點,斜率為2小的直線交拋物線于4（打力），B（x2,%）（不<在）兩點,且

/W=9.

（1）求該拋物線的方程；

(2)。為坐標原點，。為拋物線上一點，若沆=血+，血，求A的值.

【解析】(1)直線四的方程是尸2立仁介與爐=2/聯(lián)立從而有4曲5取■產0

所以Xl+X2=孚一

4

由拋物線的定義相加IF+X23手斤以Z

從而拋物線的方程是爐=取.

(2)因為p=4,

所以M-S/a+pM),可簡化為x2-5x+4=0,

從而xi=1IX2=4^I=^2)/2J*I=4V25

從而^(1,-272)^(4,472).

設％"),則沆=@兇)=(1:2煙+及4,4在)=(以+1,4\%-2\2)一

又另期心

所以［2誼(2M)F=8(44+1)即(21-1產41+1，解得A=0或A=2.

變式拓展

4.過拋物線y2=2px(p>0)的焦點的直線/與拋物線交于AB兩點，以A8為直徑的圓的方程為

(x-3『+(y-2『=16,則〃=

A.1B.2

C.3D.4

考向五拋物線中的最值問題

1.拋物線中經常根據定義把點到焦點的距離和點到準線的距離進行互相轉化，從而求解.

2.有關拋物線上一點材到拋物線焦點廠和到己知點E(￡在拋物線內)的距離之和的最小值問題，可依

據拋物線的圖形，過點￡作準線/的垂線，其與拋物線的交點到拋物線焦點尸和到已知點￡的距離之和

是最小值.

典例引領

典例8如圖，己知點Q(2#,0)及拋物線y=亍上的動點P(x,y),則y+|PQ|的最小值是

A.2B.3

C.4D.2M

【答案】A

【解析】如圖,作PB1x軸于A點,并與準線相交于B點.拋物線爐=4y的焦點為F@I)J隹線為y=由拋

物線的幾何意義可得1尸身=|PF],所以

y+附卜I尸用+P(2I=|PB\+IPQ\-1=\PF\+\PQ\-1>|FQ|-1=VT+8-1=2.故選A.

典例9已知拋物線的方程為V=8%/是焦點，點4(-2,4),在此拋物線上求一點已使|加+|用|的值最小.

【解析】???(-2)z<8X4,.?.點)(-2,4)在拋物線在=8y的內部.

如圖所示,設拋物線的準線為1,過點戶作PQL1于點Q,過點A作ABV1于點B,連接AQ.

由拋物線的定義可知,閥+網l=EQI+四歸M0歸陽?I當且僅當pg乂三點共線時，閥+咫取得最小值1^陽|一

...不妨設陽+口|的值最小時點P的坐標為（2瑜代入拋物線方程爐畤得止;.

二使附呷|的值最小的拋物線上的點P的坐標為（2；）.

變式拓展

5.已知拋物線V=4x,過焦點尸作直線與拋物線交于點A,B,設IAfi=m，IB司=〃，則加+〃的

最小值為

A.2B.3

C.73D.4

聲點沖關充

1

1.拋物線>9的準線方程是

4

A.y=TB.y=l

C.x=—1D.x—\

2.已知加,〃￡R，則“根〃<0”是“拋物線如2+肛;二o的焦點在y軸正半軸上，，的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

3.以x軸為對稱軸,通徑長為8,頂點為坐標原點的拋物線方程是

A.y-^xB.y=-8x

C.y=8x^y=~8xD.V=8y或必=-8y

4.已知拋物線/=4x上一點材與該拋物線的焦點U的距離|加1=4,則點〃的橫坐標尸

A.0B.3

C.2D.4

5.已知點以-3,2）是坐標平面內一定點，若拋物線的焦點為￡點。是該拋物線上的一動點，則

〃胞'-/〃/的最小值是

7

A.-B.3

2

D.2

6.設廠為拋物線C：：/=4x的焦點，M為拋物線。上的一點，。為原點，若△OF"為等腰三角形,

則△OEM的周長為

A.4B.2布+1

C.君+2或4D.行+1或4

7.尸是拋物線f=2x的焦點，以尸為端點的射線與拋物線相交于點A,與拋物線的準線相交于點8,

若E6=4E4，則=

3

A.1B.一

2

9

C.2D.-

4

8.曲線y=2f上兩點A(%,y)、3(%2，%)關于直線丁=%+相對稱，且玉-X2=-5,則0的值為

3

A.—B.2

2

9.已知拋物線/=2px(p>0)的焦點為F,拋物線上的兩個動點A,6始終滿足/月陷60°,過弦4?的中點〃作

拋物線的準線的垂線期;垂足為N,則上?的取值范圍為

\AB

A.(0,烏B.[巫,+8)

33

C.[1,+8)D.(0,1]

丫2

10.若拋物線/=2px(p>0)的焦點與雙曲線L-7=l的右頂點重合，則片

4

11.已知點4(1,%),3(9,必)是拋物線：/=2〃式〃>0)上的兩點，必>y>0,點F是它的焦點，若

|BF|=5|AF|,則弁+%的值為.

12.已知等腰梯形ABCD的頂點都在拋物線丁=2px(p>0)上，且AB//CD,

AB=2,CD=4,NADC=60°,則點A到拋物線的焦點的距離是

13.已知拋物線C:「=ax(a>0)的焦點為F,點1(0,1),射線均與拋物線C相交于點火與其準線相交于點N,

若|掰：|削=1：3,則實數a的值為.

14.已知拋物線/=2px(p>0)的焦點為K準線方程是》=-I

(1)求此拋物線的方程；

⑵設點M在此拋物線上，且|MF|=3,若。為坐標原點，求△OBW的面積.

15.己知北川是焦點為尸的拋物線丁=2px(p>0)上兩個不同的點,線段協(xié)'的中點A的橫坐標為4-5.

⑴求|炳+|即|的值;

(2)若尸2,直線MN與x軸交于點B,求點8的橫坐標的取值范圍.

16.設A,8是拋物線/=2px(p>0)上的兩點,且滿足的_1如(。為坐標原點).

求證：(1)46兩點的橫坐標之積、縱坐標之積都為定值;

(2)直線4?經過一個定點.

17.已知拋物線C的頂點在原點，焦點在y軸上，且拋物線上有一點尸（小,5）到焦點的距離為6.

（1）求該拋物線。的方程；

（2）已知拋物線上一點“（4"）,過點M作拋物線的兩條弦和ME,且ADJAE，判斷直線OE

是否過定點，并說明理由.

直通高考此

S?

2

1.（2018新課標I理）設拋物線C：/=4x的焦點為F,過點（-2,0）且斜率為1的直線與。交于M,N

兩點，則FMFN二

A.5B.6

C.7D.8

2.（2016新課標全國I理科）以拋物線。的頂點為圓心的圓交。于4B兩點,交。的準線于〃￡兩點.

已知|47|二4血，\DEU2舊,則C的焦點到準線的距離為

A.2B.4

C.6D.8

3.（2017新課標全國I理科）已知尸為拋物線Gy2=4x的焦點，過/作兩條互相垂直的直線九k,

直線人與。交于力、夕兩點，直線4與。交于〃、￡兩點，則I力引+：龍|的最小值為

A.16B.14

C.12D.10

4.（2016浙江理科）若拋物線/=4”上的點M到焦點的距離為10,則"至ijy軸的距離是.

5.（2017新課標全國II理科）已知F是拋物線C：y2=8x的焦點，M是。上一點，的延長線交曠

軸于點N.若“為RV的中點，則|EV|=.

6.（2018新課標HI理）已知點知（-1,1）和拋物線Gy2=4x,過C的焦點且斜率為火的直線與C交于A,

B兩點.若NAMB=90°,則&=.

113913

7.（2017浙江）如圖，已知拋物線，點力（一不二），8（不工），拋物線上的點尸（x,y）（—.過

點6作直線4。的垂線，垂足為Q.

（1）求直線/!一斜率的取值范圍;

（2）求IPAHPQI的最大值.

8.（2016新課標全國IH理科）已知拋物線C：、2=2%的焦點為尸，平行于x軸的兩條直線L分別

交C于A,B兩點，交C的準線于P,。兩點.

（1）若F在線段AB上，R是PQ的中點，證明ARFQ.

（2）若APOF的面積是△ABE的面積的兩倍，求AB中點的軌跡方程.

9.(2018新課標n理)設拋物線C：y2=4x的焦點為尸，過尸且斜率為Z(k>0)的直線/與C交于A,B兩

點，"|=8.

(1)求/的方程；

(2)求過點A,8且與C的準線相切的圓的方程.

10.(2018北京理)已知拋物線Gy2=2px經過點p(1,2).過點0(0,1)的直線/與拋物線C有兩個

不同的交點A,B,且直線PA交y軸于M,直線加交y軸于N.

(1)求直線/的斜率的取值范圍；

(2)設。為原點，QM=AQO,QN=juQO.求證：?+一為定值.

X〃

1.【答案】c

【解析】由題意，尸是拋物線/=4x的焦點，所以F(LO),準線方程為x=—l,

設,yJ,N(叱，為)，所以MFI+INFM^+I+XJ+IMG,解得毛+叱=4,

所以線段MN的中點的橫坐標為2,所以線段MN的中點到該拋物線的準線的距離為2+1=3.

故選C.

【名師點睛】本題主要考查了拋物線的定義、標準方程的應用，其中熟記拋物線的定義、標準方程，把

拋物線上的點到焦點的距離轉化為到準線的距離是解答的關鍵，著重考查了轉化思想的應用，屬于基礎

題.根據拋物線的方程求出準線方程，再利用拋物線的定義，列出方程求出M,N的中點的橫坐標，再

求出線段MN的中點到拋物線的準線的距離.

2.【答案】C

【解析】?.?拋物線的頂點在原點，且過點(-4,4),

.??設拋物線的標準方程為f=2〃y(p>0)或(p>0),

將點(-4,4)的坐標代入拋物線的標準方程，=2切(p>0)得：16=8p,「.9=2,

...此時拋物線的標準方程為，=4y；

將點(-4,4)的坐標代入拋物線的標準方程丁=_2聲(p>0),同理可得p=2,

此時拋物線的標準方程為/=-4x.

綜上可知，頂點在原點，且過點(-4,4)的拋物線的標準方程是丁=-4%或，=4).

故選C.

【名師點睛】本題考查拋物線的標準方程，得到所求拋物線標準方程的類型是關鍵，考查待定系數法，

屬于中檔題.依題意，設拋物線的標準方程為f=2刀（p>0）或丁=_20（p>0）,將點（T,4）

的坐標代入拋物線的標準方程，求得〃即可.注意，本題也可用排除法，因為拋物線經過點（T,4）,且

該點在第三象限，所以拋物線的開口朝上或朝左，觀察各選項知選項C符合題意.

3.【答案】C

【解析】由拋物線的定義知阿=%+解得%=2”，

又點M（1,%）在拋物線。上，代入V=2/〃解得%=1,p=[.

團14

過點"作拋物線的準線的垂線，設垂足為七則tanNEAM=tanNAME=~L==_.

\ME\55

4

故選C.

【名師點睛】本題主要考查拋物線的定義和幾何性質，屬于基礎題.先利用拋物線的定義和已知條件求出

%=再過點M作拋物線的準線的垂線，設垂足為E,最后解直角三角形4必得tanZFAM的值.

4.【答案】B

【解析】設過拋物線y2=2px（">0）的焦點的直線/與拋物線交于A（x，yJ,3（七,必）兩點，則

|陰=%+%+0，又因為以"為直徑的圓的方程為（一3）2+（3；-2）2=16,所以

|AB|=Xy4-Xj+p=6+p=8,解得p=2.故選B.

【名師點睛】涉及過拋物線的焦點的弦的長度問題，往往要借助拋物線的定義轉化為拋物線上的點到準

線的距離，比聯(lián)立方程利用弦長公式進行求解減少了計算量.

5.【答案】D

【解析】由題意知，拋物線丁=板的焦點坐標為a0）,準線方程為x=T,

當斜率先存在時,設直線AB的方程為y=儀X-1）,聯(lián)立拋物線方程，可得//一（常+4卜+廿=0,

設4（天,必）,5（女,〉2），貝ij%+項=2+乃>2:不丐=1,

依據拋物線定義得出掰=xl+l,n=x1+l^m+n=xl+x1+2>4}

當斜率上不存在時，易得您+”=4.

則?《+"的最小值是4,故選D.

【名師點睛】本題主要考查拋物線的定義以及直線與拋物線的位置關系，屬于中檔題.與焦點、準線有關

的問題一般情況下都與拋物線的定義有關，解決這類問題一定要注意點到點的距離與點到直線的距離的

轉化：（1）將拋線上的點到準線的距離轉化為該點到焦點的距離；（2）將拋物線上的點到焦點的距離轉

化為到準線的距離，使問題得到解決.

1.【答案】A

【解析】拋物線的標準方程為f=4y,焦點在）'軸上，...2。=4,即p=2,.4=1,則準線方

程為y=-1.故選A.

【名師點睛】本題主要考查了拋物線的基本性質，先將其轉換為標準方程，然后求出準線方程，屬于基

礎題.

2.【答案】C

【解析】若“根〃<0"，則丁=一一y中的一一>0,所以“拋物線如2+肛,=0的焦點在y軸正半

mm

軸上”成立，是充分條件；反之，若“拋物線蛆〃y=0的焦點在y軸正半軸上”，則/=一一y中

m

n

的一一>0,即加〃<0,則“mn<0”成立，故是充分必要條件.

m

故答案為C.

【名師點睛】（1）本題主要考查充要條件的判斷和拋物線的幾何性質，意在考查學生對這些知識的掌握水

平和分析推理能力.（2）判斷充要條件，首先必須分清誰是條件，誰是結論，然后利用定義法、轉換法和

集合法來判斷.

3.【答案】C

【解析】依題意設拋物線方程為/=±2后（0>0）,則2片8,所以拋物線方程為/=8x或*="8x.故選C.

4.【答案】B

【解析】拋物線/=4x,??."=2,由拋物線定義可知，拋物線上任一點到焦點的距離與到準線的距

離是相等的，畫|=4,即有與+5=4,.?.XM=3.

故選B.

【名師點睛】活用拋物線的定義是解決拋物線問題最基本的方法，拋物線上的點到焦點的距離，叫焦半

徑.到焦點的距離常轉化為到準線的距離求解.

5.【答案】C

【解析】拋物線的準線方程為產-工，當，4〃x軸時，/，典/-/0/取得最小值，此時

2

lMQl-lQFl=/2+3/-/2卷/=1.

6.【答案】D

【解析】①若MC>=MF,即點M在直線x上，解得M,所以△。同，的周長為

3

2x-+l=4

2

②若OM=OF,設M(%,為］,所以、+=/=],解得拉（括-

2,,所以

\MF\=j5-l,所以△。成/的周長為在—1+1+1=在+1.

故選D.

【名師點睛】本題考查拋物線的性質.由題意可知，滿足要求的點有兩個，所以進行分類討論.本題的關

鍵就是求出M的坐標，求出周長，所以只需設出M的坐標，結合各自的等量關系，求坐標，得到周長.

7.【答案】D

,1.

I177-4-—I

【解析】由題意得尸七,0）,設點A的橫坐標為機，則由拋物線的定義，可得23,則機=：,

2----=-4

14

所以E4=1,EB=3,所以=41MMeosO=；.故本題選D.

8.【答案】A

【解析】設直線3的方程為產r+瓦代入）=2/得太2+工_匕=0,,、兇=一,一：.

.A1,即總的方程為LX+L

設里的中點為yo）,則JCO=）?工J：，代入y計1,得yo=?.

2414

.51.3

又jld（-->一）在/女+覆|L9??------.??褥=一.

44442

故答案為A

【名師點睛】這是屬于圓錐曲線中的中點弦問題，可以聯(lián)立，由根與系數的關系得到中點坐標，代入已

知直線.還有解決中點弦問題和對稱問題，可以利用點差法，由兩式作差直接得中點坐標和直線斜率的關

系.

9.【答案】D

【解析】過A,6分別作拋物線準線的垂線4Q,BP,垂足分別為Q,P,設[A昨a,[BFkb,則由拋物線的定義,

得〃0/=a,/外/=&所以/&V/當上.在△ABE中，由余弦定理得〃勿=a2+/?2a6cos60°=3+&-ab,所

a+b

|"N|_2_a+b_a+b_1

以何=俄+b?-ab=2g+后一曲=2屁時-3帥=/3ab，因為a+后2、語所

W1|H7V|

：3ab八,當且僅當a=6時等號成立，故上■甘的取值范圍為（0,1].故選D.

10.【答案】4

【解析】由雙曲線《-A1可得a2則雙曲線的右頂點為⑵0）,則4=2,所以04

42

11.【答案】10

【解析】由拋物線的定義可得網=1+與幽=9+勺依據題設可得9+言=5+當op=2,

則y：=4xl=4,￡=4x9=36=%=6（舍去負值），故4+%=10,應填10.

12.【答案】述

12

【解析】由題意可設（根+，5,2）,因此,42'（機+百）=＞，=4?，/〃=乎，因此點A

1=2pm2J

到拋物線的焦點的距離是根+‘=@+走=拽.

23412

13.【答案】企

【解析】依題意得焦點廠的坐標為（2,0）,設"在拋物線的準線上的射影為K,連接加；由拋物線的定義

4

_0-1_-4,

/

知Ml=|四|,因為|掰：|硼=1：3,所以|KN\：|KM\=2媳：1,又%=an=T,k，T熬-2也

---0AM

4

4

所以一=2^/2,解得SFyfZ,

a

14.【解析】（1）因為拋物線的準線方程為“=-1,

所以與=1,得r=2.

Ju

所以拋物線的方程為y-=4x.

⑵設Mg,%),

因為點在拋物線上，且IMF]=3,

由拋物線定義知附產|=不+。=3,得痂=2.

由拉(Z外)在拋物線上，滿足拋物線的方程尸=也去口兄=±2播,

所以題/的面積為;pF|聞=；xlx2jl=&.

15.【解析】(1)設/(不兇),/^(_￥2，%)，則方+%2=8-〃，

而|"P|=X|+g閃目=/+^,

.?.|*+岫=%+/+0=8.

(2)當p=2時，拋物線方程為/=4x.

①若直線極V的斜率不存在,則6(3,0).

②若直線,m的斜率存在，設4(3,t)(tW0),則由⑴知卜2一,整理得短一%2=4(%一3,

[%-=以2

???^■^■(弘+必)=4,即七N=2,

%—%2t

直線A/N:y-.=:(x-3),

2

二6點的橫坐標為3—1,

2

y-t=—(x-3),.

由丁t消去x得2)+2/—12=0,

,2=4x

由△>0得0<四12,

t2

.?.3--e(-3,3).

2

綜上，點3的橫坐標的取值范圍為(-3,3].

【名師點睛】本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關系的相關問題，意在考查學生理解能力、分析判

斷能力以及綜合利用所學知識解決問題的能力和較強的運算求解能力，其常規(guī)思路是先把直線方程與

圓錐曲線方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應用根與系數的關系建立方程，解決相關問題.涉及弦中點的

問題常常用“點差法”解決，往往會更簡單.在得到三角形的面積的表達式后，能否利用換元的方法，

觀察出其中的函數背景成了完全解決問題的關鍵.

22

16.【解析】⑴設/(汨，％),庾打㈤，則為=2冏，丫2=20思

...runty舊=0.

，師二娼

.\jcixir4p2.

即4田兩點的橫坐標之積、縱坐標之積都為定值.

⑵二資-閨⑦學尸取XE),

...當時苴線AB的方程為Xr=2p,

則直線AB的方程為y-x=-2p—?（X-%）,

y+%

2P2py\2p力及

.??產力+y2?廣力+力?茄弘二力+力?廣為+y2.

又力用二一47；

2P4P2_2p

/.片萬電?『為+y2~yi+y2（尸20）,

，直線48過定點（2p,0）.

17?【解析】（1）由題意設拋物線方程為f=2〃），（〃>0）,其準線方程為y=一5,

???點產（見5）到焦點的距離等于尸到其準線的距離，

5+—=6,p=2.

2

所以拋物線方程為，=4卜

⑵由⑴可得點拉（44）,

設直線MD的方程為。=h％-4）+4,

了=上（工-4）+4

聯(lián)立<1>得——4Ax+16A:-16=0,

1，=4y

設（再J2），則?xv-jq=16A;—16,

16左一16,工，

_一%,—4A:4,j…，

4

同理，巧=一三一4,%=4（河：

4（A;-1）2-4|i+l]

所以直線DE的方程為y一小體-1?=_________Ik）（x-4上+4）

4

4/t-4+-+4

k

-2〕

=1—L2L——七——2（%一4左+4）二=1%—：—2卜—4Z+4）,

Z+一

k

化簡得y=[左_：_2]x+4k_：=(x+4)+8.

，直線DE過定點(-4,8).

【名師點睛】(1)本題主要考查了拋物線的性質，考查了直線和拋物線的位置關系和直線的定點問題.

(2)定點問題：對滿足一定條件曲線上兩點連接所得直線過定點或滿足一定條件的曲線過定點問題，

證明直線過定點，一般有兩種方法：

①特殊探求，一般證明：即可以先考慮動直線或曲線的特殊情況，找出定點的位置，然后證明該定點

在該直線或該曲線上(定點的坐標直線或曲線的方程后等式恒成立).

②分離參數法：一般可以根據需要選定參數4eR,結合已知條件求出直線或曲線的方程，分離參數

得到等式工(x,+力(x,y"+力(x,y)=0,(一般地，,[(x,y)(z=1,2,3)為關于乂V的二元一

工(x,y)=o

次關系式)由上述原理可得方程組(&(x,y)=O,從而求得該定點.

/(x,y)=o

1.【答案】D

【解析】根據題意，過點(-2,0)且斜率為g的直線方程為y=g(x+2),

2

y=-(x+2)

與拋物線方程聯(lián)立得?3''，消元整理得：/_6y+8=0,解得好。,2)W(4,4),又F(LO),

y=4x

所以由=(Q2),或=(3,4),

從而可以求得麗.成=0x3+2x4=8,故選D.

【名師點睛】該題考查的是有關直線與拋物線相交求交點坐標所滿足的條件的問題，在求解的過程中，

首先需要根據題意