2024年初二下冊數(shù)學(xué)期末考試專項復(fù)習(xí)二次根式（提高）知識講解

2024年初二下冊數(shù)學(xué)期末考試專項復(fù)習(xí)二次根式（提高）知識講解【學(xué)習(xí)目標】1、理解二次根式的概念，了解被開方數(shù)是非負數(shù)的理由.2、理解并掌握下列結(jié)論：≥0，（≥0），（≥0），（≥0），并利用它們進行計算和化簡．【要點梳理】要點一、二次根式及代數(shù)式的概念

1.二次根式：一般地，式子(a≥0)叫做二次根式，“”稱為二次根號，a叫做被開方數(shù)．

要點詮釋：

二次根式的兩個要素：①根指數(shù)為2；②被開方數(shù)為非負數(shù).2.代數(shù)式：形如5，a，a+b，ab，，x3，這些式子，用基本的運算符號(基本運算包括加、減、乘、除、乘方、開方)把數(shù)和表示數(shù)的字母連接起來的式子，我們稱這樣的式子為代數(shù)式.要點二、二次根式的性質(zhì)

1.≥0，（≥0）；

2.（≥0）；

3..

要點詮釋：

1.二次根式(a≥0)的值是非負數(shù)。一個非負數(shù)可以寫成它的算術(shù)平方根的形式，即.2.與要注意區(qū)別與聯(lián)系：（1）的取值范圍不同，中≥0，中為任意值.（2）≥0時，==；<0時，無意義，=.【典型例題】類型一、二次根式的概念1．（2015?啟東）若x、y為實數(shù)，且，求的值．【答案與解析】∵y=，∴x2﹣4=0，x+2≠0，解得：x=2，∴y=，∴．【總結(jié)升華】主要考查了二次根式有意義的條件，得出x，y的值是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式】方程，當(dāng)時，的取值范圍是（）.A．B.≥2C.D.≤2【答案】C類型二、二次根式的性質(zhì)2.根據(jù)下列條件，求字母x的取值范圍：

(1)；(2).

【答案與解析】解：(1)

(2)【總結(jié)升華】二次根式性質(zhì)的運用.舉一反三：【高清課堂：二次根式及其乘除法（上）例1(1)(2)】

【變式1】x取何值時，下列函數(shù)在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？（1）y=－,__________；（2）y=，___________.【答案】（2）【變式2】問題探究：

因為，所以，

因為，所以

請你根據(jù)以上規(guī)律，結(jié)合你的以驗化簡下列各式：

（1）；（2）．【答案】

解：（1）

=

=；

（2）

=

=．3.（2016春?濮陽期末）先閱讀，后解答：（1）由根式的性質(zhì)計算下列式子得：①=3，②=，③=，④=5，⑤=0．由上述計算，請寫出的結(jié)果（a為任意實數(shù)）．（2）利用（1）中的結(jié)論，直接寫出下列問題的結(jié)果：①=；②化簡：（x＜2）=．（3）應(yīng)用：若+=3，則x的取值范圍是．【思路點撥】（1）將a分為正數(shù)、0、負數(shù)三種情況得出結(jié)果；（2）①當(dāng)a=3，14﹣π＜0時，根據(jù)（1）中的結(jié)論可知，得其相反數(shù)﹣a，即得π﹣3.14；②先將被開方數(shù)化為完全平方式，再根據(jù)公式得結(jié)果；（3）根據(jù)（1）式得：+=|x﹣5|+|x﹣8|，然后分三種情況討論：①當(dāng)x＜5時，②當(dāng)5≤x≤8時，③當(dāng)x＞8時，分別計算，哪一個結(jié)果為3，哪一個就是它的取值．【答案與解析】解：（1）=|a|=；（2）①=|3.14﹣π|=π﹣3.14，②（x＜2），=，=|x﹣2|，∵x＜2，∴x﹣2＜0，∴=2﹣x；故答案為：①π﹣3.14，②2﹣x；（3）∵+=|x﹣5|+|x﹣8|，①當(dāng)x＜5時，x﹣5＜0，x﹣8＜0，所以原式=5﹣x+8﹣x=13﹣2x．②當(dāng)5≤x≤8時，x﹣5≥0，x﹣8≤0．所以原式=x﹣5+8﹣x=3，③當(dāng)x＞8時，x﹣5＞0，x﹣8＞0，所以原式=x﹣5+x﹣8=2x﹣13．∵+=3，所以x的取值范圍是5≤x≤8，故答案為：5≤x≤8．【總結(jié)升華】本題考查了二次根式的性質(zhì)和化簡，明確二次根式的兩個性質(zhì)：①（）2=a（a≥0）（任何一個非負數(shù)都可以寫成一個數(shù)的平方的形式）；②=|a|=；尤其是第2個性質(zhì)的運用，注意被開方數(shù)是完全平方式時，如第（3）小題，要分情況進行討論．【高清課堂：二次根式及其乘除法（上）例4】4.已知為三角形的三邊，則=．【思路點撥】三角形三邊關(guān)系：任意兩邊之和大于第三邊．【答案】【解析】為三角形的三邊,即原式==【總結(jié)升華】重點考查二次根式的性質(zhì)：的同時，復(fù)習(xí)了三角形三邊的性質(zhì).二次根式（提高）鞏固練習(xí)【鞏固練習(xí)】一.選擇題1.若代數(shù)式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍為().

A．x＞0B．x≥0C．x≠0D．x≥0且x≠12.使式子有意義的未知數(shù)x有()個.

A．0B．1C．2D．無數(shù)3.（2016春?岳池縣期末）下列各式中①，②，③，④，⑤，二次根式的個數(shù)共有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4.已知a,b,c在數(shù)軸上的位置如右圖所示，則代數(shù)式().A.B.C.D.5.（2015?成都）已知a、b都是實數(shù)，且b，化簡?＋1的結(jié)果是（）.A．2 B．﹣2 C．1 D．36.將中的移到根號內(nèi)，結(jié)果是（）.A．B.C.D.二.填空題7.當(dāng)x_________時，式子沒有意義.8.若，則____________；若，則____.9.已知，求的值為____________.10.若，則化簡的結(jié)果是__________.

11.觀察下列各式：，，,……請你探究其中規(guī)律,并將第n(n≥1)個等式寫出來________________.12.（2015?合肥）已知0＜a＜1，化簡=______________．三．解答題13.已知，求的值.14.（2016秋?婁星區(qū)期末）先閱讀下列材料，再解決問題：閱讀材料：數(shù)學(xué)上有一種根號內(nèi)又帶根號的數(shù)，它們能通過完全平方公式及二次根式的性質(zhì)化去一層根號．例如：====|1+|=1+解決問題：在括號內(nèi)填上適當(dāng)?shù)臄?shù)：====||=根據(jù)上述思路，試將予以化簡．15.（2015春?武昌區(qū)期中）已知a、b、c滿足+|a﹣c+1|=+，求a+b+c的平方根．【答案與解析】一、選擇題

1．【答案】D.【解析】由二次根式和分式的性質(zhì)可知：被開方數(shù)要大于等于0，分母不等于0，即x≥0，，所以選D.2．【答案】B.3．【答案】A.【解析】解：①是二次根式，②只有x≥0時是二次根式，③只有x≥0時是二次根式，④不是二次根式，⑤，不是二次根式，故二次根式的個數(shù)共有①，一共有1個．故選：A．4．【答案】D.5．【答案】D.【解析】∵與有意義，∴，∴a=2，∴b＞1，∴1﹣b＜0，∴原式=?+1=?（b﹣1）+1=2+1=3．故選D．6．【答案】B.二、填空題7.【答案】或x<1.【解析】因為x-1≥0才有意義，所以x<1時無意義；因為，所以，即無意義時x=10.8.【答案】m≤0；≥.9.【答案】.【解析】即，即原式=.10.【答案】3【解析】因為原式==.11．【答案】12．【答案】2；【解析】∵0＜a＜1，∴＜，∴原式=﹣=﹣=﹣（）=2．三、解答題

13.【答案與解析】解：因為，所以2x-1≥0,1-2x≥0，即x=，y=，則.14.【答案與解析】解：①====|3+|=3+，故答案為：3，，3+，，3+；②===|5﹣|=5﹣．15.【答案與解析】解：由題意得，b﹣c≥0且c﹣b≥0，

∴b≥c且c≥b，

∴b=c，

∴等式可變?yōu)?|a﹣b+1|=0，

由非負數(shù)的性質(zhì)得，，

解得，

∴c=2，

a+b+c=1+2+2=5，

∴a+b+c的平方根是±．二次根式的乘除（基礎(chǔ)）知識講解【學(xué)習(xí)目標】1.掌握二次根式的乘除法法則和化簡二次根式的常用方法，熟練進行二次根式的乘除運算.2.了解最簡二次根式的概念，能運用二次根式的有關(guān)性質(zhì)進行化簡.【要點梳理】要點一、二次根式的乘法及積的算術(shù)平方根

1.乘法法則：（≥0，≥0）,即兩個二次根式相乘，根指數(shù)不變，只把被開方數(shù)相乘.

要點詮釋：

(1)在運用二次根式的乘法法則進行運算時，一定要注意：公式中a、b都必須是非負數(shù)；(在本章中，如果沒有特別說明，所有字母都表示非負數(shù)).

(2)該法則可以推廣到多個二次根式相乘的運算：≥0，≥0，…..≥0）.

(3)若二次根式相乘的結(jié)果能寫成的形式，則應(yīng)化簡，如.2.積的算術(shù)平方根:

（≥0，≥0）,即積的算術(shù)平方根等于積中各因式的算術(shù)平方根的積.

要點詮釋：

(1)在這個性質(zhì)中，a、b可以是數(shù)，也可以是代數(shù)式，無論是數(shù)，還是代數(shù)式，都必須滿足≥0，≥0,才能用此式進行計算或化簡，如果不滿足這個條件，等式右邊就沒有意義，等式也就不能成立了；(2)與都是的算術(shù)平方根；(3)二次根式的化簡關(guān)鍵是將被開方數(shù)分解因數(shù)，把含有形式的a移到根號外面.

要點二、二次根式的除法及商的算術(shù)平方根

1.除法法則：（≥0，>0）,即兩個二次根式相除，根指數(shù)不變，把被開方數(shù)相除.

要點詮釋：

(1)在進行二次根式的除法運算時，對于公式中被開方數(shù)a、b的取值范圍應(yīng)特別注意，≥0，>0，因為b在分母上，故b不能為0；

(2)運用二次根式的除法法則，可將分母中的根號去掉，二次根式的運算結(jié)果要盡量化簡，最后結(jié)果中分母不能帶根號.

2.商的算術(shù)平方根:

（≥0，>0），即商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根.

要點詮釋：與都是的算術(shù)平方根.要點三、最簡二次根式（1）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式；

（2）被開方數(shù)中不含有分母；（3）分母中不含有根號.滿足這三個條件的二次根式叫做最簡二次根式.要點詮釋：二次根式化成最簡二次根式主要有以下兩種情況：（1)被開方數(shù)是分數(shù)或分式；（2）含有能開方的因數(shù)或因式.【典型例題】類型一、二次根式的乘除法1．(1)×；(2)×；(3)；(4).【答案與解析】解：(1)×=；(2)×==；

(3)===2；

(4)==×2=2.【總結(jié)升華】直接利用，計算即可．舉一反三：

【變式】各式是否正確，不正確的請予以改正：

(1)；(2)×=4××=4×=4=8.【答案】解：(1)不正確．

改正：=＝×=2×3=6；

(2)不正確．

改正：×=×===＝4.2.（2016春?德州校級月考）計算：．【思路點撥】直接利用二次根式乘除運算法則直接求出即可．【答案與解析】解：=3×（﹣）×2=﹣×5=﹣．【總結(jié)升華】此題主要考查了二次根式的乘除運算，熟練應(yīng)用運算法則是解題關(guān)鍵．類型二、最簡二次根式3.下列各式中，哪些是最簡二次根式？哪些不是？請說明理由.

(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7).【思路點撥】最簡二次根式要滿足三個條件：（1）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式；

（2）被開方數(shù)中不含有分母；（3）分母中不含有根號.【答案與解析】解：和都是最簡二次根式，其余的都不是，理由如下：

的被開方數(shù)是小數(shù)，能寫成分數(shù)，含有分母；和的被開方數(shù)中都含有分母；和的被開方數(shù)中分別含有能開得盡方的因數(shù)和因式.【總結(jié)升華】判斷一個二次根式是不是最簡二次根式，就看它是否滿足最簡二次根式的三個條件，不滿足其中任何一條的二次根式都不是最簡二次根式.舉一反三：

【變式1】化簡：（1）；【高清課堂：二次根式及其乘除法（下）例6（12）】（2）.【答案】(1)原式==；（2）原式=.【變式2】（2015春?河北月考）在下列各式中，哪些是最簡二次根式？哪些不是？對不是最簡二次根式的進行化簡．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．【答案】解：（1）=，含有開得盡方的因數(shù)，因此不是最簡二次根式．（2）=，被開方數(shù)中含有分母，因此它不是最簡二次根式；（3），被開方數(shù)不含分母，被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式，因此它不是最簡二次根式；（4）==，在二次根式的被開方數(shù)中，含有小數(shù)，不是最簡二次根式；（5）==，被開方數(shù)中含有分母，因此它不是最簡二次根式．4.已知0<<,化簡.【答案與解析】解：原式＝＝＝【總結(jié)升華】成立的條件是>0；若<0,則.二次根式的乘除（基礎(chǔ)）鞏固練習(xí)【鞏固練習(xí)】一.選擇題1.計算的結(jié)果是（）.A．B.C.D.2.當(dāng)<0,<0時，化簡得（）.A．B.-C.D.3.在中，最簡二次根式有（）.A．1個B.2個C.3個D.4個4.化簡二次根式的正確結(jié)果是（）．A．B．C．D．5.（2016?富順縣校級模擬）下列根式中，屬于最簡二次根式的是（）A． B． C． D．6.已知，化簡二次根式的正確結(jié)果為（）.A.B.C.D.二.填空題7.計算：=____________________________.8.（2015?齊河縣二模）化簡：=．9．計算：(1)=_______；(2)=________.10.化簡：（1）=_________,(2)=___________.11.若=0，則=_______________.12.有如下判斷：（1）(2)=1