2024年初二上冊(cè)數(shù)學(xué)期末考試專項(xiàng)復(fù)習(xí)25平方根（提高）知識(shí)講解

2024年初二上冊(cè)數(shù)學(xué)期末考試專項(xiàng)復(fù)習(xí)平方根（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．了解平方根、算術(shù)平方根的概念，會(huì)用根號(hào)表示數(shù)的平方根．2．了解開(kāi)方與乘方互為逆運(yùn)算，會(huì)用開(kāi)方運(yùn)算求某些非負(fù)數(shù)的平方根，會(huì)用計(jì)算器求平方根．【要點(diǎn)梳理】【高清課堂：389316平方根，知識(shí)要點(diǎn)】要點(diǎn)一、平方根和算術(shù)平方根的概念1.算術(shù)平方根的定義如果一個(gè)正數(shù)的平方等于，即,那么這個(gè)正數(shù)x叫做的算術(shù)平方根（規(guī)定0的算術(shù)平方根還是0）；的算術(shù)平方根記作，讀作“的算術(shù)平方根”，叫做被開(kāi)方數(shù).要點(diǎn)詮釋：當(dāng)式子有意義時(shí)，一定表示一個(gè)非負(fù)數(shù)，即≥0，≥0.2.平方根的定義如果，那么叫做的平方根.求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算，叫做開(kāi)平方.平方與開(kāi)平方互為逆運(yùn)算.(≥0)的平方根的符號(hào)表達(dá)為，其中是的算術(shù)平方根.要點(diǎn)二、平方根和算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系1．區(qū)別：（1）定義不同；（2）結(jié)果不同：和2．聯(lián)系：（1）平方根包含算術(shù)平方根；（2）被開(kāi)方數(shù)都是非負(fù)數(shù)；（3）0的平方根和算術(shù)平方根均為0．要點(diǎn)詮釋：（1）正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，其中正的那個(gè)叫它的算術(shù)平方根；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根．（2）正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，根據(jù)它的算術(shù)平方根可以立即寫(xiě)出它的另一個(gè)平方根.因此，我們可以利用算術(shù)平方根來(lái)研究平方根.要點(diǎn)三、平方根的性質(zhì)要點(diǎn)四、平方根小數(shù)點(diǎn)位數(shù)移動(dòng)規(guī)律被開(kāi)方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右或者向左移動(dòng)2位，它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)就相應(yīng)地向右或者向左移動(dòng)1位.例如：，，，.【典型例題】類型一、平方根和算術(shù)平方根的概念1、（2015秋?張家港市校級(jí)期中）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣9的立方根是2，c是的整數(shù)部分，求a+b+c的平方根．【思路點(diǎn)撥】首先根據(jù)平方根與立方根的概念可得2a﹣1與3a+b﹣9的值，進(jìn)而可得a、b的值；接著估計(jì)的大小，可得c的值；進(jìn)而可得a+b+c，根據(jù)平方根的求法可得答案．【答案與解析】解：根據(jù)題意，可得2a﹣1=9，3a+b﹣9=8；故a=5，b=2；又∵2＜＜3，∴c=2，∴a+b+c=5+2+2=9，∴9的平方根為±3．【總結(jié)升華】此題主要考查了平方根、立方根、算術(shù)平方根的定義及無(wú)理數(shù)的估算能力，還要掌握實(shí)數(shù)的基本運(yùn)算技能，靈活應(yīng)用．舉一反三：【變式】已知2－1與－＋2是的兩個(gè)不同的平方根，求的值.【答案】2－1與－＋2是的平方根，所以2－1與－＋2互為相反數(shù).解：當(dāng)2－1＋（－＋2）＝0時(shí)，＝－1，所以＝2、為何值時(shí)，下列各式有意義？(1)；(2)；(3)；(4)．【答案與解析】解：(1)因?yàn)椋援?dāng)取任何值時(shí)，都有意義．(2)由題意可知：，所以時(shí)，有意義．(3)由題意可知：解得：．所以時(shí)有意義．(4)由題意可知：，解得且．所以當(dāng)且時(shí)，有意義．【總結(jié)升華】(1)當(dāng)被開(kāi)方數(shù)不是數(shù)字，而是一個(gè)含字母的代數(shù)式時(shí)，一定要討論，只有當(dāng)被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)時(shí)，式子才有意義．(2)當(dāng)分母中含有字母時(shí)，只有當(dāng)分母不為0時(shí)，式子才有意義．舉一反三：【變式】已知，求的算術(shù)平方根．【答案】解：根據(jù)題意，得則，所以＝2，∴，∴的算術(shù)平方根為．類型二、平方根的運(yùn)算3、求下列各式的值．(1)；(2)．【思路點(diǎn)撥】（1）首先要弄清楚每個(gè)符號(hào)表示的意義.（2）注意運(yùn)算順序.【答案與解析】解：(1)；(2)．【總結(jié)升華】(1)混合運(yùn)算的運(yùn)算順序是先算平方開(kāi)方，再乘除，后加減，同一級(jí)運(yùn)算按先后順序進(jìn)行．(2)初學(xué)可以根據(jù)平方根、算術(shù)平方根的意義和表示方法來(lái)解，熟練后直接根據(jù)來(lái)解．類型三、利用平方根解方程4、（2016春·沾益縣校級(jí)期中）求下列方程中的值.（1）（2）【答案與解析】解：（1）∵∴∴∴（2）∵∴∴∴∴【總結(jié)升華】本題的實(shí)質(zhì)是一元二次方程，開(kāi)平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2）小題中運(yùn)用了整體思想分散了難度.舉一反三：【變式】求下列等式中的：（1）若，則＝______；（2），則＝______；（3）若則＝______；（4）若，則＝______．【答案】（1）±1.1；（2）±13；（3）；（4）±2.類型四、平方根的綜合應(yīng)用【高清課堂：389316平方根：例5】5、已知、是實(shí)數(shù)，且，解關(guān)于的方程．【答案與解析】解：∵、是實(shí)數(shù)，，，，∴，．∴－3，．把－3，代入，得－＋2＝－4，∴＝6．【總結(jié)升華】本題是非負(fù)數(shù)的性質(zhì)與方程的知識(shí)相結(jié)合的一道題，應(yīng)先求出、的值，再解方程．此類題主要是考查完全平方式、算術(shù)平方根、絕對(duì)值三者的非負(fù)性，只需令每項(xiàng)分別等于零即可．舉一反三：【高清課堂：389316平方根：例5練習(xí)】【變式】若，求的值．【答案】解：由，得，，即，．①當(dāng)＝1，＝－1時(shí)，．②當(dāng)＝－1，＝－1時(shí)，．【高清課堂：389316平方根：例6】6、小麗想用一塊面積為400的正方形紙片，沿著邊的方向裁出一塊面積為300的長(zhǎng)方形紙片，使它長(zhǎng)寬之比為，請(qǐng)你說(shuō)明小麗能否用這塊紙片裁出符合要求的長(zhǎng)方形紙片.【答案與解析】解：設(shè)長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)為3(＞0)，則寬為2，依題意得...∵＞0，∴.∴長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)為.∵50＞49,∴.∴,即長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)大于20.由正方形紙片的面積為400,可知其邊長(zhǎng)為20,∴長(zhǎng)方形的紙片長(zhǎng)大于正方形紙片的邊長(zhǎng).答:小麗不能用這塊紙片裁出符合要求的長(zhǎng)方形紙片.【總結(jié)升華】本題需根據(jù)平方根的定義計(jì)算出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，再判斷能否用邊長(zhǎng)為20的正方形紙片裁出長(zhǎng)方形紙片.舉一反三：【變式】（2015春?臺(tái)安縣月考）某小區(qū)為了促進(jìn)全民健身活動(dòng)的開(kāi)展，決定在一塊面積約為1000m2的正方形空地上建一個(gè)籃球場(chǎng)，已知籃球場(chǎng)的面積為420m2，其中長(zhǎng)是寬的倍，籃球場(chǎng)的四周必須留出1m寬的空地，請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算說(shuō)明能否按規(guī)定在這塊空地上建一個(gè)籃球場(chǎng)？【答案】解：設(shè)籃球場(chǎng)的寬為xm，那么長(zhǎng)為m，由題意知，所以x2=225，因?yàn)閤為正數(shù)，所以x==15，又因?yàn)?900＜1000，所以按規(guī)定在這塊空地上建一個(gè)籃球場(chǎng)．立方根【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解立方根的含義；2.會(huì)表示、計(jì)算一個(gè)數(shù)的立方根，會(huì)用計(jì)算器求立方根.【要點(diǎn)梳理】【高清課堂：389317立方根、實(shí)數(shù)，知識(shí)要點(diǎn)】要點(diǎn)一、立方根的定義如果一個(gè)數(shù)的立方等于，那么這個(gè)數(shù)叫做的立方根或三次方根.這就是說(shuō)，如果，那么叫做的立方根.求一個(gè)數(shù)的立方根的運(yùn)算，叫做開(kāi)立方.要點(diǎn)詮釋：一個(gè)數(shù)的立方根，用表示，其中是被開(kāi)方數(shù)，3是根指數(shù).開(kāi)立方和立方互為逆運(yùn)算.要點(diǎn)二、立方根的特征立方根的特征：正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，0的立方根是0.要點(diǎn)詮釋：任何數(shù)都有立方根，一個(gè)數(shù)的立方根有且只有一個(gè)，并且它的符號(hào)與這個(gè)非零數(shù)的符號(hào)相同.兩個(gè)互為相反數(shù)的數(shù)的立方根也互為相反數(shù).要點(diǎn)三、立方根的性質(zhì)要點(diǎn)詮釋：第一個(gè)公式可以將求負(fù)數(shù)的立方根的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求正數(shù)的立方根的問(wèn)題.要點(diǎn)四、立方根小數(shù)點(diǎn)位數(shù)移動(dòng)規(guī)律被開(kāi)方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右或者向左移動(dòng)3位，它的立方根的小數(shù)點(diǎn)就相應(yīng)地向右或者向左移動(dòng)1位.例如，，，，.【典型例題】類型一、立方根的概念1、（2016春?吐魯番市校級(jí)期中）下列語(yǔ)句正確的是（）A．如果一個(gè)數(shù)的立方根是這個(gè)數(shù)本身，那么這個(gè)數(shù)一定是0B．一個(gè)數(shù)的立方根不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)C．負(fù)數(shù)沒(méi)有立方根D．一個(gè)不為零的數(shù)的立方根和這個(gè)數(shù)同號(hào)，0的立方根是0【思路點(diǎn)撥】根據(jù)立方根的定義判斷即可.【答案】D；【解析】A．如果一個(gè)數(shù)的立方根是這個(gè)數(shù)本身，那么這個(gè)數(shù)一定是0或1或-1，故錯(cuò)誤；B．一個(gè)數(shù)的立方根不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)，錯(cuò)誤，還有0；C．負(fù)數(shù)有立方根，故錯(cuò)誤；D．正確.【總結(jié)升華】本題考查了立方根，解決本題的關(guān)鍵是熟記立方根的定義.舉一反三：【高清課堂：389317立方根實(shí)數(shù)，例1】【變式】下列結(jié)論正確的是（）A．64的立方根是±4 B．是的立方根C．立方根等于本身的數(shù)只有0和1 D．【答案】D.類型二、立方根的計(jì)算【高清課堂：389317立方根實(shí)數(shù)，例2】 2、求下列各式的值：（1）（2）（3）（4）（5）【答案與解析】解：（1）（2）（3）（4）（5）【總結(jié)升華】立方根的計(jì)算，注意符號(hào)和運(yùn)算順序，帶分?jǐn)?shù)要轉(zhuǎn)化成假分?jǐn)?shù)再開(kāi)立方.舉一反三：【變式】計(jì)算：（1）______；（2）______；（3）______．（4）______.【答案】（1）－0.2；（2）；（3）；（4）.類型三、利用立方根解方程3、（2015春?北京校級(jí)期中）（x﹣2）3=﹣125．【思路點(diǎn)撥】利用立方根的定義開(kāi)立方解答即可．【答案與解析】解：（x﹣2）3=﹣125，可得：x﹣2=﹣5，解得：x=﹣3．【總結(jié)升華】此題考查立方根問(wèn)題，關(guān)鍵是先將x﹣2看成一個(gè)整體．舉一反三：【變式】求出下列各式中的：（1）若＝0.343，則＝______；（2）若－3＝213，則＝______；（3）若＋125＝0，則＝______；（4）若＝8，則＝______．【答案】（1）＝0.7；（2）＝6；（3）＝－5；（4）＝3．類型四、立方根實(shí)際應(yīng)用4、在做物理實(shí)驗(yàn)時(shí)，小明用一根細(xì)線將一個(gè)正方體鐵塊拴住，完全浸入盛滿水的圓柱體燒杯中，并用一量筒量得鐵塊排出的水的體積為64，小明又將鐵塊從水中提起，量得燒杯中的水位下降了．請(qǐng)問(wèn)燒杯內(nèi)部的底面半徑和鐵塊的棱長(zhǎng)各是多少？【思路點(diǎn)撥】鐵塊排出的64水的體積，是鐵塊的體積，也是高為燒杯的體積.【答案與解析】解：鐵塊排出的64的水的體積，是鐵塊的體積．設(shè)鐵塊的棱長(zhǎng)為，可列方程解得設(shè)燒杯內(nèi)部的底面半徑為，可列方程,解得6.答：燒杯內(nèi)部的底面半徑為6，鐵塊的棱長(zhǎng)4.【總結(jié)升華】應(yīng)該熟悉體積公式，依題意建立相等關(guān)系（方程），解方程時(shí)，常常用到求平方根、立方根，要結(jié)合實(shí)際意義進(jìn)行取舍.本題體現(xiàn)與物理學(xué)科的綜合.舉一反三：【變式】將棱長(zhǎng)分別為和的兩個(gè)正方體鋁塊熔化，制成一個(gè)大正方體鋁塊，這個(gè)大正方體的棱長(zhǎng)為_(kāi)___________.(不計(jì)損耗)【答案】.實(shí)數(shù)與近似數(shù)—知識(shí)講解（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解無(wú)理數(shù)及實(shí)數(shù)的意義；2.了解無(wú)理數(shù)的概念、實(shí)數(shù)的分類,無(wú)理線段的作法；3.了解近似數(shù)的概念，能按精確度的要求取近似數(shù)，能根據(jù)近似數(shù)的不同形式確定其精確度；4.體會(huì)近似數(shù)在生活中的實(shí)際應(yīng)用.【要點(diǎn)梳理】【高清課堂：389317實(shí)數(shù)，知識(shí)要點(diǎn)】要點(diǎn)一、有理數(shù)與無(wú)理數(shù)有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)都稱為有理數(shù).無(wú)限不循環(huán)小數(shù)又叫無(wú)理數(shù).要點(diǎn)詮釋：（1）無(wú)理數(shù)的特征：無(wú)理數(shù)的小數(shù)部分位數(shù)無(wú)限.無(wú)理數(shù)的小數(shù)部分不循環(huán)，不能表示成分?jǐn)?shù)的形式.（2）常見(jiàn)的無(wú)理數(shù)有三種形式：①含類.②看似循環(huán)而實(shí)質(zhì)不循環(huán)的數(shù)，如：1.313113111…….③帶有根號(hào)的數(shù)，但根號(hào)下的數(shù)字開(kāi)方開(kāi)不盡，如.（3）注意是一個(gè)有理數(shù)，因?yàn)樗且粋€(gè)分?jǐn)?shù)，所有的分?jǐn)?shù)都是有理數(shù).=3.1428571428571……，切不可因?yàn)樗闹到咏?，就說(shuō)它是無(wú)理數(shù).要點(diǎn)二、實(shí)數(shù)有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù).1.實(shí)數(shù)的分類①按定義分：實(shí)數(shù)②按與0的大小關(guān)系分：實(shí)數(shù)2.實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的任何一個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)，反之任何一個(gè)實(shí)數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個(gè)點(diǎn)與之對(duì)應(yīng).3.無(wú)理線段的作法無(wú)理線段可以在數(shù)軸上表示出來(lái)，一般是把被開(kāi)方數(shù)拆成m2+n2的形式，例如：①，特點(diǎn)是被開(kāi)方數(shù)可化為一個(gè)完全平方數(shù)+1的形式；②，特點(diǎn)是被開(kāi)方數(shù)可以化成兩個(gè)平方數(shù)的和的形式；③，特點(diǎn)是被開(kāi)方數(shù)可以化成幾個(gè)平方數(shù)的和的形式.要點(diǎn)三、實(shí)數(shù)大小的比較對(duì)于數(shù)軸上的任意兩個(gè)點(diǎn)，右邊的點(diǎn)所表示的實(shí)數(shù)總是比左邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)大.正實(shí)數(shù)大于0，負(fù)實(shí)數(shù)小于0，兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小.要點(diǎn)四、實(shí)數(shù)的運(yùn)算有理數(shù)關(guān)于相反數(shù)和絕對(duì)值的意義同樣適合于實(shí)數(shù).當(dāng)數(shù)從有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)以后，實(shí)數(shù)之間不僅可以進(jìn)行加、減、乘、除（除數(shù)不為0）、乘方運(yùn)算，而且正數(shù)及0可以進(jìn)行開(kāi)平方運(yùn)算，任意一個(gè)實(shí)數(shù)可以進(jìn)行開(kāi)立方運(yùn)算.在進(jìn)行實(shí)數(shù)的運(yùn)算時(shí)，有理數(shù)的運(yùn)算法則及運(yùn)算性質(zhì)同樣適用.要點(diǎn)五、近似數(shù)及精確度1.近似數(shù)：接近準(zhǔn)確數(shù)而不等于準(zhǔn)確數(shù)的數(shù)，叫做這個(gè)精確數(shù)的近似數(shù)或近似值.如長(zhǎng)江的長(zhǎng)約為6300㎞，這里的6300㎞就是近似數(shù).要點(diǎn)詮釋：一般采用四舍五入法取近似數(shù)，只要看要保留位數(shù)的下一位是大于5還是小于5,4舍5入.2.精確度：一個(gè)近似數(shù)四舍五入到哪一位，就稱這個(gè)數(shù)精確到哪一位，精確到的這一位也叫做這個(gè)近似數(shù)的精確度.要點(diǎn)詮釋：①精確度是指近似數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)的接近程度.②精確度一般用“精確到哪一位”的形式的來(lái)表示，一般來(lái)說(shuō)精確到哪一位表示誤差絕對(duì)值的大小，例如精確到米，說(shuō)明結(jié)果與實(shí)際數(shù)相差不超過(guò)米.【典型例題】類型一、實(shí)數(shù)概念 1、指出下列各數(shù)中的有理數(shù)和無(wú)理數(shù)：【思路點(diǎn)撥】對(duì)實(shí)數(shù)進(jìn)行分類時(shí)，應(yīng)先對(duì)某些數(shù)進(jìn)行計(jì)算或化簡(jiǎn)，然后根據(jù)它的最后結(jié)果進(jìn)行分類，不能僅看到根號(hào)表示的數(shù)就認(rèn)為是無(wú)理數(shù)；π是無(wú)理數(shù)，化簡(jiǎn)后含π的代數(shù)式也是無(wú)理數(shù).【答案與解析】有理數(shù)有無(wú)理數(shù)有……【總結(jié)升華】有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)都稱為有理數(shù).無(wú)限不循環(huán)小數(shù)又叫無(wú)理數(shù).常見(jiàn)的無(wú)理數(shù)有三種形式：①含類.②看似循環(huán)而實(shí)質(zhì)不循環(huán)的數(shù)，如：0.1010010001…….③帶有根號(hào)的數(shù)，但根號(hào)下的數(shù)字開(kāi)方開(kāi)不盡，如，，，.舉一反三：【高清課堂：389318實(shí)數(shù)復(fù)習(xí)，鞏固練習(xí)3】【變式】下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）①無(wú)限小數(shù)一定是無(wú)理數(shù)；②無(wú)理數(shù)一定是無(wú)限小數(shù)；③帶根號(hào)的數(shù)一定是無(wú)理數(shù)；④不帶根號(hào)的數(shù)一定是有理數(shù).A．①②③B.②③④C.①③④D.①②④【答案】C；類型二、實(shí)數(shù)大小的比較2、比較和0.5的大小．【答案與解析】解：作商，得．因?yàn)椋?，所以．【總結(jié)升華】若，均為正數(shù)，則由“，，”分別得到結(jié)論“，，，”從而比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大?。容^大小的方法有作差法和作商法等，根據(jù)具體情況選用適當(dāng)?shù)姆椒?舉一反三：【變式】比較大?。海?；；；；；.【答案】＜；＞；＜；＜；＜；＞；＜.類型三、實(shí)數(shù)的運(yùn)算3、化簡(jiǎn)：(1)；(2)；(3).【答案與解析】解：；；.【總結(jié)升華】有理數(shù)關(guān)于相反數(shù)和絕對(duì)值的意義同樣適合于實(shí)數(shù).有理數(shù)的運(yùn)算法則及運(yùn)算性質(zhì)同樣適用.舉一反三：【變式】（2015春?北京校級(jí)期中）計(jì)算：．【答案】解：原式=4+﹣﹣﹣4=﹣．4、（2016春·雙城市期末）已知滿足：，求的值．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)已知等式，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出x，y，z的值，代入原式計(jì)算即可得到結(jié)果．【答案與解析】解：∵，∴∴，解得：，則原式=．【總結(jié)升華】此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】已知，求的值．【答案】解：由已知得，解得．∴＝.類型四、近似數(shù)及精確度【高清課堂：近似數(shù)356850典型例題1】5、用四舍五入法，按括號(hào)中的要求把下列各數(shù)取近似數(shù).(1)0.0198(精確到0.001)；(2)0.34082(精確到千分位)；(3)64.49(精確到個(gè)位)；（4）（精確到0.01）；【答案與解析】精確到哪一位，應(yīng)觀察它的下一位是進(jìn)還是舍.（1）0.0198≈0.020；（2）0.34082≈0.341；（3）64.49≈64；（4