2024年初二上冊數(shù)學(xué)期末考試專項復(fù)習(xí)7直角三角形全等判定（基礎(chǔ)）知識講解

2024年初二上冊數(shù)學(xué)期末考試專項復(fù)習(xí)直角三角形全等判定（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．理解和掌握判定直角三角形全等的一種特殊方法——“斜邊，直角邊”（即“HL”）.2．能熟練地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法判定兩個直角三角形全等.【要點梳理】要點一、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的條件可知，對于兩個直角三角形，滿足一邊一銳角對應(yīng)相等，或兩直角邊對應(yīng)相等，這兩個直角三角形就全等了.這里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.要點二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜邊，直角邊定理在兩個直角三角形中，有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）.這個判定方法是直角三角形所獨有的，一般三角形不具備.要點詮釋：（1）“HL”從順序上講是“邊邊角”對應(yīng)相等，由于其中含有直角這個特殊條件，所以三角形的形狀和大小就確定了.（2）判定兩個直角三角形全等的方法共有5種：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.證明兩個直角三角形全等，首先考慮用斜邊、直角邊定理，再考慮用一般三角形全等的證明方法.（3）應(yīng)用“斜邊、直角邊”判定兩個直角三角形全等的過程中要突出直角三角形這個條件，書寫時必須在兩個三角形前加上“Rt”.【典型例題】類型一、直角三角形全等的判定——“HL” 1、已知：如圖，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC．求證：（1）AB＝CD：（2）AD∥BC．【思路點撥】先由“HL”證Rt△ABD≌Rt△CDB，再由內(nèi)錯角相等證兩直線平行.【答案與解析】證明：（1）∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD＝∠CDB＝90°在Rt△ABD和Rt△CDB中，∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）∴AB＝CD（全等三角形對應(yīng)邊相等）（2）由∠ADB＝∠CBD∴AD∥BC.【總結(jié)升華】證明兩個直角三角形全等，首先考慮用斜邊、直角邊定理，再考慮用一般三角形全等的證明方法.舉一反三：【變式】已知：如圖，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC．求證：ED⊥AC．【答案】證明：∵AE⊥AB，BC⊥AB，∴∠DAE＝∠CBA＝90°在Rt△DAE與Rt△CBA中，∴Rt△DAE≌Rt△CBA（HL）∴∠E＝∠CAB∵∠CAB＋∠EAF＝90°，∴∠E＋∠EAF＝90°，即∠AFE＝90°即ED⊥AC．2、判斷滿足下列條件的兩個直角三角形是否全等，不全等的畫“×”，全等的注明理由：（1）一個銳角和這個角的對邊對應(yīng)相等；（）（2）一個銳角和斜邊對應(yīng)相等；（）（3）兩直角邊對應(yīng)相等；（）（4）一條直角邊和斜邊對應(yīng)相等．（）【答案】（1）全等，“AAS”；（2）全等，“AAS”；（3）全等，“SAS”；（4）全等，“HL”.【解析】理解題意，畫出圖形，根據(jù)全等三角形的判定來判斷.【總結(jié)升華】直角三角形全等可用的判定方法有5種：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.舉一反三：【變式】下列說法正確的有（）（1）一個銳角及斜邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等；（2）一個銳角及一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等；（3）兩個銳角對應(yīng)等的兩個直角三角形全等；（4）有兩條邊相等的兩個直角三角形全等；（5）有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等． A.2個 B.3個 C.4個D.5個【答案】C．解：（1）一個銳角及斜邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等，根據(jù)AAS可判定兩個直角三角形全等；（2）一個銳角及一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等，根據(jù)AAS或ASA可判定兩個直角三角形全等；（3）兩個銳角對應(yīng)等的兩個直角三角形全等，缺少“邊”這個條件，故不可判定兩個直角三角形全等；（4）有兩條邊相等的兩個直角三角形全等，根據(jù)SAS或HL可判定兩個直角三角形全等；（5）有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等，根據(jù)HL可判定兩個直角三角形全等．所以說法正確的有4個．故選C．3、如圖，AB⊥AC于A，BD⊥CD于D，若AC=DB，則下列結(jié)論中不正確的是（）A．∠A=∠D B．∠ABC=∠DCB C．OB=OD D．OA=OD【思路點撥】根據(jù)已知及全等三角形的判定方法進(jìn)行分析，從而得到答案．做題時要結(jié)合已知條件與全等的判定方法逐一驗證．【答案與解析】解：∵AB⊥AC于A，BD⊥CD于D∴∠A=∠D=90°（A正確）又∵AC=DB，BC=BC∴△ABC≌△DCB(HL)∴∠ABC=∠DCB（B正確）∴AB=CD又∵∠AOB=∠C∴△AOB≌△DOC(AAS)∴OA=OD（D正確）C中OD、OB不是對應(yīng)邊，不相等．故選C．【總結(jié)升華】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角．4、已知：如圖1，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，AB=A′B′，AC=A′C′，C=∠C′=90°求證：Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等．（1）請你用“如果…，那么…”的形式敘述上述命題；（2）將△ABC和△A′B′C′拼在一起，請你畫出兩種拼接圖形；例如圖2：（即使點A與點A′重合，點C與點C′重合．）（3）請你選擇你拼成的其中一種圖形，證明該命題．【答案與解析】解：（1）如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊分別相等，那么這兩個直角三角形全等．（2）如圖：圖②使點A與點A′重合，點B與點B′重合圖③使點A與B′重合，B與點A′重合．（3）在圖②中，∵A和A′重合，B和B′重合，連接CC′．∵∠ACB=∠A′C′B′=90°，∠ACB﹣∠ACC′=∠A′C′B′﹣∠AC′C，即∠BCC′=∠BCC′，∴BC=B′C′．在直角△ABC和直角△A′B′C′中，，∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）．【總結(jié)升華】本題考查了直角三角形的全等中HL定理的證明，正確利用等腰三角形的性質(zhì)是關(guān)鍵．直角三角形全等判定（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．理解和掌握判定直角三角形全等的一種特殊方法——“斜邊，直角邊”（即“HL”）.2．能熟練地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法判定兩個直角三角形全等.【要點梳理】要點一、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的條件可知，對于兩個直角三角形，滿足一邊一銳角對應(yīng)相等，或兩直角邊對應(yīng)相等，這兩個直角三角形就全等了.這里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.要點二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜邊，直角邊定理在兩個直角三角形中，有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）.這個判定方法是直角三角形所獨有的，一般三角形不具備.要點詮釋：（1）“HL”從順序上講是“邊邊角”對應(yīng)相等，由于其中含有直角這個特殊條件，所以三角形的形狀和大小就確定了.（2）判定兩個直角三角形全等的方法共有5種：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.證明兩個直角三角形全等，首先考慮用斜邊、直角邊定理，再考慮用一般三角形全等的證明方法.（3）應(yīng)用“斜邊、直角邊”判定兩個直角三角形全等的過程中要突出直角三角形這個條件，書寫時必須在兩個三角形前加上“Rt”.【典型例題】類型一、直角三角形全等的判定——“HL” 1、判斷滿足下列條件的兩個直角三角形是否全等，不全等的畫“×”，全等的注明理由：（1）一個銳角和這個角的對邊對應(yīng)相等；（）（2）一個銳角和斜邊對應(yīng)相等；（）（3）兩直角邊對應(yīng)相等；（）（4）一條直角邊和斜邊對應(yīng)相等．（）【答案】（1）全等，“AAS”；（2）全等，“AAS”；（3）全等，“SAS”；（4）全等，“HL”.【解析】理解題意，畫出圖形，根據(jù)全等三角形的判定來判斷.【總結(jié)升華】直角三角形全等可用的判定方法有5種：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.舉一反三：【變式】下列說法中，正確的畫“√”；錯誤的畫“×”，并舉出反例畫出圖形.（1）一條直角邊和斜邊上的高對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等．（）（2）有兩邊和其中一邊上的高對應(yīng)相等的兩個三角形全等．（）（3）有兩邊和第三邊上的高對應(yīng)相等的兩個三角形全等．（）【答案】（1）√；（2）×；在△ABC和△DBC中，AB＝DB，AE和DF是其中一邊上的高，AE＝DF（3）×.在△ABC和△ABD中，AB＝AB，AD＝AC，AE為第三邊上的高，2、已知：如圖，DE⊥AC，BF⊥AC，AD＝BC，DE＝BF.求證：AB∥DC.【思路點撥】從已知條件只能先證出Rt△ADE≌Rt△CBF，從結(jié)論又需證Rt△CDE≌Rt△ABF.【答案與解析】證明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴在Rt△ADE與Rt△CBF中∴Rt△ADE≌Rt△CBF（HL）∴AE＝CF，DE＝BF∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE在Rt△CDE與Rt△ABF中，∴Rt△CDE≌Rt△ABF（SAS）∴∠DCE＝∠BAF∴AB∥DC.【總結(jié)升華】我們分析已知能推證出什么，再看要證到這個結(jié)論，我們還需要哪些條件，這樣從已知和結(jié)論向中間推進(jìn)，從而證出題目.3、如圖，∠A=∠B=90°，E是AB上的一點，且AE=BC，∠1=∠2．（1）Rt△ADE與Rt△BEC全等嗎？并說明理由；（2）△CDE是不是直角三角形？并說明理由．【思路點撥】（1）根據(jù)∠1=∠2，得DE=CE，利用“HL”可證明Rt△ADE≌Rt△BEC；（2）是直角三角形，由Rt△ADE≌Rt△BEC得，∠3=∠4，從而得出∠4+∠5=90°，則△CDE是直角三角形．【答案與解析】解：（1）全等，理由是：∵∠1=∠2，∴DE=CE，∵∠A=∠B=90°，AE=BC，∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL)；（2）是直角三角形，理由是：∵Rt△ADE≌Rt△BEC，∴∠3=∠4，∵∠3+∠5=90°，∴∠4+∠5=90°，∴∠DEC=90°，∴△CDE是直角三角形．【總結(jié)升華】考查了直角三角形的判定，全等三角形的性質(zhì)，做題時要結(jié)合圖形，在圖形上找條件．舉一反三：【變式】如圖，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC與BD相交于點O．（1）求證：△ABC≌△DCB；（2）△OBC是何種三角形？證明你的結(jié)論．【答案】證明：（1）因為∠A=∠D=90°，所以△ABC和△DCB都是直角三角形，在Rt△ABC和Rt△DCB中，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；（2）△OBC是等腰三角形.理由如下：∵Rt△ABC≌Rt△DCB，∴∠ACB=∠DCB，∴OB=OC∴△OBC是等腰三角形.4、如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC邊上的中線，過C作CF⊥AE，垂足為F，過B作BD⊥BC交CF的延長線于D.（1）求證：AE＝CD；（2）若AC＝12，求BD的長.【答案與解析】（1）證明：∵DB⊥BC，CF⊥AE，∴∠DCB＋∠D＝∠DCB＋∠AEC＝90°．∴∠D＝∠AEC．又∵∠DBC＝∠ECA＝90°，且BC＝CA，∴△DBC≌△ECA（AAS）．∴AE＝CD．（2）解：由（1）得AE＝CD，AC＝BC，∴△CDB≌△AEC（HL）∴BD＝EC＝BC＝AC，且AC＝12．∴BD＝6．【總結(jié)升華】三角形全等的判定是中考的熱點，一般以考查三角形全等的方法為主，判定兩個三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件.全等三角形全章復(fù)習(xí)與鞏固（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解全等三角形的概念和性質(zhì)，能夠準(zhǔn)確地辨認(rèn)全等三角形中的對應(yīng)元素；2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等進(jìn)行證明，掌握綜合法證明的格式；3．會作角的平分線，了解角的平分線的性質(zhì)，能利用三角形全等證明角的平分線的性質(zhì)，會利用角的平分線的性質(zhì)進(jìn)行證明.【知識網(wǎng)絡(luò)】【要點梳理】一般三角形直角三角形判定邊角邊（SAS）角邊角（ASA）角角邊（AAS）邊邊邊（SSS）兩直角邊對應(yīng)相等一邊一銳角對應(yīng)相等斜邊、直角邊定理（HL）性質(zhì)對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等（其他對應(yīng)元素也相等，如對應(yīng)邊上的高相等）備注判定三角形全等必須有一組對應(yīng)邊相等要點一、全等三角形的判定與性質(zhì)

要點二、全等三角形的證明思路要點三、角平分線的性質(zhì)1.角的平分線的性質(zhì)定理

角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.

2.角的平分線的判定定理

角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上.

3.三角形的角平分線三角形角平分線交于一點，且到三邊的距離相等.4.與角平分線有關(guān)的輔助線在角兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形；在角的平分線上取一點向角的兩邊作垂線段.要點四、全等三角形證明方法全等三角形是平面幾何內(nèi)容的基礎(chǔ)，這是因為全等三角形是研究特殊三角形、四邊形、相似圖形、圓等圖形性質(zhì)的有力工具，是解決與線段、角相關(guān)問題的一個出發(fā)點.運用全等三角形，可以證明線段相等、線段的和差倍分關(guān)系、角相等、兩直線位置關(guān)系等常見的幾何問題.可以適當(dāng)總結(jié)證明方法.1．證明線段相等的方法：(1)證明兩條線段所在的兩個三角形全等.(2)利用角平分線的性質(zhì)證明角平分線上的點到角兩邊的距離相等.(3)等式性質(zhì).2．證明角相等的方法：(1)利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行證明.(2)證明兩個角所在的兩個三角形全等.(3)利用角平分線的判定進(jìn)行證明.(4)同角（等角）的余角（補角）相等.(5)對頂角相等.3．證明兩條線段的位置關(guān)系（平行、垂直）的方法；可通過證明兩個三角形全等，得到對應(yīng)角相等，再利用平行線的判定或垂直定義證明.4．輔助線的添加:(1)作公共邊可構(gòu)造全等三角形；(2)倍長中線法；(3)作以角平分線為對稱軸的翻折變換全等三角形；(4)利用截長(或補短)法作旋轉(zhuǎn)變換的全等三角形.5.證明三角形全等的思維方法:（1）直接利用全等三角形判定和證明兩條線段或兩個角相等，需要我們敏捷、快速地發(fā)現(xiàn)兩條線段和兩個角所在的兩個三角形及它們?nèi)鹊臈l件.（2）如果要證明相等的兩條線段或兩個角所在的三角形全等的條件不充分時，則應(yīng)根據(jù)圖形的其它性質(zhì)或先證明其他的兩個三角形全等以補足條件.（3）如果現(xiàn)有圖形中的任何兩個三角形之間不存在全等關(guān)系，此時應(yīng)添置輔助線，使之出現(xiàn)全等三角形，通過構(gòu)造出全等三角形來研究平面圖形的性質(zhì).【典型例題】類型一、全等三角形的性質(zhì)和判定 1、問題背景：（1）如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點．且∠EAF=60°．探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問題的方法是，延長FD到點G．使DG=BE．連結(jié)AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是．探索延伸：（2）如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且∠EAF=∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由．【思路點撥】（1）延長FD到點G．使DG=BE．連結(jié)AG，即可證明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再證明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解題；（2）延長FD到點G．使DG=BE．連結(jié)AG，即可證明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再證明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解題．【答案與解析】證明：（1）在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；故答案為EF=BE+DF．（2）結(jié)論EF=BE+DF仍然成立；理由：延長FD到點G．使DG=BE．連結(jié)AG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF.【總結(jié)升華】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△AEF≌△AGF是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】如圖，已知：AE⊥AB，AD⊥AC，AB＝AC，∠B＝∠C，求證：BD＝CE.【答案】證明：∵AE⊥AB，AD⊥AC，∴∠EAB＝∠DAC＝90°∴∠EAB＋∠DAE＝∠DAC＋∠DAE，即∠DAB＝∠EAC.在△DAB與△EAC中，∴△DAB≌△EAC（ASA）∴BD＝CE.類型二、巧引輔助線構(gòu)造全等三角形(1)．作公共邊可構(gòu)造全等三角形：2、如圖：在四邊形ABCD中，AD∥CB，AB∥CD.求證：∠B＝∠D.【思路點撥】∠B與∠D不包含在任何兩個三角形中，只有添加輔助線AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可構(gòu)造出全等三角形.【答案與解析】證明：連接AC，∵AD∥CB，AB∥CD.∴∠1＝∠2，∠3＝∠4在△ABC與△CDA中∴△ABC≌△CDA（ASA）∴∠B＝∠D【總結(jié)升華】添加公共邊作為輔助線的時候不能割裂所給的條件，如果證∠A＝∠C，則連接對角線BD.舉一反三：【變式】在ΔABC中，AB＝AC.求證：∠B＝∠C【答案】證明：過點A作AD⊥BC在Rt△ABD與Rt△ACD中∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）∴∠B＝∠C.(2)．倍長中線法：3、己知：在ΔABC中，AD為中線.求證：AD＜【答案與解析】證明：延長AD至E，使DE＝AD，∵AD為中線，∴BD＝CD在△ADC與△EDB中∴△ADC≌△EDB（SAS）∴AC＝BE在△ABE中，AB＋BE＞AE，即AB＋AC＞2AD∴AD＜.【總結(jié)升華】用倍長中線法可將線段AC，2AD，AB轉(zhuǎn)化到同一個三角形中，把分散的條件集中起來.倍長中線法實際上是繞著中點D旋轉(zhuǎn)180°.舉一反三：【變式】若三角形的兩邊長分別為5和7,則第三邊的中線長的取值范圍是()A.1＜＜6B.5＜＜7C.2＜＜12D.無法確定【答案】A；提示：倍長中線構(gòu)造全等三角形，7－5＜＜7＋5，所以選A選項.(3).作以角平分線為對稱軸的翻折變換構(gòu)造全等三角形：4、（2016秋?諸暨市期中）如圖，已知∠1=∠2，P為BN上的一點，PF⊥BC于F，PA=PC．求證：∠PCB+∠BAP=180°．【思路點撥】過點P作PE⊥BA于E，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得PE=PF，然后利用HL證明Rt△PEA與Rt△PFC全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠PAE=∠PCB，再根據(jù)平角的定義解答．【答案與解析】證明：如圖，過點P作PE⊥BA于E，∵∠1=∠2，PF⊥BC于F，∴PE=PF，∠PEA=∠PFB=90°，在Rt△PEA與Rt△PFC中，∴Rt△PEA≌Rt△PFC（HL），∴∠PAE=∠PCB，∵∠BAP+∠PAE=180°，∴∠PCB+∠BAP=180°．【總結(jié)升華】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】如圖，已知，∠BAC=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分線，且CE⊥BD交BD延長線于點E．求證：BD=2CE．【答案】解：如圖2，延長CE、BA相交于點F，∵∠EBF+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°，∴∠EBF=∠ACF，在△ABD和△ACF中∴△ABD≌△ACF（ASA），∴BD=CF，在△BCE和△BFE中，∴△BCE≌△BFE（ASA），∴CE=EF，∴BD=2CE．（4）利用截長(或補短)法構(gòu)造全等三角形：5、如圖所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分線，M是AD上任意一點，求證：MB－MC＜AB－AC．【思路點撥】因為AB＞AC，所以可在AB上截取線段AE＝AC，這時BE＝AB－AC，如果連接EM，在△BME中，顯然有MB－ME＜BE．這表明只要證明M