【人教版】高一數(shù)學(xué)第五章平面向量（全章）教案

［人教版］高一數(shù)學(xué)第五章平面向量

第五童平面向量

教材：向量

目的：要求學(xué)生掌握向量的意義、表示方法以及有關(guān)概念，并能作一個(gè)向量與已知向量相等,

根據(jù)圖形判定向量是否平行、共線、相等。

a?：

開場白：課本P93（略）

實(shí)例：老鼠由A向西北逃竄，貓?jiān)贐處向東追去，問：貓

能否追到老一鼠？（畫圖）\

結(jié)論：貓的速度再快也沒用，因?yàn)榉较蚪?，了。A

、提出課題：平面向量

1-意義：既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、沖量等注意：1。

數(shù)量與向量的區(qū)別：

.數(shù)量只有大小，是一個(gè)代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、比較大小:

向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小。

2o從19世紀(jì)末到20世紀(jì)初，向量就成為一套優(yōu)度通性的數(shù)學(xué)體系，用

以研究空間性質(zhì)。\|/

2.向，量?的表示方法：、、\l/J"a

1。幾何表示法：點(diǎn)一射線

有向線段一一具有一定方向的線段A（起

有向線段的三要素：起點(diǎn)、方向、長記作/更（注意起訖）

2o字母表示法：48可表示為a（印刷時(shí)用黑體字）

P95例用1cm表示5nmail（海里）

3.模的概念：向量新方的大小一長度稱為向量的模。--------w-----------

A

記作：|A8|模是可以比較大小的

4.兩個(gè)特殊的向量：

lo零向量一■長度（模）為。的向量，記作6。6的方向是任意的。

注意6與0的區(qū)別

2。單位向量一一長度（模）為1個(gè)單位長度的向量叫做單位向量。例：溫度有零上

零下之分，“溫度”是否向量？答：不是。因?yàn)榱闵狭阆乱仓皇谴笮≈帧?/p>

例：旨百與萬冒是否同一向量？

答：不是同一向量“°

例：有幾個(gè)單位向量？單位向量的大小是否相等？單位向量是否都相等？

答：有無數(shù)個(gè)單位向量，單位向量大小相等，單位向量不一定相等。

三、向量間的關(guān)系：

1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。

記作：a//b//c

規(guī)定：6與任一.向量平行

2.相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。/

記作：a=b

規(guī)定:6=6

任兩相，等的非零向量都可用一有向線段表示，與起點(diǎn)無關(guān)。

3.共線向.量：任一組平行向量都可移到同一條直線上，

所以平行向量也叫共線向量。

OA=aOB=hOC=c

例：（P95）略

變式一：與向量長度相等的向量有多少個(gè)？（11個(gè)）

變式二：是否存.在與向量長度相等、方向相反的向量？（存在）變式三：.與向

量共線的向量有哪些？（3,萬3,豆）

四、小結(jié)：

五、作業(yè)：P96練習(xí)習(xí)題5.1

第四斂時(shí)

教材，向量、向量的加法、向量的減法綜合練習(xí)《教學(xué)與測試》64、65、66課目的：通過練

習(xí)要求學(xué)生明確掌握向量的概念、幾何表示、共線向量的概念，掌握向量的加法與減法的意義

與幾何運(yùn)算。

itS：

六、復(fù)習(xí)：

lo向量的概念一：定義、表示法、模、零向量、單位.向量、平行向量、

.相等向量、共線向量

2o向量的加法與減法：定義、三角形法則、平行四邊形法.則、運(yùn)算定律

七、1.處理《教學(xué)與測試》P135-136第64課（略）

2.處理《教學(xué)與測試》P137—138第65課

例一、設(shè)a表示“向東走3km”，b表示“向北走3A7”,

貝!]a+b表示向東北走3人2km

解:OB=OA+AB

0B=J32+32=3>/2(km)

例二、試用向量方法證明：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。證：由向量加

法法則：

AB=?AO+OB,DC=DO+OC

由已知：?AO=OC,DO=OB

/.AB-DC.即48與CD平行且相等

f及/為平行四邊形

例三、在正六邊形中，若如=atOE=6,試用

.向量a、b將而、0C.而表示出來。解：設(shè)正

六邊形中心為P

~0B=OP+PB=（PA+0E）+04=a+b+a

0C=OP+PC=a+b+a+b

由對稱性：OD=b+b+a

3.處理《教學(xué)與測試》P139—140第66課（略）

八、.有時(shí)間可處理“備用題”：

例一、i'AB+DF+CD+BC+FA

解：AB+DF+CD+BC+FA=AB+BC+CD+DF+FA

=AC+CD+DF+FA=AD+DF+FA=AF+FA=0

例二、在靜水中劃船的速度是每分鐘40,水流的速度是每分鐘20,如果船從岸邊出發(fā)，

徑直沿垂直與水.流的航線到達(dá)對岸，那么船行進(jìn)的方向應(yīng)該指向何處？如

圖：船航行的方向是與河岸垂直方向盧公八。主缶《明出白而的二游。

解:

下游

九、作業(yè):上述三課中的練習(xí)部分(選)

第九教時(shí)

教材:向量平行的坐標(biāo)表示

目的,復(fù)習(xí)鞏固平而向量坐標(biāo)的概念,掌握平行向量充要條件的坐標(biāo)表示，并且能用它解決向

量平行(共線)的有關(guān)問題。

過程:一、復(fù)習(xí)：1.向量的坐標(biāo)表示(強(qiáng)調(diào)基底不共線，《教學(xué)與測試》

P145例三)

2.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則

練習(xí)：1.若M(3,-2)N(-5,-l).且加二測求P點(diǎn)的坐標(biāo):

解：設(shè)P(x,y)RiJ(x-3,y+2)=l(-8,l)=(-4,|)

x-3二-4[x=2

山=_L?…時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為

222

2-若A(O,1),B(l,2),C(3,4)則AB-2BC=(-3,-3)

3.已知：四點(diǎn)A(5,1),B(3,4),C(L3),D(5,-3)求證："四邊形ABCD是梯

形。

解：VAB=(-2,3)DC=(-4,6)."AB=2DC.

z股〃%且II=IDCI.??四邊形ABCD是梯形

、：i.提出問題：共線向量的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)才使得BE,那么這個(gè)充要條件如何

用坐標(biāo)來表示呢？

2.推導(dǎo)：設(shè)a=(Xby-i)b=(X2,丫2)其中靖S

B-(xi,Vi)=(X2,y2)=[“一,2.消去Xiy2.

X2yi=o

結(jié)論：a//b(6*0)的充要條件是xiy2-X2yi=0

注意：1°消去X時(shí)不能兩式相除，Vyi,y2有可能為0,靖6

?.?X2,V2中至少有一個(gè)不為0

2。充要條件不能寫成改=也...xi,X2有可能為0

X2

—,-?

3。從而向量共線的充要條件有兩種形式：a//b(片。6)。

泌-%1外=0

三、應(yīng)用舉例

例一(P111例四)例二(P111例五)

例三若向量萬=(-“)與片=(-x,2)共線且方向相同，求x

解：x)與段=(-x,2)共線.?.(-l).X2?x-(-*)=0

.,.x=±7I...,與片方向相同/.x=V2

例四已知人(-1,-1)8(1,3)(2(1,5)口(2,7)向量屏與瓦平行嗎？直線

AB與平行于直線CD嗎？

解:…而=(1-(-1),3-(-1))=(2,4)而=(2一1,7-5)=(1,2)

又：72X241=0加//?CD

又：花=(1-(-1),5-(-1))=(2,6)屈=(2,4)

2X4-2X6*0.?…萬與奇不平行

?.?A,B,C不共線AAB與CD不重合.?.AB〃CJ)

四、練習(xí)：1.已知點(diǎn)A(0,l)B(l,0)C(l,2)D(2,1)求證:AB./7CD

2.證明下列各組點(diǎn)共線：1°A(l,2)B(-3,4)C(2,3.5)

2°P(-l,2)Q(0,5,0)R(5,-6)

3.已知向量5=(-1,3)片=(x,T)且，〃5求*

五、小結(jié)：向量平行的充要條件(坐標(biāo)表示)

六、作業(yè)：P112練習(xí)4習(xí)題5.47、8、9

《教學(xué)與測試》P1464、5、6、7、8及思考題

教材：向量的減法

目的：要求學(xué)生掌握向量減法的意義與幾何運(yùn)算，并清楚向量減法與加法的關(guān)系。

as：

十、復(fù)習(xí)：向量加法的法則：三角形法則與平行四邊形法則

向量加法的運(yùn)算定律：

DC

例：在四邊形中，CB+BA+BA=CD/~7

解：CB+BA+BA=CB+BA+AD=CD//

十一、提出課題：向量的減法

1.用“相反向量”定義向量的減法.

1°”相反向量，”的定義：與a長度相同、方向相反的向量。記作.-0

2o規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量。-(-a)=a

任一向量與它的相反向量的和是零向量。a+(f)=0如果a、b互為相反

向量，貝I。=-8,b=-a,a+b=0

3o向量減法的定義：向量a加上的b相反向量，叫做a與b的差。即：a-b=a

+(-b)求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的減法。

2.用加法的逆運(yùn)算定義向量的減法：向量的減法是向量加法的逆運(yùn)算：

若b+x=a.則x叫做a與b的差，記作a-b

3.求作差向量：已知向量a、b,求作向量

*.*(a-b)+b=a+(-b)+b=a+

作法：在平面內(nèi)取一點(diǎn)O,

作(24=a,A8=b

BA=a-b

即a-b可以表示為從向量b的終點(diǎn)指向向量a的終點(diǎn)的向量。

注意：1。萬萬表示a-如強(qiáng)調(diào)：差向量“箭頭”指向被減數(shù)

2o用"相反向量"定義法作差向量，a-b=a+(-b)

.顯然，此法作■圖較繁，但最后作圖可統(tǒng)一。

y七十（~b[O*七

OBAB'°BA

R-hR-h

十二、例題：

例一、（P101例三）已知向量a、b、c>d,求作向量a-b、c-do

解：在平面上取一點(diǎn)O,作0A=a,OB=b,OC=c,OD=d,

作函，萬&則?BA=a-b,DC=c-d

例二、平行四邊形中，，用表示向量,

解:由平行.四邊形法則得:

AC~a+b,DB-AB-AD-a-b

變式一:當(dāng)a,b滿足什么條件時(shí)，a+b與a-b垂直？（|a|二Jb|）

變式二:當(dāng)a,b滿足什么條件時(shí)，|a+b|=|a-b|?Q"互相垂直）

變式三:a+b與a-b可能.是相當(dāng)向量嗎？（不可能，47對角線方向不同）十三、小

結(jié)：向量減法的定義、作圖法I十四、作業(yè)：P102練習(xí)

P103習(xí)題5.24—8

第二敬時(shí)

教材：向量的加法

目的：要求學(xué)生掌握向量加法的意義，并能運(yùn)用三角形法則和平行四邊形法則作幾個(gè)向量的和

向量。能表述向量加法的交換律和結(jié)合律，并運(yùn)用它進(jìn)行向量計(jì)算。

十五、復(fù)習(xí)：向量的定義以及有關(guān)概念

強(qiáng)調(diào)：1。向量是既有大小又有方向的量。長度相等、方向相同的向量相

等…

2。正因?yàn)槿绱?，我們研究的向?是與起點(diǎn)無關(guān)的自由向量，即任

何.向量可以在不改變它的方向和大小的前提下，移到任何位置。

十六、提出課題：向量是否能進(jìn)行運(yùn)算？

5某人從A到B,再從B按原方向到C,

則兩次的位移和：7B+BC—AC

6.若上題改為從A到B,再從B按反方向到C,一,一

■.CAB

則兩次的位移和：AB+BC=AC

7.某車從A到B,再從B改變方向到C,

則兩次的位移和：AB+BC=AC匕二?

AB

8.船速為奇，水速為衣，/AC

則兩速度和：AB+BC=AC/

提出課題：向量的加法￡--------------7

三、1.■定義：求兩?個(gè)向量的和的運(yùn)算，叫做向量時(shí)板】法。

注意：：兩個(gè)向量的和仍舊是向量（簡稱和向量）

2.三角形法則:

lo“向量平移”（自由向量）：使前一個(gè)向量的終點(diǎn)為后一個(gè)向量的

起點(diǎn)

2o可以推廣到n個(gè)向量連加3°a+0=0+a=a4o不共線向量都可以采用

這種法則一一三角形法則

3.例一、已知向量。、6,求作向量。+片作.法：在平面內(nèi)取一點(diǎn),

作房=打?AB=b

貝WB=a+b\

X—a

4.加法的交換律和平行四邊形法則

上題中A+指的結(jié)果與指+片是否相同驗(yàn).證結(jié)果相同

從而得到：1?向量加法的平行四邊形法則

2。向量加法的交換律：a+h=b+a

9.向量加法的結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)

證：如圖：AB=a,BC=h,CD=c

貝Ij(a+Z>)+C=JC+CD=JD

a+(b+c)=AB+BD=AD

.\~(a+b)+c=a+(b+c)

從而，多個(gè)向量的加法運(yùn)算可以按照任意的次序、任意的組合來進(jìn)行。

四、例二（P98—99）略

五、小結(jié)：1。向量加法的幾何法則

2。交換律和結(jié)合律

3。注意：|打+片|＞修|+|片|不一定成立，因?yàn)楣簿€向量不然。

六、作業(yè)：P99—100練習(xí)P102習(xí)題5.21—3

第時(shí)

教材：向量的坐標(biāo)表示與坐標(biāo)運(yùn)算

目的：要求學(xué)生理解平面向量的坐標(biāo)的概念，較.熟練地掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算。“

過程，一、復(fù)習(xí)：1.復(fù)習(xí)向量相等的概念/AC

°"自由向量

OA=BC

2.平面向量的基本定理（基底）

——*—*

3=X+X2電

其實(shí)質(zhì)：同一平面內(nèi)任一向量都可以表示為兩個(gè)不共線向量

的線性組合。

二、平面向量的坐標(biāo)表示

1.在坐標(biāo)系下，平面上任何一點(diǎn)都可用一對實(shí)數(shù)（坐標(biāo)）來表示

問題：在坐標(biāo)系下，向量是否可以用坐標(biāo)來表示呢?

取x軸、V軸上兩個(gè)單位向量;，,作基底，則平面內(nèi)作一向量

a=x/+yj,

記作：a=(x,y)稱作向量3的坐標(biāo)

如：a-04=(2,2)/=(!,

b=08=(2,-1)

c-OC={1,-5)

］二(0,0)

2.注意：1。每一平而向量的坐標(biāo)表示是唯一的：

2。設(shè)A(xi,yi).B(x2,y2)則—=(x2?xi,y2-yi)

3O兩個(gè)向量相等的充要條件是兩個(gè)向量坐標(biāo)相等

3.例一：(P109)略

三、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

1.問題：1。已知&區(qū),V。Z?(X2,y2)求a班，&一片的坐標(biāo)

20已知5(x,y)和實(shí)數(shù)X,.求人萬的坐標(biāo)

2-解：a+b=(Xii+vij)+(X2/+y2J)=(x]+X2)i+(V1+V2)j

即：a+6=(Xi+X2,yi+y2)

同理：a-h=(xi-X2,Y1-Y2)

3.結(jié)論：兩個(gè)向最和下養(yǎng)的坐標(biāo)分別等F這兩個(gè)向景相應(yīng)坐標(biāo)的和與差。

同理可得：一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)。

用減法法則：

??奇而-房=(X2,V2)-(X1,yi)

二僅2一乂1,y2-yi)

4.實(shí)數(shù)與向量積的坐標(biāo)運(yùn)算：已知5=(x,y)實(shí)數(shù)人

則X5=X(xz+yj)=Xx/+Xyy

:,x5=(xX,xy)

結(jié)論：實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)，等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來的向量相應(yīng)的坐標(biāo)。

四、例二(P110例二)

例三(P111例三)

例四(P145例一)已知三個(gè)力瓦(3,4),再(2,-5),百(x,V)的合力

瓦+百+尺=6

求房的坐標(biāo)。

解：由題設(shè)月+百+冗=6得：(3,4)+(2,-5)+(x,y)=(0,0)

,,,,[3+2+x=0即：｛

x=-5--

1-￡(-5,1)

[4~5+y=0[y=1

例五、已知平面上三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-2,1),B(-l,3),C(3,4),求點(diǎn)D的坐標(biāo)使這四點(diǎn)構(gòu)

成平行四邊形四個(gè)頂點(diǎn)。

解：當(dāng)平行四邊形為ABCD時(shí)仿例三

得:Di=(2,2)

當(dāng)平行四邊形為ACDB時(shí)，仿例三

得：D2=(4,6)

當(dāng)平行四邊形為DACB時(shí)，仿上得:

D3=(-6,0)

五、小結(jié)：1.向量的坐標(biāo)概念

六、作業(yè)：P112練習(xí)1—3習(xí)題5.41—6

第二十二教時(shí)

教材：復(fù)習(xí)一一向量、向量的加法.與減法、實(shí)數(shù)與向量的積

目的：通過復(fù)習(xí)對上述內(nèi)容作一次梳理，使學(xué)生對知識的理解與應(yīng)用提高到一個(gè)新的水平。

a?：

十七、知識(概念)的梳理：

1.向量：定義、表示法、模.、幾種特殊向量

2.向量的加法與減法：法則(作圖)、運(yùn)算律

ko

解：?.?c〃d..?由向量共線的充要條件得：。二才"(XeR)

即：ka+b=X(a+kb)/.(A-X)a+(1-Xk)b=0

又?：a、6不共線...由平面向量的基本定理：二

1——KX=O

11.如圖：已知出ABCD中,AH=HD.BF=MC二-BC.沒

4

AB=a,AD=6,試用a>b分別表示為財(cái)、

解：ToABCD中，BF=MC=~BC,

.?,FM=-BC=\AD=AHFM劣H

22一

四邊形/加昭也是平行四邊形，;?AF=HM

又：二一BC—~AD—~a,FB――BC---b

444

:,AM=AB+BM=a+-bf.MH=FA=FB+BA=-b-a44

AF--FA=一(一b-a)=一b+a

44

十九、作業(yè)：《導(dǎo)學(xué)?創(chuàng)新》§5.1§5.2

第二十三教時(shí)

教材：復(fù)習(xí)二一一實(shí)數(shù)與向量的數(shù)量積(續(xù))

目的：繼續(xù)復(fù)習(xí)有關(guān)知識，提高學(xué)生數(shù)形結(jié)合、解決實(shí)際問題的能力。

i+Sx

二十、繼續(xù)復(fù)習(xí)實(shí)數(shù)與向量的積、向量共線的充要條件、平面向量的基本定理一一平幾問題

12.如圖：已知MN是4A8c的中位線，

求證：MN=-BC,且MN//BC/X.

2M卜-------------Xw

HE:?脈是AA8c的中位線，/、\

:?AM=—AB,AN=-B-------------------------------------------------------c

,，，.]——*1——*1——?-*1一*

：.MN=AN-AM=~AC—AB=-(AC-AB)=~BC

/.MN=yBC,,，且MN//BC

13.證明：三角形重心與頂點(diǎn)的距離等于它到對邊中點(diǎn)的距離的兩倍。

證：設(shè)旅=b,C5=a,PliJjB=JC+c5=b+|o,EB=EC+CB=

共線，B,G,E共線

「,可設(shè)而=4和，EG-pEB,則,SG=4AD-A(b+ia)=/Ib+iAa,

1_______*

EG-fiEB-ii(一b+a)=一pb+pa,

AE+EG=AG即：——b+(——fib+na)=b+—a

A)a+(-fi-A+—)b-ONa,b不平行，

."產(chǎn)。J2

"Il.1n=〉?-/????

U—=>AG=-AD

A+—

=0/2

即：AG=2GD同理可化：AG=2GD,CG=2GF

、一，/?,一—、一

14.設(shè)4B=M(a+5b),5c=-2o+CD=3(a求證：A,8,D三點(diǎn)

共線。

證：AD=AB+BC+CD=--(a+5b)+(-2a+8b)+3(a~b)

=(1+手)a+(5+5孚)b=(1+手)(a+5b)

而45=<(a+5b)AD=(42+1)AB

又?：AD,奇有公共點(diǎn):.A,B,。三點(diǎn)共線

15.求證：起點(diǎn)相同的三個(gè)非零向量a、b、3a-2b的終點(diǎn)在同一直線上。

證：依題意，可設(shè)0A=a,OB-b,OC=3a-2b

AB=OB-OA-b-a,AC~OC-OB=3a-2b-&=2(o-b)

：.AC=-2AB由于衣，奇起點(diǎn)均為Zx,..?三點(diǎn)48,C共線,

即起點(diǎn)相同的三個(gè)非零向量a、如3a-2b的終點(diǎn)在同一直線上

16.已知：平面上三點(diǎn)0、4、B不共線，求證：平面上任一點(diǎn)C與

A、8共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)4和“，使%2物,順且

證：必要性：設(shè)公，8,C三點(diǎn)共線，則可設(shè)4C=〃B(feR)

貝=OA+AC=OA+1AB=04+t(OB-OA)=(l~t)OA+tOB

令1-1=4,t=",貝(J有：OC=,(M+“如，且/+"=1

充分性：AC=OC-OA=AOA+"dB-OA=(A-l)dA+~dB

=~tiOA+fl0B=p(OB-OA)=iiAB

???三點(diǎn)A、8、C共線

17.某人騎車以每小

時(shí)。公里的速度向東行駛，感到風(fēng)從正東方向吹來，而當(dāng)速度為2a時(shí)，感到風(fēng)從東北

方向吹來，試求實(shí)際風(fēng)速和方向。解：設(shè)a表示此人以每小時(shí)a公里的速度向東行駛

的向量，無風(fēng)時(shí)此人感到風(fēng)速為-a,小

設(shè)實(shí)際風(fēng)速為v,/\

那么此時(shí)人感到的風(fēng)速為「a,力|

設(shè)03=_a,OB=-2aB------------------(

,:PO+OA=PA為?-a,這就是感到由正，北方向吹來的風(fēng)速，

VPdQB=PBPB=v-2a,于是當(dāng)此人的速度是原來的2倍

時(shí)所感受到由東北方向吹來的風(fēng)速就是應(yīng)，

由題意：ZPBO=45°,PA1B0,BA=A0

從而，牙如為等腰直角三角形，?PO=P8=7Ia即：/=

41a

..■實(shí)際風(fēng)速是扼。的西北風(fēng)

二十一、作業(yè)：《導(dǎo)學(xué)?創(chuàng)新》§5.3

弟二十四教時(shí)

教材：復(fù)習(xí)三一一平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、定比分點(diǎn)

二十二、復(fù)習(xí)：平面向量坐標(biāo)的概念，運(yùn)算法則，定比分點(diǎn)二十三、例題:

18.已知四邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)為4(1,2),8(2,5),C(8,14),D(3,5).

求證：四邊形/是一個(gè)梯形。

證：VJD=(2,3),BC=(6,切且2X9-3X6=0:.加〃?BC

又...而=(1,3),CD=(-5,-9)而IX(-9)-3X(_5)=0..?ABfCD

.?./夕功為梯形

19.設(shè)a=(l,x),b=(-1,3),且2a+b〃。-28,試求x°

解：2o+b=(!,),a-2b=(3,x-6)

2a+b//a-2bIX(x-6)-(2x+3)X3=0=>x=-3

20.已知:4(1,-2),8(2,1),C(3,2),D(.-2,3),

lo求證：囚，B,C三點(diǎn)不共線

2o以;S、衣為一組基底來表示，而+就+而

解：1。丫/6=(1,3),2。=(2,4)V1X4-3X2。0?ABfjAC

「.A,8C三點(diǎn)不■共線

2°AD+B5+CD=(-3,5)+(-4,2)+(-5,l)=(-12,8)

設(shè)：7D+BD+CD=mAB+nAC

即：(-12,8)=(m+2n,3m+4n)

-12=in+Inm-32

??AD+^D+CD=32AB-22AC

8=沏+4〃it=——

21.已知M(l,-3),A/(4,6),P(x,3),且三點(diǎn)共線，求點(diǎn)P分有向線段MN所成的比久及x的值。

4-x6-3

解一二旦二A

解.得：4=2,.x=3

22.已知ZSABC的頂點(diǎn)是A(xltyj,B(x21y2)fC(x31y3),求/XABC的重心

G的坐標(biāo)(x,y)。

解：如圖：?；〃是8c中點(diǎn)，f

...D點(diǎn)的坐標(biāo)(臣

且G分有向線段么D所成的比4=2

P3

X[+第+原

?G的坐標(biāo)

y-y廣凹+*2+巧

1+2

?..△如C的重心G的坐標(biāo)是（“5打乂+力+為

—,4-------

...BN'-NC即N分8c的比為4:5,設(shè)N(x,y)

:I5--=—1

1+13

5

3+—x(-2).

5_

24.已知點(diǎn)M(2,3),N(8,4),點(diǎn)P在線段MN上，豆MP=APN='MN,

求點(diǎn)P坐標(biāo)和義。

解：設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x,y),由膿=/冽人=W=U

8-x4-y

又VAPN;/仞V可知4A0.;PN=AMN,

從而PN=(~2)NM,—2=-----=------

2-83-4

|人上

y-3"*2

8-x4_*

(*)二8-xH

-2=—=_4-y

2-83-42-83-4

—+—=0解得：x=ll±3>/5

8—x2—8

y34y_0角星得.9士妲

4-v13-4u辮侍：y

X=11+3A/5X=11-3V5

9+A/5.9-石

代入檢驗(yàn)(*)：y2或「2

i-l-V?A=-1+V5

22

點(diǎn)P坐標(biāo)(11+3妊勺鳥,人二4

或點(diǎn)P坐標(biāo)(11-3嫵")，2=

二十四、作業(yè)：《導(dǎo)學(xué)?創(chuàng)新》§5.4§5.5

第二十五教時(shí)

教材：復(fù)習(xí)四一一平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律

目的：要求學(xué)生對平面向量的數(shù)量積的概念理解更清晰，并能教熟練地應(yīng)用于平行、垂直等

問題。

過程：

二十五、復(fù)習(xí)：

1-定義、其結(jié)果是一個(gè)數(shù)量。

2.a-b>0o0We<90°：a-b=O-?=0=9O°BPa±b：a-b<0o900<0A180°

3,性質(zhì)1°—5°

4.運(yùn)算律

二十六、例題：

25.已知|a|=5,|b|=8.a與b的夾角為60。，求|o+b|

解：a,b=|a||b|cos60°=5X8X；=20

：.\a+b|2=(a+b)2=|a|2+|b|2+2a-b=129

:.\a+b\=7129

26.求證：|a+b|W|a|+|b|

證：\a+b|2=(o+￡>)2=|o|2+\b\2+^^-|a|2+|b|2-+2|cr||b|cosOW|a|2+|b|2+

2|a||b|=(|a|+|b|尸

即：\a+b|<|a|+\b\

27.設(shè)非零向量a>b、c>d,滿足d={a-c).b-(a-b)c.aidHE：內(nèi)積a?c

與。均為實(shí)數(shù)，

a*d=a*[(a*c)力一(a?b)c]=a-[(a?c)b]-a*[(a*b)c]

二(a?b)(a?c)一(a?c)(a,b)=0

:.aid

28.已知非零向量a、b,滿足?！鐾羈,

求證：b?o垂直于a+b的充要條件是|a|二|b|證：由題設(shè)：b-a與a+b均為非零向

量

必要性：設(shè)垂直于a+b,貝!J(b-a)(a+b)-0

又：(b-o)(o+b)=b2-o2=|b|2-|a|2

.,.|b|2-|a|2=oRP：|a|=|b|

充分性：設(shè)|a|二@班)-tf-a=|Z?|^-|a|2=0BP：(b-a)(a+b)=0

:.?-a)_L(a+b)

5.已知a人都是非零向量，且。+3b與7a-5b垂直，

aTZ?與7a-2b垂直，求a與b的夾角。

解：由(o+36)(%-5b)=0=>7a2+，6司6-/50①

(a-4b)(7a-2b)=0=>7a2-30ab+8b2=0②

兩式相減：2ab=

代入①或②得：才二b2

設(shè)。、邱夾角加則8成希二矗二：

.*.e=6o°

6.用向量方法證明：菱形對角線互相垂直公

證：設(shè)AB二DC二a,AD=BC=b

，：ABCD為菱形/.|o|二|b|

?ACBD=(b+a)(b~a)-tf-a=\b\^~|a|2=0

:.?ACLBD

7.如圖，AD.BE、CF是4A8c的三條高，求證：AD.BE.CF相交于一點(diǎn)。

證：設(shè)8E、CF交于一點(diǎn)、H,

AB-a,AC-b,AH=h,

貝-h-a,CH-h-b,BC=b-a

VBHXAC,CHLAB

.（h~a）~h-0

n（h一a）?b=（h一b）?a,nh?（b一a）=0

（h-a）-a-6

...AHLBC又…。點(diǎn)、。在AH的延長線上，..?AD、BE、CF相交于一點(diǎn)

二十七、作業(yè)：《導(dǎo)學(xué)?創(chuàng)新》§5.6

第二十六教時(shí)

復(fù)習(xí)五一平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示、平移

讓學(xué)生對平面向量的數(shù)量積的理解更深刻，尤其在兩個(gè)非零向量垂直與平行的充要條

件的平行上更熟練。

二十八、復(fù)習(xí)：設(shè)向量a=（xliyi）,8=（乂

必），數(shù)量積的坐標(biāo)表示:a-b二十口2

關(guān)于距離公式

alb

3.

a-b=OoXiX2+yiy2=0存在唯一4eRoxg+yiy2=0使a

二4b成立

二十九、例題：

2步已知|a|二3,b=（1,2）,且a//b,求a的坐標(biāo)。

解：設(shè)vr=（x,y）V|a|=3V曠=3…①

又：'…②

3八5

3八5

解之：675或6V5叉-----

_y=.

即…（事半）或g（_孕,.誓）

30.設(shè)p=（2,7）,q=（x,-3）,求x的取值范圍使得：

①P與q的夾角為鈍角②p與q的夾角為銳角。

解：好與q的夾角為鈍角op.q<0o2x-21<0ox<與即xe(-8冷)

②p與q的夾角為銳角=p?q>0=2x-21

31.求證：菱形的對角線互相垂直。證：設(shè)

B(6i,0),7W,

則AB=(bMAD=(dM于是旅=4萬+

互；=(如0)+(diO)=(b+dItd2)

茹=刀-無=(di-bi,d2)

?:AC?BD=9『di)(d]-婦+=(如+羅卜妃

：|JD|2-bi2=|布[2-缶2=缶2_如2=01

：.ACLBDD

32.如圖：/題是正方形，M是BC的中點(diǎn)，將正方形

折起使點(diǎn)么與M重合，設(shè)折痕為蘇；若正方形面積

為64,求的面積。

解：如圖，建立直角坐標(biāo)系，_

顯然EF是AM的中垂線，&

...N是AM的中點(diǎn)，又正方形邊長為8?M(8,4),N(4,2)

設(shè)點(diǎn)E(e,O),則4材=(8,4),ZN=(4,2),/8=@。，EN=(4-e,2),

由無訝，前得：AM-EN=0IP：(8,4)?(4-e,2)=0

解之：e=5即I萬|=5.?.SMEM=；I萬X5X4=

10

33.求證：cos(a-p)=cosacosp+sinasinp

證：設(shè)a、。終邊上以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量分別為a、瓦夾角為0,則a-p=2kjr±e

(keZ)

a=(IaIcosa,|a\sina)b=(\bIcoSo，|b|sin。)

a,b=|a|cosa,|b|cos&+|a|sina,|b|sin<,=|a||b|(cosacosp+

sinasinp)

又：:?a?b=：Ia11bIcosO=|a||b|cos[2k兀土(a-。)]=|a11b|cos

(a-P)

|a|Ib|(cosacosp+sinasinp)=|allb|cos(a-p)a#0,b~01,cos(a-p)=cosacosp+sinasinfj

34.將點(diǎn)>4(-3,2)平移到點(diǎn)P(2,-4),按此方式，若點(diǎn)B平移后的坐標(biāo)為(-5,1),試求點(diǎn)8

的坐標(biāo)。

解：依題意：平移向量2=刀尸(5,-6),

設(shè)8的坐標(biāo)為(x,y),由平移公式：J-o

\=y~6[y=l

即點(diǎn)B坐標(biāo)為GIO,7)

35.將函數(shù)y=左的圖象經(jīng)過怎樣的平移可得到y(tǒng)=2x2-4x+3的圖象？

解：y=2x2-4x+3=2(x-I)2+1

即向右平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，

即按a=(1,1)的方向平移即得的圖象。

36.已知函數(shù)y=-2(x-2)2-l的圖象經(jīng)過按a平移后使得拋物線頂點(diǎn)在y軸上，且在x

軸上截得的弦長為4,求平移后函數(shù)解析式和a。解：依題意：平移后的函數(shù)解析式

為：y=2x2+n

平移前頂點(diǎn)為(2,-1).平移后頂點(diǎn)為(0,n),

：.a=(0-2,n-(-l))=(-2,n+l)

在y=2x2+n41,令y=0,x=±￡:

?.?函數(shù)在x軸上截得的弦長為4/2,An=8.

?.■平移后的解析式為：y=2x2-8,且a=(-2,9).

三十、作業(yè)：《導(dǎo)學(xué)?創(chuàng)新》§5.7§5.8

第二十七教時(shí)

教材，復(fù)習(xí)六一一解斜三角形

目的，鞏固對正弦、余弦的掌握，一并能較熟練地應(yīng)用解決具體問題。

as：

三十一、復(fù)習(xí)：1°兩個(gè)定理2o兩個(gè)定理能解決的問題

三?十二、例題：

37.證明射影定理：a=bcosC+ccosB：b=acosC+ccosA：c=acosB+bcosA

.-r七H.a"+存-dd+/-b22/七、，

ilk—:石~b-------------------+c--------------=-------=a~左

2ah2ac2a

HE二：右邊=2RsinBcosC+2RsinCcosB=2Rsin(B+C)=2Rsin