高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 考前30天 策略一 學(xué)選擇、填空解題技法用書 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

【三維設(shè)計(jì)】（通用版）2017屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)第二部分考前30天策略一學(xué)選擇、填空解題技法教師用書理高中數(shù)學(xué)題分客觀題與主觀題兩大類，而客觀題分為選擇題與填空題，選擇題屬于“小靈通”題，其解題過程“不講道理”，所以解答選擇題的基本策略是：充分地利用題干和選項(xiàng)兩方面的條件所提供的信息作出判斷，先定性后定量，先特殊后推理，先間接后直接，先排除后求解．而填空題是不要求寫出計(jì)算或推理過程，只需要將結(jié)論直接寫出的“求解題”．解答此類題目的方法一般有直接法、特例法、數(shù)形結(jié)合法、構(gòu)造法、排除法等．直接法就是直接從題設(shè)條件出發(fā)，利用已知條件、相關(guān)概念、性質(zhì)、公式、公理、定理、法則等基礎(chǔ)知識(shí)，通過嚴(yán)謹(jǐn)推理、準(zhǔn)確運(yùn)算、合理驗(yàn)證，得出正確結(jié)論，此法是解選擇題和填空題最基本、最常用的方法．[典例](1)(2016·全國丙卷)若z＝4＋3i，則eq\f(z,|z|)＝()A．1B．－1C.eq\f(4,5)＋eq\f(3,5)iD.eq\f(4,5)－eq\f(3,5)i[解析]∵z＝4＋3i，∴z＝4－3i，|z|＝eq\r(42＋32)＝5，∴eq\f(z,|z|)＝eq\f(4－3i,5)＝eq\f(4,5)－eq\f(3,5)i.[答案]D(2)(2016·江蘇高考)已知{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和．若a1＋aeq\o\al(2,2)＝－3，S5＝10，則a9的值是________．[解析]設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由S5＝10，知S5＝5a1＋eq\f(5×4,2)d＝10，得a1＋2d＝2，即a1＝2－2d.所以a2＝a1＋d＝2－d，代入a1＋aeq\o\al(2,2)＝－3，化簡得d2－6d＋9＝0，所以d＝3，a1＝－4.故a9＝a1＋8d＝－4＋24＝20.[答案]20eq\a\vs4\al([技法領(lǐng)悟])直接法是解決計(jì)算型客觀題最常用的方法，在計(jì)算過程中，我們要根據(jù)題目的要求靈活處理，多角度思考問題，注意一些解題規(guī)律和解題技巧的靈活應(yīng)用，將計(jì)算過程簡化從而得到結(jié)果，這是快速準(zhǔn)確地求解客觀題的關(guān)鍵．[應(yīng)用體驗(yàn)]1．(2016·?？谡{(diào)研)設(shè)全集U＝R，集合A＝{x|7－6x≤0}，集合B＝{x|y＝lg(x＋2)}，則(?UA)∩B等于()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(7,6)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,6)，＋∞))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(7,6)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(7,6)))解析：選A依題意得A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≥\f(7,6)))))，?UA＝{x|x<eq\f(7,6)}；B＝{x|x＋2>0}＝{x|x>－2}，因此(?UA)∩B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－2<x<\f(7,6)))))，選A.2．(2016·合肥質(zhì)檢)若a，b都是正數(shù)，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(b,a)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(4a,b)))的最小值為()A．7B．8C．9D．10解析：選C因?yàn)閍，b都是正數(shù)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(b,a)))(1＋eq\f(4a,b))＝5＋eq\f(b,a)＋eq\f(4a,b)≥5＋2eq\r(\f(b,a)·\f(4a,b))＝9，當(dāng)且僅當(dāng)b＝2a時(shí)取等號(hào)，選項(xiàng)C正確．3．(2016·福建質(zhì)檢)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝eq\f(1,3)，則cos2α的值等于()A.eq\f(7,9)B．－eq\f(7,9)C.eq\f(8,9)D．－eq\f(8,9)解析：選A法一：因?yàn)閏oseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝eq\f(1,3)，所以sinα＝－eq\f(1,3)，所以cosα＝±eq\f(2\r(2),3)，所以cos2α＝cos2α－sin2α＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(2\r(2),3)))eq\s\up12(2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(7,9)，故選A.法二：因?yàn)閏oseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝eq\f(1,3)，所以sinα＝－eq\f(1,3)，所以cos2α＝1－2sin2α＝1－2×eq\f(1,9)＝eq\f(7,9)，故選A.4．(2016·武漢調(diào)研)已知直線y＝eq\f(2\r(3),3)x和橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)交于不同的兩點(diǎn)M，N，若點(diǎn)M，N在x軸上的射影恰好為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則橢圓的離心率e＝()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(\r(2),3)解析：選C由題意知，直線與橢圓的兩交點(diǎn)分別為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，－\f(b2,a)))，則有eq\f(－\f(b2,a)－\f(b2,a),－c－c)＝eq\f(2\r(3),3)，整理得3b2＝2eq\r(3)ac，即3(a2－c2)＝2eq\r(3)ac，亦即3e2＋2eq\r(3)e－3＝0，解得e＝eq\f(\r(3),3)或e＝－eq\r(3)(舍)，故選C.從題干出發(fā)，通過選取特殊情況代入，將問題特殊化或構(gòu)造滿足題設(shè)條件的特殊函數(shù)或圖形位置，進(jìn)行判斷．特例法是“小題小做”的重要策略，要注意在怎樣的情況下才可使用，特殊情況可能是：特殊值、特殊點(diǎn)、特殊位置、特殊函數(shù)等．[典例](1)如果a1，a2，…，a8為各項(xiàng)都大于零的等差數(shù)列，公差d≠0，那么()A．a(chǎn)1a8>a4a5B．a(chǎn)1a8<C．a(chǎn)1＋a8>a4＋a5D．a(chǎn)1a8＝a4[解析]取特殊數(shù)列1，2，3，4，5，6，7，8，顯然只有1×8<4×5成立．[答案]B(2)(2015·四川高考)設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，||＝6，||＝4.若點(diǎn)M，N滿足，，則＝()A．20B．15C．9D．6[解析]法一：(特例法)若四邊形ABCD為矩形，建系如圖．由，，知M(6，3)，N(4，4)∴＝(6，3)，＝(2，－1)＝6×2＋3×(－1)＝9.法二：如圖所示，由題設(shè)知：＝eq\f(1,3)×36－eq\f(3,16)×16＝9.[答案]Ceq\a\vs4\al([技法領(lǐng)悟])特例法具有簡化運(yùn)算和推理的功效，比較適用于題目中含有字母或具有一般性結(jié)論的選擇題，但用特例法解選擇題時(shí)，要注意以下兩點(diǎn)：第一，取特例盡可能簡單，有利于計(jì)算和推理；第二，若在不同的特殊情況下有兩個(gè)或兩個(gè)以上的結(jié)論相符，則應(yīng)選另一特例情況再檢驗(yàn)，或改用其他方法求解．[應(yīng)用體驗(yàn)]1．設(shè)[x]表示不大于x的最大整數(shù)，則對任意實(shí)數(shù)x，有()A．[－x]＝－[x]B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))＝[x]C．[2x]＝2[x]D．[x]＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))＝[2x]解析：選D當(dāng)x＝eq\f(1,2)時(shí)，可排除A、B、C.2.如圖，在棱柱的側(cè)棱A1A和B1B上各有一動(dòng)點(diǎn)P，Q滿足A1P＝BQ，過P，Q，C三點(diǎn)的截面把棱柱分成兩部分，A．3∶1B．2∶1C．4∶1D.eq\r(3)∶1解析：A1，Q→A1，Q→B，此時(shí)仍滿足條件A1P＝BQ(＝0)，則有VC-AA1B＝VA1-ABC＝eq\f(VABC-A1B1C1,3).故過P，Q，C三點(diǎn)的截面把棱柱分成的兩部分體積之比為2∶1(或1∶2)．3．已知等比數(shù)列{an}滿足an＞0，n＝1，2，3，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，當(dāng)n≥1時(shí)，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2A．n(2n－1)B．(n＋1)2C．n2D．(n－1)解析：選C因?yàn)閍5·a2n－5＝22n(n≥3)，所以令n＝3，代入得a5·a1＝26，再令數(shù)列為常數(shù)列，得每一項(xiàng)為8，則log2a1＋log2a3＋log2a54．設(shè)橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的長軸的兩端點(diǎn)分別是M，N，P是C上異于M，N的任意一點(diǎn)，則PM與PN的斜率之積等于________．解析：取特殊點(diǎn)，設(shè)P為橢圓的短軸的一個(gè)端點(diǎn)(0，eq\r(3))，又M(－2，0)，N(2，0)，所以kPM·kPN＝eq\f(\r(3),2)·eq\f(\r(3),－2)＝－eq\f(3,4).答案：－eq\f(3,4)數(shù)形結(jié)合法是指在處理數(shù)學(xué)問題時(shí)，能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)語言與直觀的幾何圖形有機(jī)結(jié)合起來思考，促使抽象思維和形象思維有機(jī)結(jié)合，通過對規(guī)范圖形或示意圖形的觀察分析，化抽象為直觀，化直觀為精確，從而使問題得到簡捷解決的方法．[典例](1)如圖，函數(shù)f(x)的圖象為折線ACB，則不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是()A．{x|－1<x≤0}B．{x|－1≤x≤1}C．{x|－1<x≤1}D．{x|－1<x≤2}[解析]令g(x)＝log2(x＋1)，作出函數(shù)g(x)圖象如圖．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,y＝log2（x＋1），))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1.))∴結(jié)合圖象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集為{x|－1<x≤1}．[答案]C(2)(2016·北京高考)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x3－3x，x≤a，,－2x，x>a.))①若a＝0，則f(x)的最大值為________；②若f(x)無最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．[解析]當(dāng)x≤a時(shí)，由f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1.如圖是函數(shù)y＝x3－3x與y＝－2x在沒有限制條件時(shí)的圖象．①若a＝0，則f(x)max＝f(－1)＝2.②當(dāng)a≥－1時(shí)，f(x)有最大值；當(dāng)a<－1時(shí)，y＝－2x在x>a時(shí)無最大值，且－2a>(x3－3x)max，所以a[答案]①2②(－∞，－1)eq\a\vs4\al([技法領(lǐng)悟])平面幾何圖形、Venn圖、三角函數(shù)線、函數(shù)的圖象等，都是常用的圖形．利用函數(shù)圖象或某些數(shù)學(xué)知識(shí)的幾何意義，將數(shù)的問題(如解方程、解不等式、判斷單調(diào)性、求取值范圍等)與某些圖形結(jié)合起來，利用圖象的直觀性，再輔以簡單計(jì)算，確定正確答案，從而有效地降低這類客觀題的錯(cuò)誤率．[應(yīng)用體驗(yàn)]1．(2016·山東高考)若變量x，y滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≤2，,2x－3y≤9，,x≥0，))則x2＋y2的最大值是()A．4B．9C．10D．12解析：選C作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示．x2＋y2表示平面區(qū)域內(nèi)點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,2x－3y＝9))得A(3，－1)，由圖易得(x2＋y2)max＝|OA|2＝32＋(－1)2＝10.故選C.2．已知非零向量a，b，c滿足a＋b＋c＝0，向量a，b的夾角為120°，且|b|＝2|a|，則向量a與c的夾角為()A．60°B．90°C．120°D．150°解析：選B如圖，因?yàn)椤碼，b〉＝120°，|b|＝2|a|，a＋b＋c＝0，所以在△OBC中，BC與CO的夾角為90°，即a與c的夾角為90°.3．(2016·四川高考)已知正三角形ABC的邊長為2eq\r(3)，平面ABC內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P，M滿足||＝1，的最大值是()A.eq\f(43,4)B.eq\f(49,4)C.eq\f(37＋6\r(3),4)D.eq\f(37＋2\r(33),4)解析：選B設(shè)BC的中點(diǎn)為O，以點(diǎn)O為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則B(－eq\r(3)，0)，C(eq\r(3)，0)，A(0，3)．又||＝1，∴點(diǎn)P的軌跡方程為x2＋(y－3)2＝1.由知點(diǎn)M為PC的中點(diǎn)，設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，相應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x0＋\r(3),2)＝x，,\f(y0＋0,2)＝y(tǒng)，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝2x－\r(3)，,y0＝2y，))∴(2x－eq\r(3))2＋(2y－3)2＝1，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4)，∴點(diǎn)M的軌跡是以Heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(3,2)))為圓心，r＝eq\f(1,2)為半徑的圓，∴|BH|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)＋\r(3)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(2))＝3，∴||的最大值為3＋r＝3＋eq\f(1,2)＝eq\f(7,2)，∴||2的最大值為eq\f(49,4).4．(2015·湖南高考)若函數(shù)f(x)＝|2x－2|－b有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是________．解析：由f(x)＝|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b.在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出y＝|2x－2|與y＝b的圖象，如圖所示，則當(dāng)0＜b＜2時(shí)，兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，從而函數(shù)f(x)＝|2x－2|－b有兩個(gè)零點(diǎn)．答案：(0，2)用構(gòu)造法解客觀題的關(guān)鍵是利用已知條件和結(jié)論的特殊性構(gòu)造出新的數(shù)學(xué)模型，從而簡化推理與計(jì)算過程，使較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題得到解決．它需要對基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法進(jìn)行積累，從一般的方法原理中進(jìn)行提煉概括，積極聯(lián)想，橫向類比，從曾經(jīng)遇到的類似問題中尋找靈感，構(gòu)造出相應(yīng)的具體的數(shù)學(xué)模型，使問題簡化．[典例]如圖，已知球O的球面上有四點(diǎn)A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝eq\r(2)，則球O的體積等于________．[解析]如圖，以DA，AB，BC為棱長構(gòu)造正方體，設(shè)正方體的外接球球O的半徑為R，則正方體的體對角線長即為球O的直徑，所以CD＝eq\r(（\r(2)）2＋（\r(2)）2＋（\r(2)）2)＝2R，所以R＝eq\f(\r(6),2)，故球O的體積V＝eq\f(4πR3,3)＝eq\r(6)π.[答案]eq\r(6)πeq\a\vs4\al([技法領(lǐng)悟])構(gòu)造法實(shí)質(zhì)上是轉(zhuǎn)化與化歸思想在解題中的應(yīng)用，需要根據(jù)已知條件和所要解決的問題確定構(gòu)造的方向，通過構(gòu)造新的函數(shù)、不等式或數(shù)列等新的模型，從而轉(zhuǎn)化為自己熟悉的問題．本題巧妙地構(gòu)造出正方體，而球的直徑恰好為正方體的體對角線，問題很容易得到解決．[應(yīng)用體驗(yàn)]1．(2016·全國丙卷)已知a＝2eq\s\up6(\f(4,3))，b＝3eq\s\up6(\f(2,3))，c＝25eq\s\up6(\f(1,3))，則()A．b＜a＜cB．a(chǎn)＜b＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b解析：選Aa＝2eq\s\up6(\f(4,3))＝4eq\s\up6(\f(2,3))，b＝3eq\s\up6(\f(2,3))，c＝25eq\s\up6(\f(1,3))＝5eq\s\up6(\f(2,3)).∵y＝xeq\s\up6(\f(2,3))在第一象限內(nèi)為增函數(shù)，又5＞4＞3，∴c＞a＞b.2．已知三個(gè)互不重合的平面α，β，γ，α∩β＝m，n?γ，且直線m，n不重合，由下列三個(gè)條件：①m∥γ，n?β；②m∥γ，n∥β；③m?γ，n∥β.能推得m∥n的條件是________(填序號(hào))．解析：構(gòu)建長方體模型，如圖，觀察選項(xiàng)特點(diǎn)，可優(yōu)先判斷條件②：取平面α為平面ADD′A′，平面β為平面ABCD，則直線m為直線AD.因m∥γ，故可取平面γ為平面A′B′C′D′，因?yàn)閚?γ且n∥β，故可取直線n為直線A′B′.則直線AD與直線A′B′為異面直線，故m與n不平行；對于①：α，β取②中平面，取平面γ為平面BCC′B′，可取直線n為直線BC，故可推得m∥n；對于③：α，β?、谥衅矫妫ˇ脼槠矫鍭B′C′D，取直線n為直線B′C′故可推得結(jié)論．答案：①③排除法也叫篩選法、淘汰法．它是解選擇題的一種常用方法，使用排除法的前提條件是答案唯一，具體的做法是采用簡捷有效的手段對各個(gè)備選答案進(jìn)行“篩選”，將其中與題干相矛盾的干擾選項(xiàng)逐一排除，從而獲得正確結(jié)論．[典例](1)(2016·浙江高考)函數(shù)y＝sinx2的圖象是()[解析]∵y＝sin(－x)2＝sinx2，∴函數(shù)為偶函數(shù)，可排除A項(xiàng)和C項(xiàng)；當(dāng)x＝±eq\r(\f(π,2))時(shí)，y＝sinx2＝1，而eq\r(\f(π,2))＜eq\f(π,2)，且y＝sineq\f(π2,4)＜1，故D項(xiàng)正確．[答案]D(2)(2016·北京高考)已知x，y∈R，且x>y>0，則()A.eq\f(1,x)－eq\f(1,y)>0B．sinx－siny>0C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(y)<0D．lnx＋lny>0[解析]因?yàn)閤>y>0，選項(xiàng)A，取x＝1，y＝eq\f(1,2)，則eq\f(1,x)－eq\f(1,y)＝1－2＝－1<0，排除A；選項(xiàng)B，取x＝π，y＝eq\f(π,2)，則sinx－siny＝sinπ－sineq\f(π,2)＝－1<0，排除B；選項(xiàng)D，取x＝2，y＝eq\f(1,2)，則lnx＋lny＝ln(xy)＝ln1＝0，排除D，故選C.[答案]Ceq\a\vs4\al([技法領(lǐng)悟])(1)排除法適應(yīng)于定性型或不易直接求解的選擇題．當(dāng)題目中的條件多于一個(gè)時(shí)，先根據(jù)某些條件在選項(xiàng)中找出明顯與之矛盾的予以否定，再根據(jù)另一些條件在縮小選項(xiàng)的范圍內(nèi)找出矛盾，這樣逐步篩選，直到得出正確的答案．(2)排除法有時(shí)會(huì)與特例法相結(jié)合，通過取一些特殊值，排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，得到正確答案．[應(yīng)用體驗(yàn)]1．(2016·福建質(zhì)檢)已知a＞0，b＞0，則“ab＞1”是“a＋b＞2”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：選A因?yàn)閍＞0，b＞0，若ab＞1，則a＋b≥2eq\r(ab