專題03 解題技巧專題：判定三角形全等的基本思路（解析版）

專題03解題技巧專題：判定三角形全等的基本思路類型一已知兩邊對(duì)應(yīng)相等解題思路類型二已知兩角對(duì)應(yīng)相等解題思路類型三已知一邊一角對(duì)應(yīng)相等解題思路典型例題典型例題類型一已知兩邊對(duì)應(yīng)相等基本解題思路：已知兩邊對(duì)應(yīng)相等：①找?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等（SAS）；②找第三邊對(duì)應(yīng)相等（SSS）.例題：（2022·江蘇宿遷·七年級(jí)期末）如圖，，，．(1)求證：；(2)若，AE平分，求的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)35°【解析】【分析】（1）根據(jù)，可得，進(jìn)而證明，即可得證；（2）根據(jù)角平分線的定義可得，根據(jù)（1）的結(jié)論可得，即可求解．(1)證明：，，在與中，，；(2)解：，AE平分，，【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，角平分線的意義，掌握三角形全等的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2021·新疆·七年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)A，E，F(xiàn)，C在同一直線上，，，．求證：．【答案】證明見(jiàn)詳解【解析】【分析】由已知可知AF=CE，從而根據(jù)SSS判定定理可證明△ADF≌△CBE即可．【詳解】證明：∵AE=CE，∴AE+EF=CE+EF，即AF=CE，在△ADF和△CBE中，，∴△ADF≌△CBE（SSS），∴∠D=∠B．【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等碰與性質(zhì)，掌握三角形全等判定方法與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．（2021·廣西·靖西市教學(xué)研究室八年級(jí)期末）如圖，已知AB＝DC，AB∥CD，E、F是AC上兩點(diǎn)，且AE＝CF．(1)求證：△ABF≌△CDE；(2)若∠BCF＝30°，∠CBF＝72°，求∠CED的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)102°【解析】【分析】（1）證明∠BAF＝∠ECD，AF＝CE，再結(jié)合AB＝CD，可得結(jié)論；（2）利用三角形的外角的性質(zhì)先求解∠AFB＝102°，結(jié)合△ABF≌△CDE，可得∠CED＝∠AFB＝102°．(1)證明：∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠ECD，∵AE＝CF，∴AE-EF＝CF-EF∴AF＝CE，又∵AB＝CD，∴△ABF≌△CDE（SAS）．(2)解：∵∠BCF＝30°，∠CBF＝72°，∴∠AFB＝∠BCF+∠CBF＝30°+72°＝102°，∵△ABF≌△CDE，∴∠CED＝∠AFB＝102°．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，掌握“利用SAS證明三角形全等”是解本題的關(guān)鍵．類型二已知兩角對(duì)應(yīng)相等基本解題思路：已知兩角對(duì)應(yīng)相等：①找?jiàn)A邊對(duì)應(yīng)相等（ASA）；②找非夾邊的邊對(duì)應(yīng)相等（AAS）.例題：（2022·云南昭通·八年級(jí)期末）如圖，已知：∠1=∠2，∠C=∠D．求證：BC=BD．【答案】證明見(jiàn)解析．【解析】【分析】先根據(jù)“AAS”直接判定三角形全等，然后根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，可以證明BC=BD．【詳解】證明：在△ABC和△ABD中，∴△ABC≌△ABD（AAS），∴BC=BD．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2021·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)期中）如圖，∠A=∠D，∠B=∠C，BF=CE，求證：AB=DC．【答案】證明見(jiàn)解析．【解析】【分析】利用AAS證明△ABE≌△DCF，即可得到結(jié)論．【詳解】證明：∵BF=CE∴BF+EF=CE+EF，即：BE=CF，在△ABE和△DCF中，∴△ABE≌△DCF(AAS)，∴AB=DC．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，熟記全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．2．（2022·四川瀘州·八年級(jí)期末）已知：．求證：．【答案】見(jiàn)解析【解析】【分析】證明∠CAD=∠BAE；直接運(yùn)用SAS公理，證明△CAD≌△EAB，即可解決問(wèn)題．【詳解】證明：如圖，∵，∴，即，∵在和中，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出圖形中隱含的相等關(guān)系．類型三已知一邊一角對(duì)應(yīng)相等基本解題思路：（1）有一邊和該邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等：找另一角對(duì)應(yīng)相等(AAS).（2）有一邊和改邊的領(lǐng)角對(duì)應(yīng)相等：①找?jiàn)A該角的另一邊對(duì)應(yīng)相等(SAS);②找另一角對(duì)應(yīng)相等(AAS或ASA).例題：（2021·四川南充·一模）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，求證：AF＝DE．【答案】見(jiàn)解析【解析】【分析】利用推出，通過(guò)“邊角邊”證明，利用全等三角形的性質(zhì)即可證明AF＝DE．【詳解】證明：，，，在和中，，，．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，屬于簡(jiǎn)單題，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·山東濟(jì)寧·八年級(jí)期末）如圖，在△ABC和△DCE中，，，點(diǎn)A，C，D依次在同一直線上，且．(1)求證：△ABC≌△DCE．(2)連結(jié)AE，當(dāng)，時(shí)，求△ACE的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)30【解析】【分析】（1）利用AAS可證明結(jié)論；（2）由（1）得：△ABC≌△DCE，則BC＝CE＝5，即可求出△ACE的面積．(1)證明：∵AB∥DE，∴∠BAC＝∠D，在△ABC和△DCE中，，∴△ABC≌△DCE（AAS）；(2)解：由（1）得：△ABC≌△DCE，∴BC＝CE＝5，∴△ACE的面積為×12×5＝30．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2021·重慶市第九十五初級(jí)中學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知，，點(diǎn)D在AC邊上，，AE和BD相交于點(diǎn)O．(1)求證：；(2)若，，求∠ADB的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定即可判斷；（2）根據(jù)，，求出，根據(jù)，即可求出．(1)解：證明：和相交于點(diǎn)，．在和中，，．又，，．在和中，，；(2)解：，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)與判定．一、解答題1．（2022·四川成都·七年級(jí)期末）如圖，，分別是和的高，，．求證：．（每行都要寫(xiě)理由）【答案】證明見(jiàn)詳解【分析】由角平分線的判定定理可知∠ABE=∠ABF，根據(jù)SAS可證明△ABC≌△ABD，由全等三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論．【詳解】證明：∵AE，AF分別是△ABC和△ABD的高，（已知）∴AE⊥BC，AF⊥BD，（三角形高的定義）∵AE=AF，（已知）∴∠ABE=∠ABF，（角平分線的判定定理）在△ABC和△ABD中，，∴△ABC≌△ABD(SAS)，∴AC=AD．（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，三角形高的定義等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．2．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，中，于，于，與交于點(diǎn)，，，求的長(zhǎng)度．【答案】2【分析】先證△ADC≌△BDE(ASA)，再由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得DE=DC=3，再根據(jù)AE=AD-DE即可求解．【詳解】解：∵，∴∠ADC=∠BDE=90°，∠AFE=90°，又∵∠AEF=∠BED，∴∠CAD=∠EBD在△ADC與△BDE中∴△ADC≌△BDE(ASA)，∴DC=DE，又DC=3，∴DE=3，又AD=5，∴AE=AD-DE=5-3=2．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是理清題意進(jìn)行合理推理．3．（2022·浙江麗水·八年級(jí)期中）如圖，AC和BD相交于點(diǎn)O，OA＝OC，OB＝OD．求證：(1)△AOB≌△COD．(2)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意可知OA＝OC，∠AOB＝∠COD，OB＝OD，由SAS即可證明△AOB≌△COD；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得∠A＝∠C，再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，即可證明AB∥DC．（1）證明：（1）在△AOB與△COD中，∴△AOB≌△COD（SAS）；（2）∵△AOB≌△COD，∴∠A＝∠C，∴．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判斷和性質(zhì)，平行線的判斷，屬于基礎(chǔ)證明題，理解全等三角形的判斷和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2022·陜西西安·七年級(jí)期末）如圖，AC與BD交于點(diǎn)O，連接AB、AD、BC，∠D＝∠C．(1)要使，只需添加一個(gè)條件是______．(2)根據(jù)（1）中你所添加的條件，你能說(shuō)明△ABD與△BAC全等嗎？【答案】(1)OA=OB（答案不唯一）；(2)△ABD與△BAC全等；說(shuō)明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意，可以添加條件OA=OB即可；（2）先證明△AOD≌△BOC（AAS），從而可得BD=AC，∠OAB=∠OBA，根據(jù)ASA證明△ABD≌△BAC即可．（1）解：根據(jù)題意，可以添加一個(gè)條件：OA=OB，故答案為：OA=OB（答案不唯一）；（2）證明：在△AOD和△BOC中，，∴△AOD≌△BOC（AAS），∴OD=OC，∵OA=OB，∴BD=AC，∠OAB=∠OBA，在△ABD和△BAC中，，∴△ABD≌△BAC（ASA）．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．5．（2022·山東青島·七年級(jí)期末）已知：．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）直接利用定理即可得證；（2）先根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得．（1）證明：在和中，，．（2）解：，，由（1）已證：，，．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形全等的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．6．（2021·浙江溫州·八年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)C、E、F、B在同一直線上，ABCD，AE＝DF，∠AEB＝∠DFC．(1)求證：△ABE≌△DCF．(2)若∠A＝45°，∠C＝30°．求∠BFD的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)75°【分析】（1）根據(jù)ABCD，可推出∠B＝∠C，根據(jù)AAS即可證明△ABE≌△DCF；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)∠D＝∠A＝45°，運(yùn)用三角形的外角定理即可得到∠BFD的度數(shù)．（1）證明：∵ABCD，∴∠B＝∠C，∵AE＝DF，∠AEB＝∠DFC．∴△ABE≌△DCF（AAS）；（2）∵△ABE≌△DCF．∴∠D＝∠A＝45°∵∠C＝30°，∴∠BFD＝∠C＋∠D＝75°．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形的外角定理，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是本題的關(guān)鍵．7．（2022·江蘇·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在四邊形ABCD中，ABCD，BC⊥CD，垂足為點(diǎn)C，E是AD的中點(diǎn)，連接BE并延長(zhǎng)交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．(1)寫(xiě)出圖中的一對(duì)全等三角形；(2)若AB＝4，BC＝5，CD＝6．求的面積．【答案】(1)；(2)25．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定即可求出答案；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得：，進(jìn)一步可求出，再利用三角形面積公式求出．（1）解：∵ABCD，∴，∵E是AD的中點(diǎn)，∴，在和中，∴，故答案為：，（2）解：∵，∴，∵BC＝5，CD＝6，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定及性質(zhì)，三角形面積公式，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定及性質(zhì)．8．（2022·山東棗莊·七年級(jí)期末）如圖①，，，，連接BD，CE．(1)與全等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)如圖②，延長(zhǎng)CE交線段AB于點(diǎn)G，交線段BD于點(diǎn)F，若，，且點(diǎn)E在線段AC的垂直平分線上，求的度數(shù)．【答案】(1)全等，理由見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由可得，即可證明；（2）由點(diǎn)在線段的垂直平分線上可得，從而可得，可得，由（1）可得，從而可得，即可求解．（1），理由如下：證明：，，，，在和中，，；（2）解：點(diǎn)在線段的垂直平分線上，，，，由（1）可得，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．9．（2022·四川成都·七年級(jí)期末）如圖，在和中，，，，．連接，交于點(diǎn)O．(1)求證：；(2)求的度數(shù)：(3)小明同學(xué)對(duì)該題進(jìn)行了進(jìn)一步研究，他連接了，并提出了下面結(jié)論：平分．請(qǐng)給予證明．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)38°(3)見(jiàn)解析【分析】（1）由“SAS”可證△BAD△CAE，由全等角形的性質(zhì)可得出BD＝CE；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得∠ABD＝∠ACE，由三角形外角性質(zhì)可得出答案；（3）過(guò)點(diǎn)A作AGBD于點(diǎn)G，AHCE于點(diǎn)H，可證明（AAS），可得AG＝AH，由角平分線的性質(zhì)可得OA平分BOE．（1）解：如圖所示標(biāo)注角度：∵∴即在和中∴（SAS）∴（2）解：∵∴設(shè)交于點(diǎn)F，則是和的外角∴，∴∵∴即的度數(shù)是38°（3）證明：過(guò)點(diǎn)作于G，于H，則，∴在和中∴（AAS）∴而于G，∴點(diǎn)A在的平分線上即平分【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)，解題時(shí)注意結(jié)合圖形分析已知條件與問(wèn)題之間的位置關(guān)系，把條件與問(wèn)題的聯(lián)系作為主要的思考方向．10．（2022·江蘇·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在ΔABC中．AD是BC邊上的中線，交BC于點(diǎn)D．(1)如圖①，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD，連接BE．求證：ΔACD≌ΔEBD(2)如圖②，若∠BAC=90°，試探究AD與BC有何數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)如圖③，若CE是邊AB上的中線，且CE交AD于點(diǎn)O．請(qǐng)你猜想線段AO與OD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)AD=，理由見(jiàn)解析(3)AO=2OD，理由見(jiàn)解析【分析】（1）利用SAS可得ΔACD≌ΔEBD；（2）延長(zhǎng)AD到點(diǎn)