2024年初二下冊數(shù)學期末考試專項復習分式方程的解法及應用（提高）知識講解

2024年初二下冊數(shù)學期末考試專項復習分式方程的解法及應用（提高）【學習目標】1.了解分式方程的概念和檢驗根的意義，會解可化為一元一次方程的分式方程．2.會列出分式方程解簡單的應用問題．【要點梳理】【高清課堂分式方程的解法及應用知識要點】要點一、分式方程的概念分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程.要點詮釋：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知數(shù).（2）分式方程和整式方程的區(qū)別就在于分母中是否有未知數(shù)（不是一般的字母系數(shù)）.分母中含有未知數(shù)的方程是分式方程，分母中不含有未知數(shù)的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的聯(lián)系：分式方程可以轉化為整式方程.要點二、分式方程的解法解分式方程的基本思想：將分式方程轉化為整式方程.轉化方法是方程兩邊都乘以最簡公分母，去掉分母.在去分母這一步變形時，有時可能產(chǎn)生使最簡公分母為零的根，這種根叫做原方程的增根.因為解分式方程時可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程時必須驗根.解分式方程的一般步驟：（1）方程兩邊都乘以最簡公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：當分母是多項式時，先分解因式，再找出最簡公分母）；（2）解這個整式方程，求出整式方程的解；（3）檢驗：將求得的解代入最簡公分母，若最簡公分母不等于0，則這個解是原分式方程的解，若最簡公分母等于0，則這個解不是原分式方程的解，原分式方程無解.要點三、解分式方程產(chǎn)生增根的原因方程變形時，可能產(chǎn)生不適合原方程的根，這種根叫做原方程的增根.產(chǎn)生增根的原因：去分母時，方程兩邊同乘的最簡公分母是含有字母的式子，這個式子有可能為零，對于整式方程來說，求出的根成立，而對于原分式方程來說，分式無意義，所以這個根是原分式方程的增根.要點詮釋：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”時產(chǎn)生的.根據(jù)方程的同解原理，方程的兩邊都乘以（或除以）同一個不為0的數(shù)，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的兩邊都乘以的數(shù)是0，那么所得方程與原方程不是同解方程，這時求得的根就是原方程的增根.（2）解分式方程一定要檢驗根，這種檢驗與整式方程不同，不是檢查解方程過程中是否有錯誤，而是檢驗是否出現(xiàn)增根，它是在解方程的過程中沒有錯誤的前提下進行的.要點四、分式方程的應用分式方程的應用主要就是列方程解應用題.列分式方程解應用題按下列步驟進行：（1）審題了解已知數(shù)與所求各量所表示的意義，弄清它們之間的數(shù)量關系；（2）設未知數(shù)；（3）找出能夠表示題中全部含義的相等關系，列出分式方程；（4）解這個分式方程；（5）驗根，檢驗是否是增根；（6）寫出答案.【典型例題】類型一、判別分式方程1、（2016春?閔行區(qū)期末）下列方程中，不是分式方程的是（）A．B．C． D．【答案】B．【解析】解：A、該方程符合分式方程的定義，屬于分式方程，故本選項錯誤；B、該方程屬于無理方程，故本選項正確；C、該方程符合分式方程的定義，屬于分式方程，故本選項錯誤；D、該方程符合分式方程的定義，屬于分式方程，故本選項錯誤；故選B．【總結升華】判斷一個方程是否為分式方程，主要是依據(jù)分式方程的定義，也就是看分母中是否含有未知數(shù)．類型二、解復雜分式方程的技巧 2、解方程：．【答案與解析】解：方程的左右兩邊分別通分，得，∴，∴，∴，或，由，解得，由，解得．經(jīng)檢驗：，是原方程的根.【總結升華】若用常規(guī)方法，方程兩邊同乘，去分母后的整式方程的解很難求出來．注意方程左右兩邊的分式的分子、分母，可以采用先把方程的左右兩邊分別通分的方法來解．舉一反三：【變式】解方程．【答案】解：移項得，兩邊同時通分得，即，因為兩個分式分子相同，分式值相等，則分式分母相等．所以，，，，∴．檢驗：當時，．∴是原方程的根．類型三、分式方程的增根【高清課堂分式方程的解法及應用例3】3、（1）若分式方程有增根，求值；（2）若分式方程有增根，求的值．【思路點撥】（1）若分式方程產(chǎn)生增根，則，即或，然后把代入由分式方程轉化得的整式方程求出的值．（2）將分式方程轉化成整式方程后，把代入解出的值.【答案與解析】解：（1）方程兩邊同乘，得．∴．∴．由題意知增根為或，∴或．∴或．（2）方程兩邊同乘，得．∴．∴．∵增根為，∴．∴．【總結升華】(1)在方程變形中，有時可能產(chǎn)生不適合原方程的根，這種根做作原方程的增根．在分式方程中，使最簡公分母為零的根是原方程的增根；(2)這類問題的解法都是首先把它們化成整式方程，然后由條件中的增根，求得未知字母的值．舉一反三：【變式】（2015?泰州校級一模）是否存在實數(shù)x，使得代數(shù)式﹣與代數(shù)式1+的值相等．【答案】解：根據(jù)題意得：﹣=1+，去分母得：x2﹣4x+4﹣16=x2﹣4+4x+8，移項合并得：8x=﹣16，解得：x=﹣2，經(jīng)檢驗x=﹣2是增根，分式方程無解，所以不存在這樣的實數(shù)x，使得代數(shù)式﹣與代數(shù)式1+的值相等．類型四、分式方程的應用【高清課堂分式方程的解法及應用例3】4、某市在道路改造過程中，需要鋪設一條長為1000米的管道，決定由甲、乙兩個工程隊來完成這一工程．已知甲工程隊比乙工程隊每天能多鋪設20米，且甲工程隊鋪設350米所用的天數(shù)與乙工程隊鋪設250米所用的天數(shù)相同．(1)甲、乙工程隊每天各能鋪設多少米?(2)如果要求完成該項工程的工期不超過10天，那么為兩工程隊分配工程量(以百米為單位)的方案有幾種?請你幫助設計出來．【思路點撥】(1)題中的等量關系是甲工程隊鋪設350米所用的天數(shù)與乙工程隊鋪設250米所用的天數(shù)相同．（2）由工期不超過10天列出不等式組求出范圍.【答案與解析】解：(1)設甲工程隊每天能鋪設米，則乙工程隊每天能鋪設米．根據(jù)題意，得．解得．經(jīng)檢驗，是原分式方程的解且符合題意．故甲、乙兩工程隊每天分別能鋪設70米和50米．(2)設分配給甲工程隊米，則分配給乙工程隊米．由題意，得解得500≤≤700．方案一：分配給甲工程隊500米，分配給乙工程隊500米．方案二：分配給甲工程隊600米，分配給乙工程隊400米．方案三：分配給甲工程隊700米，分配給乙工程隊300米．所以分配方案有3種．【總結升華】本題主要考查列分式方程解應用題，考查學生分析和解決問題的能力.舉一反三：【變式】一慢車和一快車同時從A地到B地，A，B兩地相距276公里，慢車的速度是快車速度的三分之二，結果快車比慢車早到達2小時，求快車，慢車的速度.【答案】解：設快車速度為，則慢車速度為依題意，得，去分母，得276×2＝276×3－4，所以，經(jīng)檢驗知是原方程的解，所以，答：慢車、快車的速度分別為46、69．【鞏固練習】一.選擇題1．下列關于的方程中，是分式方程的是（）A． B．C． D．2．若分式方程的解為則等于（）A． B．5 C． D．－53.（2016?濰坊）若關于x的方程的解為正數(shù)，則m的取值范圍是（）A． B．且C． D．且4．若關于的方程有增根，則的值是（）A．3 B．2C．1 D．－15．將公式（均不為零，且）變形成求的式子，正確的是（）A． B．C． D．6．若關于的方程有正數(shù)解，則()．A.＞0且≠3 B.＜6且≠3C.＜0 D.＞6二.填空題7．當＝______時，方程的解為1．8．（2016春?宜賓期末）已知分式方程有增根，則的值為．9．關于的方程的解為______．10．一艘輪船在靜水中的最大航速為20千米/時，它在江水中航行時，江水的流速為千米/時，則它以最大航速順流航行千米所需的時間是______．11．某人上山，下山的路程都是，上山速度，下山速度，則這個人上山和下山的平均速度是______．12．若一個分數(shù)的分子、分母同時加1，得；若分子、分母同時減2，則得，這個分數(shù)是______．三.解答題13.已知關于的方程有一個正數(shù)解，求的取值范圍．14.甲工人工作效率是乙工人工作效率的倍，他們同時加工1500個零件，甲比乙提前18個小時完工，問他們每人每小時各加工多少個零件?15.（2015?沈陽）高速鐵路列車已成為中國人出行的重要交通工具，其平均速度是普通鐵路列車平均速度的3倍，同樣行駛690km，高速鐵路列車比普通鐵路列車少運行了4.6h，求高速鐵路列車的平均速度．【答案與解析】一.選擇題1.【答案】C；【解析】分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知數(shù).2.【答案】B；【解析】原式化簡為，將代入解得.3.【答案】B；【解析】解：去分母得：x+m﹣3m=3x﹣9，解得：∵方程的解為正數(shù)，∴﹣2m+9＞0，即：，當x=3時，，解得：，故m的取值范圍是：且．4.【答案】B【解析】將代入，解得.5.【答案】A；【解析】，所以.6.【答案】B【解析】原方程化簡為，，，解得＜6且≠3.二.填空題7.【答案】；【解析】將代入，解得.8.【答案】-0.6；【解析】解：去分母得：x+x﹣3=﹣5m，由分式方程有增根，得到x﹣3=0，即x=3，把x=3代入整式方程得：3+3﹣3=﹣5m，解得：m=﹣0.6，，9.【答案】；【解析】原方程化簡為，所以.10.【答案】；11.【答案】；【解析】由題意上山和下山的平均速度為：.12.【答案】；【解析】設這個分數(shù)為，，，解之得：，所以這個分數(shù)是.三.解答題13.【解析】解：方程兩邊同乘約去分母，得．整理，得．∵∴解得且，∴當且時，原方程有一個正數(shù)解．14.【解析】解：設乙工人每小時加工個零件，甲工人每小時加工個零件，由題意，得：整理得，，解得.經(jīng)檢驗，是原方程的根..答：甲工人每小時加工125個零件，乙工人每小時加工50個零件.15【解析】解：設高速鐵路列車的平均速度為xkm/h，根據(jù)題意，得：，去分母，得：690×3=690+4.6x，解這個方程，得：x=300，經(jīng)檢驗，x=300是原分式方程的解，答：高速鐵路列車的平均速度為300km/h．矩形（基礎）【學習目標】1.理解矩形的概念.2.掌握矩形的性質定理與判定定理.【要點梳理】【高清課堂特殊的平行四邊形（矩形）知識要點】要點一、矩形的定義有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.要點詮釋：矩形定義的兩個要素：①是平行四邊形；②有一個角是直角.即矩形首先是一個平行四邊形，然后增加一個角是直角這個特殊條件.要點二、矩形的性質矩形的性質包括四個方面：1.矩形具有平行四邊形的所有性質；2.矩形的對角線相等；3.矩形的四個角都是直角；4.矩形是軸對稱圖形，它有兩條對稱軸.要點詮釋：（1）矩形是特殊的平行四邊形，因而也是中心對稱圖形.過中心的任意直線可將矩形分成完全全等的兩部分.（2）矩形也是軸對稱圖形，有兩條對稱軸（分別通過對邊中點的直線）.對稱軸的交點就是對角線的交點（即對稱中心）.（3）矩形是特殊的平行四邊形，矩形具有平行四邊形的所有性質，從而矩形的性質可以歸結為從三個方面看：從邊看，矩形對邊平行且相等；從角看，矩形四個角都是直角；從對角線看，矩形的對角線互相平分且相等.要點三、矩形的判定矩形的判定有三種方法：1.定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.2.對角線相等的平行四邊形是矩形.3.有三個角是直角的四邊形是矩形.要點詮釋：在平行四邊形的前提下，加上“一個角是直角”或“對角線相等”都能判定平行四邊形是矩形.要點四、直角三角形斜邊上的中線的性質直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.要點詮釋：（1）直角三角形斜邊上的中線的性質是矩形性質的推論.性質的前提是直角三角形，對一般三角形不可使用.（2）學過的直角三角形主要性質有：①直角三角形兩銳角互余；②直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；③直角三角形中30°所對的直角邊等于斜邊的一半.（3）性質可以用來解決有關線段倍分的問題.【典型例題】類型一、矩形的性質 1、（2015?云南）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M，N分別是AB，CD的中點，P是AD上的點，且∠PNB=3∠CBN．（1）求證：∠PNM=2∠CBN；（2）求線段AP的長．【思路點撥】（1）由MN∥BC，易得∠CBN=∠MNB，由已知∠PNB=3∠CBN，根據(jù)角的和差不難得出結論；（2）連接AN，根據(jù)矩形的軸對稱性，可知∠PAN=∠CBN，由（1）知∠PNM=2∠CBN=2∠PAN，由AD∥MN，可知∠PAN=∠ANM，所以∠PAN=∠PNA，根據(jù)等角對等邊得到AP=PN，再用勾股定理列方程求出AP．【答案與解析】解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，M，N分別是AB，CD的中點，∴MN∥BC，∴∠CBN=∠MNB，∵∠PNB=3∠CBN，∴∠PNM=2∠CBN；（2）連接AN，根據(jù)矩形的軸對稱性，可知∠PAN=∠CBN，∵MN∥AD，∴∠PAN=∠ANM，由（1）知∠PNM=2∠CBN，∴∠PAN=∠PNA，∴AP=PN，∵AB=CD=4，M，N分別為AB，CD的中點，∴DN=2，設AP=x，則PD=6﹣x，在Rt△PDN中PD2+DN2=PN2，∴（6﹣x）2+22=x2，解得：x=所以AP=．【總結升華】本題主要考查了矩形的性質、勾股定理等知識的綜合運用，難度不大，根據(jù)角的倍差關系得到∠PAN=∠PNA，發(fā)現(xiàn)AP=PN是解決問題的關鍵．舉一反三：【高清課堂特殊的平行四邊形（矩形）例7】【變式】如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，點P為AB邊上任一點，過P分別作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，則線段EF的最小值是_________．【答案】；提示：因為ECFP為矩形，所以有EF＝PC.PC最小時是直角三角形斜邊上的高.類型二、矩形的判定 2、已知：平行四邊形ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點，連接AF、CE.（1）求證：△BEC≌△DFA；（2）連接AC，若CA＝CB，判斷四邊形AECF是什么特殊四邊形？并證明你的結論.【答案與解析】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD,∠B＝∠D，BC＝AD.∵E、F分別是AB、CD的中點，∴BE＝AB，DF＝CD.∴BE＝DF.∴△BEC≌△DFA.（2）四邊形AECF是矩形.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，且AB＝CD.∵E、F分別是AB、CD的中點，∴BE＝AB，DF＝CD.∴AE∥CF且AE＝CF.∴四邊形AECF是平行四邊形.∵CA＝CB，E是AB的中點，∴CE⊥AB，即∠AEC＝90°.∴四邊形AECF是矩形.【總結升華】要證明△BEC和△DFA全等，主要運用判定定理（邊角邊）；四邊形AECF是矩形，先證明四邊形AECF是平行四邊形，再證這個平行四邊形對角線相等或者有一個角是直角.舉一反三：【變式】（2016·黃岡二模）在△ABC中，D是BC邊的中點，E、F分別在AD及其延長線上，CE∥BF，連接BE、CF.（1）求證：△BDF≌△CDE；（2）若DE=BC，試判斷四邊形BFCE是怎樣的四邊形，并證明你的結論.【答案】（1）證明：∵CE∥BF∴∠CED=∠BFD，∵D是BC邊的中點∴BD=DC．∴在△BDF與△CDE中，，∴△BDF≌△CDE（AAS）；（2）四邊形BFCE為矩形．證明：∵△BDF≌△CDE，∴DE=DF，又∵BD=DC，∴四邊形BFCE是平行四邊形，∵BD=DC，DE=BC,∴BD=DC=ED，∴∠BEC=90°，∴平行四邊形BFCE為矩形．3、如圖所示，ABCD四個內角的角平分線分別交于點E、F、G、H．求證：四邊形EFGH是矩形．【思路點撥】AE、BE分別為∠BAD、∠ABC的角平分線，由于在ABCD中，∠BAD+∠ABC＝180°，易得∠BAE+∠ABE＝90°，不難得到∠HEF＝90°，同理可得∠H＝∠F＝90°．【答案與解析】證明：在ABCD中，AD∥BC，∴∠BAD＋∠ABC＝180°，∵AE、BE分別平分∠BAD、∠ABC，∴∠BAE＋∠ABE＝∠BAD＋∠ABC＝90°．∴∠HEF＝∠AEB＝90°．同理：∠H＝∠F＝90°．∴四邊形EFGH是矩形．【總結升華】(1)利用角平分線、垂線得到90°的角，選擇“有三個直角的四邊形是矩形”來判定．(2)本題沒有涉及對角線，所以不會選擇利用對角線來判定矩形．類型三、直角三角形斜邊上的中線的性質4、如圖，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于點D，點E為AC的中點，連接DE，則△CDE的周長為（）A．20B．12C．14D．13【答案】C；【解析】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝8，

∴AD⊥BC，CD＝BD＝BC＝4，

∵點E為AC的中點，

∴DE＝CE＝AC＝5，

∴△CDE的周長＝CD＋DE＋CE＝4＋5＋5＝14．【總結升華】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，等腰三角形三線合一的性質，熟記性質并準確識圖是解題的關鍵．舉一反三：【變式】如圖所示，已知平行四邊形ABCD，AC、BD相交于點O，P是平行四邊形ABCD外一點，且∠APC＝∠BPD＝90°．求證：平行四邊形ABCD是矩形．【答案】解：連接OP．∵四邊形ABCD是平行四邊形．∴AO＝CO，BO＝DO，∵∠APC＝∠BPD＝90°，∴OP＝AC，OP＝BD，∴AC＝BD．∴四邊形ABCD是矩形．【鞏固練習】一.選擇題1.下列關于矩形的說法中正確的是()A．對角線相等的四邊形是矩形B．對角線互相平分的四邊形是矩形C．矩形的對角線互相垂直且平分D．矩形的對角線相等且互相平分2.矩形一個角的平分線分矩形一邊為1和3兩部分，則它的面積為（）A.3B.4C.12D.4或123.（2016春?青浦區(qū)期末）已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，延長BA到點E，使AE=AB，聯(lián)結ED，EC，AC，添加一個條件，能使四邊形ACDE成為矩形的是（）A．AC=CDB．AB=ADC．AD=AED．BC=CE4.把一張長方形的紙片按如圖所示的方式折疊,EM、FM為折痕,折疊后的C點落在B′M或B′M的延長線上,那么∠EMF的度數(shù)是()A.85°B.90°C.95°D.100°5．如圖，四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于點E，且四邊形ABCD的面積為8，則BE＝()A.2 B.3C.D.6.矩形的面積為120，周長為46，則它的對角線長為（）A.15B.16C.17D.18二.填空題7．如圖，四邊形ABCD是一張矩形紙片，AD＝2AB，若沿過點D的折痕DE將A角翻折，使點A落在BC上的A1處，則∠EA1B＝______°.8．如圖，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，對角線AC的垂直平分線分別交AD，BC于點E、F，連結CE，則CE的長______．9.如圖所示，矩形ABCD的兩條對角線相交于點O，∠AOD＝120°，AB＝4，則矩形對角線AC長為________．10.（2016·黃岡）如圖，在矩形ABCD中，點E、F分別在邊CD、BC上，DC=3DE=，將矩形沿直線EF折疊，使點C恰好落在AD邊上的點P處，則FP=_______.11.（2015?南漳縣模擬）矩形ABCD的∠A的平分線AE分BC成兩部分的比為1：3，若矩形ABCD的面積為36，則其周長為．12.如圖所示，將矩形ABCD沿AE向上折疊，使點B落在DC邊上的F處，若△AFD的周長為9，△ECF的周長為3，則矩形ABCD的周長為___________.三.解答題13．（2015?鐵力市二模）如圖，點P是正方形ABCD的對角線BD上一點，PE⊥BC于點E；PF⊥CD于點F，連接EF，給出下列五個結論：①AP=EF；②AP⊥EF；③∠PFE=∠BAP；④PD=EC；⑤PB2+PD2=2PA2，正確的有幾個？

14.已知：如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，點O既是AC的中點，又是EF的中點．（1）求證：△BOE≌△DOF；（2）若OA＝BD，則四邊形ABCD是什么特殊四邊形？說明理由．15.已知：如圖，在矩形ABCD中，E、F分別是邊BC、AB上的點，且EF＝ED，EF⊥ED．求證：AE平分∠BAD．【答案與解析】一.選擇題1.【答案】D；2.【答案】D；【解析】矩形的短邊可能是1，也可能是3，所以面積為4×1或4×3.3.【答案】D；【解析】添加一個條件BC=CE.理由：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD且AB=CD，∵AE=AB，∴AE∥CD且AE=CD，∴四邊形DEAC為平行四邊形，∵BC=EC，AE=AB，∴∠EAC=90°，∴平行四邊形ACDE是矩形.4.【答案】B；【解析】∠EMF＝∠EMB′＋∠FMB′＝∠BMC′＋∠CMC′＝×180°＝90°.5．【答案】C；【解析】過點C做BE垂線，垂足為F，易證△BAE≌△CBF，所以BF＝AE，BE＝CF，所以總面積＝AE×BE＋CF×EF＝AE×BE＋BE×（BE－AE）＝，.6.【答案】C；【解析】設邊長為，則解得，所以對角線為.二.填空題7．【答案】60°；【解析】AD＝A1D＝2CD，所以∠CA1D＝30°，∠EA1B＝60°.8.【答案】；【解析】設AE＝CE＝，DE＝，，.9.【答案】8；【解析】由矩形的性質可知△AOB是等邊三角形，∴AC＝2AO＝