浙教版八年級數(shù)學下冊基礎知識專項講練 專題2.23 一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系（鞏固篇）（專項練習）（附參考答案）

專題2.23一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系（鞏固篇）（專項練習）一、單選題1．已知，為一元二次方程的兩個實數(shù)根，且，則（

）A．， B．，C．， D．，2．已知，是一元二次方程的兩個實數(shù)根，下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．3．若關(guān)于的一元二次方程的兩根互為倒數(shù)，則（

）A．3 B．1 C． D．4．已知a、b、c是的三條邊的長，那么方程的根的情況是（

）A．沒有實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根C．有兩個相等的負實根 D．只有一個實數(shù)根5．兩根均為負數(shù)的一元二次方程是（）A． B． C． D．6．如果m、n是一元二次方程的兩個實數(shù)根，那么多項式的值是（）A．2023 B．2027 C．2028 D．20297．如果方程的三根可作為一個三角形的三邊之長，則實數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．8．若一元二次方程的解為a、b，則一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．若m，n是方程x2－x－2022＝0的兩個根，則代數(shù)式（m2－2m－2022）（－n2＋2n＋2022）的值為（

）A．2023 B．2022 C．2021 D．202010．下列說法正確的個數(shù)是(

)①已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，若a+b+c=0，則b2-4ac>0；②若一元二次方程ax2+bx+c=0=0(≠0)，方程兩根為-1和2，則=0；③方程的兩根之和為-2，兩根之積為-7；④方程的兩根之和為2，兩根之積為7．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題11．已知關(guān)于的一元二次方程的一個根是2，則該方程的另一個根是______．12．已知實數(shù)a、b（），且，；則的值是___________；13．如果是兩個不相等的實數(shù)，且滿足，那么代數(shù)式=___．14．方程與的所有根的和為______．15．已知，是關(guān)于的一元二次方程的兩個實數(shù)根，且，則a=________．16．已知關(guān)于x的一元二次方程的實數(shù)根，滿足，則m的取值范圍是_________．17．若關(guān)于的一元二次方程，當時，相應的一元二次方程的兩根分別記為則的值為________________________．18．已知一元二次方程中，下列說法：①若，則；②若方程兩根為-1和2，則；③若方程有兩個不相等的實數(shù)根，則方程必有兩個不相等的實數(shù)根；④若，則方程有兩個不相等的實數(shù)根．其中正確的有______．（填序號）三、解答題19．己知一元二次方程的兩個實數(shù)根為，．求證：________；________；；20．已知關(guān)于的方程．(1)當取什么值時，一元二次方程沒有實數(shù)根？(2)對選取一個合適的非零整數(shù)，使原方程有兩個實數(shù)根，并求這兩個實數(shù)根的差的平方．21．已知關(guān)于x的方程；(1)求證：無論m取何值時，這個方程總有實數(shù)根；(2)當?shù)妊囊贿呴L為4，另外兩邊b，c恰好是這個方程的兩個根，求的周長以及m的值．22．已知關(guān)于x的一元二次方程①有兩個實數(shù)根，．(1)求實數(shù)k的取值范圍；(2)從因式分解法可知，方程①也可轉(zhuǎn)化為②．把方程②的左邊展開化成一般形式后，可以得到方程①兩個根的和、積與系數(shù)分別有如下關(guān)系：______，______；（用含k的式子表示）(3)是否存在實數(shù)k，使得成立？若存在，請求出k的值；若不存在，請說明理由．23．觀察下列一元二次方程，并回答問題：第1個方程：，方程的兩個根分別是，；第2個方程：，方程的兩個根分別是，；第3個方程：；方程的兩個根分別是，；第4個方程：；方程的兩個根分別是，；……請按照此規(guī)律寫出兩個根分別是，的一元二次方程．如果關(guān)于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，且其中一個根比另一個根大1，那么我們稱這樣的方程為“鄰根方程”．上述各方程都是“鄰根方程”．請通過計算，判斷方程是否是“鄰根方程”；已知關(guān)于x的方程（m是常數(shù)）是“鄰根方程”，且這兩個根是某個直角三角形的兩條邊，求此三角形第三邊的長是多少．24．閱讀材料：材料1：若關(guān)于的一元二次方程的兩個根為，，則，．材料2：已知一元二次方程的兩個實數(shù)根分別為，，求的值．解：∵一元二次方程的兩個實數(shù)根分別為，，∴，，則．根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學的知識，完成下列問題：材料理解：一元二次方程的兩個根為，，則_________．類比應用：已知一元二次方程的兩根分別為、，求的值．思維拓展：已知實數(shù)、滿足，，且，求的值．參考答案1．D【分析】先利用一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系求得，將代入方程得到，利用因式分解法解方程即可得到答案．解：，為一元二次方程的兩個實數(shù)根，，，，一元二次方程，，，，故選D．【點撥】本題考查了一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系，因式分解法解一元二次方程，解題關(guān)鍵是掌握一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系：，．2．B【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系解答即可．解：因為是一元二次方程的實數(shù)根，則，，故選：B．【點撥】此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟記，．3．B【分析】設、是的兩根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得出，再根據(jù)倒數(shù)的定義，得出，再利用等量代換，得出，求出的值，再根據(jù)原方程有兩個實數(shù)根，即可求出符合題意的的值．解：設、是的兩根，∴根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可得：，∵方程的兩根互為倒數(shù)，∴可得，∴，解得：，∵方程有兩個實數(shù)根，∴，當時，，∴符合題意，當時，，∴不符合題意．∴，故選：B．【點撥】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及根的判別式，熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．4．C【分析】首先根據(jù)根的判別式，結(jié)合三角形三邊關(guān)系，得出方程有兩個不相等的實數(shù)根，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，判斷出兩根之和和兩根之積的符號，即可作出判斷．解：在方程中，可得：，∵a、b、c是的三條邊的長，∴，，．，即，∴，∴，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，又∵兩根的和是，兩根的積是，∴方程有兩個不等的負實根．故選：C【點撥】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、一元二次方程根的判別式、三角形的三邊關(guān)系，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，判斷出方程有兩個不等的負實根．5．C【分析】因為兩根均為負數(shù)，所以兩實數(shù)根的和小于零，兩根之積大于零．解題時檢驗兩根之和是否小于零，及兩根之積是否大于零．解：A.，，兩根均為正數(shù)；B.，，兩根為一正一負；C.，，兩根均為負數(shù)；D.，，兩根為一正一負．故答案為：C．【點撥】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根時，，．6．D【分析】先利用一元二次方程解的定義得到，，再用m表示出，則原式化簡為，接著利用根與系數(shù)的關(guān)系得到m+n＝，mn＝，然后利用整體代入的方法計算．解：∵m、n是一元二次方程的兩個實數(shù)根，∴，，∴，，∴，∴＝＝，∵m、n是一元二次方程的兩個實數(shù)根，∴m+n＝，mn＝，∴原式＝＝2029．故選：D．【點撥】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程（a≠0）的兩根，則．也考查了一元二次方程的解．7．D【分析】方程的三根是一個三角形三邊的長，則方程有一根是1，即方程的一邊是1，另兩邊是方程的兩個根，根據(jù)在三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．則方程的兩個根設是和，一定是兩個正數(shù)，且一定有，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，以及根的判別式即可確定m的范圍．解：∵方程有三根，∴，有根，方程的，得．又∵原方程有三根，且為三角形的三邊和長．∴有，，而已成立；當時，兩邊平方得：．即：．解得．∴．故選：D．【點撥】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系和三角形三邊關(guān)系，利用了：①一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，②根的判別式與根情況的關(guān)系判斷，③三角形中兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊．8．C【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出a+b=-2、ab=-3，再結(jié)合一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，即可找出一次函數(shù)的圖象經(jīng)過的象限，此題得解．解：∵方程的兩個實數(shù)根分別是a、b，∴a+b=-2、ab=-3，則一次函數(shù)的解析式為y=-2x+3，∴該一次函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限，故選：C．【點撥】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，找出一次函數(shù)圖象經(jīng)過的象限是解題的關(guān)鍵．9．B解：∵m、n是方程x2-x-2022=0的兩個根，∴m2-m-2022=0，n2-n-2022=0，mn=-2022，∴m2-m=2022，n2-n=2022，∴（m2－2m－2022）（－n2＋2n＋2022）=（m2-m-m-2022）(-(n2-n)+n+2022)=(2023-m-2022)((-2022+n+2022)=-mn=2022，故選：B．【點撥】本題考查了一元二次方程的解的定義和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，能根據(jù)已知條件得出m2-m-2022=0，n2-n-2022=0，mn=-2022是解此題的關(guān)鍵．10．C【分析】①將a+b+c=0變形為，代入即可作出判斷；②把方程兩根為-1和2代入一元二次方程ax2+bx+c=0=0(≠0)，即可作出判斷；③④根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，即可判斷．解：①：∵a+b+c=0，∴，∴，故①錯誤；②：把方程兩根為-1和2代入一元二次方程ax2+bx+c=0=0(≠0)得：，將變形為，代入得，，化簡得，故②正確；③：的兩根之和為-2，兩根之積為-7，故③正確；④：方程的兩根之和為2，兩根之積為7，故④正確；故選C．【點撥】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，熟練掌握知識點是本題的關(guān)鍵．11．【分析】設另一個根為，根據(jù)計算即可．解：設另一個根為，因為關(guān)于的一元二次方程的一個根是2，所以，解得．故答案為:．【點撥】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系定理，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．12．1【分析】根據(jù)，，，可得，看成是方程變?yōu)榈膬蓚€實數(shù)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可解決問題．解：，，，，，，可以看成是方程變?yōu)榈膬蓚€實數(shù)根，，，．故答案為：1．【點撥】本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，解決本題的關(guān)鍵是掌握若二次項系數(shù)為1，常用以下關(guān)系：，是方程的兩根時，，，反過來可得，，前者是已知系數(shù)確定根的相關(guān)問題，后者是已知兩根確定方程中未知系數(shù)．13．2033【分析】根據(jù)已知：是兩個不相等的實數(shù)，且滿足，可知m、n是一元二次方程的兩個不相等的實數(shù)根，得，又，代入所求代數(shù)式得解．解：是兩個不相等的實數(shù)，且滿足，m、n是一元二次方程的兩個不相等的實數(shù)根，，又，====2033．故答案為：2033．【點撥】此題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，代數(shù)式求值．熟練運用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系把代數(shù)式化成兩根和、積的形式是解此題的關(guān)鍵．14．-1【分析】先設方程的兩根是x1、x2，方程的兩根是x3、x4，再利用根的判別式判斷根的情況，再利用根與系數(shù)的關(guān)系求出第二個方程兩個根的和，即是所求．解：設方程的兩根是x1、x2，方程的兩根是x3、x4，在方程中，Δ＝b2﹣4ac＝1+24＝25＞0，∴此方程有實數(shù)根，同理在方程中，Δ＝b2﹣4ac＝1-32＝-310，∴此方程沒有實數(shù)根，又∵x1+x2＝﹣＝-1，∴兩個方程的實數(shù)根的和是-1．故答案為-1．【點撥】本題考查了根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系．理解題意，知道所求4根之和要先判斷每一個方程根的情況是解題的關(guān)鍵．15．-5【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系列式求解即可得到答案．解：∵是關(guān)于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根，∴根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到：，又∵，∴兩邊平方得：，∴∵解得：a=-5，故答案為：-5【點撥】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，會靈活運用與的關(guān)系以及根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．16．【分析】根據(jù)根的判別式Δ≥0、根與系數(shù)的關(guān)系列出關(guān)于m的不等式組，通過解該不等式組，求得m的取值范圍．解：由題意得：，所以，依題意得：，解得4＜m≤5．故答案是：4＜m≤5．【點撥】本題考查了一元二次方程的根的判別式的應用，解此題的關(guān)鍵是得出關(guān)于m的不等式，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c為常數(shù)，a≠0）①當b2-4ac＞0時，一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，②當b2-4ac=0時，一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，③當b2-4ac＜0時，一元二次方程沒有實數(shù)根．17．##【分析】由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系解題，即，分別求出，；，；…，，可得規(guī)律，再代入，提出2，進而得出答案．解：∵，m＝1，2，3，…，2020，∴由根與系數(shù)的關(guān)系得：，；，；…，；∴原式＝故答案為：．【點撥】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程的兩根是，，則，．18．②③④【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義，判別式與根的個數(shù)的關(guān)系，根與系數(shù)的關(guān)系逐一進行判斷即可．解：①若，則1為方程的一個根，∴，故①錯誤；②若方程兩根為-1和2，則：，∴，②正確；③若方程有兩個不相等的實數(shù)根，則：，∵，∴，∴方程必有兩個不相等的實數(shù)根，③正確；④若，則：，∵，∴，④正確；故答案為：②③④．【點撥】本題考查一元二次方程解的定義，根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系．熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．19．(1)， (2) (3)【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可以直接作答；（2）根據(jù)即可作答（3）根據(jù)即可作答．解：（1）根據(jù)一元二次方程的兩個實數(shù)根為，，，，，可得：；，故答案為：，；（2）∵；，∴，即所求的值為：；（3）∵；，∴，即所求的值為：；【點撥】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程兩個為，，則，．熟記，是解答本題的關(guān)鍵．20．(1)； (2)取，可得這兩個實數(shù)根的差的平方為12．【分析】（1）利用根的判別式即可求出m的取值范圍；（2）求出方程有根時，m的取值范圍，再利用根與系數(shù)的關(guān)系求解即可．解：（1）解：方程中，若一元二次方程沒有實數(shù)根，則，解的：．（2）解：令，解得：，即當是方程有兩個根，取代入可得方程為：設方程的兩根為：，，則，，∵∴．【點撥】本題考查一元二次方程根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握并理解根的判別式，熟記根與系數(shù)的關(guān)系．21．(1)證明見分析 (2)，的周長【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式即可得出，由此可得出：無論取何值時，這個方程總有實數(shù)根；（2）當為底邊時，由根的判別式可求出的值，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出，由可知此種情況不符合題意，當為腰時，將代入原方程求出值，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出，套用三角形的周長公式即可求出結(jié)論．解：（1）證明：∵在方程中，，∴無論取何值時，這個方程總有實數(shù)根；（2）當為底邊時，，∴，解得：，∴，此種情況不合適，當為腰時，將代入原方程得：，解得：，∴，∴的周長．【點撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系以及三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是：（1）找出根的判別式，（2）分為底或腰兩種情況考慮．22．(1) (2)； (3)【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到，然后解該不等式即可求得k的取值范圍；（2）將方程①也可轉(zhuǎn)化為②．，再把方程②的左邊展開，得與方程①比較可得出答案；（3）根據(jù)（2）得，，再代入中求解即可．（1）解：∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，∴，化簡整理，得，解得：；（2）解：∵關(guān)于x的一元二次方程①有兩個實數(shù)根，．∴②．，∴，比較①②得：，，故答案為：；（3）解：∵，∴，由（2）得，，∴，整理，得解得：，，又由（1）知，∴．∴存在，當時，使得成立．【點撥】本題考查一元二次方程根的判別式，探究一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．23．(1) (2)是“鄰根方程”(3)或；5或．【分析】（1）根據(jù)題意觀察可知，一元二次方程的兩根之和等于一次項系數(shù)與二次項系數(shù)之比的相反數(shù)，兩根之積等于常數(shù)項與二次項系