離散數(shù)學(xué)5-3-4省公開(kāi)課一等獎(jiǎng)全國(guó)示范課微課金獎(jiǎng)

主要內(nèi)容代數(shù)系統(tǒng)基本概念1半群與含幺半群（獨(dú)異點(diǎn)）2群（阿貝爾群與循環(huán)群）3子群與陪集4同態(tài)與同構(gòu)5環(huán)與域61第1頁(yè)定義1：<S,*>是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，S為非空集合，*是定義在S上二元運(yùn)算：*是封閉代數(shù)系統(tǒng)稱為廣群；*可結(jié)合廣群稱為半群；含有幺元半群，稱為獨(dú)異點(diǎn)（含幺半群）；*可交換（含幺）半群，稱為交換（含幺）半群。例： <R,->是代數(shù)系統(tǒng)，但不是半群 因?yàn)?在R上封閉，但不可結(jié)合； <R,?>是半群，而且含有幺元1 所以也是獨(dú)異點(diǎn)，是可交換獨(dú)異點(diǎn)。2第2頁(yè)定理1：<S,*>是半群，BS，且*在B上封閉，則<B,*>是半群。通常稱<B,*>是<S,*>子半群。證實(shí)：要證實(shí)<B,*>是半群，只要證*在B上封閉、可結(jié)合 ∵<S,*>是半群，∴*在S上可結(jié)合，而B(niǎo)S ∴a,b,cB，有a*(b*c)=(a*b)*c， 即*在B上可結(jié)合 又∵已知*在B上封閉 ∴<B,*>是半群例： <R,?>是半群，∵區(qū)間(0,1)R，且?在(0,1)上封閉， ∴<(0,1),?>是<R,?>子半群3第3頁(yè)定理2：<S,*>是半群，若S是有限集,則必有a

S，使a*a=a。證實(shí)：對(duì)bS∵<S,*>是半群，*在S上封閉，∴b*b

S記b2=b*b，則b2*b=(b*b)*b=b*(b*b)=b*b2記b3=b2*b=b*b2……記bn=bn-1*b=b*bn-1……∵S是有限集，∴依據(jù)鴿巢原理，存在j>i，使得bi=bj記p=j-i(則p≥1)，則j=p+i∴bi=bj=bp+i=bp*bi，∴bi*b=bp*bi*b∴bi+1=bp*bi+1……br=bp*br(r≥i)∵p≥1，∴總能夠找到k≥1使得kp≥i∴bkp=bp*bkp=bp*(bp*bkp)=b2p*bkp=…=bkp*bkp∵*在S上封閉，∴bkpS令a=bkp，則a*a=a4第4頁(yè)定理3：<S,*>是獨(dú)異點(diǎn)，則在關(guān)于*運(yùn)算表中，任何兩行或兩列都是不一樣。證實(shí)：令e是<S,*>幺元，則a，bS，且a≠b， ∵e*a=a≠b=e*b，∴任意兩列都不一樣 ∵a*e=a≠b=b*e，∴任意兩行都不一樣*……e……a……b…...e……e……a……b…...a……a……………...b……b……………...5第5頁(yè)定理4：<S,*>是獨(dú)異點(diǎn)，a，bS，且都有逆元，則

(1)(a-1)-1=a；

(2)a*b有逆元，且(a*b)-1=b-1*a-1。證實(shí)：令e是<S,*>幺元，(1)∵a-1*a=e=a*a-1，∴a-1與a互為逆元， ∴(a-1)-1=a(2)∵(a*b)*(b-1*a-1)=a*(b*b-1)*a-1

=a*e*a-1=a*a-1=e (b-1*a-1)*(a*b)=b-1*(a-1*a)*b =b*e*b-1=b*b-1=e ∴(a*b)-1=b-1*a-16第6頁(yè)例1：<{a,b},*>是半群，其中a*a=b，求證：

(1)a*b=b*a；

(2)b*b=b。證實(shí)：(1)a*b=a*(a*a)=(a*a)*a=b*a(2)b*b=b*(a*a)=(b*a)*a ∵<{a,b},*>是半群，∴*在{a,b}上封閉， ∴b*a=a或者b*a=b 若b*a=a，則b*b=a*a=b 若b*a=b，則b*b=b*a=b7第7頁(yè)作業(yè)P190（5）8第8頁(yè)主要內(nèi)容代數(shù)系統(tǒng)基本概念1半群與含幺半群（獨(dú)異點(diǎn)）2群（阿貝爾群與循環(huán)群）3子群與陪集4同態(tài)與同構(gòu)5環(huán)與域69第9頁(yè)定義1：每個(gè)元素都有逆元獨(dú)異點(diǎn)，稱為群。定義2：若群還滿足交換律，則稱為交換群（阿貝爾群）。定義3：<G,*>是群，若G是有限集，稱<G,*>是有限群；

G中元素個(gè)數(shù)稱為該有限群階數(shù)，記為|G|；

若G無(wú)限，則<G,*>稱為無(wú)限群。定義4：<G,*>是群，a是G中任意元素，nN，定義元素a冪為：

a0=e，a1=a，……，

an+1=an*a，

a-n=(a-1)n(其中a-1是a逆元) 顯然，am*ak=am+k，(am)k=amk（m,k

I）1.群概念10第10頁(yè)定義5：<G,*>是群，a是G中任意元素，若存在nZ+，使an=e，則稱元素a階是有限，最小正整數(shù)n稱為元素a階；若不存在這么正整數(shù)n，則稱元素a含有沒(méi)有限階。解：e1=e，∴e階是1 a2=a*a=b， a3=a2*a=b*a=e ∴a階是3 同理，b階也是3 a3k=e*eabeabeababbeea例：11第11頁(yè)例1：判斷<I,?>，<R,+>，<P(S),∪>，<P(S),∩>，<P(S),>是否是群？解：<I,?>，幺元是1，只有幺元有逆元，其它元素沒(méi)逆元，

∴不是群；<R,+>，幺元是0，x+(-x)=0，每個(gè)元素都有逆元，

∴是群<P(S),∪>和<P(S),∩>不是群，因?yàn)闊o(wú)逆元；<P(S),>是群， ∵?A=A=A?∴?是幺元 AP(S)，有AA=?∴A-1=A， 每個(gè)元素都有逆元12第12頁(yè)例2：集合Zm是模m同余類組成同余類集，即

Zm={[0],[1],[2],…,[m-1]}，[i]Zm，[j]Zm，定義運(yùn)算：[i]+m[j]=[(i+j)modm]，

[i]×m[j]=[(i×j)modm]，

判斷當(dāng)m=4時(shí)代數(shù)系統(tǒng)<Zm,+m>,<Zm,×m>是否為群？證實(shí)：m=4時(shí)，運(yùn)算表： 封閉、可結(jié)合、 有幺元[0]、 每個(gè)元素都有逆元

[0]-1=[0]

x≠0時(shí)，[x]-1=[4-x]∴<Z4,+4>是群，階數(shù)是4+4[0][1][2][3][0][0][1][2][3][1][1][2][3][0][2][2][3][0][1][3][3][0][1][2]13第13頁(yè)小結(jié)： {群}{獨(dú)異點(diǎn)}{半群}{廣群}{代數(shù)系統(tǒng)} 半群在廣群基礎(chǔ)上還要求運(yùn)算可結(jié)合； 獨(dú)異點(diǎn)在半群基礎(chǔ)上要求存在幺元； 群在獨(dú)異點(diǎn)基礎(chǔ)上要求每個(gè)元素都有逆元。×4[0][1][2][3][0][0][0][0][0][1][0][1][2][3][2][0][2][0][2][3][0][3][2][1] 封閉、可結(jié)合、 有幺元[1]、 但元素[0]、[2]沒(méi)有逆元 ∴<Z4,×4>不是群14第14頁(yè)2.群性質(zhì)1)群中無(wú)零元。證實(shí)：設(shè)<G,*>是群， 若|G|=1，則G唯一元素是幺元，∴無(wú)零元； 若|G|>1，設(shè)<G,*>有幺元e、零元，則≠e xG，x*=*x=≠e∴無(wú)逆元 這與<G,*>是群相矛盾，

∴<G,*>中無(wú)零元15第15頁(yè)2)<G,*>是群，a,bG，必存在唯一xG，使得a*x=b證實(shí)：

aG，設(shè)a逆元為a-1 ∵<G,*>是群，∴*在G上是封閉，∴a-1*bG 令x=a-1*b，則a*(a-1*b)=(a*a-1)*b=e*b=b

∴存在x，使得a*x=b 設(shè)另有x1G，使得a*x1=b，則有 x=a-1*b=a-1*(a*x1)=(a-1*a)*x1=

e*x1=x1

∴x=x1

∴使a*x=b成立x是唯一。說(shuō)明：證實(shí)存在性時(shí)，只要找出一個(gè)滿足條件即可；證實(shí)唯一性時(shí)，通常設(shè)另一個(gè)滿足條件，再證兩個(gè)相等16第16頁(yè)3)<G,*>是群，a,b,cG，若a*b=a*c或b*a=c*a，則b=c（消去律）證實(shí)略（兩邊同時(shí)與a-1進(jìn)行*運(yùn)算即可）4)在群<G,*>中，只有幺元e是等冪元證實(shí)：∵e*e=e，∴e是等冪元 設(shè)有另一個(gè)等冪元a，則a*a=a ∵e*a=a=a*a，由消去律，得a=e5)在有限群<G,*>中，每個(gè)元素都含有有限階，且階數(shù)至多是|G|。（利用鴿巢原理證實(shí)）17第17頁(yè)定義6：S是一個(gè)集合，從S到S一個(gè)雙射，稱為S一個(gè)置換。例：設(shè)S={a,b,c,d} f(a)=b,f(b)=c,f(c)=d,f(d)=a是S一個(gè)置換 f(a)=d,f(b)=a,f(c)=b,f(d)=c是S另一個(gè)置換 這兩個(gè)置換可表示為：abcdbcdadabc18第18頁(yè)6)在群<G,*>運(yùn)算表中每一行或每一列都是G元素一個(gè)置換。證實(shí)：(1)G中任一元素b，在G每一行中必出現(xiàn) 對(duì)

xG，由封閉性，得x-1*bG， ∵x*(x-1*b)=(x*x-1)*b=b ∴對(duì)x行，必定在x-1*b列上出現(xiàn)元素b ∴任一元素b在每一行中都會(huì)出現(xiàn)(2)G中每個(gè)元素在每行中只出現(xiàn)一次（反證法）

設(shè)cG，在對(duì)應(yīng)于a那行中出現(xiàn)兩次， 則必有b1G，b2G，且b1≠b2，使得a*b1=a*b2=c， 由消去律，得b1=b2，產(chǎn)生矛盾，∴假設(shè)錯(cuò) 由(1)(2)可知運(yùn)算表每一行都是G一個(gè)置換， 同理，每一列也是G一個(gè)置換。19第19頁(yè)例3：結(jié)構(gòu)一個(gè)三階群解：設(shè)e是幺元，G={e,a,b}， 結(jié)構(gòu)三階群<G,*>運(yùn)算表以下：結(jié)構(gòu)方法：先寫(xiě)出幺元對(duì)應(yīng)行和列運(yùn)算結(jié)果

再按置換要求，填寫(xiě)其它運(yùn)算結(jié)果*eabeabeababbeea20第20頁(yè)3.循環(huán)群定義7：<G,*>是群，若存在aG，使得G中任意元素都由a冪組成，則稱<G,*>為循環(huán)群；元素a稱為它生成元。例：令A(yù)={2i|iI}，則<A,?>是循環(huán)群，2是生成元例：<I,+>是循環(huán)群， ∵<I,+>是群，0是幺元， 10=0、11=1、12=1+1=2、 13=12+1=1+1+1=3、……、1n=n、…… 1-1=-1、1-2=(1-1)2=1-1+1-1=(-1)+(-1)=-2、……、 1-n=-n、…... ∴1是<I,+>生成元21第21頁(yè)同時(shí)： ∵(-1)0=0、(-1)1=-1、(-1)2=(-1)+(-1)=-2、……、 (-1)n=-n、…… (-1)-1=1、(-1)-2=(-1-1)2=(-1)-1+(-1)-1=1+1=2、……、 (-1)-n=n、…... ∴-1也是<I,+>生成元可見(jiàn)，一個(gè)循環(huán)群生成元能夠是不唯一。22第22頁(yè)定理1：任何一個(gè)循環(huán)群必是交換群。證實(shí)：設(shè)<G,*>是循環(huán)群，a是生成元，則 x,yG，必有m,nI， 使得x=am，y=an， x*y=am*an

=am+n=an+m

=an*am=y*x ∴<G,*>是交換群。23第23頁(yè)定理2：<G,*>是有限循環(huán)群，a為生成元，若|G|=n，則an=e且G