2024年初二上冊數(shù)學(xué)期末考試專項復(fù)習(xí)25平方根（提高）知識講解

2024年初二上冊數(shù)學(xué)期末考試專項復(fù)習(xí)平方根（提高）【學(xué)習(xí)目標】1．了解平方根、算術(shù)平方根的概念，會用根號表示數(shù)的平方根．2．了解開方與乘方互為逆運算，會用開方運算求某些非負數(shù)的平方根，會用計算器求平方根．【要點梳理】【高清課堂：389316平方根，知識要點】要點一、平方根和算術(shù)平方根的概念1.算術(shù)平方根的定義如果一個正數(shù)的平方等于，即,那么這個正數(shù)x叫做的算術(shù)平方根（規(guī)定0的算術(shù)平方根還是0）；的算術(shù)平方根記作，讀作“的算術(shù)平方根”，叫做被開方數(shù).要點詮釋：當(dāng)式子有意義時，一定表示一個非負數(shù)，即≥0，≥0.2.平方根的定義如果，那么叫做的平方根.求一個數(shù)的平方根的運算，叫做開平方.平方與開平方互為逆運算.(≥0)的平方根的符號表達為，其中是的算術(shù)平方根.要點二、平方根和算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系1．區(qū)別：（1）定義不同；（2）結(jié)果不同：和2．聯(lián)系：（1）平方根包含算術(shù)平方根；（2）被開方數(shù)都是非負數(shù)；（3）0的平方根和算術(shù)平方根均為0．要點詮釋：（1）正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)，其中正的那個叫它的算術(shù)平方根；負數(shù)沒有平方根．（2）正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)，根據(jù)它的算術(shù)平方根可以立即寫出它的另一個平方根.因此，我們可以利用算術(shù)平方根來研究平方根.要點三、平方根的性質(zhì)要點四、平方根小數(shù)點位數(shù)移動規(guī)律被開方數(shù)的小數(shù)點向右或者向左移動2位，它的算術(shù)平方根的小數(shù)點就相應(yīng)地向右或者向左移動1位.例如：，，，.【典型例題】類型一、平方根和算術(shù)平方根的概念1、（2015秋?張家港市校級期中）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣9的立方根是2，c是的整數(shù)部分，求a+b+c的平方根．【思路點撥】首先根據(jù)平方根與立方根的概念可得2a﹣1與3a+b﹣9的值，進而可得a、b的值；接著估計的大小，可得c的值；進而可得a+b+c，根據(jù)平方根的求法可得答案．【答案與解析】解：根據(jù)題意，可得2a﹣1=9，3a+b﹣9=8；故a=5，b=2；又∵2＜＜3，∴c=2，∴a+b+c=5+2+2=9，∴9的平方根為±3．【總結(jié)升華】此題主要考查了平方根、立方根、算術(shù)平方根的定義及無理數(shù)的估算能力，還要掌握實數(shù)的基本運算技能，靈活應(yīng)用．舉一反三：【變式】已知2－1與－＋2是的兩個不同的平方根，求的值.【答案】2－1與－＋2是的平方根，所以2－1與－＋2互為相反數(shù).解：當(dāng)2－1＋（－＋2）＝0時，＝－1，所以＝2、為何值時，下列各式有意義？(1)；(2)；(3)；(4)．【答案與解析】解：(1)因為，所以當(dāng)取任何值時，都有意義．(2)由題意可知：，所以時，有意義．(3)由題意可知：解得：．所以時有意義．(4)由題意可知：，解得且．所以當(dāng)且時，有意義．【總結(jié)升華】(1)當(dāng)被開方數(shù)不是數(shù)字，而是一個含字母的代數(shù)式時，一定要討論，只有當(dāng)被開方數(shù)是非負數(shù)時，式子才有意義．(2)當(dāng)分母中含有字母時，只有當(dāng)分母不為0時，式子才有意義．舉一反三：【變式】已知，求的算術(shù)平方根．【答案】解：根據(jù)題意，得則，所以＝2，∴，∴的算術(shù)平方根為．類型二、平方根的運算3、求下列各式的值．(1)；(2)．【思路點撥】（1）首先要弄清楚每個符號表示的意義.（2）注意運算順序.【答案與解析】解：(1)；(2)．【總結(jié)升華】(1)混合運算的運算順序是先算平方開方，再乘除，后加減，同一級運算按先后順序進行．(2)初學(xué)可以根據(jù)平方根、算術(shù)平方根的意義和表示方法來解，熟練后直接根據(jù)來解．類型三、利用平方根解方程4、（2016春·沾益縣校級期中）求下列方程中的值.（1）（2）【答案與解析】解：（1）∵∴∴∴（2）∵∴∴∴∴【總結(jié)升華】本題的實質(zhì)是一元二次方程，開平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2）小題中運用了整體思想分散了難度.舉一反三：【變式】求下列等式中的：（1）若，則＝______；（2），則＝______；（3）若則＝______；（4）若，則＝______．【答案】（1）±1.1；（2）±13；（3）；（4）±2.類型四、平方根的綜合應(yīng)用【高清課堂：389316平方根：例5】5、已知、是實數(shù)，且，解關(guān)于的方程．【答案與解析】解：∵、是實數(shù)，，，，∴，．∴－3，．把－3，代入，得－＋2＝－4，∴＝6．【總結(jié)升華】本題是非負數(shù)的性質(zhì)與方程的知識相結(jié)合的一道題，應(yīng)先求出、的值，再解方程．此類題主要是考查完全平方式、算術(shù)平方根、絕對值三者的非負性，只需令每項分別等于零即可．舉一反三：【高清課堂：389316平方根：例5練習(xí)】【變式】若，求的值．【答案】解：由，得，，即，．①當(dāng)＝1，＝－1時，．②當(dāng)＝－1，＝－1時，．【高清課堂：389316平方根：例6】6、小麗想用一塊面積為400的正方形紙片，沿著邊的方向裁出一塊面積為300的長方形紙片，使它長寬之比為，請你說明小麗能否用這塊紙片裁出符合要求的長方形紙片.【答案與解析】解：設(shè)長方形紙片的長為3(＞0)，則寬為2，依題意得...∵＞0，∴.∴長方形紙片的長為.∵50＞49,∴.∴,即長方形紙片的長大于20.由正方形紙片的面積為400,可知其邊長為20,∴長方形的紙片長大于正方形紙片的邊長.答:小麗不能用這塊紙片裁出符合要求的長方形紙片.【總結(jié)升華】本題需根據(jù)平方根的定義計算出長方形的長和寬，再判斷能否用邊長為20的正方形紙片裁出長方形紙片.舉一反三：【變式】（2015春?臺安縣月考）某小區(qū)為了促進全民健身活動的開展，決定在一塊面積約為1000m2的正方形空地上建一個籃球場，已知籃球場的面積為420m2，其中長是寬的倍，籃球場的四周必須留出1m寬的空地，請你通過計算說明能否按規(guī)定在這塊空地上建一個籃球場？【答案】解：設(shè)籃球場的寬為xm，那么長為m，由題意知，所以x2=225，因為x為正數(shù)，所以x==15，又因為=900＜1000，所以按規(guī)定在這塊空地上建一個籃球場．立方根【學(xué)習(xí)目標】1.了解立方根的含義；2.會表示、計算一個數(shù)的立方根，會用計算器求立方根.【要點梳理】【高清課堂：389317立方根、實數(shù)，知識要點】要點一、立方根的定義如果一個數(shù)的立方等于，那么這個數(shù)叫做的立方根或三次方根.這就是說，如果，那么叫做的立方根.求一個數(shù)的立方根的運算，叫做開立方.要點詮釋：一個數(shù)的立方根，用表示，其中是被開方數(shù)，3是根指數(shù).開立方和立方互為逆運算.要點二、立方根的特征立方根的特征：正數(shù)的立方根是正數(shù)，負數(shù)的立方根是負數(shù)，0的立方根是0.要點詮釋：任何數(shù)都有立方根，一個數(shù)的立方根有且只有一個，并且它的符號與這個非零數(shù)的符號相同.兩個互為相反數(shù)的數(shù)的立方根也互為相反數(shù).要點三、立方根的性質(zhì)要點詮釋：第一個公式可以將求負數(shù)的立方根的問題轉(zhuǎn)化為求正數(shù)的立方根的問題.要點四、立方根小數(shù)點位數(shù)移動規(guī)律被開方數(shù)的小數(shù)點向右或者向左移動3位，它的立方根的小數(shù)點就相應(yīng)地向右或者向左移動1位.例如，，，，.【典型例題】類型一、立方根的概念1、（2016春?吐魯番市校級期中）下列語句正確的是（）A．如果一個數(shù)的立方根是這個數(shù)本身，那么這個數(shù)一定是0B．一個數(shù)的立方根不是正數(shù)就是負數(shù)C．負數(shù)沒有立方根D．一個不為零的數(shù)的立方根和這個數(shù)同號，0的立方根是0【思路點撥】根據(jù)立方根的定義判斷即可.【答案】D；【解析】A．如果一個數(shù)的立方根是這個數(shù)本身，那么這個數(shù)一定是0或1或-1，故錯誤；B．一個數(shù)的立方根不是正數(shù)就是負數(shù)，錯誤，還有0；C．負數(shù)有立方根，故錯誤；D．正確.【總結(jié)升華】本題考查了立方根，解決本題的關(guān)鍵是熟記立方根的定義.舉一反三：【高清課堂：389317立方根實數(shù)，例1】【變式】下列結(jié)論正確的是（）A．64的立方根是±4 B．是的立方根C．立方根等于本身的數(shù)只有0和1 D．【答案】D.類型二、立方根的計算【高清課堂：389317立方根實數(shù)，例2】 2、求下列各式的值：（1）（2）（3）（4）（5）【答案與解析】解：（1）（2）（3）（4）（5）【總結(jié)升華】立方根的計算，注意符號和運算順序，帶分數(shù)要轉(zhuǎn)化成假分數(shù)再開立方.舉一反三：【變式】計算：（1）______；（2）______；（3）______．（4）______.【答案】（1）－0.2；（2）；（3）；（4）.類型三、利用立方根解方程3、（2015春?北京校級期中）（x﹣2）3=﹣125．【思路點撥】利用立方根的定義開立方解答即可．【答案與解析】解：（x﹣2）3=﹣125，可得：x﹣2=﹣5，解得：x=﹣3．【總結(jié)升華】此題考查立方根問題，關(guān)鍵是先將x﹣2看成一個整體．舉一反三：【變式】求出下列各式中的：（1）若＝0.343，則＝______；（2）若－3＝213，則＝______；（3）若＋125＝0，則＝______；（4）若＝8，則＝______．【答案】（1）＝0.7；（2）＝6；（3）＝－5；（4）＝3．類型四、立方根實際應(yīng)用4、在做物理實驗時，小明用一根細線將一個正方體鐵塊拴住，完全浸入盛滿水的圓柱體燒杯中，并用一量筒量得鐵塊排出的水的體積為64，小明又將鐵塊從水中提起，量得燒杯中的水位下降了．請問燒杯內(nèi)部的底面半徑和鐵塊的棱長各是多少？【思路點撥】鐵塊排出的64水的體積，是鐵塊的體積，也是高為燒杯的體積.【答案與解析】解：鐵塊排出的64的水的體積，是鐵塊的體積．設(shè)鐵塊的棱長為，可列方程解得設(shè)燒杯內(nèi)部的底面半徑為，可列方程,解得6.答：燒杯內(nèi)部的底面半徑為6，鐵塊的棱長4.【總結(jié)升華】應(yīng)該熟悉體積公式，依題意建立相等關(guān)系（方程），解方程時，常常用到求平方根、立方根，要結(jié)合實際意義進行取舍.本題體現(xiàn)與物理學(xué)科的綜合.舉一反三：【變式】將棱長分別為和的兩個正方體鋁塊熔化，制成一個大正方體鋁塊，這個大正方體的棱長為____________.(不計損耗)【答案】.實數(shù)與近似數(shù)—知識講解（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標】1.了解無理數(shù)及實數(shù)的意義；2.了解無理數(shù)的概念、實數(shù)的分類,無理線段的作法；3.了解近似數(shù)的概念，能按精確度的要求取近似數(shù)，能根據(jù)近似數(shù)的不同形式確定其精確度；4.體會近似數(shù)在生活中的實際應(yīng)用.【要點梳理】【高清課堂：389317實數(shù)，知識要點】要點一、有理數(shù)與無理數(shù)有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都稱為有理數(shù).無限不循環(huán)小數(shù)又叫無理數(shù).要點詮釋：（1）無理數(shù)的特征：無理數(shù)的小數(shù)部分位數(shù)無限.無理數(shù)的小數(shù)部分不循環(huán)，不能表示成分數(shù)的形式.（2）常見的無理數(shù)有三種形式：①含類.②看似循環(huán)而實質(zhì)不循環(huán)的數(shù)，如：1.313113111…….③帶有根號的數(shù)，但根號下的數(shù)字開方開不盡，如.（3）注意是一個有理數(shù)，因為它是一個分數(shù)，所有的分數(shù)都是有理數(shù).=3.1428571428571……，切不可因為它的值接近，就說它是無理數(shù).要點二、實數(shù)有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).1.實數(shù)的分類①按定義分：實數(shù)②按與0的大小關(guān)系分：實數(shù)2.實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)數(shù)軸上的任何一個點都對應(yīng)一個實數(shù)，反之任何一個實數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個點與之對應(yīng).3.無理線段的作法無理線段可以在數(shù)軸上表示出來，一般是把被開方數(shù)拆成m2+n2的形式，例如：①，特點是被開方數(shù)可化為一個完全平方數(shù)+1的形式；②，特點是被開方數(shù)可以化成兩個平方數(shù)的和的形式；③，特點是被開方數(shù)可以化成幾個平方數(shù)的和的形式.要點三、實數(shù)大小的比較對于數(shù)軸上的任意兩個點，右邊的點所表示的實數(shù)總是比左邊的點表示的實數(shù)大.正實數(shù)大于0，負實數(shù)小于0，兩個負數(shù)，絕對值大的反而小.要點四、實數(shù)的運算有理數(shù)關(guān)于相反數(shù)和絕對值的意義同樣適合于實數(shù).當(dāng)數(shù)從有理數(shù)擴充到實數(shù)以后，實數(shù)之間不僅可以進行加、減、乘、除（除數(shù)不為0）、乘方運算，而且正數(shù)及0可以進行開平方運算，任意一個實數(shù)可以進行開立方運算.在進行實數(shù)的運算時，有理數(shù)的運算法則及運算性質(zhì)同樣適用.要點五、近似數(shù)及精確度1.近似數(shù)：接近準確數(shù)而不等于準確數(shù)的數(shù)，叫做這個精確數(shù)的近似數(shù)或近似值.如長江的長約為6300㎞，這里的6300㎞就是近似數(shù).要點詮釋：一般采用四舍五入法取近似數(shù)，只要看要保留位數(shù)的下一位是大于5還是小于5,4舍5入.2.精確度：一個近似數(shù)四舍五入到哪一位，就稱這個數(shù)精確到哪一位，精確到的這一位也叫做這個近似數(shù)的精確度.要點詮釋：①精確度是指近似數(shù)與準確數(shù)的接近程度.②精確度一般用“精確到哪一位”的形式的來表示，一般來說精確到哪一位表示誤差絕對值的大小，例如精確到米，說明結(jié)果與實際數(shù)相差不超過米.【典型例題】類型一、實數(shù)概念 1、指出下列各數(shù)中的有理數(shù)和無理數(shù)：【思路點撥】對實數(shù)進行分類時，應(yīng)先對某些數(shù)進行計算或化簡，然后根據(jù)它的最后結(jié)果進行分類，不能僅看到根號表示的數(shù)就認為是無理數(shù)；π是無理數(shù)，化簡后含π的代數(shù)式也是無理數(shù).【答案與解析】有理數(shù)有無理數(shù)有……【總結(jié)升華】有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都稱為有理數(shù).無限不循環(huán)小數(shù)又叫無理數(shù).常見的無理數(shù)有三種形式：①含類.②看似循環(huán)而實質(zhì)不循環(huán)的數(shù)，如：0.1010010001…….③帶有根號的數(shù)，但根號下的數(shù)字開方開不盡，如，，，.舉一反三：【高清課堂：389318實數(shù)復(fù)習(xí)，鞏固練習(xí)3】【變式】下列說法錯誤的是（）①無限小數(shù)一定是無理數(shù)；②無理數(shù)一定是無限小數(shù)；③帶根號的數(shù)一定是無理數(shù)；④不帶根號的數(shù)一定是有理數(shù).A．①②③B.②③④C.①③④D.①②④【答案】C；類型二、實數(shù)大小的比較2、比較和0.5的大?。敬鸢概c解析】解：作商，得．因為，即，所以．【總結(jié)升華】若，均為正數(shù)，則由“，，”分別得到結(jié)論“，，，”從而比較兩個實數(shù)的大?。容^大小的方法有作差法和作商法等，根據(jù)具體情況選用適當(dāng)?shù)姆椒?舉一反三：【變式】比較大?。?；；；；；；.【答案】＜；＞；＜；＜；＜；＞；＜.類型三、實數(shù)的運算3、化簡：(1)；(2)；(3).【答案與解析】解：；；.【總結(jié)升華】有理數(shù)關(guān)于相反數(shù)和絕對值的意義同樣適合于實數(shù).有理數(shù)的運算法則及運算性質(zhì)同樣適用.舉一反三：【變式】（2015春?北京校級期中）計算：．【答案】解：原式=4+﹣﹣﹣4=﹣．4、（2016春·雙城市期末）已知滿足：，求的值．【思路點撥】根據(jù)已知等式，利用非負數(shù)的性質(zhì)求出x，y，z的值，代入原式計算即可得到結(jié)果．【答案與解析】解：∵，∴∴，解得：，則原式=．【總結(jié)升華】此題考查了實數(shù)的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】已知，求的值．【答案】解：由已知得，解得．∴＝.類型四、近似數(shù)及精確度【高清課堂：近似數(shù)356850典型例題1】5、用四舍五入法，按括號中的要求把下列各數(shù)取近似數(shù).(1)0.0198(精確到0.001)；(2)0.34082(精確到千分位)；(3)64.49(精確到個位)；（4）（精確到0.01）；【答案與解析】精確到哪一位，應(yīng)觀察它的下一位是進還是舍.（1）0.0198≈0.020；（2）0.34082≈0.341；（3）64.49≈64；（4