基本不等式及其應(yīng)用省公開課一等獎全國示范課微課金獎

山東金榜苑文化傳媒集團(tuán)步步高大一輪復(fù)習(xí)講義基本不等式及其應(yīng)用1/65不等關(guān)系及不等式二元一次不等式(組)與平面區(qū)域簡單線性規(guī)劃問題不等式基本性質(zhì)一元二次不等式及其解法絕對值不等式基本不等式不等式實際應(yīng)用兩個實數(shù)大小比較最大(小)值問題絕對值解法2/65憶一憶知識要點1.基本不等式(1)基本不等式成立條件:___________.(2)等號成立條件：當(dāng)且僅當(dāng)_______時取等號.a>0,b>0a＝b2.幾個主要不等式3/653.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a>0，b>0，則a，b算術(shù)平均數(shù)為______,幾何平均數(shù)為_______,基本不等式可敘述為：兩個正數(shù)算術(shù)平均數(shù)大于它們幾何平均數(shù)．4.利用基本不等式求最值問題

已知x>0，y>0，則(1)假如積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)________時,x＋y有最___值是

.(簡記：積定和最小)(2)假如和x＋y是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)________時,xy有最____值是

.(簡記：和定積最大)小大4/65AB題號答案123455/65利用基本不等式證實簡單不等式利用基本不等式證實不等式是綜正當(dāng)證實不等式一個情況,證實思緒是從已證不等式和問題已知條件出發(fā),借助不等式性質(zhì)和相關(guān)定理，經(jīng)過逐步邏輯推理最終轉(zhuǎn)化為需證問題．6/657/658/65利用基本不等式求最值9/65利用基本不等式求最值10/65利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值時，必須注意三點：“一正,二定，三相等”，缺一不可．假如項是負(fù)數(shù)，可轉(zhuǎn)化為正數(shù)后處理，當(dāng)和(或積)不是定值時，需要對項進(jìn)行添加、分拆或變系數(shù)，將和(或積)化為定值．11/65B12/651613/65基本不等式實際應(yīng)用【例3】圍建一個面積為360m2矩形場地，要求矩形場地一面利用舊墻(利用舊墻需維修)，其它三面圍墻要新建，在舊墻對面新墻上要留一個寬度為2m進(jìn)出口，如圖所表示．已知舊墻維修費用為45元/m，新墻造價為180元/m.設(shè)利用舊墻長度為x(單位：m)，修建此矩形場地圍墻總費用為y(單位：元)．(1)將y表示為x函數(shù)；(2)試確定x,使修建此矩形場地圍墻總費用最少,并求出最少總費用．14/65(1)利用基本不等式處理實際問題時，應(yīng)先仔細(xì)閱讀題目信息,了解題意，明確其中數(shù)量關(guān)系，并引入變量，依題意列出對應(yīng)函數(shù)關(guān)系式，然后用基本不等式求解．(2)在求所列函數(shù)最值時，若用基本不等式時，等號取不到,可利用函數(shù)單調(diào)性求解．15/65如圖所表示,一個鋁合金窗分為上、下兩欄,四面框架和中間隔檔材料為鋁合金，寬均為6cm,上欄與下欄框內(nèi)高度(不含鋁合金部分)比為1∶2，此鋁合金窗占用墻面面積為28800cm2,設(shè)該鋁合金窗寬和高分別為acm,bcm,鋁合金窗透光部分面積為Scm2.(1)試用a，b表示S；(2)若要使S最大,則鋁合金窗寬和高分別為多少?16/6517/6507基本不等式等號成立條件把握不準(zhǔn)致誤18/65(1)這類題目考生總感到比較輕易下手.不過解這類題目卻又經(jīng)常犯錯．(2)利用基本不等式求最值,一定要注意應(yīng)用條件:即一正、二定、三相等.不然求解時會出現(xiàn)等號成立條件不具備而犯錯.(3)本題犯錯原因前面已分析,關(guān)鍵是忽略了等號成立條件.方法二19/651.基本不等式含有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”和將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”放縮功效，常慣用于比較數(shù)(式)大小或證實不等式，處理問題關(guān)鍵是分析不等式兩邊結(jié)構(gòu)特點，選擇好利用基本不等式切入點．2.恒等變形：為了利用基本不等式，有時對給定代數(shù)式要進(jìn)行適當(dāng)變形．比如：20/651．使用基本不等式求最值，其失誤真正原因是對其前提“一正、二定、三相等”忽略．要利用基本不等式求最值，這三個條件缺一不可．2．在利用主要不等式時，要尤其注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足主要不等式中“正”“定”“等”條件．3．連續(xù)使用公式時取等號條件很嚴(yán)格，要求同時滿足任何一次字母取值存在且一致．21/65一、選擇題二、填空題題號123答案CCBA組

專題基礎(chǔ)訓(xùn)練題組22/65三、解答題23/65三、解答題24/6525/6526/65一、選擇題二、填空題題號123答案DDBB組專題能力提升題組27/658．某住宅小區(qū)為了使居民有一個優(yōu)雅、舒適生活環(huán)境,計劃建一個八邊形休閑小區(qū),它主體造型平面圖是由兩個相同矩形ABCD和EFGH組成面積為200m2十字型區(qū)域．現(xiàn)計劃在正方形MNPQ上建一花壇，造價為4200元/m2，在四個相同矩形上(圖中陰影部分)鋪花崗巖地坪，造價為210元/m2，再在四個空角上鋪草坪，造價為80元/m2.(1)設(shè)總造價為S元,AD長為xm,試建立S關(guān)于x函數(shù)關(guān)系式；(2)計劃最少投入多少元,才能建造這個休閑小區(qū).三、解答題28/65三、解答題29/6530/65F1.不等式鏈(a>0,b>0)加權(quán)平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)幾何平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)平方平均數(shù)31/652.定理變式(1)a2+b2≥2ab(a>0,b>0)(a、b同號）(a＜0）(a>0）(a、b∈R)32/65探究：下面幾道題解答可能有錯，假如錯了,那么錯在哪里？一不正，需變號二不定，要變形三不等，用單調(diào)33/65已知條件(a>0,b>0)求解最大值、最小值基本不等式基本題型486834/65例1．求函數(shù)最大值.一不正，需變號35/65例2.求函數(shù)最大值.當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”號.即當(dāng)x=1時,函數(shù)最大值為1.二不定，要變形36/65依據(jù):利用函數(shù)(t>0)單調(diào)性.t∈(0,1]單調(diào)遞減,t∈[1,+∞)單調(diào)遞增.解:例3.求函數(shù)最小值.在[1,+∞)上單調(diào)遞增.三不等，用單調(diào)37/65當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”號.“1”代換法例4.已知正數(shù)x,y滿足2x+y=1,求最小值.38/65解:(方法一）例5.若正數(shù)a,b滿足ab=a+b+3,求ab取值范圍.當(dāng)且僅當(dāng),即a=b=3時取等號.39/65即a=3時,取等號.（方法二）當(dāng)且僅當(dāng)所以ab≥9.40/65例6.已知a,b是正數(shù)，且a+b=1.求證：41/65例6.已知a,b是正數(shù)，且a+b=1.求證：42/6543/6544/65【1】以下函數(shù)最小值為2是()【2】若正數(shù)x,y滿足xy–(x+y)=1,則有()AD練一練45/65【4】函數(shù)最大值是_____.【3】已知正數(shù)x,y滿足x+2y=1,則最小值是__________.【解題回顧】錯誤原因在于兩次利用均值定理時取等號條件矛盾.(第一次須x＝y(tǒng)，第二次須x＝2y).練一練46/65所以最大值是【5】若正數(shù)a,b滿足,求最大值.,即時,取等號.當(dāng)且僅當(dāng)練一練47/65C練一練48/654練一練49/65【8】練一練50/65C化歸與轉(zhuǎn)化思想恒成立,則n最大值是()A.2B.3C.4D.5【9】練一練51/65恒成立,則n最大值是()A.2B.3C.4D.5【9】恒成立,練一練52/65【10】D補償練習(xí)53/65補償練習(xí)B54/65CDＤE55/65C56/65“十一”節(jié)日期間,甲、乙兩商場對單價相同同類產(chǎn)品進(jìn)行促銷,方便吸引更多用戶進(jìn)行消費.甲商場采取促銷方式是在原價a折基礎(chǔ)上再打b折；乙商場促銷方式則是兩次都打折.假如你是用戶,你會進(jìn)哪個商店采購？創(chuàng)設(shè)情境57/65第二十四屆國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)58/65ICM會標(biāo)趙爽：弦圖59/65大會會標(biāo)設(shè)計基礎(chǔ)是公元3世紀(jì)中國數(shù)學(xué)家趙爽弦圖.會標(biāo)對這個圖進(jìn)行了加工變形.首先,打開外面正方形邊并放大里面正方形,這代表著數(shù)學(xué)家思想開闊以及中國開放.顏色明暗使它看上去更像一個旋轉(zhuǎn)紙風(fēng)車,這代表著北京人熱情好客.60/65新世紀(jì)第一次，發(fā)展中國家第一次世界數(shù)學(xué)最高盛會，中國數(shù)學(xué)百年機(jī)遇這屆國際數(shù)學(xué)家大會主席由我國著名數(shù)學(xué)家,中科院院士,年度國家最高科學(xué)技術(shù)獎得主吳文俊擔(dān)任.第24屆國際數(shù)學(xué)家大會(簡稱ICM)于年8月20—28日在北京舉行.國家主席江澤民出席大會開幕式并為本屆菲爾茨獎取得者頒獎.數(shù)學(xué)趣苑61/65

趙爽,中國古代數(shù)學(xué)家，東漢末至三國時代人，他主要貢獻(xiàn)是約在222年深入研究了《周髀算經(jīng)》，為該書寫了序言，并作了詳細(xì)注釋，其中一段530余字“勾股圓方圖”注文是數(shù)學(xué)史上極有價值文件．它記述了勾股定理理論證實，將勾股定理表述為：“勾股各自乘，并之，為弦實，開方除之，即弦．”證實方法敘述為：“按弦圖，又能夠勾股相乘為朱實二，倍之為朱實四，以勾股之差自相乘為中黃實，加差實，亦成弦實．”數(shù)學(xué)趣苑62/65數(shù)學(xué)界戰(zhàn)略科學(xué)家——中科院院士吳文俊吳文俊在拓?fù)鋵W(xué)、自動推理、機(jī)器證實、代數(shù)幾何、中國數(shù)學(xué)史、對策論等研究領(lǐng)域都有出色貢獻(xiàn)，在國內(nèi)外享受盛譽.他在拓?fù)鋵W(xué)示性類、示嵌類研究方面取得一系列主要結(jié)果，是拓?fù)鋵W(xué)中奠基性工作，并有許多主要應(yīng)用.他創(chuàng)建“吳文俊方法”在國際機(jī)器證實領(lǐng)域產(chǎn)生巨大影響，有廣泛主要應(yīng)用價值.

數(shù)學(xué)趣苑63/65國際數(shù)學(xué)家大會（簡稱ICM）已經(jīng)有100多年歷史.1897年,首屆國際數(shù)學(xué)家大會在瑞士蘇黎世舉行.1900年巴黎大會后,每4年舉行一次,除