基本不等式及其應(yīng)用省公開課一等獎(jiǎng)全國(guó)示范課微課金獎(jiǎng)

山東金榜苑文化傳媒集團(tuán)步步高大一輪復(fù)習(xí)講義基本不等式及其應(yīng)用1/65不等關(guān)系及不等式二元一次不等式(組)與平面區(qū)域簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題不等式基本性質(zhì)一元二次不等式及其解法絕對(duì)值不等式基本不等式不等式實(shí)際應(yīng)用兩個(gè)實(shí)數(shù)大小比較最大(小)值問(wèn)題絕對(duì)值解法2/65憶一憶知識(shí)要點(diǎn)1.基本不等式(1)基本不等式成立條件:___________.(2)等號(hào)成立條件：當(dāng)且僅當(dāng)_______時(shí)取等號(hào).a>0,b>0a＝b2.幾個(gè)主要不等式3/653.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a>0，b>0，則a，b算術(shù)平均數(shù)為______,幾何平均數(shù)為_______,基本不等式可敘述為：兩個(gè)正數(shù)算術(shù)平均數(shù)大于它們幾何平均數(shù)．4.利用基本不等式求最值問(wèn)題

已知x>0，y>0，則(1)假如積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)________時(shí),x＋y有最___值是

.(簡(jiǎn)記：積定和最小)(2)假如和x＋y是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)________時(shí),xy有最____值是

.(簡(jiǎn)記：和定積最大)小大4/65AB題號(hào)答案123455/65利用基本不等式證實(shí)簡(jiǎn)單不等式利用基本不等式證實(shí)不等式是綜正當(dāng)證實(shí)不等式一個(gè)情況,證實(shí)思緒是從已證不等式和問(wèn)題已知條件出發(fā),借助不等式性質(zhì)和相關(guān)定理，經(jīng)過(guò)逐步邏輯推理最終轉(zhuǎn)化為需證問(wèn)題．6/657/658/65利用基本不等式求最值9/65利用基本不等式求最值10/65利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值時(shí)，必須注意三點(diǎn)：“一正,二定，三相等”，缺一不可．假如項(xiàng)是負(fù)數(shù)，可轉(zhuǎn)化為正數(shù)后處理，當(dāng)和(或積)不是定值時(shí)，需要對(duì)項(xiàng)進(jìn)行添加、分拆或變系數(shù)，將和(或積)化為定值．11/65B12/651613/65基本不等式實(shí)際應(yīng)用【例3】圍建一個(gè)面積為360m2矩形場(chǎng)地，要求矩形場(chǎng)地一面利用舊墻(利用舊墻需維修)，其它三面圍墻要新建，在舊墻對(duì)面新墻上要留一個(gè)寬度為2m進(jìn)出口，如圖所表示．已知舊墻維修費(fèi)用為45元/m，新墻造價(jià)為180元/m.設(shè)利用舊墻長(zhǎng)度為x(單位：m)，修建此矩形場(chǎng)地圍墻總費(fèi)用為y(單位：元)．(1)將y表示為x函數(shù)；(2)試確定x,使修建此矩形場(chǎng)地圍墻總費(fèi)用最少,并求出最少總費(fèi)用．14/65(1)利用基本不等式處理實(shí)際問(wèn)題時(shí)，應(yīng)先仔細(xì)閱讀題目信息,了解題意，明確其中數(shù)量關(guān)系，并引入變量，依題意列出對(duì)應(yīng)函數(shù)關(guān)系式，然后用基本不等式求解．(2)在求所列函數(shù)最值時(shí)，若用基本不等式時(shí)，等號(hào)取不到,可利用函數(shù)單調(diào)性求解．15/65如圖所表示,一個(gè)鋁合金窗分為上、下兩欄,四面框架和中間隔檔材料為鋁合金，寬均為6cm,上欄與下欄框內(nèi)高度(不含鋁合金部分)比為1∶2，此鋁合金窗占用墻面面積為28800cm2,設(shè)該鋁合金窗寬和高分別為acm,bcm,鋁合金窗透光部分面積為Scm2.(1)試用a，b表示S；(2)若要使S最大,則鋁合金窗寬和高分別為多少?16/6517/6507基本不等式等號(hào)成立條件把握不準(zhǔn)致誤18/65(1)這類題目考生總感到比較輕易下手.不過(guò)解這類題目卻又經(jīng)常犯錯(cuò)．(2)利用基本不等式求最值,一定要注意應(yīng)用條件:即一正、二定、三相等.不然求解時(shí)會(huì)出現(xiàn)等號(hào)成立條件不具備而犯錯(cuò).(3)本題犯錯(cuò)原因前面已分析,關(guān)鍵是忽略了等號(hào)成立條件.方法二19/651.基本不等式含有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”和將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”放縮功效，常慣用于比較數(shù)(式)大小或證實(shí)不等式，處理問(wèn)題關(guān)鍵是分析不等式兩邊結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇好利用基本不等式切入點(diǎn)．2.恒等變形：為了利用基本不等式，有時(shí)對(duì)給定代數(shù)式要進(jìn)行適當(dāng)變形．比如：20/651．使用基本不等式求最值，其失誤真正原因是對(duì)其前提“一正、二定、三相等”忽略．要利用基本不等式求最值，這三個(gè)條件缺一不可．2．在利用主要不等式時(shí)，要尤其注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足主要不等式中“正”“定”“等”條件．3．連續(xù)使用公式時(shí)取等號(hào)條件很嚴(yán)格，要求同時(shí)滿足任何一次字母取值存在且一致．21/65一、選擇題二、填空題題號(hào)123答案CCBA組

專題基礎(chǔ)訓(xùn)練題組22/65三、解答題23/65三、解答題24/6525/6526/65一、選擇題二、填空題題號(hào)123答案DDBB組專題能力提升題組27/658．某住宅小區(qū)為了使居民有一個(gè)優(yōu)雅、舒適生活環(huán)境,計(jì)劃建一個(gè)八邊形休閑小區(qū),它主體造型平面圖是由兩個(gè)相同矩形ABCD和EFGH組成面積為200m2十字型區(qū)域．現(xiàn)計(jì)劃在正方形MNPQ上建一花壇，造價(jià)為4200元/m2，在四個(gè)相同矩形上(圖中陰影部分)鋪花崗巖地坪，造價(jià)為210元/m2，再在四個(gè)空角上鋪草坪，造價(jià)為80元/m2.(1)設(shè)總造價(jià)為S元,AD長(zhǎng)為xm,試建立S關(guān)于x函數(shù)關(guān)系式；(2)計(jì)劃最少投入多少元,才能建造這個(gè)休閑小區(qū).三、解答題28/65三、解答題29/6530/65F1.不等式鏈(a>0,b>0)加權(quán)平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)幾何平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)平方平均數(shù)31/652.定理變式(1)a2+b2≥2ab(a>0,b>0)(a、b同號(hào)）(a＜0）(a>0）(a、b∈R)32/65探究：下面幾道題解答可能有錯(cuò)，假如錯(cuò)了,那么錯(cuò)在哪里？一不正，需變號(hào)二不定，要變形三不等，用單調(diào)33/65已知條件(a>0,b>0)求解最大值、最小值基本不等式基本題型486834/65例1．求函數(shù)最大值.一不正，需變號(hào)35/65例2.求函數(shù)最大值.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào).即當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)最大值為1.二不定，要變形36/65依據(jù):利用函數(shù)(t>0)單調(diào)性.t∈(0,1]單調(diào)遞減,t∈[1,+∞)單調(diào)遞增.解:例3.求函數(shù)最小值.在[1,+∞)上單調(diào)遞增.三不等，用單調(diào)37/65當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào).“1”代換法例4.已知正數(shù)x,y滿足2x+y=1,求最小值.38/65解:(方法一）例5.若正數(shù)a,b滿足ab=a+b+3,求ab取值范圍.當(dāng)且僅當(dāng),即a=b=3時(shí)取等號(hào).39/65即a=3時(shí),取等號(hào).（方法二）當(dāng)且僅當(dāng)所以ab≥9.40/65例6.已知a,b是正數(shù)，且a+b=1.求證：41/65例6.已知a,b是正數(shù)，且a+b=1.求證：42/6543/6544/65【1】以下函數(shù)最小值為2是()【2】若正數(shù)x,y滿足xy–(x+y)=1,則有()AD練一練45/65【4】函數(shù)最大值是_____.【3】已知正數(shù)x,y滿足x+2y=1,則最小值是__________.【解題回顧】錯(cuò)誤原因在于兩次利用均值定理時(shí)取等號(hào)條件矛盾.(第一次須x＝y(tǒng)，第二次須x＝2y).練一練46/65所以最大值是【5】若正數(shù)a,b滿足,求最大值.,即時(shí),取等號(hào).當(dāng)且僅當(dāng)練一練47/65C練一練48/654練一練49/65【8】練一練50/65C化歸與轉(zhuǎn)化思想恒成立,則n最大值是()A.2B.3C.4D.5【9】練一練51/65恒成立,則n最大值是()A.2B.3C.4D.5【9】恒成立,練一練52/65【10】D補(bǔ)償練習(xí)53/65補(bǔ)償練習(xí)B54/65CDＤE55/65C56/65“十一”節(jié)日期間,甲、乙兩商場(chǎng)對(duì)單價(jià)相同同類產(chǎn)品進(jìn)行促銷,方便吸引更多用戶進(jìn)行消費(fèi).甲商場(chǎng)采取促銷方式是在原價(jià)a折基礎(chǔ)上再打b折；乙商場(chǎng)促銷方式則是兩次都打折.假如你是用戶,你會(huì)進(jìn)哪個(gè)商店采購(gòu)？創(chuàng)設(shè)情境57/65第二十四屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)58/65ICM會(huì)標(biāo)趙爽：弦圖59/65大會(huì)會(huì)標(biāo)設(shè)計(jì)基礎(chǔ)是公元3世紀(jì)中國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽弦圖.會(huì)標(biāo)對(duì)這個(gè)圖進(jìn)行了加工變形.首先,打開外面正方形邊并放大里面正方形,這代表著數(shù)學(xué)家思想開闊以及中國(guó)開放.顏色明暗使它看上去更像一個(gè)旋轉(zhuǎn)紙風(fēng)車,這代表著北京人熱情好客.60/65新世紀(jì)第一次，發(fā)展中國(guó)家第一次世界數(shù)學(xué)最高盛會(huì)，中國(guó)數(shù)學(xué)百年機(jī)遇這屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)主席由我國(guó)著名數(shù)學(xué)家,中科院院士,年度國(guó)家最高科學(xué)技術(shù)獎(jiǎng)得主吳文俊擔(dān)任.第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)(簡(jiǎn)稱ICM)于年8月20—28日在北京舉行.國(guó)家主席江澤民出席大會(huì)開幕式并為本屆菲爾茨獎(jiǎng)取得者頒獎(jiǎng).數(shù)學(xué)趣苑61/65

趙爽,中國(guó)古代數(shù)學(xué)家，東漢末至三國(guó)時(shí)代人，他主要貢獻(xiàn)是約在222年深入研究了《周髀算經(jīng)》，為該書寫了序言，并作了詳細(xì)注釋，其中一段530余字“勾股圓方圖”注文是數(shù)學(xué)史上極有價(jià)值文件．它記述了勾股定理理論證實(shí)，將勾股定理表述為：“勾股各自乘，并之，為弦實(shí)，開方除之，即弦．”證實(shí)方法敘述為：“按弦圖，又能夠勾股相乘為朱實(shí)二，倍之為朱實(shí)四，以勾股之差自相乘為中黃實(shí)，加差實(shí)，亦成弦實(shí)．”數(shù)學(xué)趣苑62/65數(shù)學(xué)界戰(zhàn)略科學(xué)家——中科院院士吳文俊吳文俊在拓?fù)鋵W(xué)、自動(dòng)推理、機(jī)器證實(shí)、代數(shù)幾何、中國(guó)數(shù)學(xué)史、對(duì)策論等研究領(lǐng)域都有出色貢獻(xiàn)，在國(guó)內(nèi)外享受盛譽(yù).他在拓?fù)鋵W(xué)示性類、示嵌類研究方面取得一系列主要結(jié)果，是拓?fù)鋵W(xué)中奠基性工作，并有許多主要應(yīng)用.他創(chuàng)建“吳文俊方法”在國(guó)際機(jī)器證實(shí)領(lǐng)域產(chǎn)生巨大影響，有廣泛主要應(yīng)用價(jià)值.

數(shù)學(xué)趣苑63/65國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)（簡(jiǎn)稱ICM）已經(jīng)有100多年歷史.1897年,首屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)在瑞士蘇黎世舉行.1900年巴黎大會(huì)后,每4年舉行一次,除