高考數(shù)學(xué)考前沖刺攻略

高考數(shù)學(xué)考前沖刺攻略目錄contents復(fù)數(shù)（選填題）…………………03函數(shù)與導(dǎo)數(shù)（選填題）…………15不等式（選填題）………………39球（選填題）…………………53數(shù)列、統(tǒng)計(jì)與概率（解答題）…………………71④二．幾種數(shù)列求和的常用方法（1）分組轉(zhuǎn)化求和法：一個數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時可用分組求和法，分別求和后相加減．（2）裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得前n項(xiàng)和．（3）錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項(xiàng)是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么求這個數(shù)列的前項(xiàng)和即可用錯位相減法求解．（4）倒序相加法：如果一個數(shù)列與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前項(xiàng)和即可用倒序相加法求解．三．常見的裂項(xiàng)技巧積累裂項(xiàng)模型1：等差型（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）積累裂項(xiàng)模型2：根式型（1）（2）（3）（4）（5）（6）積累裂項(xiàng)模型3：指數(shù)型（1）（2）（3）（4）（5）（6），設(shè)，易得，于是（7）積累裂項(xiàng)模型4：對數(shù)型積累裂項(xiàng)模型5：三角型（1）（2）（3）（4），則二、統(tǒng)計(jì)與概率兩點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布：是很簡單的一種概率分布，其實(shí)驗(yàn)結(jié)果只有兩種可能，且概率和為1；兩點(diǎn)分布列又稱分布列或佰努利分布列；兩點(diǎn)分布能清晰的反映出事件的正反兩面.兩點(diǎn)分布的應(yīng)用十分廣泛，如抽取的彩票是否中獎，買回的意見產(chǎn)品是否為正品，新生兒的鑒定，投籃是否命中等.（想象成扔硬幣問題）超幾何分布超幾何分布：一般地，在含有件次品的件產(chǎn)品中，任取件，其中恰有件次品數(shù)，則事件發(fā)生的概率為,其中，且．稱分布列01……為超幾何分布列．如果隨機(jī)變量的分布列為超幾何分布列，則稱隨機(jī)變量服從超幾何分布.注意：若有件產(chǎn)品，其中件為次品，無放回地任意抽取件，則其中恰有的次品件數(shù)是服出超幾何分布.二項(xiàng)分布1．n重伯努利試驗(yàn)的概念只包含兩個可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn)，將一個伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為n重伯努利試驗(yàn)．2．n重伯努利試驗(yàn)具有如下共同特征(1)同一個伯努利試驗(yàn)重復(fù)做n次；(2)各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立．3．二項(xiàng)分布（若有件產(chǎn)品，其中件是次品，有放回地任意抽取件，則其中恰有的次品件數(shù)是服從二項(xiàng)分布的）一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為：如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X～B(n，p)．4．一般地，可以證明：如果X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．條件概率技巧總結(jié)1．條件概率的概念條件概率揭示了P(A)，P(AB)，P(B|A)三者之間“知二求一”的關(guān)系一般地，設(shè)A，B為兩個隨機(jī)事件，且P(A)>0，我們稱P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率．2．概率的乘法公式由條件概率的定義，對任意兩個事件A與B，若P(A)>0，則P(AB)＝P(A)P(B|A)．我們稱上式為概率的乘法公式．3．條件概率的性質(zhì)設(shè)P(A)>0，則(1)P(Ω|A)＝1；(2)如果B與C是兩個互斥事件，則P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)；(3)設(shè)eq\o(B,\s\up6(－))和B互為對立事件，則P(eq\o(B,\s\up6(－))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(A)))＝1－P(Beq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(A)))．4．全概率公式在全概率的實(shí)際問題中我們經(jīng)常會碰到一些較為復(fù)雜的概率計(jì)算，這時，我們可以用“化整為零”的思想將它們分解為一些較為容易的情況分別進(jìn)行考慮一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，則對任意的事件B?Ω，有P(B)＝eq\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))P(Ai)P(Beq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(Ai）)).我們稱上面的公式為全概率公式，全概率公式是概率論中最基本的公式之一．5．貝葉斯公式設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，則對任意事件B?Ω，P(B)>0，有P(Aieq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(B）))＝eq\f(P（Ai）P（B\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(Ai）)),P（B）)=i＝1，2，…，n.6.在貝葉斯公式中，P(Ai)和P(Ai|B)分別稱為先驗(yàn)概率和后驗(yàn)概率．離散型隨機(jī)變量的均值與方差技巧總結(jié)Ⅰ：隨機(jī)變量的數(shù)字特征1．離散型隨機(jī)變量的均值的概念一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望．2．離散型隨機(jī)變量的均值的意義均值是隨機(jī)變量可能取值關(guān)于取值概率的加權(quán)平均數(shù)，它綜合了隨機(jī)變量的取值和取值的概率，反映了隨機(jī)變量取值的平均水平．3．離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì)若Y＝aX＋b，其中a，b均是常數(shù)(X是隨機(jī)變量)，則Y也是隨機(jī)變量，且有E(aX＋b)＝aE(X)＋b.證明如下：如果Y＝aX＋b，其中a，b為常數(shù)，X是隨機(jī)變量，那么Y也是隨機(jī)變量．因此P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n，所以Y的分布列為Yax1＋bax2＋b…axi＋b…axn＋bPp1p2…pi…pn于是有E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b.方差：．稱為隨機(jī)變量的方差，隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差，記作，方差(或標(biāo)準(zhǔn)差)越小表明的取值相對于期望越集中，否則越分散．Ⅱ：均值與方差的性質(zhì)(1)．(2)(為常數(shù))．（3）兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布的期望、方差(1)若X服從兩點(diǎn)分布，則，．(2)若X服從二項(xiàng)分布，即，則．(3)若X服從超幾何分布，即時，．方法總結(jié)：求離散型隨機(jī)變量的均值、方差的基本步驟：第一步：判斷取值：先根據(jù)隨機(jī)變量的意義，確定隨機(jī)變量可以取哪些值；第二步：探求概率：利用排列組合、枚舉法、概率公式(常見的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率和公式、獨(dú)立事件的概率積公式，以及對立事件的概率公式)等，求出隨機(jī)變量取每個值時的概率；第三步：寫分布列：按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)(概率總和為1)檢驗(yàn)所求的分布列是否正確；第四步：求期望值和方差：利用數(shù)學(xué)期望和方差的公式分別求期望和方差的值．對于有些實(shí)際問題中的隨機(jī)變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布(如二項(xiàng)分布X～B(n，p))，則此隨機(jī)變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得．因此，應(yīng)熟記常見的典型分布的期望與方差公式，可加快解題速度．正態(tài)分布技巧總結(jié)1．正態(tài)曲線及其性質(zhì)(1)正態(tài)曲線：函數(shù)，，其中實(shí)數(shù)μ，σ(σ>0)為參數(shù)，我們稱φμ，σ(x)的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線．(2)正態(tài)曲線的性質(zhì)：①曲線位于x軸上方，與x軸不相交；②曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對稱；③曲線在x＝μ處達(dá)到峰值eq\f(1,\r(2πσ))；④曲線與x軸之間的面積為1；⑤當(dāng)σ一定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移，如圖甲所示；⑥當(dāng)μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ越大，曲線越“矮胖”，總體分布越分散；σ越?。€越“瘦高”．總體分布越集中，如圖乙所示：甲乙2．正態(tài)分布一般地，如果對于任何實(shí)數(shù)a，b(a<b)，隨機(jī)變量X滿足P(a<X≤b)＝，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布(normaldistribution)．正態(tài)分布完全由參數(shù)μ和σ確定，因此正態(tài)分布常記作N(μ，σ2)．如果隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則記為X～N(μ，σ2)．3．正態(tài)總體三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974．4．3σ原則通常服從正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機(jī)變量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之間的值．【規(guī)律方法】1.求正態(tài)曲線的兩個方法(1)圖解法：明確頂點(diǎn)坐標(biāo)即可，橫坐標(biāo)為樣本的均值μ，縱坐標(biāo)為eq\f(1,\r(2π)σ)．(2)待定系數(shù)法：求出μ，σ便可．2.正態(tài)分布下2類常見的概率計(jì)算(1)利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性研究相關(guān)概率問題，涉及的知識主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對稱，曲線與x軸之間的面積為1.(2)利用3σ原則求概率問題時，要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的μ，σ進(jìn)行對比聯(lián)系，確定它們屬于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一個．3.正態(tài)總體在某個區(qū)間內(nèi)取值概率的求解策略(1)充分利用正態(tài)曲線對稱性和曲線與x軸之間面積為1．(2)熟記P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．(3)注意概率值的求解轉(zhuǎn)化：①P(X<a)＝1－P(X≥a)；②P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)；③若b<μ，則P(X<b)＝eq\f(1－Pμ－b<X<μ＋b,2)．特別提醒：正態(tài)曲線，并非都關(guān)于y軸對稱，只有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線才關(guān)于y軸對稱．簡單隨機(jī)抽樣技巧總結(jié)Ⅰ：簡單隨機(jī)抽樣：系統(tǒng)抽樣、分層抽樣、每個個體被抽中的概率都相同Ⅱ：頻率分布直方圖：①組距：相鄰橫坐標(biāo)之間的差值②概率：概率=縱×組距（面積）③中位數(shù)：取，前半圖形面積為④眾數(shù)：圖形中最高的中值.⑤平均數(shù)：⑥方差：⑦極差：最大--最?、螅呵o葉圖①中位數(shù)：去頭去尾取中間②眾數(shù)：出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)③平均數(shù)：④評價(jià)：技巧總結(jié)1．相關(guān)關(guān)系與回歸分析回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法；判斷相關(guān)性的常用統(tǒng)計(jì)圖是：散點(diǎn)圖；統(tǒng)計(jì)量有相關(guān)系數(shù)與相關(guān)指數(shù)．回歸分析（線性回歸）在散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域，對于兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為正相關(guān)；在散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域，兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為負(fù)相關(guān)；如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，稱兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系．2．線性回歸方程：（1）最小二乘法：使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法．（2）回歸方程：兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)：，其回歸方程為，則注意：線性回歸直線經(jīng)過定點(diǎn)．（3）相關(guān)系數(shù)：．【技能方法】（1）利用散點(diǎn)圖判斷兩個變量是否有相關(guān)關(guān)系是比較直觀簡便的方法．如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)的曲線附近，變量之間就有相關(guān)關(guān)系．如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一直線附近，變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系．若點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域，則正相關(guān)．（2）利用相關(guān)系數(shù)判定，當(dāng)越趨近于1相關(guān)性越強(qiáng)．當(dāng)殘差平方和越小，相關(guān)指數(shù)越大，相關(guān)性越強(qiáng)．（3）在分析實(shí)際中兩個變量的相關(guān)關(guān)系時，可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖來確定兩個變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系，也可計(jì)算相關(guān)系數(shù)進(jìn)行判斷．若具有線性相關(guān)關(guān)系，則可通過線性回歸方程估計(jì)和預(yù)測變量的值．（4）正確運(yùn)用計(jì)算的公式和準(zhǔn)確的計(jì)算，是求線性回歸方程的關(guān)鍵．并充分利用回歸直線過樣本點(diǎn)的中心進(jìn)行求值．2×2列聯(lián)表及獨(dú)立性檢驗(yàn)技巧總結(jié)Ⅰ：分類變量有一種變量，這種變量所取不同的“值”表示的是個體所屬不同類別，稱這種變量為分類變量。Ⅱ：2×2列聯(lián)表1.列聯(lián)表用表格列出的分類變量的頻數(shù)表，叫做列聯(lián)表。2.2×2列聯(lián)表對于兩個事件A，B，列出兩個事件在兩種狀態(tài)下的數(shù)據(jù)，如下表所示：事件B事件合計(jì)事件Aaba+b事件cdc+d合計(jì)a+cb+da+b+c+d這樣的表格稱為2×2列聯(lián)表。Ⅲ：卡方統(tǒng)計(jì)量公式為了研究分類變量X與Y的關(guān)系，經(jīng)調(diào)查得到一張2×2列聯(lián)表，如下表所示Y1Y2合計(jì)X1aba+bX2cdc+d合計(jì)a+cb+dn=a+b+c+d統(tǒng)計(jì)中有一個有用的（讀做“卡方”）統(tǒng)計(jì)量，它的表達(dá)式是：（為樣本容量）。Ⅳ：獨(dú)立性檢驗(yàn)獨(dú)立性檢驗(yàn)通過2×2列聯(lián)表，再通過卡方統(tǒng)計(jì)量公式計(jì)算的值，利用隨機(jī)變量來確定在多大程度上可以認(rèn)為“兩個分類變量有關(guān)系”的方法稱為兩個分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)。變量獨(dú)立性的判斷通過對統(tǒng)計(jì)量分布的研究，已經(jīng)得到兩個臨界值：3.841和6.635。當(dāng)數(shù)據(jù)量較大時，在統(tǒng)計(jì)中，用以下結(jié)果對變量的獨(dú)立性進(jìn)行判斷：①如果≤3.841時，認(rèn)為事件A與B是無關(guān)的。②如果＞3.841時，有95%的把握說事件A與事件B有關(guān)；③如果＞6.635時，有99%的把握說事件A與事件B有關(guān)；Ⅴ：獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本步驟及簡單應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟：要推斷“A與B是否有關(guān)”，可按下面步驟進(jìn)行：（1）提出統(tǒng)計(jì)假設(shè)H0：事件A與B無關(guān)（相互獨(dú)立）；（2）抽取樣本（樣本容量不要太小，每個數(shù)據(jù)都要大于5）；（3）列出2×2列聯(lián)表；（4）根據(jù)2×2列聯(lián)表，利用公式：，計(jì)算出的值；（5）統(tǒng)計(jì)推斷：當(dāng)＞3.841時，有95％的把握說事件A與B有關(guān)；當(dāng)＞6.635時，有99％的把握說事件A與B有關(guān)；當(dāng)＞10.828時，有99.9％的把握說事件A與B有關(guān)；當(dāng)≤3.841時，認(rèn)為事件A與B是無關(guān)的．備注：臨界值表P（K2≥k）0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828典例1【2023新高考1卷】甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．（1）求第2次投籃的人是乙的概率；（2）求第次投籃的人是甲的概率；（3）已知：若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．【答案】（1）（2）（3）【解析】【小問1詳解】記“第次投籃的人是甲”為事件，“第次投籃的人是乙”為事件，所以，.【小問2詳解】設(shè)，依題可知，，則，即，構(gòu)造等比數(shù)列，設(shè)，解得，則，又，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即．【小問3詳解】因?yàn)?，，所以?dāng)時，，故．典例2【2023新高考全國Ⅱ卷】某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：利用該指標(biāo)制定一個檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值c，將該指標(biāo)大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性．此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．（1）當(dāng)漏診率％時，求臨界值c和誤診率；（2）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時，求的解析式，并求在區(qū)間的最小值．【答案】（1），；（2），最小值為．【解析】【1詳解】依題可知，左邊圖形第一個小矩形的面積為，所以，所以，解得：，．【2詳解】當(dāng)時，；當(dāng)時，,故，所以在區(qū)間的最小值為．典例3【2022新高考全國Ⅰ卷】一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對照組1090（1）能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？（2）從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”．與的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R．（?。┳C明：；（ⅱ）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出的估計(jì)值，并利用（?。┑慕Y(jié)果給出R的估計(jì)值．附，0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】或或【解析】【1詳解】由已知，又，，所以有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異.【2詳解】(i)因?yàn)椋运裕?ii)由已知，，又，，所以典例4【2022新高考全國Ⅱ卷】在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：（1）估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（2）估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間的概率；（3）已知該地區(qū)這種疾病的患病率為，該地區(qū)年齡位于區(qū)間的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，求此人患這種疾病的概率．（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.【答案】（1）歲；（2）；（3）．【解析】【小問1詳解】平均年齡（歲）．【小問2詳解】設(shè){一人患這種疾病的年齡在區(qū)間}，所以．【小問3詳解】設(shè)“任選一人年齡位于區(qū)間[40,50)”，“從該地區(qū)中任選一人患這種疾病”，則由已知得：,則由條件概率公式可得從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，此人患這種疾病的概率為．典例5【2021新高考全國Ⅰ卷】某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分，已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).（1）若小明先回答A類問題，記為小明的累計(jì)得分，求的分布列；（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.【答案】（1）見解析；（2）類【解析】（1）由題可知，的所有可能取值為，，．；；．所以的分布列為（2）由（1）知，．若小明先回答問題，記為小明的累計(jì)得分，則的所有可能取值為，，．；；．所以．因?yàn)?，所以小明?yīng)選擇先回答類問題．預(yù)測1（2024·重慶·模擬預(yù)測）函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，曲線上兩點(diǎn)，連線斜率記為k，求證：；(3)盒子中有編號為1~100的100個小球（除編號外無區(qū)別），有放回的隨機(jī)抽取20個小球，記抽取的20個小球編號各不相同的概率為p，求證：．預(yù)測2（2024·重慶·模擬預(yù)測）如圖，一個質(zhì)點(diǎn)在隨機(jī)外力的作用下，從數(shù)軸點(diǎn)出發(fā)，每隔1秒向左或向右移動一個單位，設(shè)每次質(zhì)點(diǎn)向右移動的概率為，經(jīng)過秒后質(zhì)點(diǎn)最終到達(dá)的位置的數(shù)字記為X．

(1)若，，求；(2)當(dāng)時，隨機(jī)變量X的期望，求p的取值范圍．預(yù)測3（2024·廣東韶關(guān)·模擬預(yù)測）小明參加社區(qū)組織的射擊比賽活動，已知小明射擊一次、擊中區(qū)域甲的概率是，擊中區(qū)域乙的概率是，擊中區(qū)域丙的概率是，區(qū)域甲，乙、丙均沒有重復(fù)的部分．這次射擊比賽獲獎規(guī)則是：若擊中區(qū)域甲則獲一等獎；若擊中區(qū)域乙則有一半的機(jī)會獲得二等獎，有一半的機(jī)會獲得三等獎；若擊中區(qū)域丙則獲得三等獎；若擊中上述三個區(qū)域以外的區(qū)域則不獲獎．獲得一等獎和二等獎的選手被評為“優(yōu)秀射擊手”稱號．(1)求小明射擊1次獲得“優(yōu)秀射擊手”稱號的概率；(2)小明在比賽中射擊4次，每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立，設(shè)獲三等獎的次數(shù)為X，求X分布列和數(shù)學(xué)期望．預(yù)測4（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）2024年3月，某校語文教師對學(xué)生提出“3月讀一本書”的要求，每位學(xué)生都選擇且只能選擇《紅樓夢》和《三國演義》中的一本，現(xiàn)隨機(jī)調(diào)查該校男?女生各100人，發(fā)現(xiàn)選擇《紅樓夢》的有90人，其中女生占.(1)補(bǔ)充完整下述列聯(lián)表，并判斷能否有的把握認(rèn)為學(xué)生選擇《紅樓夢》還是《三國演義》與性別有關(guān)；《紅樓夢》《三國演義》男生女生(2)已知學(xué)生選擇哪本書是相互獨(dú)立的，用頻率代替概率，從該校選擇《紅樓夢》的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，抽到的女生人數(shù)設(shè)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828預(yù)測5（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）某高校為調(diào)查學(xué)生喜歡“應(yīng)用統(tǒng)計(jì)”課程是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了選修課程的55名學(xué)生，得到數(shù)據(jù)如下表：喜歡“應(yīng)用統(tǒng)計(jì)”課程不喜歡“應(yīng)用統(tǒng)計(jì)”課程總計(jì)男生20525女生102030總計(jì)302555(1)判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為喜歡“應(yīng)用統(tǒng)計(jì)”課程與性別有關(guān)？（公式和對照表見題后）(2)用分層抽樣的方法從喜歡統(tǒng)計(jì)課程的學(xué)生中抽取6名學(xué)生做進(jìn)一步調(diào)查，將這6名學(xué)生作為一個樣本，從中任選2人，求恰有1個男生和1個女生的概率．附：，0.0100.0056.6357.879押題1：已知質(zhì)量均勻的正面體，個面分別標(biāo)以數(shù)字1到．(1)拋擲一個這樣的正面體，隨機(jī)變量表示它與地面接觸的面上的數(shù)字．若求n；(2)在(1)的情況下，拋擲兩個這樣的正n面體，隨機(jī)變量表示這兩個正面體與地面接觸的面上的數(shù)字和的情況，我們規(guī)定：數(shù)字和小于7，等于7，大于7，分別取值0，1，2，求的分布列及期望．押題2：某景區(qū)的索道共有三種購票類型，分別為單程上山票、單程下山票、雙程上下山票．為提高服務(wù)水平，現(xiàn)對當(dāng)日購票的120人征集意見，當(dāng)日購買單程上山票、單程下山票和雙程票的人數(shù)分別為36、60和24．(1)若按購票類型采用分層隨機(jī)抽樣的方法從這120人中隨機(jī)抽取10人，再從這10人中隨機(jī)抽取4人，求隨機(jī)抽取的4人中恰有2人購買單程上山票的概率．(2)記單程下山票和雙程票為回程票，若在征集意見時要求把購買單程上山票的2人和購買回程票的m（且）人組成一組，負(fù)責(zé)人從某組中任選2人進(jìn)行詢問，若選出的2人的購票類型相同，則該組標(biāo)為A，否則該組標(biāo)為B，記詢問的某組被標(biāo)為B的概率為p．（i）試用含m的代數(shù)式表示p；（ii）若一共詢問了5組，用表示恰有3組被標(biāo)為B的概率，試求的最大值及此時m的值．押題3：甲、乙、丙三人進(jìn)行傳球游戲，每次投擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子決定傳球的方式:當(dāng)球在甲手中時，若骰子點(diǎn)數(shù)大于3，則甲將球傳給乙，若點(diǎn)數(shù)不大于3，則甲將球保留；當(dāng)球在乙手中時，若骰子點(diǎn)數(shù)大于4，則乙將球傳給甲，若點(diǎn)數(shù)不大于4，則乙將球傳給丙；當(dāng)球在丙手中時，若骰子點(diǎn)數(shù)大于3，則丙將球傳給甲，若骰子點(diǎn)數(shù)不大于3，則丙將球傳給乙.初始時，球在甲手中.(1)求投擲3次骰子后球在乙手中的概率；(2)設(shè)前三次投擲骰子后，球在甲手中的次數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.押題4：某公司計(jì)劃在員工團(tuán)建活動中設(shè)置一個抽獎環(huán)節(jié)．工作人員在倉庫中隨機(jī)抽取了20個規(guī)格相同的禮盒，各禮盒中均有1個質(zhì)地相同的小球，禮盒和小球的顏色為紅色或黑色，且顏色分布如下表所示．小球顏色禮盒顏色合計(jì)紅色黑色紅色mn黑色268合計(jì)20已知從上述禮盒中隨機(jī)選取2個禮盒，紅色與黑色禮盒恰好各1個的概率為．(1)求的值．(2)為提高活動的趣味性，設(shè)抽獎過程及中獎規(guī)則如下：①將20個禮盒放在1個箱子中，每人有放回地分兩次抽取，每次抽取1個禮盒，并記錄禮盒和該禮盒中的小球的顏色．②兩次抽取后的結(jié)果分四種情況：禮盒與禮盒中的小球的顏色兩次均相同；2個禮盒的顏色相同，但2個小球的顏色不同；2個禮盒的顏色不同，但2個小球的顏色相同；禮盒與禮盒中的小球的顏色兩次均不相同．③按②抽取后的結(jié)果的可能性大小，設(shè)概率越小，對應(yīng)獎項(xiàng)的獎金越高．④活動獎勵分四個等級，獎金額分別為一等獎800元，二等獎400元，三等獎200元，四等獎100元．若預(yù)計(jì)有60名員工參與抽獎活動（每人抽獎1次），求抽獎活動的獎金總額的數(shù)學(xué)期望．押題5：某地區(qū)工會利用“健步行APP”開展健步走活動.為了解會員的健步走情況，工會在某天從系統(tǒng)中抽取了100名會員，統(tǒng)計(jì)了當(dāng)天他們的步數(shù)（千步為單位），并將樣本數(shù)據(jù)分為，，，…，，九組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的70%分位數(shù)；(2)據(jù)統(tǒng)計(jì)，在樣本數(shù)據(jù)，，的會員中體檢為“健康”的比例分別為，，，以頻率作為概率，估計(jì)在該地區(qū)工會會員中任取一人，體檢為“健康”的概率.名校預(yù)測預(yù)測1：答案見解析【詳解】（1）定義域?yàn)?，，對于方程，，?dāng)，即時，，，在上單增，當(dāng)，即或時，方程有兩不等根，，，而，，所以當(dāng)時，，在上恒成立，在上單增；當(dāng)時，，或時，，時，，所以在和上單增，在上單減，綜上，當(dāng)時，在上單增；當(dāng)時，在和上單增，在上單減；（2），所以要證，即證，即證，也即證（*）成立．設(shè)，函數(shù)，由（1）知在上單增，且，所以時，，所以（*）成立，原不等式得證；（3）由題可得，因?yàn)?，，…，，所以，又由?）知，，取，有，即，即，所以．預(yù)測2：答案(1)(2)【詳解】（1）4秒后質(zhì)點(diǎn)移動到點(diǎn)1，則質(zhì)點(diǎn)需向右移動3次，向左移動1次，故．（2）由題意，X可能的取值為，則，，，，所以，解得，又因?yàn)?，所以．預(yù)測3：答案(1)(2)分布列見解析；【詳解】（1）記“射擊一次獲得‘優(yōu)秀射擊手’稱號”為事件；射擊一次獲得一等獎為事件；射擊一次獲得一等獎為事件，所以有，所以，，所以.（2）獲得三等獎的次數(shù)為，的可能取值為，，，，；記“獲得三等獎”為事件，所以，所以，，，，，所以顯然，.預(yù)測4：答案(1)有的把握認(rèn)為學(xué)生選擇《紅樓夢》還是《三國演義》與性別有關(guān)；(2)見解析【詳解】（1）男?女生各100人，選擇《紅樓夢》的有90人，其中女生有.補(bǔ)全二聯(lián)表：《紅樓夢》《三國演義》合計(jì)男生3070100女生6040100合計(jì)90110200所以，故有的把握認(rèn)為學(xué)生選擇《紅樓夢》還是《三國演義》與性別有關(guān)；（2）依題意．，，，．的分布列為：0123．預(yù)測5：答案(1)有關(guān)(2)【詳解】（1）由表中數(shù)據(jù)，可得，所以能在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為喜歡“應(yīng)用統(tǒng)計(jì)”課程與性別有關(guān)．（2）設(shè)所抽樣本中有m個男生，則＝，得，所以樣本中有4個男生，2個女生，分別記作，，，，，，