2024年初二上冊數(shù)學期末考試專項復習46一次函數(shù)全章復習與鞏固（基礎）知識講解

2024年初二上冊數(shù)學期末考試專項復習一次函數(shù)全章復習與鞏固（基礎）【學習目標】1．了解常量、變量和函數(shù)的概念，了解函數(shù)的三種表示方法（列表法、解析式法和圖象法），能利用圖象數(shù)形結(jié)合地分析簡單的函數(shù)關系.2．理解正比例函數(shù)和一次函數(shù)的概念，會畫它們的圖象，能結(jié)合圖象討論這些函數(shù)的基本性質(zhì)，能利用這些函數(shù)分析和解決簡單實際問題.3．通過討論一次函數(shù)與方程（組）及不等式的關系，從運動變化的角度，用函數(shù)的觀點加深對已經(jīng)學習過的方程（組）及不等式等內(nèi)容的再認識.4.通過討論選擇最佳方案的問題，提高綜合運用所學函數(shù)知識分析和解決實際問題的能力.【知識網(wǎng)絡】【高清課堂396533一次函數(shù)復習知識要點】變化的世界函數(shù)變化的世界函數(shù)建立數(shù)學模型應用概念選擇方案概念再認識表示方法圖象性質(zhì)一次函數(shù)（正比例函數(shù)）一元一次方程一元一次不等式二元一次方程組與數(shù)學問題的綜合與實際問題的綜合列表法解析法圖象法【要點梳理】要點一、函數(shù)的相關概念一般地，在一個變化過程中.如果有兩個變量與，并且對于的每一個確定的值，都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說是自變量，是的函數(shù).

是的函數(shù)，如果當＝時＝，那么叫做當自變量為時的函數(shù)值.

函數(shù)的表示方法有三種：解析式法，列表法，圖象法.要點二、一次函數(shù)的相關概念一次函數(shù)的一般形式為，其中、是常數(shù)，≠0.特別地，當＝0時，一次函數(shù)即（≠0），是正比例函數(shù).要點三、一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)

1、函數(shù)的圖象

如果把自變量與函數(shù)的每對對應值分別作為點的橫、縱坐標，那么坐標平面內(nèi)由這些點組成的圖形，就是這個函數(shù)的圖象.

要點詮釋：直線可以看作由直線平移||個單位長度而得到（當＞0時，向上平移；當＜0時，向下平移）.說明通過平移，函數(shù)與函數(shù)的圖象之間可以相互轉(zhuǎn)化.

2、一次函數(shù)性質(zhì)及圖象特征掌握一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)（對比正比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)）要點詮釋：理解、對一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的影響：（1）決定直線從左向右的趨勢（及傾斜角的大小——傾斜程度），決定它與軸交點的位置，、一起決定直線經(jīng)過的象限．（2）兩條直線：和：的位置關系可由其系數(shù)確定：與相交；，且與平行；，且與重合；（3）直線與一次函數(shù)圖象的聯(lián)系與區(qū)別一次函數(shù)的圖象是一條直線；特殊的直線、直線不是一次函數(shù)的圖象.要點四、用函數(shù)的觀點看方程、方程組、不等式方程（組）、不等式問題函數(shù)問題從“數(shù)”的角度看從“形”的角度看求關于、的一元一次方程＝0（≠0）的解為何值時，函數(shù)的值為0？確定直線與軸（即直線＝0）交點的橫坐標求關于、的二元一次方程組的解．為何值時，函數(shù)與函數(shù)的值相等？確定直線與直線的交點的坐標求關于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集為何值時，函數(shù)的值大于0？確定直線在軸（即直線＝0）上方部分的所有點的橫坐標的范圍【典型例題】類型一、函數(shù)的概念【高清課堂396533一次函數(shù)復習例1】1、下列說法正確的是：（）Ａ.變量滿足，則是的函數(shù)；Ｂ.變量滿足，則是的函數(shù)；Ｃ.變量滿足，則是的函數(shù)；Ｄ.變量滿足，則是的函數(shù).【答案】A；【解析】B、C、D三個選項，對于一個確定的的值，都有兩個值和它對應，不滿足單值對應的條件，所以不是函數(shù).【總結(jié)升華】理解函數(shù)的概念，關鍵是函數(shù)與自變量之間是單值對應關系，自變量的值確定后，函數(shù)值是唯一確定的.舉一反三：【變式】如圖的四個圖象中，不表示某一函數(shù)圖象的是（）【答案】B；2、求函數(shù)的自變量的取值范圍.【思路點撥】要使函數(shù)有意義，需或解這個不等式組即可.【答案與解析】解：要使函數(shù)有意義，則要符合：即：或

解方程組得自變量取值是或.【總結(jié)升華】自變量的取值范圍是使函數(shù)有意義的的集合.舉一反三：【變式】求出下列函數(shù)中自變量的取值范圍（1） （2） （3）【答案】解：（1）要使有意義，需，解得≠0且≠－1；（2）要使有意義，需，解得；（3）要使有意義，需，解得.類型二、一次函數(shù)的解析式3、已知與成正比例關系，且其圖象過點(3，3)，試確定與的函數(shù)關系，并畫出其圖象．【思路點撥】與成正比例關系，即，將點(3，3)代入求得函數(shù)關系式.【答案與解析】解：設，由于圖象過點(3，3)知，故．其圖象為過點(2，0)與(0，－6)的一條直線（如圖所示）．【總結(jié)升華】與成正比例滿足關系式，與－2成正比例滿足關系式，注意區(qū)別.舉一反三：【變式】直線平行于直線，且與軸交于點（2，0），求這條直線的解析式.【答案】解：∵直線平行于直線∴∵與軸交于點（2，0）∴①將＝2代入①，得∴此直線解析式為.類型三、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)4、已知正比例函數(shù)（≠0）的函數(shù)值隨的增大而減小，則一次函數(shù)的圖象大致是圖中的（）．【答案】B；【解析】∵隨的增大而減小，∴＜0．∵中的系數(shù)為1＞0，＜0，∴經(jīng)過一、三、四象限，故選B．【總結(jié)升華】本題綜合考查正比例函數(shù)和一次函數(shù)圖象和性質(zhì)，＞0時，函數(shù)值隨自變量的增大而增大．舉一反三：【變式】已知正比例函數(shù)的圖象上兩點A(,),B(,)，當時,有,那么的取值范圍是()A． B．C． D．【答案】A；提示：由題意隨著的增大而減小，所以，選A答案.類型四、一次函數(shù)與方程（組）、不等式5、（2016春?鄂托克旗期末）如圖，直線y=﹣2x與直線y=kx+b相交于點A（a，2），并且直線y=kx+b經(jīng)過x軸上點B（2，0）（1）求直線y=kx+b的解析式．（2）求兩條直線與y軸圍成的三角形面積．（3）直接寫出不等式（k+2）x+b≥0的解集．【思路點撥】（1）首先確定點A的坐標，然后利用點B的坐標利用待定系數(shù)法確定直線的解析式即可；（2）首先根據(jù)直線AB的解析式確定直線AB與y軸的交點坐標，從而利用三角形的面積公式求得三角形的面積；（3）將不等式變形后結(jié)合函數(shù)的圖象確定不等式的解集即可．【答案與解析】解：（1）把A（a，2）代入y=﹣2x中，得﹣2a=2，∴a=﹣1，∴A（﹣1，2）把A（﹣1，2），B（2，0）代入y=kx+b中得，∴k=﹣，b=，∴一次函數(shù)的解析式是y=﹣x+；（2）設直線AB與Y軸交于點C，則C（0，）∴S△BOC=××1=；（3）不等式（k+2）x+b≥0可以變形為kx+b≥﹣2x，結(jié)合圖象得到解集為：x≥﹣1．【總結(jié)升華】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式的知識，解題的關鍵是能夠根據(jù)題意確定直線的解析式，然后結(jié)合圖象直接寫出不等式的解集．舉一反三：【變式】（2015?武漢校級模擬）已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點（3，5）與（﹣4，﹣9）．（1）求這個一次函數(shù)的解析式；（2）求關于x的不等式kx+b≤5的解集．【答案】解：∵一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點點（3，5）與（﹣4，﹣9），∴，解得∴函數(shù)解析式為：y=2x﹣1；（2）∵k=2＞0，∴y隨x的增大而增大，把y=5代入y=2x﹣1解得，x=3，∴當x≤3時，函數(shù)y≤5，故不等式kx+b≤5的解集為x≤3．類型五、一次函數(shù)的應用6、（2015?黔西南州）某地為了鼓勵居民節(jié)約用水，決定實行兩級收費制，即每月用水量不超過12噸（含12噸）時，每噸按政府補貼優(yōu)惠價收費；每月超過12噸，超過部分每噸按市場調(diào)節(jié)價收費，小黃家1月份用水24噸，交水費42元．2月份用水20噸，交水費32元．（1）求每噸水的政府補貼優(yōu)惠價和市場調(diào)節(jié)價分別是多少元；（2）設每月用水量為x噸，應交水費為y元，寫出y與x之間的函數(shù)關系式；（3）小黃家3月份用水26噸，他家應交水費多少元？【答案與解析】解：（1）設每噸水的政府補貼優(yōu)惠價為a元，市場調(diào)節(jié)價為b元．根據(jù)題意得，解得：．答：每噸水的政府補貼優(yōu)惠價為1元，市場調(diào)節(jié)價為2.5元．（2）∵當0≤x≤12時，y=x；當x＞12時，y=12+（x﹣12）×2.5=2.5x﹣18，∴所求函數(shù)關系式為：y=．（3）∵x=26＞12，∴把x=26代入y=2.5x﹣18，得：y=2.5×26﹣18=47（元）．答：小英家三月份應交水費47元．【總結(jié)升華】本題考查了一次函數(shù)的應用，題目還考查了二元一次方程組的解法，特別是在求一次函數(shù)的解析式時，此函數(shù)是一個分段函數(shù)，同時應注意自變量的取值范圍．舉一反三：【變式】一報刊銷售亭從報社訂購某晚報的價格是每份0.7元，銷售價是每份1元，賣不掉的報紙還可以以0.20元的價格返回報社，在一個月內(nèi)（以30天計算），有20天每天可賣出100份，其余10天，每天可賣出60份，但每天報亭從報社訂購的份數(shù)必須相同，若以報亭每天從報社訂購報紙的份數(shù)為，每月所獲得的利潤為．（1）寫出與之間的函數(shù)關系式，并指出自變量的取值范圍；（2）報亭應該每天從報社訂購多少份報紙，才能使每月獲得的利潤最大？最大利潤是多少？【答案】解：（1）

．類型六、一次函數(shù)綜合7、如圖所示，直線的解析表達式為，且與軸交于點D，直線經(jīng)過A、B兩點，直線、交于點C．(1)求點D的坐標；(2)求直線的解析表達式；(3)求△ADC的面積；(4)在直線上存在異于點C的另一點P，使得△ADP與△ADC的面積相等，請直接寫出點P的坐標．【答案與解析】解：(1)由，當＝0，得＝0，得＝l．∴D(1，0)．(2)設直線的解析表達式為，由圖象知，，；，．將這兩組值代入，得方程組解得∴直線的解析表達式為．(3)∵點C是直線與的交點，于是有解得∴C(2，－3)．∴△ADC的AD邊上的高為3．∵OD＝1，OA＝4，∴AD＝3．∴．(4)P(6，3)．【總結(jié)升華】這是一道一次函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應用問題，求直線的函數(shù)解析式，一般運用待定系數(shù)法，但運用過程中，又要具體問題具體分析；求底邊在坐標軸上三角形的面積的關鍵是探求該三角形的高．一次函數(shù)全章復習與鞏固（提高）【學習目標】1．了解常量、變量和函數(shù)的概念，了解函數(shù)的三種表示方法（列表法、解析式法和圖象法），能利用圖象數(shù)形結(jié)合地分析簡單的函數(shù)關系.2．理解正比例函數(shù)和一次函數(shù)的概念，會畫它們的圖象，能結(jié)合圖象討論這些函數(shù)的基本性質(zhì)，能利用這些函數(shù)分析和解決簡單實際問題.3．通過討論一次函數(shù)與方程（組）及不等式的關系，從運動變化的角度，用函數(shù)的觀點加深對已經(jīng)學習過的方程（組）及不等式等內(nèi)容的再認識.4.通過討論選擇最佳方案的問題，提高綜合運用所學函數(shù)知識分析和解決實際問題的能力.【知識網(wǎng)絡】【高清課堂396533一次函數(shù)復習知識要點】變化的世界函數(shù)變化的世界函數(shù)建立數(shù)學模型應用概念選擇方案概念再認識表示方法圖象性質(zhì)一次函數(shù)（正比例函數(shù)）一元一次方程一元一次不等式二元一次方程組與數(shù)學問題的綜合與實際問題的綜合列表法解析法圖象法【要點梳理】要點一、函數(shù)的相關概念一般地，在一個變化過程中.如果有兩個變量與，并且對于的每一個確定的值，都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說是自變量，是的函數(shù).

是的函數(shù)，如果當＝時＝，那么叫做當自變量為時的函數(shù)值.

函數(shù)的表示方法有三種：解析式法，列表法，圖象法.要點二、一次函數(shù)的相關概念一次函數(shù)的一般形式為，其中、是常數(shù)，≠0.特別地，當＝0時，一次函數(shù)即（≠0），是正比例函數(shù).要點三、一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)

1、函數(shù)的圖象

如果把自變量與函數(shù)的每對對應值分別作為點的橫、縱坐標，那么坐標平面內(nèi)由這些點組成的圖形，就是這個函數(shù)的圖象.

要點詮釋：直線可以看作由直線平移||個單位長度而得到（當＞0時，向上平移；當＜0時，向下平移）.說明通過平移，函數(shù)與函數(shù)的圖象之間可以相互轉(zhuǎn)化.

2、一次函數(shù)性質(zhì)及圖象特征掌握一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)（對比正比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)）要點詮釋：理解、對一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的影響：（1）決定直線從左向右的趨勢（及傾斜角的大小——傾斜程度），決定它與軸交點的位置，、一起決定直線經(jīng)過的象限．（2）兩條直線：和：的位置關系可由其系數(shù)確定：與相交；，且與平行；，且與重合；（3）直線與一次函數(shù)圖象的聯(lián)系與區(qū)別一次函數(shù)的圖象是一條直線；特殊的直線、直線不是一次函數(shù)的圖象.要點四、用函數(shù)的觀點看方程、方程組、不等式方程（組）、不等式問題函數(shù)問題從“數(shù)”的角度看從“形”的角度看求關于、的一元一次方程＝0（≠0）的解為何值時，函數(shù)的值為0？確定直線與軸（即直線＝0）交點的橫坐標求關于、的二元一次方程組的解．為何值時，函數(shù)與函數(shù)的值相等？確定直線與直線的交點的坐標求關于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集為何值時，函數(shù)的值大于0？確定直線在軸（即直線＝0）上方部分的所有點的橫坐標的范圍【典型例題】類型一、函數(shù)的概念1、（2014春?桃城區(qū)校級月考）在國內(nèi)投寄平信應付郵資如下表：信件質(zhì)量x（克）0＜x≤200＜x≤400＜x≤60郵資y（元）0.801.602.40（1）y是x的函數(shù)嗎？為什么？（2）分別求當x=5，10，30，50時的函數(shù)值．【思路點撥】（1）根據(jù)函數(shù)定義：設在一個變化過程中有兩個變量x與y，對于x的每一個確定的值，y都有唯一的值與其對應，那么就說y是x的函數(shù)，x是自變量可得y是x的函數(shù)；（2）根據(jù)表格可以直接得到答案．【答案與解析】解：（1）y是x的函數(shù)，當x取定一個值時，y都有唯一確定的值與其對應；（2）當x=5時，y=0.80；當x=10時，y=0.80；當x=30時，y=1.60；當x=50時，y=2.40．【總結(jié)升華】此題主要考查了函數(shù)定義，關鍵是掌握函數(shù)的定義．類型二、一次函數(shù)的解析式2、某出版社出版一種適合中學生閱讀的科普讀物，若該讀物首次出版印刷的印數(shù)不少于5000冊時，投入的成本與印數(shù)間的相應數(shù)據(jù)如下：印數(shù)（冊）500080001000015000……成本（元）28500360004100053500……（1）經(jīng)過對上表中數(shù)據(jù)的探究，發(fā)現(xiàn)這種讀物的投入成本（元）是印數(shù)（冊）的一次函數(shù)，求這個一次函數(shù)的解析式（不要求寫出的取值范圍）；（2）如果出版社投入成本48000元，那么能印該讀物多少冊？【思路點撥】待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，根據(jù)兩點得到兩個二元一次方程，組成一個二元一次方程組求出解即可．表中信息取兩組就可以了.【答案與解析】解：（1）設所求一次函數(shù)的解析式為，

則

解得＝，＝16000．

∴所求的函數(shù)關系式為＝＋16000．

（2）∵48000＝＋16000．

∴＝12800．

答：能印該讀物12800冊．【總結(jié)升華】此類問題主要是考查考生利用待定系數(shù)法來求出有關函數(shù)一般解析式中的未知系數(shù)，從而確定該函數(shù)解析式的能力．舉一反三：【變式】已知直線經(jīng)過點，且與坐標軸所圍成的三角形的面積為，求該直線的函數(shù)解析式．【答案】解：因為直線過點，所以，①又因為直線與軸、軸的交點坐標分別為，再根據(jù)，所以整理得②．根據(jù)方程①和②可以得出，，所以，．所以所求一次函數(shù)解析式為或．類型三、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)【高清課堂396533一次函數(shù)復習例2】3、若直線（≠0）不經(jīng)過第一象限，則、的取值范圍是（）

A.＞0,＜0B.＞0,≤0C.＜0,＜0D.＜0,≤0

【思路點撥】根據(jù)一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系解答.圖象不經(jīng)過第一象限，則k＜0，此時圖象可能過原點，也可能經(jīng)過二、三、四象限.【答案】D；【解析】當圖象過原點時，＜0，＝0，當圖象經(jīng)過二、三、四象限時，＜0且＜0.【總結(jié)升華】圖象不經(jīng)過第一象限包括經(jīng)過二、三、四象限和過原點兩種情況.舉一反三：【高清課堂396533一次函數(shù)復習例3】【變式】一次函數(shù)與在同一坐標系內(nèi)的圖象可以為（）A.B.C.D.【答案】D；提示：分為＜0；0＜＜2；＞2分別畫出圖象，只有D答案符合要求.類型四、一次函數(shù)與方程（組）、不等式4、（2016春?棗陽市期末）直線a：y=x+2和直線b：y=﹣x+4相交于點A，分別與x軸相交于點B和點C，與y軸相交于點D和點E．（1）在同一坐標系中畫出函數(shù)圖象；（2）求△ABC的面積；（3）求四邊形ADOC的面積；（4）觀察圖象直接寫出不等式x+2≤﹣x+4的解集和不等式﹣x+4≤0的解集．【思路點撥】（1）根據(jù)直線的畫法畫出圖形即可；（2）根據(jù)直線a、b的解析式可得出點B、C的坐標，聯(lián)立兩直線的解析式成方程組，解方程組可得出點A的坐標，再利用三角形的面積公式即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)直線a的解析式可求出點D的坐標，利用分割圖形求面積法結(jié)合三角形的面積公式即可得出結(jié)論；（4）根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下位置關系結(jié)合交點的坐標，即可得出不等式的解集．【解析】解：（1）依照題意畫出圖形，如圖所示．（2）令y=x+2中y=0，則x+2=0，解得：x=﹣2，∴點B（﹣2，0）；令y=﹣x+4中y=0，則﹣x+4=0，解得：x=4，∴點C（4，0）；聯(lián)立兩直線解析式得：，解得：，∴點A（1，3）．S△ABC=BC?yA=×[4﹣（﹣2）]×3=9．（3）令y=x+2中x=0，則y=2，∴點D（0，2）．S四邊形ADOC=S△ABC﹣S△DBO=9﹣×2×2=7．（4）觀察函數(shù)圖形，發(fā)現(xiàn)：當x＜1時，直線a在直線b的下方，∴不等式x+2≤﹣x+4的解集為x≤1；當x＞4時，直線b在x軸的下方，∴不等式﹣x+4≤0的解集為x≥4．【總結(jié)升華】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式、一次函數(shù)的圖象以及三角形的面積公式，解題的關鍵是：（1）畫出函數(shù)圖象；（2）找出點A、B、C的坐標；（3）利用分割圖形求面積法求出面積；（4）根據(jù)函數(shù)圖象的上下位置關系解不等式．舉一反三：【變式】（2015春?東城區(qū)期末）已知直線y=kx+b經(jīng)過點A（5，0），B（1，4）．（1）求直線AB的解析式；（2）若直線y=2x﹣4與直線AB相交于點C，求點C的坐標；（3）根據(jù)圖象，寫出關于x的不等式2x﹣4＞kx+b的解集．【答案】解：（1）∵直線y=kx+b經(jīng)過點A（5，0），B（1，4），∴，解得，∴直線AB的解析式為：y=﹣x+5；（2）∵若直線y=2x﹣4與直線AB相交于點C，∴．解得，∴點C（3，2）；（3）根據(jù)圖象可得x＞3．類型五、一次函數(shù)的應用5、某醫(yī)藥研究所開發(fā)了一種新藥，在試驗藥效時發(fā)現(xiàn)，如果成人按規(guī)定劑量服用，那么服藥2后血液中的含藥量最高，達每升6，接著逐步衰減，10后血液中的含藥量為每升3，每升血液中的含藥量隨時間的變化情況如圖所示．當成人按規(guī)定劑量服藥后：(1)分別求出≤2和≥2時，與之間的函數(shù)關系式；(2)如果每升血液中的含藥量為4或4以上時，治療疾病是有效的，那么這個有效時間是多長?【思路點撥】（1）根據(jù)題意由待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式.（2）令≥4，分別求出的取值范圍，便可得出這個藥的有效時間．【答案與解析】解：(1)由圖知，≤2時是正比例函數(shù)，≥2時是一次函數(shù)．設≤2時，，把(2，6)代入，解得＝3，∴當0≤≤2時，．設≥2時，，把(2，6)，(10，3)代入中，得，解得，即．當＝0時，有，．∴當2≤≤18時，．(2)由于≥4時在治療疾病是有效的，∴，解得．即服藥